Chương 1]) Cho Xo,X va X; la ba khong gian Banach với Xụ và X\ là không gian phản xạ. Giả sử Xọ nhúng compact trong X và X nhúng liên tục trong X\. Với 1 < p,q < +, ta dat: W ={u € LP(0,T3Xo) |. Khi đó W nhúng compact trong LP(0,T;X).
Ta nhắc lại một điều kiện đủ cho sự hội tụ yếu trong LP (©). Giá sứ © là một miễn bị chặn trong Ri x R, và mot day {ga} cho trước, gạ € L1(Q),1 < ạ< œ. Giả sử rằng Iulia) SC với € là hằng số dương, #n — 8 (n —> ©) hậu khắp nơi trong © và g € L4(O). Cho X là không gian Banach thực.
Ta nói dãy {u¿}‡—¡ C X hội tụ yếu đến w nếu (#*,w;¿) > (u*,u) với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn ue € X*. Một dãy {ƒ„} trong X* gọi là hdi tu * - yéu tdi ƒ€X' nếu với mọi w € X ta có (w, ƒ›— ƒ) —> 0 khi „ —> œ. Do với không gian phản xạ X ta có X = (X*)” nên sự hội tụ « - yếu trùng với sự hội tụ yếu.3 Lí thuyết tập hút đều Trong mục này, để thuận tiện cho việc theo dõi các chương sau, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về lí thuyết tập đều. Khái niệm tập hút đều được đề xuất đầu tiên bởi A.
Haraux năm 1991 và sau đó được phát triển bởi V.1 Một số khái niệm trong lí thuyết tập hút đều Trước hết, ta định nghĩa về họ các quá trình như sau Định nghĩa 1. Cho > là một tập tham số, X,Y là hai không gian Banach. Một họ {Us(,%),t > 1,+ € R}, øơ € >, được gọi là một họ các quá trình từ X vào Y nếu với mỗi ø € Y, {Uø(,Z)} là một quá trình, tức là họ các ánh xạ phụ thuộc hai tham số {Us(.,2)} từ X vào Y thỏa mãn Uo(t,s)Uo(s,t) =Uo(t, 7), Vt>s>7,TER, Uo(t,T) = Id, 1a toán tử đồng nhất ,z € R, với > được gọi là không gian biểu trưng, ø € Y là một tham số. Kí hiệu 8(X) là họ các tập con bị chặn của X.
Tiếp theo, ta nhắc lại khái niệm về tập hấp thụ đều và tính compact tiệm cận đều của họ các quá trình: Định nghĩa 1. Một tập Bọ € 8(Y) được gọi là một (X,Y)-hấp thụ đều (đối với ø€>) của họ quá trình {Uø(,Z)}øey, nếu với bất kì z € lR và 8 € Ø(X), tồn tại Ty > T sao cho Ugex Uo(t, T)B C Bọ với mọi £ > T. Họ quá trình {Us(/,)}øe> được gọi là (X, Y)-compact tiệm cận đều (đối với ø € >) nếu với bất kì z € IR, bất kì 8 € ö(X), ta có {Uø,(fa, T)xn} compact tương đối trong Y, với {x„} C Ö, {f4} C [£,+e),f„ —> + và {ơøa} C Ð là tùy ý. Ngoài ra, ta quy ước: - Tập P C X được gọi là có tính chất hút đều (với z € IR) đối với quá trình {U(, z)} nếu, Ve > 0, một £-lân cận của P trong không gian E (kí hiệu @;(P)) là hấp thụ đều đối với quá trình này, tức là, với mọi tập 8 C Ö(#) tổn tại số h = h(e,P) sao cho U(,1)B C Ó;(P) Vi,1:t— + > h.
- Một quá trình có một tập hấp thụ đều compact được gọi là compact đều; một quá trình có tính chất hút đều compact được gọi là compact tiệm cận đều. Bây giờ ta xét định nghĩa tập hút đều: Định nghĩa 1. Một tập con .Áz C Y được gọi là (X,Y)-hút đều đối với họ quá trình {Us(,#)}øex nếu (1) Ay 1a compact trong Y; (2) véi bat ki t € R va B € B(X) tacd lim (sup (disty (Ug (t, T)B, As)) = 3® Ger với đisfz(-,-) là kí hiệu của nửa khoảng cách trong không gian Banach E, distg(A,B) = sup int lÌx — yl|r: xeA 3 (3) nếu .1y là tập con đóng của Y thỏa mãn (2), khi dé Ay C A's. Với một tập B € 8(X) tùy ý, tập @-giới hạn đều (đôi với ø € >) (với gốc trong 7) đối với họ quá trình {Uø(,z)}, ø € Ð là tập hợp LU Uvols, no (1.
