CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VÀ TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong chương này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về sự đồng bộ hóa và trình bày tổng quan vấn đề nghiên cứu, đặc biệt là tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước về sự đồng bộ hóa trong mạng lưới các tế bào. GIỚI THIỆU Sự đồng bộ hóa hay sự cộng hưởng là một hiện tượng vô cùng quan trọng trong tự nhiên và trong khoa học phi tuyến, đặc biệt là trong mạng lưới các hệ phương trình dao động được liên kết với nhau (Aziz-Alaoui, 2006). Sự cộng hưởng giữa các hệ phương trình có nghĩa là chúng sẽ có cùng đặc tính ở cùng thời điểm.
Cụ thể, đối với một mạng lưới gồm hai hệ phương trình thì sự đồng bộ hóa có nghĩa là hệ phương trình này sẽ sao chép những đặc tính của hệ phương trình kia kể từ một thời điểm nào đó. Khi đó, mạng lưới các hệ phương trình được gọi là đồng bộ. Trong bộ não con người kể cả động vật có rất nhiều tế bào, chúng liên kết với nhau tạo thành một mạng lưới tế bào. Một mạng lưới tế bào là một hệ thống các tế bào được liên kết với nhau về mặt sinh lý học.
Sự trao đổi giữa chúng chủ yếu là dựa vào các quá trình điện hóa. Đề tài này trình bày sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến, cụ thể là tìm điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa xãy ra trong mạng lưới tế bào đang xét. Trong đó, mỗi tế bào được mô tả bằng một hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo (FHN). Năm 1952, Hodgkin và Huxley đã đưa ra một mô hình toán học bốn chiều có thể xấp xỉ được các tính chất hoạt náo của điện áp tế bào (Hodgkin & Huxley, 1952).
Dựa trên mô hình này, rất nhiều mô hình đơn giản hơn đã được công bố nhằm mô tả sự hoạt náo của điện áp tế bào. đã công bố một mô hình mới mang tên Mô hình FitzHugh-Nagumo (FHN) được biết là mô hình hai chiều đơn giản hóa từ hệ phương trình nổi tiếng của Hodgkin-Huxley (Hodgkin & Huxley, 1952; Fitzhugh, 1960; Nagumo, Arimoto & Yoshizawa, 1962; Ermentrout & Terman, 2009). Tuy là mô hình đơn giản hơn, nhưng nó có nhiều kết quả giải tích đáng chú ý và giữ được các tính chất, ý nghĩa về mặt sinh học. Mô hình này được tạo thành từ hai phương trình của hai biến u và v.
Biến đầu tiên là biến nhanh, 1 được gọi là biến hoạt náo, nó đại diện cho điện áp của màng tế bào. Biến thứ hai là biến chậm, nó thể hiện cho một số đại lượng vật lí phụ thuộc thời gian như độ dẫn điện của dòng ion đi ngang qua màng tế bào. Hệ phương trình vi phân FitzHugh-Nagumo được biểu diễn bởi hệ sau: εut = ε du = f (u) − v dt dv vt = = au − bv + c dt trong đó a, b và c là các hằng số (a, b là các số dương), 0 < ε < 1 và f (u) = −u3 +3u. Trong những năm gần đây, sự đồng bộ hóa đã được nghiên cứu rộng rãi trên nhiều lĩnh vực, nhiều hiện tượng tự nhiên cũng phản ánh sự đồng bộ hóa như sự di chuyển tạo thành từng đám mây của đàn chim, sự di chuyển của đàn cá chép trong hồ, sự di chuyển của đoàn diễu hành, sự nhận và truyền thông tin của một nhóm các tế bào,.
Chính vì thế việc nghiên cứu về sự đồng bộ hóa trong mạng lưới các tế bào là cần thiết. Hơn nữa, có nhiều bài báo nghiên cứu về sự cộng hưởng của mạng lưới các tế bào (Corson, 2009; Ambrosio & Aziz-Alaoui, 2012; Ambrosio & Aziz-Alaoui, 2013), nhưng đa số chỉ nghiên cứu chúng với liên kết tuyến tính, chưa có một nghiên cứu lý thuyết cụ thể nào liên quan đến các tế bào liên kết với nhau theo kiểu phi tuyến. Trong khi, sự kết nối giữa các tế bào với nhau chủ yếu là liên kết hóa học nghĩa là được mô phỏng bằng hàm liên kết phi tuyến. Từ đó, cho thấy việc nghiên cứu về vấn đề này là có ý nghĩa và mang lại một giá trị ứng dụng thiết thực cho ngành Toán học ứng dụng hiện nay.
Để cho việc nghiên cứu trở nên dễ dàng hơn, trong Đề tài này chúng tôi chỉ xét mạng lưới các tế bào có cấu trúc đầy đủ, nghĩa là mỗi tế bào trong mạng lưới sẽ truyền thông tin đến một tế bào khác trong cùng mạng lưới, đồng thời cũng nhận thông tin phản hồi từ tế bào này (liên kết hai chiều). Đề tài sẽ đưa ra điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa xảy ra trên mạng lưới đang xét và có phần mô phỏng bằng phương pháp số để kiểm tra lại kết quả lý thuyết tìm được. TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU TRONG NƯỚC Bài toán liên quan đến sự đồng bộ hóa của các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo (FHN) được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu trong thời gian gần đây. Năm 2011, nhóm tác giả Nguyễn Lê Hoa và Hong đã nghiên cứu về sự đồng bộ hóa của hai hệ phương trình FitzHugh-Nagumo (hệ phương trình vi phân) có tính Chaos thông qua hàm số Lyapunov.
Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả đã nghiên cứu sự ảnh hưởng của tần số của dòng điện tác động từ bên ngoài lên tính Chaos của hệ phương trình FHN, sau đó tìm điều kiện cần và đủ cho sự đồng bộ hóa giữa 2 hai hệ phương trình FHN liên kết với nhau theo kiểu tuyến tính thông qua hệ số Lyapunov xuyên ngang lớn nhất và hàm số Lyapunov. Năm 2017, tác giả Phan Văn Long Em đã nghiên cứu sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các phương trình phản ứng-khuếch tán FHN với liên kết tuyến tính. Trong nghiên cứu này, tác giả đã thiết lập được điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ của hệ phương trình phản ứng-khuếch tán FHN với liên kết tuyến tính, cùng với mô phỏng bằng phương pháp số cho thấy có sự tương quan giữa kết quả lý thuyết tìm được và kết quả từ phương pháp số. Nhìn chung, chưa có nhiều nghiên cứu liên quan đến sự đồng bộ hóa của các hệ phương trình vi phân hay đạo hàm riêng trong lĩnh vực Toán ứng dụng.
TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU NGOÀI NƯỚC Năm 2012, nhóm tác giả Ambrosio và Aziz-Alaoui đã nghiên cứu về sự đồng bộ hóa trong mạng lưới của 3 hệ phương trình phản ứng-khuếch tán FHN với liên kết tuyến tính ở biến thứ hai trong hệ phương trình FHN. Trong phần nghiên cứu này, nhóm tác giả cũng đã đưa ra được điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa của mạng lưới tế bào có cấu trúc cho trước và mô phỏng kết quả tìm được bằng phương pháp số. Năm 2012, nhóm tác giả Rehan và Hong đã nghiên cứu cách điều khiển sự đồng bộ hóa của mạng lưới chỉ gồm 2 hệ phương trình FHN (hệ phương trình vi phân) được liên kết tuyến tính với nhau. Trong đó, nhóm tác giả đã tìm ra điều kiện đủ để có sự đồng bộ hóa bằng điều kiện Lipschitz và hàm số Lyapunov-Krasovskii.
Năm 2016, nhóm tác giả Plotnikov, Lehnert, Fradkov và Scholl đã đưa ra được điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa của mạng lưới các hệ phương trình vi phân FHN với liên kết tuyến tính. Đáng chú ý là họ đã thực hiện việc đó trên nhiều mạng lưới có cấu trúc gần giống với cấu trúc mạng lưới các tế bào trong não. Năm 2019, nhóm tác giả Ambrosio, Aziz-Alaoui và Phan Văn Long Em đã nghiên cứu về tính chất nghiệm và sự đồng bộ hóa của mạng lưới các hệ phương trình phản ứng-khuếch tán FHN. Trong nghiên cứu này, nhóm tác giả có thiết lập được điều kiện đủ cho trong mạng lưới có cấu trúc bất kì của hệ phương trình phản ứng-khuếch tán FHN với liên kết tuyến tính, cùng với mô phỏng bằng phương pháp số cho thấy có sự tương quan giữa kết quả lý thuyết tìm được và kết quả từ phương pháp số.
Chúng tôi nhận thấy rằng có rất nhiều công trình nghiên cứu liên quan đến sự đồng bộ hóa trong mạng lưới các hệ phương trình FHN, nhưng hầu hết đều làm việc trên hệ phương trình vi phân FHN và các hệ phương trình này liên kết với nhau bởi liên kết tuyến tính. Như vậy, chưa có công trình nào ở trong hay ngoài nước nghiên cứu về điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến. MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Mục tiêu của Đề tài là tìm điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến. CÂU HỎI NGHIÊN CỨU HOẶC GIẢ THUYẾT NGHIÊN CỨU Có tồn tại hay không sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến? Điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa đó là gì? Có mối tương quan hay không giữa kết quả lý thuyết và kết quả bằng phương pháp số hóa? 1.
ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến. PHẠM VI NGHIÊN CỨU - Nghiên cứu điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến. - Tìm hiểu mối tương quan giữa kết quả lý thuyết và kết quả bằng phương pháp số hóa. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Đề tài sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết khoa học cơ bản trong lĩnh vực Toán học gồm: phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa,.
để tìm điều kiện đủ cho sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến. - Sử dụng C + + và Gnuplot để thực hiện phương pháp số đối với mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo với liên kết phi tuyến, nhằm kiểm tra và biểu diễn kết quả lý thuyết tìm được. ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI - Góp phần làm phong phú thêm các kết quả về sự đồng bộ hóa trong mạng lưới đầy đủ các hệ phương trình vi phân dạng FitzHugh-Nagumo. - Các nội dung của Đề tài là một trong những hướng để sinh viên thực hiện khóa luận tốt nghiệp hoặc nghiên cứu tiếp ở bậc học cao học hoặc nghiên cứu sinh.
SINH LÝ HỌC CỦA TẾ BÀO Nội dung lý thuyết này nằm trong lĩnh vực toán học của khoa học thần kinh. Khoa học thần kinh được định nghĩa là nghiên cứu khoa học về hệ thống thần kinh.