Luận văn nghiên cứu tam giác với ba điểm đặc biệt

Khám phá luận văn về tam giác với ba điểm đặc biệt, phân tích và ứng dụng trong hình học, cung cấp kiến thức sâu sắc và thực tiễn.

• Tác giả: Nguyễn Thị Thu Phương
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Việt Hải
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
• Đề tài: Dựng Tam Giác Biết Ba Điểm Đặc Biệt
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ toán học
• Năm xuất bản: 2022
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: DỰNG TAM GIÁC TRONG DANH SÁCH CỦA WERNICK
• 1.1. Bài toán dựng hình, hệ tiên đề dựng hình
• 1.1.1. Hệ tiên đề và các phép dựng cơ bản
• 1.1.2. Tiêu chuẩn dựng hình bằng thước và compa
• 1.2. Dựng tam giác trong danh sách của Wernick
• 1.2.1. Danh sách của Wernick
• 1.2.2. Các bài toán thuộc nhóm S
• 1.2.3. Các bài toán thuộc nhóm U
• 2. CHƯƠNG 2: DỰNG TAM GIÁC TRONG DANH SÁCH CỦA CONNELLY
• 2.1. Đường tròn chín điểm
• 2.2. Giới thiệu danh sách Connelly
• 2.2.1. Danh sách Connelly với 140 bài toán mới
• 2.2.2. Giải bốn bài toán thuộc nhóm U
• 3. CHƯƠNG 3: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
• 3.1. Một số phép dựng tam giác biết 3 yếu tố
• 3.2. Sự tồn tại tam giác khi biết (O, R) và (I, r)
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Giới thiệu về tam giác và các điểm đặc biệt

Nghiên cứu về tam giác với ba điểm đặc biệt là một lĩnh vực quan trọng trong hình học. Các điểm này bao gồm các đỉnh của tam giác, các trọng tâm, trực tâm, và các điểm ngoại tiếp. Mục tiêu chính của nghiên cứu này là xác định các điểm đặc biệt và vai trò của chúng trong việc dựng hình tam giác. Hình học là nền tảng của nhiều lý thuyết toán học, và việc hiểu rõ về tính chất tam giác có thể giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn. Theo nghiên cứu của Wernick và Connelly, có rất nhiều bài toán liên quan đến việc dựng tam giác từ các điểm đặc biệt, từ đó phát triển các phương pháp và công cụ để giải quyết chúng. Việc xác định các điểm này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực như kiến trúc, kỹ thuật và thiết kế đồ họa.

1.1. Các loại tam giác và đặc điểm của chúng

Trong nghiên cứu này, tam giác được phân loại thành nhiều loại khác nhau dựa trên các tính chất như độ dài cạnh và góc. Tam giác vuông, tam giác sắc, và tam giác tù là ba loại chính. Mỗi loại tam giác có những đặc điểm riêng biệt, ảnh hưởng đến cách mà các điểm đặc biệt được xác định. Ví dụ, trong tam giác vuông, định lý Pythagore được áp dụng để tính toán các cạnh và góc, trong khi đó, tam giác sắc có thể có nhiều hơn một trọng tâm. Việc phân loại này giúp cho việc dựng tam giác trở nên dễ dàng hơn và mở rộng khả năng ứng dụng trong thực tiễn.

II. Phân tích các bài toán dựng tam giác

Bài toán dựng tam giác từ ba điểm đặc biệt là một thách thức trong hình học. Các bài toán này thường được phân loại thành bốn nhóm dựa trên tính khả thi của việc dựng hình. Nhóm R bao gồm các bài toán thừa điều kiện, trong khi nhóm L là các bài toán phụ thuộc điều kiện. Nhóm S bao gồm các bài toán có thể dựng được, và nhóm U là các bài toán không thể dựng được. Việc phân loại này không chỉ giúp trong việc tổ chức các bài toán mà còn cung cấp cái nhìn sâu sắc về cách mà các điểm đặc biệt tương tác với nhau trong không gian. Chẳng hạn, bài toán dựng tam giác từ các điểm A, B, và Mc cho thấy rằng nếu một trong các điểm được xác định, các điểm còn lại cũng có thể được xác định một cách duy nhất.

