Chương 1.NHỮNG VAN DE CƠ BẢN Chương này nhằm mục đích cung cấp những kiến thức cơ bản phục vụ cho chương sau. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp 1. Médun tự do 1. Médun xa ảnh 1.
Médun Noether va môđun Artin Chương 2. CAC VANH DI TRUYEN VÀ NỬA DI TRUYEN Chương nay là nội dung chính của luận văn. Khai niệm vành di truyền và vanh nứa di truyền Trình bày định nghĩa vành di truyền và vành nửa di truyền cũng như đưa ra các tính chất của các vành này. Các ví đụ của vành di truyền và vành mia di truyền Dua ra các ví dụ cụ thé, mối liên hệ giữa vành di truyền phải (trái) và vành nửa di truyền phải (trái).
Đồng thời, chúng ta đưa ra định nghĩa và tính chất của vành Artin di truyện.NHUNG VAN DE CO BAN Trong luận van nay, chúng ta luôn luôn xét các môđun bên phải. Khi cần thiết chúng ta sẽ nói rõ là môđun trái hay phải hay 2-phía. Và các vành đề cập trong luận văn này hiệu là các vành không giao hoán néu không giải thích gì thêm.TÓNG TRỰC TIẾP VÀ TÍCH TRỰC TIẾP Khái niệm tông trực tiếp và tích trực tiếp có thê xây đựng cho bat kỳ một họ môđun. Tuy nhiên, chúng ta sẽ mở dau với trường hợp đơn giản nhất tong trực tiếp của họ hai môđun.
Tổng trực tiếp hai médun Cho A, B là các R-môđun. Trên tập tích Descartes AX, chúng ta đưa vào hai phép toán cộng và nhân ngoài như sau (a,, b,)+(a,, b,) = (a, +a,, 6, + b,), r{a, b} = (ra, rb), V(a,, b,), (đ;, b;), (a, bye AX B,Wre R. Dễ kiểm tra thay rang AX với hai phép toán xác định như trên thoả mãn tat cả các yêu cầu của một R-médun. Chúng ta gọi đó là médun tong trực tiếp của hai môđun A, B và viết A ® B.
Chú ý rằng phần tử 0 trong A ® B là cặp (0. 0) và phần tử đối của cặp (a, b) là (—a,—b). Tổng trực tiếp hai môđun A và B đôi khi cũng được gọi là tích trực tiếp và tương ứng với cách gọi đó là cách ký hiệu A XB. Chúng ta cũng dé thay rằng A@ B= A'®' ©@AxzA',BxB'.
Tổng trực tiếp trong Tông trực tiếp được xác định trong mục trên đôi khi còn gọi là tông trực tiếp ngoài dé phân biệt với khái niệm tong trực tiếp trong mà chúng ta sẽ đưa ra dưới đây. Cho A, 8 là các môđun con của X thoá các tính chất DANB=Q, H}A+B=X Khi đó, chúng ta có dang cấu X = A ® B. Xây dung ánh xạ @: A ©® B —> X mà @(a,b)=a + b, với mọi (a, b) e A ® B. Dễ dàng kiểm tra g là đồng cấu.
Do đăng thức A + B = X nên Yx e X thì 3a © A vàb e 8 màa +b =x. Vậy gla toàn cầu. Do AB = 0 nên Ker g= {(a, b)la+b=0} ={(a,b)la=-beE AB} = {(0, 0)). Do đó ø là đơn cấu.
Vay gla đăng cau hay A © B= X. a Thay cho dau “= “ trong kết quả của Dinh lý 1., chúng ta có thé viết dau “= ”, tức X =A@B, đồng thời trong trường hợp này chúng ta có: X là tổng trực tiếp trong của hai môđun con A, B của X. Chúng ta cũng có một định nghĩa khác của tông trực tiếp trong tạo bởi các môđun con như sau. Médun X là tổng trực tiếp trong của hai médun con A và B khi và chi khí với mỗi xe X có một cách biểu diễn duy nhất x = a + b với a e A, be B.
