Đại học Thái Nguyên - Nghiên cứu hàm đa điều hòa dưới điều kiện nhất định

Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới trên Ω, ký hiệu u ∈ PSH(Ω). Điều này có nghĩa là u nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng -∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω. Với mọi a ∈ Ω và v ∈ C^n (viết là v ∈ C^*, hàm u(a + bv) là điều hòa dưới hoặc -∞ trên mọi thành phần liên thông của {ζ ∈ C : a + bv ∈ Ω}. Hàm nửa liên tục trên đóng vai trò quan trọng trong định nghĩa này. Điều kiện u(a + bv) là điều hòa dưới đảm bảo tính chất quan trọng của hàm đa điều hòa dưới. Khái niệm thành phần liên thông giúp mở rộng định nghĩa cho các miền phức tạp. Tính chất nửa liên tục trên được sử dụng để đảm bảo sự tồn tại của giá trị lớn nhất.

Nếu u, v ∈ PSH(Ω) thì u + v ∈ PSH(Ω) và nếu λ ≥ 0 thì λu ∈ PSH(Ω). Điều này có nghĩa là PSH(Ω) là một nón siêu lồi. Tính chất này cho phép xây dựng các hàm đa điều hòa dưới phức tạp từ các hàm đơn giản. Nếu uj ∈ PSH(Ω) là dãy giảm thì hàm lim uj hoặc là hàm đa điều hòa dưới trên Ω hoặc bằng -∞. Tính chất này hữu ích trong việc nghiên cứu sự hội tụ của các dãy hàm. Nếu uI ∈ PSH(Ω) sao cho u = sup uI bị chặn địa phương, thì chính quy hóa nửa liên tục trên u^* ∈ PSH(Ω). Tính chất bị chặn địa phương là quan trọng để đảm bảo tính chính quy hóa.

Toán tử Monge-Ampère phức được xây dựng bằng cách sử dụng tích phân từng phần và các tính chất của dạng vi phân. Ta cần định nghĩa các khái niệm cơ bản như dạng vi phân và dòng. Việc định nghĩa toán tử này đòi hỏi sự cẩn thận trong việc xử lý các kỳ dị. Dùng biểu thức d(d^c T) để định nghĩa các phép toán. d^(c) T dùng để chỉ các dằng buộc trên T. Công thức Stokes được sử dụng để chứng minh các tính chất của toán tử. Công thức i∂ ∂ u ∧ Ω^(n-1) , ta có thể chứng minh được một số tính chất quan trọng. Việc xây dựng toán tử Monge-Ampère phức là một quá trình phức tạp nhưng cần thiết.

Nếu T là dòng dương bậc (q, q) trên tập mở Ω và u ∈ PSH(Ω) ∩ L_loc^1(Ω) thì uT là dòng (q, q) với hệ số độ đo. Các tính chất quan trọng của toán tử Monge-Ampère phức. Toán tử luôn cho kết quả dương. Dòng dương T cần có bậc q,q. Việc chứng minh tính dương và đóng đòi hỏi sử dụng các kỹ thuật tinh vi. Tính chất này quan trọng trong việc nghiên cứu các giải pháp của phương trình Monge-Ampère phức. PSH(Ω) được sử dụng để đảm bảo các tính chất cần thiết của hàm u.

Giá trị biên của hàm có thể ảnh hưởng đến tính duy nhất của hàm. Việc xác định các điều kiện biên phù hợp là rất quan trọng. Nếu hai hàm đa điều hòa dưới có cùng giá trị biên thì chúng có thể bằng nhau. Các điều kiện về đạo hàm biên cũng có thể đảm bảo tính duy nhất. Tính duy nhất có thể được đảm bảo nếu giá trị hàm tại biên xác định. Việc nghiên cứu các điều kiện biên khác nhau là một hướng nghiên cứu quan trọng.

Miền siêu lồi có các tính chất đặc biệt ảnh hưởng đến tính duy nhất của hàm. Nếu miền là siêu lồi thì các điều kiện cho tính duy nhất có thể được nới lỏng. Miền siêu lồi hỗ trợ rất nhiều cho việc xét các hàm duy nhất. Tính chất lồi của miền có liên quan đến tính duy nhất của hàm. Các điều kiện cần thiết để làm cho một miền là siêu lồi. Nghiên cứu về các miền khác nhau và điều kiện đảm bảo tính duy nhất

Trong lý thuyết thế vị, hàm đa điều hòa dưới được sử dụng để nghiên cứu các thế năng. Trong hình học Kähler, hàm được sử dụng để xây dựng các metric Kähler. metric Kähler cho phép xây dựng các công thức hình học phức tạp. Việc sử dụng các công cụ giải tích để hỗ trợ cho các bài toán hình học. Hàm cho phép xét các thuộc tính hàm khác nhau

Bài toán Dirichlet là một bài toán biên quan trọng trong giải tích. Bài toán Dirichlet xét đến các giá trị tại biên. Hàm có thể được sử dụng để tìm nghiệm của bài toán Dirichlet. Nghiệm của bài toán Dirichlet có tính duy nhất. Ứng dụng thực tiễn và những đặc điểm đáng chú ý.