2.1. Phân tích nhóm bài toán S và U

Trong nhóm S, các bài toán như {Ma, Hb, Hc} được xem là điển hình bởi vì chúng có thể được giải quyết thông qua các phương pháp dựng hình cơ bản. Ngược lại, nhóm U bao gồm các bài toán như {Ma, Ha, Tb} mà không thể dựng được bằng thước và compa. Việc hiểu rõ sự khác biệt giữa hai nhóm này rất quan trọng, vì nó không chỉ ảnh hưởng đến cách tiếp cận giải quyết bài toán mà còn có thể dẫn đến những phát hiện mới trong nghiên cứu hình học. Các bài toán không thể dựng được thường yêu cầu các phương pháp hoặc công cụ khác để giải quyết, mở ra hướng đi mới cho nghiên cứu hình học.

III. Ứng dụng thực tiễn của nghiên cứu

Nghiên cứu về tam giác và các điểm đặc biệt không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn mang lại nhiều ứng dụng thực tiễn. Trong kiến trúc, việc hiểu rõ về các tính chất của tam giác giúp thiết kế các cấu trúc vững chắc và hiệu quả. Trong kỹ thuật, các bài toán dựng tam giác có thể được áp dụng trong việc tối ưu hóa thiết kế và phân tích hình học. Hơn nữa, các phương pháp dựng hình có thể được sử dụng trong lập trình máy tính và đồ họa 3D để tạo ra các mô hình hình học chính xác. Việc phát triển các công cụ và phần mềm hỗ trợ cho việc dựng hình tam giác là một trong những ứng dụng đáng kể của nghiên cứu này.

3.1. Tác động đến giáo dục và nghiên cứu

Nghiên cứu về tam giác và các điểm đặc biệt cũng có tác động lớn đến lĩnh vực giáo dục. Việc giảng dạy các khái niệm hình học thông qua các bài toán thực tiễn giúp sinh viên hiểu rõ hơn về các nguyên lý cơ bản. Hơn nữa, các nghiên cứu này có thể thúc đẩy sự phát triển của các chương trình giáo dục STEM, nơi mà hình học đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển tư duy logic và giải quyết vấn đề. Các bài toán dựng hình, đặc biệt từ các điểm đặc biệt, có thể được sử dụng như một công cụ để kích thích sự sáng tạo và tư duy phản biện trong học sinh.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Dựng hình tam giác là một bài toán cổ điển và phức tạp trong hình học sơ cấp, có liên quan mật thiết đến nhiều lĩnh vực toán học khác như đại số và hình học giải tích. Từ năm 1996, Wernick đã liệt kê 138 bài toán dựng tam giác khi biết ba điểm đặc biệt trong tam giác, tiếp theo đó, năm 2009, Harold Connelly bổ sung thêm 140 bài toán mới với các điểm Euler và tâm đường tròn chín điểm. Tổng cộng có khoảng 278 bài toán dựng tam giác theo ba điểm đặc biệt được nghiên cứu kỹ lưỡng. Mục tiêu của luận văn là trình bày lời giải, phân loại và chứng minh tính khả thi của các bài toán trong hai danh sách này, đồng thời bổ sung các ví dụ về bài toán không thể dựng được bằng thước và compa.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các bài toán dựng tam giác biết ba điểm đặc biệt, sử dụng bộ dụng cụ thước kẻ và compa, trong đó các điểm đặc biệt bao gồm đỉnh tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm, chân các đường cao, chân các đường phân giác, điểm Euler và tâm đường tròn chín điểm. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc phát triển lý thuyết dựng hình, góp phần làm rõ các giới hạn của phương pháp dựng hình cổ điển và mở rộng kiến thức về các bài toán hình học phức tạp.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình sau:

