I. Mở đầu
Nghiên cứu về sự hội tụ theo dung lượng nén là một lĩnh vực quan trọng trong lý thuyết đa thế vị. Đề tài này được chọn nhằm tìm hiểu mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới và các độ đo Monge-Ampère phức. Mục tiêu chính là phân tích các khái niệm cơ bản và ứng dụng của dung lượng nén trong việc nghiên cứu các hàm này. Đặc biệt, việc tìm hiểu mối quan hệ giữa sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère phức và sự hội tụ theo dung lượng là một trong những điểm nhấn của nghiên cứu này.
1.1. Lý do chọn đề tài
Lý do chọn đề tài này xuất phát từ tầm quan trọng của dung lượng nén trong lý thuyết đa thế vị. Khái niệm này đã được giới thiệu bởi Bedford và Taylor vào năm 1982 và đã trở thành công cụ hữu ích trong việc nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới. Nghiên cứu này không chỉ giúp làm rõ các khái niệm lý thuyết mà còn mở ra hướng đi mới trong việc ứng dụng các kết quả lý thuyết vào thực tiễn.
1.2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Mục đích chính của nghiên cứu là tìm hiểu sự hội tụ theo dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới và mối quan hệ với các độ đo Monge-Ampère phức. Nhiệm vụ nghiên cứu bao gồm việc phân tích các kết quả gần đây trong lĩnh vực này, từ đó đưa ra các kết luận và ứng dụng thực tiễn. Việc nghiên cứu tính ổn định của nghiệm các phương trình Monge-Ampère cũng là một phần quan trọng trong nhiệm vụ này.
II. Các kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản cần thiết cho việc nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng. Đầu tiên, khái niệm về hàm đa điều hòa dưới được giới thiệu, cùng với các định nghĩa và tính chất cơ bản. Tiếp theo, toán tử Monge-Ampère phức được phân tích, nhấn mạnh vai trò của nó trong việc nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới. Các kết quả về tính tựa liên tục của hàm đa điều hòa dưới cũng được trình bày, cho thấy sự quan trọng của khái niệm này trong lý thuyết đa thế vị.
2.1. Hàm đa điều hòa dưới
Hàm đa điều hòa dưới là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết đa thế vị. Định nghĩa và các tính chất của nó được trình bày rõ ràng, giúp người đọc hiểu rõ hơn về vai trò của hàm này trong việc nghiên cứu sự hội tụ theo dung lượng. Các điều kiện cần thiết để một hàm được coi là đa điều hòa dưới cũng được nêu rõ, từ đó tạo nền tảng cho các nghiên cứu tiếp theo.
2.2. Toán tử Monge Ampère phức
Toán tử Monge-Ampère phức là một công cụ mạnh mẽ trong việc nghiên cứu các hàm đa điều hòa dưới. Các tính chất cơ bản của toán tử này được phân tích, bao gồm cách nó liên quan đến các độ đo Radon và sự hội tụ yếu. Việc hiểu rõ về toán tử này là cần thiết để áp dụng vào các nghiên cứu về sự hội tụ theo dung lượng và các ứng dụng thực tiễn trong lĩnh vực toán học.
III. Sự hội tụ theo dung lượng
Chương này tập trung vào việc phân tích sự hội tụ theo dung lượng của các hàm đa điều hòa dưới. Các định lý và kết quả nghiên cứu gần đây được trình bày, nhấn mạnh mối quan hệ giữa sự hội tụ yếu của các độ đo Monge-Ampère và sự hội tụ theo dung lượng. Các ứng dụng thực tiễn của những kết quả này cũng được thảo luận, cho thấy tầm quan trọng của nghiên cứu trong việc giải quyết các bài toán thực tế.
3.1. Sự hội tụ đối với các hàm đa điều hòa dưới bị chặn
Nghiên cứu về sự hội tụ của các hàm đa điều hòa dưới bị chặn là một phần quan trọng trong chương này. Các định lý hội tụ được trình bày, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể. Mối quan hệ giữa sự hội tụ theo dung lượng và các độ đo Monge-Ampère phức cũng được phân tích, giúp người đọc hiểu rõ hơn về các khía cạnh lý thuyết và ứng dụng của vấn đề này.
3.2. Tính ổn định của nghiệm phương trình Monge Ampère
Tính ổn định của nghiệm các phương trình Monge-Ampère là một vấn đề quan trọng trong nghiên cứu này. Các kết quả về tính ổn định được trình bày, nhấn mạnh vai trò của sự hội tụ theo dung lượng trong việc tìm kiếm nghiệm của các phương trình này. Việc hiểu rõ về tính ổn định không chỉ giúp giải quyết các bài toán lý thuyết mà còn có ứng dụng thực tiễn trong nhiều lĩnh vực khác nhau.
