Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của phương trình Navier-Stokes-Voigt chứa nhớ và ngoại lực dao động

• Tác giả: Cung The Anh
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Dương Toàn
• Trường học: Trường Đại học Hải Phòng
• Chuyên ngành: Toán học
• Đề tài: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình Navier-Stokes-Voigt chứa nhớ và ngoại lực dao động
• Loại tài liệu: báo cáo tổng kết đề tài nghiên cứu khoa học cấp trường
• Năm xuất bản: 2020 - 2021
• Địa điểm: Hải Phòng

• MỞ ĐẦU
• 0.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài
• 0.2. Tính cấp thiết của đề tài
• 0.3. Mục tiêu nghiên cứu
• 0.4. Cách tiếp cận - Phương pháp nghiên cứu
• 0.5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• 0.6. Nội dung nghiên cứu
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số khái niệm và không gian hàm cơ bản
• 1.1.1. Đạo hàm suy rộng
• 1.1.2. Không gian Sobolev
• 1.1.3. Các không gian hàm phụ thuộc vào thời gian
• 1.2. Một số bất đẳng thức và định lý cơ bản
• 1.2.1. Một số bất đẳng thức thường dùng
• 1.2.2. Một số định nghĩa và định lý
• 1.3. Lí thuyết tập hút đều
• 1.3.1. Một số khái niệm trong lí thuyết tập hút đều
• 2. CHƯƠNG 2: TẬP HÚT ĐỀU CỦA LỚP PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT CHỨA NHỚ
• 2.1. Đặt bài toán
• 2.2. Sự tồn tại tập hấp thụ đều
• 2.3. Tính compact tiệm cận đều
• 2.4. Sự tồn tại tập hút đều
• 3. CHƯƠNG 3: TÍNH BỊ CHẶN ĐỀU VÀ SỰ HỘI TỤ CỦA TẬP HÚT ĐỀU TRONG TRƯỜNG HỢP NGOẠI LỰC DAO ĐỘNG
• 3.1. Tính bị chặn đều của tập hút đều
• 3.2. Sự hội tụ của các tập hút đều
• KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận phương trình Navier Stokes Voigt

Nghiên cứu này tập trung vào dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes-Voigt (NSV) trong không gian ba chiều, đặc biệt khi phương trình chứa nhớ và ngoại lực dao động. Phương trình NSV là một biến thể của phương trình Navier-Stokes, mô tả dòng chảy của chất lỏng nhớt không nén. Nghiên cứu này giải quyết vấn đề mở được đặt ra bởi R. Temam và cộng sự về dáng điệu tiệm cận nghiệm trong trường hợp thiếu độ nhớt động học. Kết quả chính bao gồm chứng minh sự tồn tại của tập hút đều và tính bị chặn đều của tập hút trong trường hợp ngoại lực dao động.

1.1. Mục tiêu và tính cấp thiết

Mục tiêu của nghiên cứu là khám phá dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình NSV ba chiều chứa nhớ và ngoại lực dao động. Tính cấp thiết của đề tài xuất phát từ việc các phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, đặc biệt là phương trình NSV, vẫn còn nhiều vấn đề mở. Nghiên cứu này đóng góp vào việc hoàn thiện lý thuyết về động lực học chất lỏng và các mô hình toán học liên quan.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sử dụng lý thuyết tập hút đều được phát triển bởi A. Haraux và V. Vishik. Các phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận và giải tích hiện đại được áp dụng để phân tích dáng điệu tiệm cận nghiệm. Đối tượng nghiên cứu là phương trình NSV ba chiều trong miền bị chặn, với nhớ và ngoại lực dao động.

II. Tập hút đều và tính bị chặn

Chương này tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại của tập hút đều đối với phương trình NSV chứa nhớ. Tập hút đều là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, giúp hiểu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian tiến đến vô cùng. Nghiên cứu cũng chứng minh tính bị chặn đều của tập hút khi ngoại lực dao động thay đổi theo tham số ε.

2.1. Sự tồn tại tập hút đều

Nghiên cứu chứng minh sự tồn tại của tập hút đều cho phương trình NSV ba chiều chứa nhớ. Tập hút đều là tập compact, bất biến và hút tất cả các quỹ đạo bị chặn của hệ. Kết quả này được áp dụng trong trường hợp ngoại lực dao động kì dị, một vấn đề mở được đề xuất trong các nghiên cứu trước đây.

2.2. Tính bị chặn đều và hội tụ

Khi ngoại lực dao động thay đổi theo tham số ε, nghiên cứu chứng minh tính bị chặn đều của tập hút đều. Hơn nữa, tập hút của phương trình NSV với ngoại lực dao động sẽ hội tụ về tập hút của phương trình NSV với ngoại lực thông thường khi ε tiến đến 0. Điều này cho thấy tính ổn định của mô hình trong trường hợp ngoại lực dao động.

III. Ứng dụng và ý nghĩa thực tiễn

Nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu và dự đoán dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực sinh bởi phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Kết quả nghiên cứu được công bố trên tạp chí khoa học quốc tế uy tín, góp phần nâng cao vị thế của trường Đại học Hải Phòng trong lĩnh vực nghiên cứu toán học.

3.1. Ứng dụng trong động lực học chất lỏng

Kết quả nghiên cứu có thể áp dụng trong động lực học chất lỏng, đặc biệt trong việc mô hình hóa dòng chảy của chất lỏng nhớt không nén. Mô hình Navier-Stokes-Voigt được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý phức tạp như dao động và tương tác ngoại lực.

3.2. Ý nghĩa trong nghiên cứu khoa học

Nghiên cứu này góp phần hoàn thiện lý thuyết về tập hút đều và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Đồng thời, nó mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc phân tích động lực học chất lỏng và các mô hình toán học liên quan.