• Hệ tiên đề dựng hình bằng thước và compa: Bao gồm tám tiên đề cơ bản (T1-T8) và các phép dựng hình cơ bản (D1-D8), xác định các phép dựng được phép thực hiện trong mặt phẳng Euclid với dụng cụ thước và compa.
• Lý thuyết Galois và định lý Wantzel: Áp dụng để chứng minh tính khả thi hoặc không khả thi của việc dựng hình bằng thước và compa thông qua phân tích đa thức đại số và nhóm Galois, đặc biệt là điều kiện bậc của đa thức phải là lũy thừa của 2 để có thể dựng được.
• Danh sách bài toán dựng tam giác của Wernick và Connelly: Phân loại các bài toán thành bốn nhóm: R (thừa điều kiện), L (phụ thuộc điều kiện), S (dựng được), U (không dựng được), đồng thời bổ sung các điểm Euler và tâm đường tròn chín điểm trong danh sách Connelly.
• Khái niệm điểm đặc biệt trong tam giác: Bao gồm các điểm như đỉnh tam giác (A, B, C), tâm đường tròn ngoại tiếp (O), trọng tâm (G), trực tâm (H), chân các đường cao (Ha, Hb, Hc), chân các đường phân giác (Ta, Tb, Tc), điểm Euler (Ea, Eb, Ec) và tâm đường tròn chín điểm (O9).

Phương pháp nghiên cứu

• Nguồn dữ liệu: Luận văn sử dụng các danh sách bài toán dựng tam giác của Wernick (139 bài toán) và Connelly (140 bài toán), cùng các tài liệu tham khảo về lý thuyết dựng hình, lý thuyết Galois và các bài báo khoa học liên quan.
• Phương pháp phân tích: Kết hợp phương pháp đại số hóa bài toán hình học, sử dụng phần mềm tính toán Maple để thực hiện chuỗi biến đổi chính quy, tính nhóm Galois của đa thức, từ đó xác định tính khả thi của việc dựng hình bằng thước và compa. Đồng thời, áp dụng các phép dựng hình cơ bản để trình bày cách dựng chi tiết các bài toán thuộc nhóm S.
• Timeline nghiên cứu: Nghiên cứu được thực hiện trong năm 2022, tập trung vào việc tổng hợp, phân tích và bổ sung các ví dụ minh họa, đồng thời cập nhật các kết quả mới nhất về tính khả thi của các bài toán trong danh sách Wernick và Connelly.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Phân loại bài toán trong danh sách Wernick: Trong 139 bài toán, có 3 bài thuộc nhóm R (thừa điều kiện), 23 bài thuộc nhóm L (phụ thuộc điều kiện), 74 bài thuộc nhóm S (dựng được) và 39 bài thuộc nhóm U (không dựng được). Qua cập nhật năm 2016, số bài toán nhóm U giảm còn khoảng 20 bài do một số bài được chứng minh dựng được hoặc không dựng được rõ ràng hơn.

2. Tính khả thi của bài toán dựng tam giác: Các bài toán thuộc nhóm S có thể dựng được bằng thước và compa với số bước dựng trung bình khoảng 14 bước, ví dụ bài toán Wernick 101 mất hơn 1 giờ để giải bằng hệ thống ArgoTriCS. Các bài toán nhóm U được chứng minh không dựng được bằng lý thuyết Galois, ví dụ bài toán Wernick 115 với phương trình bậc ba không có nghiệm hữu tỷ, bài toán Wernick 122 với đa thức có trường phân rã bậc 24 không phải lũy thừa của 2.