Nhân K của quá trình {U(,Z)} tác động lên X gồm tắt cả các quỹ đạo đủ bị chặn của quá trình đó: K = {u(-)|U(t,t)u(t) = u(t), dist(u(t),u(0)) < C,,Vt > t,t € R}. Tap K(s) = {u(s)|u(-) € K} duge goi là phần nhân tại thời diém t = s voi s E R. Ta sé giải thích rõ hơn về ý tưởng cách tiếp cận khi thay vì chỉ xét bài toán nguyên bản có dạng đu = F(u), (1.2) ta xét phương trình du a Fa (8): 03) với không gian biểu trưng ?(Øo), ở đó øo(/) gồm tất cả các phần phụ thuộc thời gian của hệ và được gọi là biéu trung cia hé. Chang han, néu F(t,u) = F(u) + f(t) thi v(t) = f(t).
Ta có thể thấy rằng, phương trình nếu tổn tại tập hút .4 thì A gdm tat cả các quỹ đạo đầy đủ, bị chặn (hay LJ,-„() C. Khi đó, vẫn tồn tại những điểm trong ⁄4 mà không thuộc quỹ đạo đầy đủ, bị chặn nào của phương trình {1. Ta chứng minh được rằng những điểm này thuộc vào quỹ đạo đầy đủ, bị chặn của bài toán gần kể với phương trình {1. Vậy để nghiên cứu đầy đủ cấu trúc tập hút của bài toán với phương trình ta nghiên cứu bài toán thay thế phương trình (1.3), với không gian biểu trưng tương ứng.2 Định lí về sự tồn tại và câu trúc tập hút đều Trước khi phát biểu Định li về sự tồn tại và cấy trúc của tập hút đều, ta xét Mệnh dé sau: Mệnh đề 1.
Giả sử họ các quá trình {Ug(t,T),t > +, + CTR, ø € Y} có tính chất hút đêu (đối với G) compaet, nghĩa là, có một tập con compact K của Y sao cho lim supdist(Uø(r,7)B,K)=0, với mọi BC X bị chặn. >+© oct Khi đó với bắt kì t € IR và bắt kì B € B(X), @>(B) xác định như trong Định nghĩa 1. Nếu E là đóng và lim supdist(Us(,+)B,E) =0, 141° Gey thì @;x(B) C E. 20 CHƯƠNG 2 TẬP HÚT ĐỀU CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT CHỨA NHỚ Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu phương trình Navier-Stokes-Voigt chứa nhớ trong trường hợp thiếu độ nhớt động học.
Dưới các giả thiết thích hợp của nhân nhớ và ngoại lực, chúng tôi chứng minh sự tổn tại của tập hút đều với mỗi £ cố định.1 Đặt bài toán Cho © là miền bị chặn trong không gian IRỶ với biên Ø© trơn và œ > 0, ổ, 8 > 0 là các hằng số cho trước. Chúng ta nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt chứa nhớ và ngoại lực đao động kì dị dang tắt dần Ekman, với vectơ vận tốc = u(x,t), ham dp suat p = p(x,t) chwa biết. 21 Cùng với hệ phương trình (2.1), chúng ta nghiên cứu hệ O,(u— aAu) — fy K(s)Au(t—s)ds+ Bu +(u-V)ut+ Vp = fo(x,t), div u=0, xEQt>T, u(x,t) =0, x€0Q,t>T, u(x, 7) = uz(x), xEQ, u(X,— 8) = q;(x,s), xeO,s>0, không có ngoại lực dao động kì dị, tức là tương ứng với trường hợp € = 0 trong (2. Ở đây sự tiêu hao năng lượng không chỉ liên quan đến vận tốc tức thời mà liên quan đến lịch sử quá khứ của vận tốc và điều này làm cho sự tiêu hao yếu hơn.
