CHƯƠNG 1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG CON LẮC NGƯỢC Việc xây dựng mô hình cơ học là điều kiện cần thiết để điều khiển dựa trên mô hình. Trong chương này trình bày việc thiết lập phương trình vi phân chuyển động của mô hình con lắc ngược.1 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động Khi gắn con lắc trên vào một xe đẩy với lực điều khiển theo phương ngang, ta tìm điều kiện của lực điều khiển để vị trí cân bằng tại gốc tọa độ từ không ổn định trở nên ổn định với điều kiện thêm lực vào là tối ưu về năng lượng điều khiển. u(t) Hình 1-1: Mô hình con lắc ngược Hệ xe cần trục có dạng như trên Hình 1-1 Luan van 4 Các thông số của mô hình gồm: m0 : Khối lượng của xe m : Khối lượng của thanh l : Chiều dài của thanh I : Mô men quán tính đối với tâm của thanh : Là góc hợp bởi thanh với mặt phẳng thắng đứng u (t ) : Lực điều khiển lc : là khoảng cách từ O đến trọng tâm C của thanh Tính động năng của hệ T T1 T2 (1.1) Trong đó T1 là động năng của xe 1 T1 m 0 x2 (1.2) 2 T2 là động năng của thanh 1 1 T2 mv c2 I 2 (1.3) 2 2 Ở đây ta có xc x lc sin x x lc cos c yc lc cos yc lc sin vc2 xc2 y c 2 2lc2 x22x l c cos Do đó Luan van 5 1 1 2 T2 m 2l c2 x2 2x c cos I l 2 2 1 1 mx2 mlc2 I 2 mlc x cos 2 2 Từ đó ta có động năng của hệ T T1 T2 1 1 (1.4) x2 mlc2 m0 m 2 ml I c x cos 2 2 Thế năng của hệ mglc cos (1.5) Tính các đạo hàm T m0 m x mlccos x T ml2c I mlc xcos d T m0 m xmlc cos mlc 2 sin dt x T ml2c I mlc x cos mlc x sin T T 0; sin mlc x x 0; mgl c sin x Q *x u (t ) Q*1 0 Luan van 6 Từ đó thay các đạo hàm tính được trên vào phương trình Lagrange loại II d T T * Qi dt qi qi q1 1 q Ta có phương trình vi phân chuyển động của hệ m0 m xmlc cos mlc 2 u (t ) sin (1.6) mlc2 I mlc cosx mlc gsin 1.2 Biến đổi phương trình chuyển động về phương trình trạng thái Đầu tiên ta xét hệ phương trình (1.6) m0 m xmlc cos mlc 2 u (t ) sin mlc2 I mlc cosx mlc gsin Giải hệ này ta có m0 m mlc cos mlc cos mlc2 I m0 mlc2 m I m2lc2 cos 2 u( t) mlc2 sin mlc cos 1 mlc gsin mlc2 I u( t) mlc 2 sin mlc2 I 2lc2 gsin cos m m m u(t) mlc 2 sin 2 0 mlc cos mlc g sin c gsin mlc cos u (t ) m0 m ml 2 sin mlc Từ đó tính được: Luan van 7 1 u( t) mlc sin lc gsin cos 2 mlc2 I m 2 2 x m0 m mlc I m lc cos 2 2 2 2 c g sin mlc cos u( t) mlc 2 m0 m ml 2 sin m0 m mlc2 I m2lc2 cos2 , x4 Đưa về phương trình trạng thái ta đặt các biến như sau x1 x, x2 x, x 3 x u (t ) ml x sinx 2 c 4 ml I 3 l gsinx cosx m 2 c 2 2 c 3 3 2 m m ml I m l cos x 0 2 c 2 2 c 2 3 m m ml 0 gsinx ml cosx u(t ) ml x sinx c 3 c 3 2 c 4 3 x 4 m m ml I m l cos x 0 2 c 2 2 c 2 3 Mặt khác ta lại có x 1 x 2 , x 3 x 4 Từ đó ta có phương trình trạng thái của hệ x 1 x2 x u (t ) ml x sinx 2 c 4 ml I 3 m l gsinx cosx 2 c 2 2 c 3 3 2 m m ml I m l cos x 0 2 c 2 2 c 2 3 (1.7) x 3 x4 mlc gsinx 3 mlc cosx 3 u (t ) m0 m mlc x42 sinx 3 x 4 m0 m mlc2 I m2 lc2 cos2 x3 Hay viết dưới dạng xf ( x, u ) Trong đó : Luan van 8 x=[x 1,x 2,x 3,x 4 ] T x2 u (t ) mlc x4 sinx3 2 lc2 gsinx3 cosx3 2 mlc2 I m m0 m mlc2 I m 2lc2 cos 2 x 3 f x 4 m0 m ml c gsinx 3 mlc cosx 3 u (t ) ml c x 24 sinx 3 m0 m mlc2 I m 2lc2 cos 2 x 3 1.3 Vị trí cân bằng của hệ Điểm cân bằng của hệ được xác định từ hệ phương trình x f( x, 0) 0 Hay x2 0 u (t ) ml x sin x 2 c 4 ml I 3 m l gsin x cos x 0 2 c 2 2 c 3 3 m m 0 ml I m l cos x c 2 2 2 c 2 3 x 4 0 mlc gsin x3 mlc cos x3 u (t ) mlc x42 sin x3 m0 m 0 m0 m mlc2 I m 2lc2 cos2 x3 Từ đó ta dễ dàng tính được x2 0 sin x3 cos x3 0 x4 0 sin x3 0 Hệ trên có hai tập nghiệm là { x1 tùy ý; x2 0; x 3 0; x4 0 } và { x1 tùy ý; x 2 0; x 3 ; x 4 0 } Luan van 9 Từ đó ta có hai tập điểm cân bằng cua hệ là: x , x, 1, 1 *,0,0,0 và x, x 1 , 1, *,0, ,0 CHƯƠNG 2 ĐIỀU KHIỂN CON LẮC NGƯỢC BẰNG PHƯƠNG PHÁP LQR Phương pháp điều khiển LQR ( linear-quadratic regulator ) là một áp dụng của nguyên lý cực đại Pontryagin để điều khiển tối ưu các hệ tuyến tính [9,11]. Trong phần này sử dụng các kết quả đã trình bày trong [11] để điều khiển vị trí cân bằng thẳng đứng của con lắc ngược.1 Điều khiển ổn định của điểm cân bằng không ổn định x , x, 1, 1 *,0,0,0 Ta nhận thấy rằng điểm cân bằng x , x, 1 , 1 *,0,0,0 là không ổn định.
Thực vậy để xem xét tính không ổn định của điểm cân bằng x, x, 1 , 1 *,0,0,0 ta làm như sau: Thực hiện tuyến tính hóa hệ quanh điểm cân bằng về dạng x= Ax + Bu trong đó f A x 0,0 Luan van 10 0 1 0 0 0 gl 2c m2 0 0 mlc2 I lc2m 2 m0 m A 0 0 0 1 0 gl cm m0 m 0 0 mlc2 I lc2m 2 m0 m 0 mlc2 I B f 0 m m c c ml 2 I m2 2 l u 0,0 0 l cm m0 m ml c 2 I m 2 2 l c 0 1 0 0 0 0 a 0 Tổng quát như sau A 0 0 0 1 0 0 b 0 glc2 m2 glc mm0 m Trong đó a 0, b 0. mlc2 I lc2 m2 m0 m m0 m mlc2 I lc2m2 Để nghiên cứu tính ổn định ta tính các trị riêng của ma trận A , ta có: s 1 0 0 0 s a 0 s a 0 s 1 det( sI A) det s 0 s 1 s2 2 s ( s 2 b) 0 0 s 1 b s 0 b s 0 0 b s s 0 Do đó det( sI A ) 0 s 2 ( s 2 b) 0 s b. Ta thấy rằng ma trận có trị A s b riêng bên phải trục ảo, do đó điểm cân bằng là không ổn định. Luan van 11 Xét tính điều khiển được của hệ quanh vị trí cân bằng không ổn định x, x, 1, 1 *,0,0,0 Xét det(B | AB | A2 B | A3 B) 0 1 0 0 2 2 0 gl m 0 c 0 m0 m ml I lc2 m2 c 2 Với A 0 0 0 1 0 gl cm m0 m 0 0 m0 m mlc2 I lc2 m2 0 ml c2 I c c m 0 m ml 2 I m 2 2 l B 0 l cm m0 m c c ml 2 I m 2 2 l Bằng sự trợ giúp của matlab ta tính được g 2lc4m 4 det(B | AB | A 2B | A3B ) 0 m0mlc2 Im Im0 4 Do vậy ta có: rank (B | AB | A 2 B | A 3 B ) 4.
Áp dụng định lý Kalman1 ở chương 1 của [11] ta có hệ là điều khiển được trong lân cận điểm cân bằng. Với mô hình con lắc ngược gắn với xe như ở Mục 1. Vị trí cân bằng thẳng đứng không ổn định. Bài toán đặt ra, ta đặt thêm vào một lực nằm ngang u(t).
Thông qua hàm u(t) vị trí cân bằng thẳng đứng của hệ không ổn định trở nên ổn định. Hàm u(t) được chọn sao năng lượng tiêu hao là cực tiểu trong quá trình điều khiển con lắc ngược .