Nêu X = A @ B thì Vx e X, x =a+beA + B Cách biêu diễn này là duy nhất vì néu x = a’ + b' thi a+b=a +b<Sa-a=b-becAesB=0 nên « —““ = b —b'“ =0 và do đó a = a', b = b'. Nếu mỗi x e X có biểu dién duy nhất x = a + b A + B thì trước hết X = A + B. Hơn nữa, từ trường hợp riêng x = 0 với cách biểu diễn duy nhất là 0 = 0 + 0, néu cE ANB thì O=c+(—-c)EA+B nênc = 0, nghĩa là A 8 = 0. a Từ đó, chúng ta có định nghĩa sau về hạng tử trực tiếp của một médun.
Môđun con Á< X được gọi là một hang tir trực tiếp của X nêu có môđun con B<X sao cho X = A ® 8. Khi đó, 8 cũng được gọi là hang tir bà trực tiếp của môđun con A. Chúng ta cũng nhắc lại các định nghĩa. Cho # là vành bất kỳ, R-médun M # 0 được gọi là không phân tích (trực tiếp) được nêu M không thê viết thành tông trực tiếp của hai R-médun con khác không của M.
Vanh R # 0 được gọi là sành địa phương nêu R chỉ có duy nhất một idéan tối đại. R-médun khác không M được gọi là không thé phân tích trực tiếp được mạnh nêu End (Mg) là vành địa phương. Xéu R-mỏđun M là không thé phân tích trực tiếp được mạnh thì M không thé phan tích trực tiếp được. Tích trực tiếp của một họ môđun Đề xây dựng khái niệm tích trực tiếp của họ môđun, trước hết chúng ta nhắc lại một vài điều can thiết về khái niệm tích Descartes của họ tập hợp.
Cho họ không rong các tập hợp {A;};. Tích Descartes của họ tập hợp (A;}, ký kiệu là ITA. là tập hợp các ánh xạ x : J > VA, sao cho x(i) € A;, Vie 1. Và chúng ta ký hiệu x, = x(i) thì phan tử của TT A; là bộ x = (x,),„; với điều kiện x; € Aj, Vỉ € 1.
ied Về cách viết bộ x = (x,);.), đôi khi dé tránh rườm rà chúng ta có thé viết gon x = (x,). VU Bay giờ. với họ bat ky khác rỗng các môđun {X,},:; trên cùng vành hệ tử R; chúng ta xác định trên tập tích Descartes [] X, các phép toán sau © (x;) + (X{) = (x) +X), er. (x,) =(rx,), với mọi (x,), (47) e [ÏX; và mọi r e Ñ.
Dễ thay rang, cũng như trường hợp tích trực tiếp hai môđun, các phép toán đưa vào [ ]X;, được xác định theo mỗi thành phan thứ i, Và vì các phép toán trên mỗi thành phần X, là thoả các yêu cầu của một Ñ-môđun, nên không khó khăn dé thay rằng các phép toán trên I] X, cũng thoả hết các yêu cầu của một R-môđun. Chúng ta gọi médun được xây dựng ở trên I] X, là médun tích trực tiếp của họ (X,}. Nó cũng được ký hiệu là [[ X, hay đơn giản hơn [[X,. Các môđun X; được fel gọi là các môđun thành phan của tích trực tiếp.
Tổng trực tiếp của họ médun Cho một họ khác rỗng các môđun {X,),. Xét tập con của [l2. gồm các bộ x = (x,), ma hầu hết các thành phan x, = 0, trừ một số hữu han. Dễ thấy đó là tập con ồn định trong II X,.
và đo vậy nó là môđun con. Chúng ta gọi đó là médun tong trực tiếp của họ ƒX,} và ký hiệu là @X, hay đơn giản là ®X,. Chúng ta dé dang nhận thấy khi ted tập hợp / hữu han thi tông trực tiếp và tích trực tiếp là một. Dãy khóp a) Định nghĩa day khớp Định nghĩa 1.