Để nghiên cứu bài toán trên, ta đưa ra một số giả thiết đối với nhân nhớ và ngoại lực dao động như sau: (H1) Ta định nghĩa, (s) = — K/(s), # là hàm không âm, liên tục tuyệt đối, giảm (do đó w” < 0 hầu khắp nơi), và khả tổng trên IRT với | L(s)ds = 1. Hơn nữa, ta giả thiết Hf(s)+ðm(s) <0 (2.2) với ổ > 0 và với hầu khắp s > 0./lỨ2:=sup | ||ily)|P?dy = Mi <@.3) b teR/t Một kết quả được suy ra tit (2.3) 1a: t+1 2 (+l)/£ 2 £ IUAG/94=£/,— l0)242<e(+1/6)M<2MI, Vì vậy I/i/£)ll; <2MI, Ve € (0. 2 Do đó, I/*lữy < 2U; +2e ?P|A(-/e)l#; <2Mo+4MIe 29. Với ƒ° là hàm bị chặn tịnh tiến trong không gian 1ƒ (R;1”(©)), ta kí hiệu ?(„(ƒ°) loc là bao déng ctia tap { fe(- +r)|r € Q} trong L?, (IR; L?(Q)) vi topd yéu.
Chu ¥ rang, loc như trong [8| Chương 5, Mệnh đề 4.2], ta c6: V6i moi o € Hy(f*) va véi bất kì số dương cố định nào e, thì IIøllj; < IL/°lb;: (2.4) Trong chương này, ta thường kí hiệu C > 0 là hằng số và Q(-) :R+ > R* 1a mét ham tăng. Ta sẽ sử dụng không gian Hilbert (H, (-, -), || - ||) xác định bởi H=t{uec [1?(G)} : đìv —=0,w-nlạo = 0}, trong đó n là vectơ pháp tuyến ngoài tới Ø©, và không gian Hilbert V = {we [H4(Q)P : div u = 0}, với tích vô hướng và chuẩn (w,v)¡ = (Vu, Vy) and ||u||¡ = ||Ya||. Ta kí hiệu V’ là không gian đối ngẫu của không gian V. Ta cũng xét không gian W =Vn|[H?(9)}.
Dé thấy A là toán tử tự liên kết xác định dương với nghịch đảo compact (xem [25)). Vì vậy, ta có thể xác định các không gian Hilbert V'=PD(A?), re, với tích vô hướng và chuẩn tương ứng (,y); = (AŸu,AŸv) và fully = [IA Su. 23 Đặc biệt, V'=V', V°=H, vi=v, We=w. Ta nhắc lại một số kết quả cổ điển về toán tử (xem trong [[19]}): Cho ? là một dạng tam tuyến tính trên V x V x V xác định bởi 3.
Ta xét dạng song tuyến tính tương ứng 8: V x V —› V7 xác định bởi (B(u,v). Ta xét các không gian L? cé trong nhu sau M = L7,(R*;V) va = L2(R*;W) với chuẩn Inrliu= Ệ wi9lInl6)lfds and intl, = f° w(s)|In') Bas: Ta định nghĩa khong gian Hilbert H=VxMvaH,; =WxM, với chuẩn (usm!) Be = ale a? lin lầu và usm) Be = een 3 + la + Xét hệ như là một hệ động lực không ô-tô-nôm (tức ngoại lực phụ thuộc tường minh vào thời gian) với không gian pha thích hợp. Tương tự như Dafermos [10], ; > 0, ta đổi biến Chú ý rằng, rị' thỏa mãn điều kiện biên Trị“ (0) := lim n'(s)=Ova an! (x,8) = —dsn' (x, 8) + u(x,t). Ta định nghĩa nghiệm yếu của bài toán biên ban đầu của (2.6) như sau: Định nghĩa 2.¥), trong đó rị thỏa mãn điều kiện Ss fu(t—r)dr, 0<s<t, n'(s)=4° t TỊ ¬“.
Bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin (phương pháp compact), ta nhận được các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán (2. Giả sử các điều kiện (H1)-(H2) thoả mãn. Khi đó, với mỗi (uạ, rỊ*) € ?( và Ø €?(„(ƒ°) xác định, bài toán (2. Hơn nữa, nghiệm yếu phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu trên 1(.2|cho phép ta xác định một họ các quá trình liên tục {Uø(f,#)}øc#„(/°) như sau Uo(t,t): HH, trong đó Ug (t, T)zr la nghiém duy nhat của bài toán {2.