Nghiên cứu ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu hay nghiên cứu sự ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm dựa trên nội suy, khảo sát thực trạng, phân tích nguyên nhân, đề

• Tác giả: Lâm Văn Trì
• Người hướng dẫn: TS. Đặng Thị Oanh
• Trường học: Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Khoa học máy tính
• Đề tài: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm dựa trên nội suy hàm cơ sở bán kính
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
• 1.1. Bài toán nội suy
• 1.2. Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd
• 1.3. Nội suy với hàm cơ sở bán kính
• 1.4. Hàm xác định dương và ma trận xác định dương
• 1.5. Số gần đúng và sai số
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH XẤP XỈ ĐẠO HÀM DỰA VÀO HÀM RBF
• 3. CHƯƠNG 3: ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM ĐẾN ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA XẤP XỈ ĐẠO HÀM
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về nghiên cứu ảnh hưởng của bộ tâm nội suy

Nghiên cứu về bộ tâm nội suy là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, đặc biệt trong việc xấp xỉ đạo hàm. Việc lựa chọn bộ tâm phù hợp có thể ảnh hưởng lớn đến độ chính xác xấp xỉ của các hàm số. Nghiên cứu này sẽ tập trung vào việc phân tích các phương pháp nội suy và cách chúng tác động đến kết quả tính toán. Các hàm cơ sở bán kính (RBF) đã trở thành công cụ phổ biến trong việc giải quyết các bài toán này.

1.1. Khái niệm về bộ tâm nội suy và vai trò của nó

Bộ tâm nội suy là tập hợp các điểm được chọn để thực hiện nội suy. Sự phân bố của các tâm này ảnh hưởng trực tiếp đến độ chính xác xấp xỉ của đạo hàm. Việc lựa chọn bộ tâm không chỉ dựa vào số lượng mà còn vào vị trí của chúng trong không gian.

1.2. Tầm quan trọng của độ chính xác trong xấp xỉ đạo hàm

Độ chính xác trong xấp xỉ đạo hàm là yếu tố quyết định trong nhiều ứng dụng thực tiễn. Các sai số có thể phát sinh từ việc chọn bộ tâm không phù hợp, dẫn đến kết quả không chính xác. Nghiên cứu này sẽ chỉ ra các yếu tố ảnh hưởng đến độ chính xác và cách khắc phục.

II. Vấn đề và thách thức trong việc chọn bộ tâm nội suy

Việc chọn bộ tâm nội suy không phải là một nhiệm vụ đơn giản. Có nhiều yếu tố cần xem xét, bao gồm phương pháp nội suy và độ phân tán của dữ liệu. Các thách thức này có thể dẫn đến sai số lớn trong kết quả xấp xỉ. Nghiên cứu sẽ phân tích các vấn đề thường gặp và cách giải quyết chúng.

2.1. Các vấn đề thường gặp khi chọn bộ tâm

Một số vấn đề phổ biến bao gồm sự phân bố không đồng đều của các tâm và việc chọn số lượng tâm không phù hợp. Những vấn đề này có thể dẫn đến sai số trong xấp xỉ đạo hàm, ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả.

2.2. Thách thức trong việc tối ưu hóa bộ tâm nội suy

Tối ưu hóa bộ tâm nội suy là một thách thức lớn. Cần phải cân nhắc giữa số lượng tâm và độ chính xác của xấp xỉ. Nghiên cứu sẽ đề xuất các phương pháp để cải thiện việc chọn bộ tâm, nhằm giảm thiểu sai số.

III. Phương pháp nội suy và lựa chọn bộ tâm hiệu quả

Có nhiều phương pháp nội suy khác nhau, mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng. Nghiên cứu này sẽ tập trung vào các phương pháp nội suy phổ biến như hàm cơ sở bán kính (RBF) và cách chọn bộ tâm hiệu quả để đạt được độ chính xác cao nhất trong xấp xỉ đạo hàm.

3.1. Các phương pháp nội suy phổ biến

Các phương pháp nội suy như RBF, đa thức, và spline đều có ứng dụng riêng. Mỗi phương pháp có cách thức hoạt động khác nhau và ảnh hưởng đến độ chính xác của xấp xỉ. Nghiên cứu sẽ phân tích chi tiết từng phương pháp.

3.2. Tiêu chí lựa chọn bộ tâm nội suy

Việc lựa chọn bộ tâm cần dựa trên các tiêu chí như độ phân tán của dữ liệu và tính chất của hàm cần xấp xỉ. Nghiên cứu sẽ đề xuất các tiêu chí cụ thể để giúp người dùng chọn bộ tâm phù hợp.

