Chương 1 LASER SỢI PHA TẠP ERBIUM Laser bao gồm ba bộ phận chính là hoạt chất, buồng cộng hưởng và bộ phận kích thích hay bơm [5]. Sợi pha tạp là hoạt chất dùng trong laser sợi, nguồn bơm là laser bán dẫn có bước sóng thích hợp. Laser sợi có một số cấu hình khác nhau như dạng buồng cộng hưởng vòng (hình 1.1a) hoặc buồng cộng hưởng Fabry-Ferot tạo bởi hai gương (hình 1. Sợi pha Gương 1 Gương 2 Couplertạp Coupler Bơm Laser ra Bơm Laser ra Sợi pha tạp (a) (b) Hình 1.
Sơ đồ cấu hình laser sợi buồng cộng hưởng dạng vòng (a) và buồng cộng hưởng Fabry-Perot tạo bởi hai gương (b) Trong chương này chúng ta sẽ xây dựng mô hình toán học cụ thể cho laser sợi. Đầu tiên là xét đến sự khuếch đại quang sợi, từ đó rút ra biểu thức giải tích cho hệ số khuếch đại và là cơ sở để tính toán quá trình phát laser: ngưỡng bơm, công suất laser ra, hiệu suất chuyển đổi. Mô hình này áp dụng cho loại sợi pha tạp kiểu đơn mode, chiết suất nhảy bậc và chất pha tạp chỉ pha tạp trong vùng lõi với nồng độ đồng đều trên toàn sợi.1 Sự khuếch đại quang sợi 1.1 Giản đồ mức năng lƣợng (LUAN.NaNo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.NaNo Với khuếch đại quang sợi pha tạp Erbium, cách đơn giản nhất là xét sự khuếch đại trong hệ 3 mức. Hầu hết các đặc trưng quan trọng của khuếch đại có thể thu được qua mô hình hệ 3 mức này [11].
Xét hệ 3 mức như hình vẽ với: Mức 1 là mức cơ bản (ion ở mức này gọi là ở trạng thái cơ bản) Mức 2 là mức siêu bền (ion ở mức này gọi là ở trạng thái kích thích) Mức 3 là mức trung gian (tương đương với mức hấp thụ photon bơm gọi là dải bơm) Trong cấu trúc mức năng lượng của Er 3+ các mức 1, 2 và 3 tương ứng là các mức 4 I15/2 , 4 I13/2 và 4I11/2 [7]. Sự hấp thụ photon bơm từ trạng thái Dải bơm kích thích R24 Sự hấp thụ photon bơm từ trạng thái R13 Trạng thái kích cơ bản thích Sự hấp thụ Sự bức xạ photon photon tín hiệu tín hiệu Trạng thái cơ bản Hình 1. Sơ đồ hệ ba mức năng lượng Photon bơm bị hấp thụ bởi các ion tại mức 1 và nhảy lên mức 3. Do mức 3 có thời gian sống rất ngắn nên các ion này sẽ phân rã một cách nhanh chóng không bức xạ xuống mức 2.
Từ mức 2 điện tử chuyển dời xuống mức 1 đồng thời bức xạ ra các photon tự phát hoặc photon kích thích. Bức xạ tự phát được đặc trưng bởi thời gian sống tự phát ụ2 và bức xạ kích thích được đặc trưng bởi tiết diện hiệu dụng úe. Photon tín hiệu cũng có thể bị hấp thụ từ trạng thái cơ bản (gọi tắt là GSA: Signal (LUAN.NaNo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.NaNo photon ground state absorption) từ mức 1 lên mức 2 và được đặc trưng bởi tiết diện hấp thụ hiệu dụng úa. Trong trường hợp lý tưởng của hệ laser ba mức thì tỷ số ós = úa /ú e bằng đơn vị.