3. Bổ sung điểm Euler và tâm đường tròn chín điểm trong danh sách Connelly: Danh sách Connelly gồm 140 bài toán mới, trong đó 73 bài thuộc nhóm S, 11 bài nhóm U, 5 bài nhóm R, 19 bài nhóm L và 32 bài chưa có kết luận. Ví dụ bài toán Connelly 21 {Ea, Eb, Ec} có nghiệm duy nhất khi ba điểm không thẳng hàng, bài toán Connelly 50 {Ea, Eb, O} có hai nghiệm hình.

4. Phương pháp chứng minh không dựng được: Sử dụng đại số hóa bài toán, biến đổi hệ đa thức, tính nhóm Galois và áp dụng định lý Wantzel để xác định tính không dựng được bằng thước và compa. Phần mềm Maple hỗ trợ tính toán đa thức bậc cao và nhóm Galois phức tạp, giúp khẳng định tính không dựng được của nhiều bài toán nhóm U.

Thảo luận kết quả

Kết quả nghiên cứu cho thấy sự đa dạng và phức tạp của các bài toán dựng tam giác biết ba điểm đặc biệt. Việc phân loại bài toán thành các nhóm R, L, S, U giúp hệ thống hóa kiến thức và xác định rõ ràng tính khả thi của từng bài toán. Các bài toán nhóm S có thể được giải bằng các phép dựng hình cơ bản, trong khi nhóm U đòi hỏi phân tích đại số sâu và chứng minh không thể dựng được bằng thước và compa.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, luận văn cập nhật và bổ sung nhiều ví dụ mới, đặc biệt là các bài toán nhóm U được chứng minh bằng phương pháp hiện đại, đồng thời trình bày chi tiết các cách dựng hình cho nhóm S. Việc bổ sung điểm Euler và tâm đường tròn chín điểm trong danh sách Connelly mở rộng phạm vi nghiên cứu và cung cấp cái nhìn toàn diện hơn về bài toán dựng tam giác.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các bảng phân loại bài toán, biểu đồ thể hiện tỷ lệ các nhóm bài toán, và sơ đồ minh họa các bước dựng hình điển hình. Các ví dụ minh họa cụ thể giúp người đọc dễ dàng hình dung và áp dụng phương pháp dựng hình hoặc chứng minh không dựng được.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển phần mềm hỗ trợ dựng hình tự động: Tăng cường ứng dụng trí tuệ nhân tạo và hệ thống logic như ArgoTriCS để tự động hóa quá trình dựng hình, giảm thời gian giải quyết các bài toán phức tạp, đặc biệt là các bài toán nhóm S với số bước dựng lớn.

2. Mở rộng nghiên cứu các bài toán chưa có kết luận: Tập trung phân tích 32 bài toán trong danh sách Connelly chưa có kết luận, sử dụng các công cụ đại số và tính toán hiện đại để xác định tính khả thi, từ đó hoàn thiện danh sách bài toán dựng tam giác.

3. Giáo dục và đào tạo nâng cao: Đưa các kết quả nghiên cứu vào chương trình giảng dạy toán học đại học và sau đại học, giúp sinh viên và nghiên cứu sinh hiểu sâu về lý thuyết dựng hình, lý thuyết Galois và ứng dụng trong hình học.

4. Nghiên cứu mở rộng về các dụng cụ dựng hình khác: Khuyến khích nghiên cứu các phương pháp dựng hình ngoài thước và compa truyền thống, như sử dụng máy tính, phần mềm hình học động, hoặc các dụng cụ hình học mới để giải quyết các bài toán nhóm U.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giảng viên và nghiên cứu sinh ngành Toán học: Luận văn cung cấp kiến thức chuyên sâu về dựng hình tam giác, lý thuyết Galois và các phương pháp chứng minh tính khả thi, hỗ trợ nghiên cứu và giảng dạy.

2. Sinh viên cao học chuyên ngành Toán học ứng dụng và Hình học: Tài liệu giúp sinh viên hiểu rõ các bài toán dựng hình phức tạp, cách phân tích và giải quyết bằng phương pháp đại số và hình học.

