Luận văn thạc sĩ về lục giác lồi rỗng và bài toán Erdős-Szekeres

• Tác giả: Nguyễn Giang Thành
• Người hướng dẫn: PGS. Tạ Duy Phượng
• Trường học: Trường đại học khoa học tự nhiên, đại học quốc gia hà nội
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Về Lục Giác Lồi Rỗng
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sỹ
• Năm xuất bản: 2013
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN ERDÖS VỀ ĐA GIÁC LỒI RỖNG
• 1.1. Bài toán 1
• 1.1.1. Bài toán 1a Tồn tại hay không tồn tại số ES(n)?
• 1.1.2. Bài toán 1b Nếu số ES(n) tồn tại thì xác định ES(n) như một hàm của n
• 2. CHƯƠNG 2: CHỨNG MINH ĐÁNH GIÁ E(6) ≤ ES(9) VÀ HỆ QUẢ
• 2.1. Lược đồ chứng minh
• 2.2. Các trường hợp đơn giản
• 2.2.1. Các trường hợp (3, ≥ 0) và (≥ 6, 3)
• 2.2.2. Các trường hợp (3, ≥ 0) và (8,3)
• 2.2.3. Các trường hợp (6,3) và (7,3)
• 2.2.4. Các trường hợp (4, ≥ 0) và (≥ 7, 4)
• 2.2.5. Các trường hợp (5, 0) và (≥ 7, 5, 0)
• 2.2.5.1. Các trường hợp (5, 0) và (8, 5, 0)
• 2.2.5.2. Trường hợp (7, 5, 0)
• 2.2.6. Các trường hợp riêng
• 2.2.6.1. Trường hợp (5,1)
• 2.2.6.2. Trường hợp (6,1)
• 2.2.6.3. Các trường hợp (6,2) và (7,1)
• 2.2.7. Các trường hợp (5, ≥ 2)
• 2.2.8. Một quan sát cơ bản
• 2.2.9. Các trường hợp (5, ≥ 2)
• 2.2.10. Các trường hợp (6, ≥ 4)
• 2.2.11. Các trường hợp (≥ 7, ≥ 5, ≥ 1)
• 2.2.12. Ứng dụng của Quy tắc 1 và 2
• 2.2.13. Ứng dụng các Quy tắc 1-3
• 2.2.14. Trường hợp (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
• 2.2.15. Trường hợp (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0)
• 2.2.16. Trường hợp (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về lục giác lồi rỗng trong toán học

Lục giác lồi rỗng là một khái niệm quan trọng trong hình học tổ hợp, liên quan đến bài toán Erdős về đa giác lồi rỗng. Khái niệm này không chỉ đơn thuần là một cấu trúc hình học mà còn chứa đựng nhiều vấn đề lý thuyết sâu sắc. Nghiên cứu về lục giác lồi rỗng giúp hiểu rõ hơn về các tính chất của đa giác lồi và các ứng dụng của nó trong toán học. Đặc biệt, bài toán Erdős-Szekeres đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực này.

1.1. Khái niệm lục giác lồi và lục giác rỗng

Lục giác lồi là một đa giác có sáu đỉnh, trong đó mọi góc đều nhỏ hơn 180 độ. Ngược lại, lục giác rỗng là lục giác không chứa bất kỳ điểm nào trong tập hợp điểm đã cho. Việc phân biệt giữa lục giác lồi và lục giác rỗng là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học tổ hợp.

1.2. Lịch sử nghiên cứu về lục giác lồi rỗng

Bài toán Erdős về lục giác lồi rỗng đã được phát biểu lần đầu vào năm 1978. Kể từ đó, nhiều nhà toán học đã tham gia nghiên cứu và đưa ra các kết quả quan trọng. Năm 2006, Szekeres và Peters đã chứng minh rằng E(6) tồn tại, mở ra một chương mới trong nghiên cứu lục giác lồi rỗng.

II. Vấn đề và thách thức trong nghiên cứu lục giác lồi rỗng

Mặc dù đã có nhiều tiến bộ trong nghiên cứu lục giác lồi rỗng, nhưng vẫn còn nhiều vấn đề chưa được giải quyết. Một trong những thách thức lớn nhất là xác định số nguyên dương nhỏ nhất E(n) cho mọi n. Điều này không chỉ đòi hỏi kiến thức sâu rộng về hình học tổ hợp mà còn cần đến các phương pháp toán học hiện đại.