Tuy nhiên đối với thuỷ tinh silica pha tạp Erbium các mức 1 và 2 (tương ứng mức 4 I15/2 và 4I13/2 ) có sự tách mức Stark. Do vậy đối với bước sóng tín hiệu thì tiết diện hấp thụ và bức xạ hiệu dụng nói chung là không bằng nhau và tỷ số ós không phải luôn bằng đơn vị. Tỷ số này phụ thuộc vào bước sóng tín hiệu và đã được quan sát bởi thực nghiệm trên laser sợi pha tạp Erbium [16]. Tỷ số ó s là một thông số quan trọng và có thể nhận một giá trị dương tuỳ ý.
Trong trường hợp đặc biệt ós = 1 tương ứng với hệ thuần tuý ba mức, ós = 0 tương ứng với hệ thuần tuý bốn mức. Trong một số các laser thì các photon bơm cũng có thể bị hấp thụ từ mức 2 lên mức 4. Đây là cơ chế hấp thụ photon bơm từ trạng thái kích thích (gọi tắt là ESA: Pump excited state absorption). Trong thuỷ tinh pha tạp Er, mức 4 có thời gian sống rất ngắn và phân rã nhanh chóng xuống mức 2 thông qua bức xạ đa phonon.
Sự phân rã quay trở về mức 1 kèm theo sự bức xạ photon có bước sóng ngắn cũng có thể xảy ra nhưng rất yếu không đáng kể. Do đó ESA là nguyên nhân mất mát tổng cộng của các photon bơm nhưng hoàn toàn không làm suy giảm độ tích luỹ của mức laser trên. Do vậy trong quá trình tính toán đối với thuỷ tinh pha tạp Er chúng ta cũng phải tính đến ESA, tuy nhiên bỏ qua bức xạ từ mức 4 xuống mức 1 [9]. Các phƣơng trình tốc độ Khuếch đại quang của laser sợi do sự nghịch đảo độ tích luỹ có thể diễn tả toán học chính xác thông qua các phương trình tốc độ [11].
Các phương trình này mô tả mối quan hệ giữa mật độ photon bơm và photon tín hiệu vói đ ộ tích luỹ Ni tại mức năng lượng thứ i. Vói giả thiết thời gian sống ụ3, ụ4 của mức 3 và mức 4 nhỏ hơn rất nhiều so với thời gian sống ụ2 của mức 2 kéo theo độ tích luỹ N3 và N4 có thể bỏ qua trong độ tích luỹ toàn phần N0, tức là N0 ≈ N1+N2. Chúng ta có thể đưa ra một cách dễ dàng các phương trình tốc độ cho các biểu diễn với N1 và N2: (LUAN.NaNo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.NaNo N1 We 1 / 2 N0 Wa We 1 / 2 R13 N2 We R13 (1.1) N0 Wa We 1 / 2 R13 Trong đó R13, Wa và We là tốc độ chuyển dời như trên hình 1 và được định nghĩa R13 = ú pIp/hớp, Wa = ú aIs/hớs và We = úeIs/hớs trong đó úp là tiết diện hấp thụ hiệu dụng từ mức 1 lên mức 2 do GSA; hớp , hớs là năng lượng photon bơm và photon tín hiệu; Ip và Is là cường độ photon bơm và photon tín hiệu. Tất cả đều là hàm theo bán kính sợi và vị trí theo chiều dài sợi.
Hệ toạ độ được chọn là hệ toạ độ trụ (r, ,z) đặt theo trục của sợi vói z = 0 ứng với vị trí đầu sợi mà photon bơm bắt đầu đi vào. Trong hệ toạ độ này mật độ năng lượng chuẩn hoá của mode bơm pn(r, ) và mode tín hiệu s0 (r, ) là: p n (r , ) rn (r ) cos 2 (n ) s 0 (r , ) s 0 (r ) (1.2) Trong đó n là số nguyên mô tả số kiểu góc phương vị của nguồn bơm. Các mật độ mode này được chuẩn hoá theo nghĩa lấy tích phân theo bề mặt trên toàn bộ tiết diện hiệu dụng của sợi (từ r = 0 đến ∞) là bằng đơn vị. Các cường độ Is và Ip liên hệ với các mật độ mode này qua biểu thức: I p (r , , z ) Pp (0) p p (r , ) p( z ) I s (r , z ) Ps (0) s 0 (r ) s ( z ) (1.3) trong đó Pp(0) và Ps(0) là công suất bơm và công suất tín hiệu tại vị trí z = 0.