3. Chuyên gia phát triển phần mềm toán học: Các thuật toán và phương pháp dựng hình tự động trong luận văn là cơ sở để phát triển các công cụ hỗ trợ giải bài toán hình học phức tạp.

4. Nhà nghiên cứu trong lĩnh vực hình học giải tích và đại số: Luận văn cung cấp các ví dụ thực tế về ứng dụng lý thuyết Galois trong hình học, mở rộng hiểu biết về mối liên hệ giữa đại số và hình học.

Câu hỏi thường gặp

1. Tại sao không phải tất cả các bài toán dựng tam giác đều có thể giải bằng thước và compa?
   Việc dựng hình bằng thước và compa tương ứng với các phép toán đại số giới hạn trong các phép toán hữu tỷ và khai căn bậc hai. Nếu bài toán yêu cầu giải đa thức có bậc không phải lũy thừa của 2 hoặc đa thức bất khả quy, thì không thể dựng được bằng bộ dụng cụ này.

2. Danh sách Wernick và Connelly khác nhau như thế nào?
   Danh sách Wernick gồm 139 bài toán dựng tam giác theo 16 điểm đặc biệt, trong khi danh sách Connelly mở rộng thêm 4 điểm Euler và tâm đường tròn chín điểm, tạo thành 140 bài toán mới, giúp nghiên cứu toàn diện hơn về các bài toán dựng tam giác.

3. Phần mềm ArgoTriCS hỗ trợ gì trong nghiên cứu này?
   ArgoTriCS là hệ thống dựa trên ngôn ngữ PROLOG, có khả năng giải tự động các bài toán dựng hình trong danh sách Wernick, cung cấp cách dựng chi tiết và minh họa sinh động, giúp giảm thời gian và công sức giải quyết bài toán.

4. Làm thế nào để chứng minh một bài toán không dựng được bằng thước và compa?
   Phương pháp phổ biến là đại số hóa bài toán thành hệ đa thức, sau đó sử dụng lý thuyết Galois để phân tích nhóm Galois của đa thức. Nếu bậc nhóm không phải là lũy thừa của 2, bài toán không thể dựng được bằng thước và compa.

5. Có thể áp dụng kết quả nghiên cứu này vào các lĩnh vực khác không?
   Có, các phương pháp và kết quả về dựng hình và lý thuyết Galois có thể ứng dụng trong hình học giải tích, thiết kế CAD, robot học, và các lĩnh vực cần mô hình hóa hình học chính xác.

Kết luận

• Luận văn đã tổng hợp và phân tích chi tiết khoảng 278 bài toán dựng tam giác theo ba điểm đặc biệt trong danh sách Wernick và Connelly, phân loại rõ ràng tính khả thi của từng bài toán.
• Áp dụng thành công lý thuyết Galois và phần mềm tính toán để chứng minh tính không dựng được của nhiều bài toán nhóm U, đồng thời trình bày cách dựng chi tiết cho nhóm S.
• Bổ sung các điểm Euler và tâm đường tròn chín điểm giúp mở rộng phạm vi nghiên cứu và làm phong phú thêm lý thuyết dựng hình tam giác.
• Đề xuất phát triển phần mềm hỗ trợ tự động dựng hình và nghiên cứu các bài toán chưa có kết luận nhằm hoàn thiện danh sách bài toán dựng tam giác.
• Khuyến khích ứng dụng kết quả nghiên cứu trong giảng dạy, phát triển công cụ toán học và các lĩnh vực liên quan.

