I. Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận phương trình Navier Stokes Voigt
Nghiên cứu này tập trung vào dáng điệu tiệm cận của nghiệm phương trình Navier-Stokes-Voigt (NSV) trong không gian ba chiều, đặc biệt khi phương trình chứa nhớ và ngoại lực dao động. Phương trình NSV là một biến thể của phương trình Navier-Stokes, mô tả dòng chảy của chất lỏng nhớt không nén. Nghiên cứu này giải quyết vấn đề mở được đặt ra bởi R. Temam và cộng sự về dáng điệu tiệm cận nghiệm trong trường hợp thiếu độ nhớt động học. Kết quả chính bao gồm chứng minh sự tồn tại của tập hút đều và tính bị chặn đều của tập hút trong trường hợp ngoại lực dao động.
1.1. Mục tiêu và tính cấp thiết
Mục tiêu của nghiên cứu là khám phá dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình NSV ba chiều chứa nhớ và ngoại lực dao động. Tính cấp thiết của đề tài xuất phát từ việc các phương trình vi phân đạo hàm riêng phi tuyến, đặc biệt là phương trình NSV, vẫn còn nhiều vấn đề mở. Nghiên cứu này đóng góp vào việc hoàn thiện lý thuyết về động lực học chất lỏng và các mô hình toán học liên quan.
1.2. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng lý thuyết tập hút đều được phát triển bởi A. Haraux và V. Vishik. Các phương pháp đánh giá tiên nghiệm tiệm cận và giải tích hiện đại được áp dụng để phân tích dáng điệu tiệm cận nghiệm. Đối tượng nghiên cứu là phương trình NSV ba chiều trong miền bị chặn, với nhớ và ngoại lực dao động.
II. Tập hút đều và tính bị chặn
Chương này tập trung vào việc chứng minh sự tồn tại của tập hút đều đối với phương trình NSV chứa nhớ. Tập hút đều là một khái niệm quan trọng trong lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, giúp hiểu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian tiến đến vô cùng. Nghiên cứu cũng chứng minh tính bị chặn đều của tập hút khi ngoại lực dao động thay đổi theo tham số ε.
2.1. Sự tồn tại tập hút đều
Nghiên cứu chứng minh sự tồn tại của tập hút đều cho phương trình NSV ba chiều chứa nhớ. Tập hút đều là tập compact, bất biến và hút tất cả các quỹ đạo bị chặn của hệ. Kết quả này được áp dụng trong trường hợp ngoại lực dao động kì dị, một vấn đề mở được đề xuất trong các nghiên cứu trước đây.
2.2. Tính bị chặn đều và hội tụ
Khi ngoại lực dao động thay đổi theo tham số ε, nghiên cứu chứng minh tính bị chặn đều của tập hút đều. Hơn nữa, tập hút của phương trình NSV với ngoại lực dao động sẽ hội tụ về tập hút của phương trình NSV với ngoại lực thông thường khi ε tiến đến 0. Điều này cho thấy tính ổn định của mô hình trong trường hợp ngoại lực dao động.
III. Ứng dụng và ý nghĩa thực tiễn
Nghiên cứu này có ý nghĩa quan trọng trong việc hiểu và dự đoán dáng điệu tiệm cận của các hệ động lực sinh bởi phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Kết quả nghiên cứu được công bố trên tạp chí khoa học quốc tế uy tín, góp phần nâng cao vị thế của trường Đại học Hải Phòng trong lĩnh vực nghiên cứu toán học.
3.1. Ứng dụng trong động lực học chất lỏng
Kết quả nghiên cứu có thể áp dụng trong động lực học chất lỏng, đặc biệt trong việc mô hình hóa dòng chảy của chất lỏng nhớt không nén. Mô hình Navier-Stokes-Voigt được sử dụng để nghiên cứu các hiện tượng vật lý phức tạp như dao động và tương tác ngoại lực.
3.2. Ý nghĩa trong nghiên cứu khoa học
Nghiên cứu này góp phần hoàn thiện lý thuyết về tập hút đều và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Đồng thời, nó mở ra hướng nghiên cứu mới trong việc phân tích động lực học chất lỏng và các mô hình toán học liên quan.