Có hai sự đóng góp làm thay đổi công suất bơm theo chiều dài sợi đó là GSA và ESA, chúng đều làm giảm số lượng photon bơm. Do đó sự biến đổi của Ip(r, ,z) biểu diễn qua công thức: 2 2 dI p / r dr d ( p N1 p N 2 ) I p r dr d (1.NaNo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.NaNo ở đó ú’p là tiết diện hiệu dụng của ESA. Tương tự ta có sự thay đổi của cường độ tín hiệu Is(r,z) chịu ảnh hưởng bởi bức xạ từ mức 2 xuống mức 1 và hấp thụ từ mức 1 lên mức 2 là: 2 2 dI s r dr d ( e N2 a N1 ) I s r dr d (1.4b) 0 0 dz 0 0 Chúng ta sẽ giải các phương trình này để đánh giá kết quả đối với tín hiệu nhỏ và tìm hệ số khuếch đại g0 = ln[s(l)] với l là chiều dài sợi. Tín hiệu nhỏ có ý nghĩa trong trường hợp khuếch đại thấp với tín hiệu vào nhỏ hoặc quá trình dao động của laser sợi tại ngưỡng phát.
Do vậy chúng ta giả sử có thể bỏ qua cường độ tín hiệu (nghĩa là Wa = We = 0). Điều kiện này được áp dụng khi cường độ tín hiệu nhỏ hơn rất nhiều so với cường độ bão hoà h s/ e 2 tại mọi điểm trong sợi. Thế phương trình (1.4a) và sử dụng điều kiện chuẩn hoá của pn (r, ) trên tiết diện cắt của sợi dẫn đến phương trình vi phân sau cho p(z): a2 dp 1 ' p( z ) p n (r , ) A p N 0 P( z ) p n (r , ) r dr d (1. Các thông số bão hoà và ’ được cho bởi: p 2 Pp (0) 'p 2 Pp (0) và ' (1.6) h p A h p A Sau khi lấy tích phân theo , phương trình (1.5) viết lại dưới dạng: a dp 2 p p p p( z ) p (1 p) Bn (r , z )r dr (1.7) dz A0 trong đó = ’p/ p và Bn(r,z) được định nghĩa: 1 Bn ( r , z ) 1 với n = 0 1 Ap ( z )rn (r ) 1 1 với n > 0 (1.NaNo TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.NaNo và p = p N0 là hệ số hấp thụ sóng phẳng của vật liệu làm lõi sợi tại bước sóng p; p là năng lượng bơm vi phân chứa trong lõi sợi: a2 a p p n (r , )r dr d en rn (r )r dr (1.9) 0 0 0 trong đó en = 2 khi n = 0 và en = 1 khi n > 0.
Như vậy chúng ta đã xây dựng được biểu thức sự thay đổi của nguồn bơm khi đi trong sợi với tín hiệu nhỏ. Tiếp theo chúng ta xây dựng biểu thức của hệ số khuếch đại trong trường hợp tín hiệu nhỏ. Tương tự cách biến đổi như trên, phương trình (1.4b) có dạng tương tự đối với trường hợp công suất tín hiệu: a2 ds s p( z ) p n (r , ) A e N 0 s( z ) s 0 (r ) r dr d (1.11) dz 0 trong đó s là năng lượng tín hiệu vi phân chứa trong lõi sợi: a s 2 s0 (r )r dr (1.12) 0 Số hạng đầu tiên trong phương trình (1.11) biểu diễn sự phân bố của tín hiệu GSA, được đặc trưng bởi hệ số hấp thụ a s và tỷ lệ với phần công suất tín hiệu giam giữ trong vùng lõi sợi. Số hạng thứ hai biễu diễn sự khuếch đại tỷ lệ với (1 + s) và phần xen phủ theo bán kính.