Đọc kỹ luận văn để nắm vững các phương pháp dựng hình và chứng minh, áp dụng vào nghiên cứu hoặc giảng dạy, đồng thời tham gia phát triển các công cụ hỗ trợ dựng hình tự động.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Dựng tam giác trong danh sách của Wernick 1.1 Bài toán dựng hình, hệ tiên đề dựng hình 1.1 Hệ tiên đề và các phép dựng cơ bản Trong trường hợp tổng quát nhất, bài toán dựng hình được phát biểu như sau: Cho không gian E (Euclid, affine hay xạ ảnh với chiều n = 2, 3, ., n) và cho tập hợp hữu hạn các hình F1 , F2 , .Fk , tập hợp họ các hình (Φα )α∈I1 , (Φβ )β∈I1 ,. Yêu cầu dựng hình Φ thuộc họ hình K xác định, có quan hệ với các hình cho trước F1 , F2 , ., Fk bằng cách sử dụng hữu hạn hình trong họ (⋆). Thuật ngữ "dựng" được hiểu theo nghĩa cần phải xác định tất cả các tập hợp điểm tạo nên hình Φ. Nếu E = E2 (mặt phẳng) và (Φα )α∈I1 là tập hợp các đường thẳng (hoặc tia) của mặt phẳng này thì ta nói một trong các dụng cụ dựng hình là thước kẻ.

Nếu (Φβ )β∈I2 là tập hợp các đường tròn của mặt phẳng này thì ta nói dụng cụ dựng hình thứ hai là compa. Nghiệm của bài toán dựng hình là hình thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán này. Bài 6 toán được giải nếu tìm được tất cả các nghiệm của nó. Như vậy, hình Φ cần tìm xem là dựng được nếu xác định được tập hợp các điểm tạo nên hình này.

Điều đó cũng được hiểu theo nghĩa của đại số: trong hình học nhiều chiều hình Φ xem là dựng được nếu tìm được hệ phương trình hoặc hệ bất phương trình, xác định hình Φ trong một hệ tọa độ nào đó. Ta cần liệt kê các tiên đề chung để từ đó mô tả lời giải của mọi bài toán dựng hình với bộ công cụ dựng hình chỉ ra trong (⋆). (T1 ) Mỗi hình cho trước F1 , F2 , ., Fk là dựng được. Điều đó có nghĩa là nếu hình Fi , i = 1, ., k cho trước thì ta coi là xác định được tất cả các điểm tạo nên Fi và mỗi điểm M trong không gian E, khẳng định được M ∈ Fi hay M ∈ / Fi.

Trong trường hợp dựng hình trên mặt phẳng 2 E thì T1 đòi hỏi mỗi hình Fi đã cho đều vẽ được. (T2 ) Nếu dựng được các hình F1 , F2 thì cũng dựng được hình F1 ∪ F2. (T3 ) Nếu dựng được các hình F1 , F2 và F1 ∩ F2 ̸= ∅ thì hình F1 ∩ F2 dựng được. (T4 ) Nếu F1 , F2 dựng được và F2 ⊂ F1 , F2 ̸= F1 thì hiệu F1 \ F2 dựng được.

(T5 ) Nếu hình F dựng được thì mọi điểm thuộc hình F đều dựng được. (T6 ) Nếu hình F dựng được và F ̸= E thì mọi điểm không thuộc F đều dựng được. Trong lý thuyết dựng hình chủ yếu chỉ dùng bộ dụng cụ compa và thước kẻ. Khi giải bài toán dựng hình mà không nói gì thêm thì ta ngầm hiểu đó là bài toán dựng hình bằng compa và thước kẻ.

Với bộ dụng cụ đó ta cần thêm 2 tiên đề: (T7 ) Nếu các điểm A, B dựng được (A ̸= B ) thì có thể dựng được tia [AB). Suy ra dựng được đường thẳng AB , đoạn thẳng AB ., (T8 ) được gọi là hệ tiên đề dựng hình bằng thước và compa. Các phép dựng hình cơ bản: (D1) Dựng tia [AB) nếu hai điểm A, B dựng được. 7 (D2) Dựng đoạn thẳng [AB] nếu hai điểm A, B dựng được.