2.1. Thách thức trong việc xác định E n

Việc xác định E(n) cho n = 6 vẫn là một bài toán mở. Mặc dù có nhiều giả thuyết và đánh giá, nhưng chưa có chứng minh chính thức nào cho thấy E(6) = 30. Điều này tạo ra một thách thức lớn cho các nhà nghiên cứu trong lĩnh vực này.

2.2. Các phương pháp nghiên cứu hiện tại

Nhiều phương pháp đã được áp dụng để nghiên cứu lục giác lồi rỗng, bao gồm các kỹ thuật hình học, lý thuyết đồ thị và các phương pháp tính toán. Những phương pháp này không chỉ giúp giải quyết các bài toán cụ thể mà còn mở rộng hiểu biết về các tính chất của lục giác lồi.

III. Phương pháp chứng minh E 6 ES 9

Chứng minh rằng E(6) ≤ ES(9) là một trong những bước quan trọng trong nghiên cứu lục giác lồi rỗng. Phương pháp này không chỉ dựa vào các lý thuyết hình học mà còn sử dụng các công cụ toán học hiện đại để đạt được kết quả chính xác.

3.1. Các bước chứng minh cơ bản

Chứng minh bắt đầu bằng việc xác định các cấu hình điểm trên mặt phẳng. Sau đó, áp dụng các định lý hình học để chứng minh rằng từ một tập hợp điểm đủ lớn, có thể chọn ra n điểm tạo thành một lục giác lồi rỗng.

3.2. Ứng dụng của các định lý hình học

Nhiều định lý hình học đã được áp dụng trong quá trình chứng minh, bao gồm định lý Ramsey và các định lý về bao lồi. Những định lý này cung cấp cơ sở lý thuyết vững chắc cho các kết quả đạt được.

IV. Ứng dụng thực tiễn của lục giác lồi rỗng

Lục giác lồi rỗng không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau. Từ khoa học máy tính đến thiết kế đồ họa, các khái niệm liên quan đến lục giác lồi rỗng đã được áp dụng để giải quyết nhiều vấn đề thực tiễn.

4.1. Ứng dụng trong khoa học máy tính

Trong khoa học máy tính, các thuật toán dựa trên lục giác lồi rỗng được sử dụng để tối ưu hóa các bài toán phân tích dữ liệu và xử lý hình ảnh. Những ứng dụng này cho thấy tầm quan trọng của lục giác lồi rỗng trong công nghệ hiện đại.

4.2. Ứng dụng trong thiết kế đồ họa

Trong thiết kế đồ họa, lục giác lồi rỗng được sử dụng để tạo ra các mô hình hình học phức tạp. Việc áp dụng các khái niệm này giúp các nhà thiết kế tạo ra các sản phẩm sáng tạo và độc đáo.

V. Kết luận và tương lai của nghiên cứu lục giác lồi rỗng

Nghiên cứu về lục giác lồi rỗng vẫn đang tiếp tục phát triển với nhiều hướng đi mới. Các nhà toán học đang nỗ lực để giải quyết các vấn đề còn tồn đọng và mở rộng hiểu biết về các tính chất của lục giác lồi. Tương lai của nghiên cứu này hứa hẹn sẽ mang lại nhiều khám phá thú vị.

5.1. Tương lai của bài toán Erdo s Szekeres

Bài toán Erdős-Szekeres vẫn là một trong những bài toán mở quan trọng trong hình học tổ hợp. Nhiều nhà nghiên cứu đang tìm kiếm các phương pháp mới để giải quyết bài toán này, với hy vọng sẽ đạt được những kết quả đáng kể trong tương lai.

5.2. Khuyến khích nghiên cứu thêm

Việc khuyến khích các nghiên cứu mới trong lĩnh vực lục giác lồi rỗng là rất cần thiết. Các nhà toán học trẻ nên được khuyến khích tham gia vào các nghiên cứu này để đóng góp vào sự phát triển của lĩnh vực hình học tổ hợp.