Dãy các đồng cấu môđun (hữu hạn hay vô hạn) A» B—Ÿ—y»C > (1.1) được gọi là khớp tai médun B nêu Im f= Ker g. Vậy dãy là khớp tại 8 nêu ảnh đồng cầu vào tại đó bằng hạt nhân của đồng cầu ra. Một môđun trong diy các đồng cấu được gọi là médun trung gian nêu tại đó vừa có đồng cau vào vừa có đồng cau ra. Day các đồng cau (1.) được gọi là day khớp nêu nó khớp tại mọi môđun trung gian.
Trong lớp tất cả các dãy khớp, người ta đặc biệt chú ý tới một lớp các dãy khớp có tên gọi là đãy khớp ngắn được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1. Day khớp ngắn là day khớp có dang 0458 C0 (1. Hiển nhiên đẻ kiểm tra tính khớp của day (1.) chúng ta cần kiếm tra đồng cấu y là đơn cau, đồng cau ø là toàn cau và Ker o =Im x b) Dãy khớp ngắn chẻ ra Định nghĩa 1. Dãy khớp các đồng cấu môđun >> Á——>B——>C > --- duge goi la ché ra tai médun B, nêu Im f là một hang từ trực tiếp của B, nghĩa là ton tại môđun con B, sao cho B = Im f @ B,.
Một day khớp được gọi là ché ra, nêu nó chẻ ra tai mỗi môđun trung gian. Áp dụng định nghĩa trên cho trường hợp các dãy khớp ngắn chúng ta có: dãy khớp ngắn 0 A—2>B—2>C 0 là chẻ ra khi và chỉ khi dãy chẻ ra tại B. Thật vậy, kiểm tra day chẻ ra tại A và C 1a quá tầm thường 4A =Im 0@®A và C=Imo 80. Các dãy khớp ngắn sau đây được sinh bởi tông trực tiếp A © có thé xem là các ví dụ điển hình về các day khớp chẻ ra 0<>yA=>A@® B——?—y B >0, 0> B—> AGBB—*>5A> 0.
Nếu nhớ lại các đắng thức đặc trưng của tổng trực tiếp Piji = 1a, P2j2 = „ thì chúng ta có nhận xét rằng trong cả hai day khớp ngắn chẻ ra trên đây các đồng cau vào 7¡, j¿ đều có nghịch đảo trái, còn các đồng cau ra p;, p; đều có nghịch đảo phải. Điêu này, như sẽ thấy đưới đây không chỉ đúng đưới các dãy khớp ngắn được sinh bởi tông trực tiếp, mà là đặc trưng chung cho mỗi dãy khớp ngắn chẻ ra bất kỳ. Cụ thể, chúng ta có Định lý 1. Đổi với mỗi day khớp ngắn 0—> A——>B——»C 30, ba phát biểu sau là tương đương i) Day là chẻ ra.
ii) Dong cầu x có nghịch đảo trải. iii) Dong cấu o có nghịch đảo phải. Nếu đồng câu z có nghịch dao trái, tức là tồn tại đồng cau p: B—>A sao cho pz = lạ, thì tích hai đồng cầu A— > B— A là dang cấu. Vậy B = Im 7 ® Ker p, do đó dãy chẻ ra.
Nếu dãy là chẻ ra, nghĩa là B = Im 7@ B, thi tồn tai phép chiều p::B=Im x@® B; > Im x. Bởi 71a đơn cau nên ¿thực hiện đăng cấu A = Im y và do đó đồng cau ny: A> Im z (mà Z¡(4) = Aa). Va € A) có đồng cấu ngược ¡` :Im y > A. Chon p= z,'p, thipy = lạ, tức là 7 có nghịch đảo trái.
Vay i) tương đương với ii). Một cách tương tự, néu ø có nghịch đảo phải tức là tồn tại đồng cầu g mà oq = l„ thì tích của hai đồng cau cs BC là dang cấu. Va do đó B = Im ạ„© Ker o = Im ¿ ® Im Z, tức dãy la che ra.