(D3) Dựng đường thẳng (AB) nếu hai điểm A, B dựng được. (D4) Dựng đường tròn nếu dựng được tâm và đoạn thẳng bán kính. (D7) Dựng giao điểm của hai đường tròn nếu các giao điểm này tồn tại. (D8) Dựng điểm thuộc hình dựng được.

Bây giờ ta có thể nói Dựng hình Φ cần tìm được thực hiện nhờ compa và thước kẻ qua một tập hợp hữu hạn các phép dựng mà mỗi phép dựng là một trong các phép dựng cơ bản D1 , .2 Tiêu chuẩn dựng hình bằng thước và compa Ta sẽ sử dụng hai tiêu chuẩn dựng hình bằng thước và compa. Tùy theo từng bài toán ta có thể sử dụng 1 trong 2 tiêu chuẩn để kết luận bài toán dựng được hay không dựng được. Rõ ràng việc kết luận được bài toán thuộc loại "dựng được" hay thuộc loại "không dựng được" là việc làm rất có ý nghĩa. (1) Khi giải bài toán dựng hình bằng phương pháp đại số ta đưa việc dựng hình về dựng đoạn thẳng [XY ] mà độ dài biểu diễn qua biểu thức.

Lúc này xuất hiện vấn đề: Đoạn thẳng [XY ] có phải luôn luôn dựng được bằng thước và compa hay không? Để trả lời câu hỏi đó ta có định lý sau Định lý 1. Đoạn thẳng [XY ] có thể dựng được qua các đoạn thẳng đã biết bằng thước và compa khi và chỉ khi độ dài đoạn thẳng [XY ] biểu diễn được qua độ dài các đoạn thẳng đã biết và các số hữu tỷ nhờ một số hữu hạn các phép toán hữu tỷ và phép khai căn bậc hai. Điều kiện cần. Nếu độ dài [XY ] biểu diễn được qua độ dài các đoạn thẳng đã biết và các số hữu tỷ nhờ một số hữu hạn các phép 8 toán hữu tỷ và phép khai căn.

Ta thấy phép dựng đoạn thẳng [XY ] được quy về các phép dựng từ 1 đến 7 sau đây: 1) x = a + b. Do đó đoạn thẳng [XY ] có thể dựng được bằng thước và compa. Nếu đoạn thẳng [XY ] có thể dựng được bằng thước và compa theo các đoạn thẳng đã biết. Để dựng được [XY ] ta cần dựng được các điểm X, Y.

Lập mặt phẳng tọa độ Oxy và dựng các điểm A0 (a, 0), B0 (b, 0), ., l là các độ dài đã biết. Khi đó độ dài đoạn thẳng [XY ] là q x = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 (1.1) Vì theo giả thiết các điểm X, Y có thể dựng được nhờ các đoạn thẳng đã biết nên các tọa độ x1 , y1 , x2 , y2 có thể tính được khi biết a, b,. Ta hãy giải thích các phép toán đại số nào sẽ được áp dụng khi tính các tọa độ này. Khi dựng bằng thước và compa, mỗi điểm X, Y nhận được là kết quả của một trong các phép dựng cơ bản D1 ,.

Trong các phép dựng này ta sử dụng đường thẳng và đường tròn. Theo D3 , đường thẳng dựng được nếu dựng được hai điểm của nó. Mỗi điểm trong chúng nhận được từ các phép dựng D5 − D7 hoặc được chọn theo D8 , D9. Nếu điểm chọn tùy ý thì ta có thể lấy tọa độ của nó biểu diễn qua a, b, ., l nhờ các phép toán hữu tỷ và phép khai căn bậc hai.

9 Theo D4 đường tròn dựng được nếu dựng được tâm và bán kính. Đoạn thẳng bán kính hoặc là một trong các đoạn thẳng đã biết hoặc nhận được từ các phép dựng D5 − D7 , còn tâm cũng dựng giống như trên. Xét tọa độ các điểm nhận được từ D5 đến D7. Nếu đường thẳng (AB) đi qua hai điểm dựng được là A(a1 , a2 ) và B(b1 , b2 ) thì phương trình của nó là x − a1 b1 − a1 = 0 ⇔ (b2 −a2 )x−(b1 −a1 )y−(a1 b2 −a2 b1 ) = 0.2) y − a2 b2 − a2 Tương tự đường thẳng P Q đi qua P (p1 , p2 ), Q(q1 , q2 ) dựng được có phương trình (q2 − p2 )x − (q1 − p1 )y − (p1 q2 − p2 q1 ) = 0.3) Nếu (AB) và (P Q) không song song (D5 ) thì hệ (1.3) có nghiệm duy nhất.

Khi đó tọa độ điểm M = AB ∩ P Q biểu diễn một cách hữu tỷ qua tọa độ các điểm đã dựng A, B , P , Q. Đường tròn C với tâm C(c1 , c2 ), bán kính r hoặc là một trong các đoạn cho trước hoặc là đoạnpthẳng có các đầu mút dựng được F (f1 , f2 ), G(g1 , g2 ) và khi đó r = (g1 − f1 )2 + (g2 − f2 )2 , C được xác định bởi phương trình (x − c1 )2 + (y − c2 )2 = r2 (1.4) Nếu (AB) và C cắt nhau thì tọa độ giao điểm tìm được sau khi giải hệ ((1. Ta chú ý rằng các tọa độ này biểu diễn qua các tọa độ đã biết nhờ các phép toán hữu tỷ và phép khai căn bậc hai. Ta cũng có kết luận như vậy đối với giao hai đường tròn.

Như vậy, tọa độ các điểm nhận được trong các phép dựng D5 − D7 biểu diễn qua tọa độ các điểm dựng được trước đó bởi các phép toán hữu tỷ và phép khai căn bậc hai. Theo điều kiện đoạn thẳng [XY ] có thể dựng được theo các đoạn thẳng đã biết nhờ thước kẻ và compa, cũng có nghĩa là tập hợp các phép dựng cơ bản được áp dụng là hữu hạn. Bởi vậy cuối cùng ta dẫn tới “các điểm dựng trước đó là A0 , B0 ,. Kết luận: nếu đoạn thẳng [XY ] dựng được bằng thước và compa theo các đoạn thẳng đã biết thì độ dài x của [XY ] biểu diễn được qua 10 các độ dài đã biết và các số hữu tỷ nhờ một số hữu hạn các phép toán hữu tỷ và các phép khai căn bậc hai.

(2) Một số kết quả từ lý thuyết Galois: Phần này tóm tắt những kết quả cần thiết về trường Galois áp dụng vào dựng hình. Lý thuyết Galois chi tiết có thể tham khảo trong tất cả các giáo trình hoặc sách mang tên “Galois”. Tất cả các số dựng được là trường con của trường R. √ Hơn nữa, nếu c dựng được và c > 0 thì c là dựng được.

Gọi G là tập tất cả các số dựng được. Cho a, b∈ G ta có  a+b −a ∈ G, ngoài ra do (a, 0) và (b, 0) dựng được nên điểm Q = ;0 2 dựng được. Giao điểm của trục hoành và đường tròn tâm A, đi qua gốc (0; 0) là (a + b; 0), do đó a + b cũng dựng được. Để chứng minh ab dựng được ta chỉ cần xét trường hợp ab ̸= 0 và b ̸= 1.

Do (b − 1) dựng được nên điểm (0, b − 1) dựng được, do đó (a, b − 1) dựng được. Giao điểm của đường thẳng đi qua gốc (0, 0) và (a, b − 1) với trục hoành là điểm (ab, 0). Vậy (ab) dựng được. Cuối cùng ta chứng minh a−1 ∈ G nếu a ̸= 0.

Do a ∈ G ta có 1 − a ∈ G hay điểm (0, 1 − a) dựng được, do đó điểm (1, 1 − a) dựng được.