IV. Ứng dụng thực tiễn của bộ tâm nội suy trong xấp xỉ đạo hàm

Bộ tâm nội suy có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, từ khoa học máy tính đến kỹ thuật. Nghiên cứu sẽ trình bày các ứng dụng cụ thể của bộ tâm nội suy trong việc xấp xỉ đạo hàm và các lĩnh vực liên quan.

4.1. Ứng dụng trong khoa học máy tính

Trong khoa học máy tính, bộ tâm nội suy được sử dụng để giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến tính toán số. Các ứng dụng này bao gồm mô phỏng và phân tích dữ liệu lớn.

4.2. Ứng dụng trong kỹ thuật và công nghệ

Trong kỹ thuật, bộ tâm nội suy giúp cải thiện độ chính xác của các mô hình tính toán. Các ứng dụng này có thể được tìm thấy trong thiết kế sản phẩm và phân tích hệ thống.

V. Kết luận và triển vọng tương lai của nghiên cứu

Nghiên cứu về ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác xấp xỉ đạo hàm mở ra nhiều hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo. Việc tối ưu hóa bộ tâm và cải thiện các phương pháp nội suy sẽ là những thách thức lớn trong tương lai.

5.1. Tóm tắt kết quả nghiên cứu

Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng việc chọn bộ tâm phù hợp có thể cải thiện đáng kể độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm. Các phương pháp nội suy cũng cần được tối ưu hóa để đạt được kết quả tốt nhất.

5.2. Triển vọng nghiên cứu trong tương lai

Nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc phát triển các thuật toán mới cho việc chọn bộ tâm và cải thiện các phương pháp nội suy. Điều này sẽ giúp nâng cao độ chính xác trong các ứng dụng thực tiễn.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Trong lĩnh vực tính toán khoa học và mô phỏng số trị, việc xấp xỉ đạo hàm đóng vai trò nền tảng để giải quyết các hệ phương trình vi phân phức tạp. Các nghiên cứu số trị chỉ ra rằng sai số tính toán của phương pháp lưới truyền thống có thể gia tăng hơn 35% khi giải bài toán trên các miền hình học phức tạp hoặc tập dữ liệu phi cấu trúc trong không gian 2 chiều trở lên. Để khắc phục triệt để nhược điểm này, kỹ thuật nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function - RBF) đã được phát triển như một phương pháp không lưới mạnh mẽ, cho phép chuyển đổi bài toán nhiều chiều phức tạp về dạng hàm khoảng cách một biến tiện lợi.

Tuy nhiên, độ chính xác và tính ổn định của phép xấp xỉ đạo hàm phụ thuộc trực tiếp vào cấu trúc phân bố của bộ tâm nội suy lân cận. Luận văn thạc sĩ chuyên ngành Khoa học máy tính thực hiện tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên năm 2016 đã tập trung giải quyết bài toán: Phân tích định lượng sự ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác xấp xỉ đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 và nghiệm phương trình Poisson trên không gian 2 chiều.

Mục tiêu cụ thể của công trình là khảo sát các tiêu chuẩn chọn tâm, tối ưu hóa số lượng điểm lân cận trong khoảng từ 5 đến 9 tâm, đồng thời kiểm soát số điều kiện ma trận dưới ngưỡng an toàn 10^12. Kết quả nghiên cứu mang lại ý nghĩa học thuật và thực tiễn sâu sắc, giúp giảm sai số trung bình bình phương (rms) từ 25% đến hơn 40% trên các tập dữ liệu phân tán mạnh, cung cấp giải pháp xấp xỉ vi phân tin cậy cho các mô hình mô phỏng cơ học, khí động lực học và xử lý ảnh số.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Cơ sở lý thuyết của luận văn được xây dựng vững chắc trên các trụ cột giải tích số và đại số tuyến tính hiện đại:

1. Định lý Mairhuber - Curtis: Chứng minh rằng trong không gian nhiều chiều với số chiều lớn hơn hoặc bằng 2, không tồn tại không gian Haar của các hàm liên tục độc lập với vị trí dữ liệu. Do đó, để giải quyết bài toán nội suy dữ liệu phân tán nhiều biến với nghiệm duy nhất, hệ hàm cơ sở bắt buộc phải phụ thuộc vào các tọa độ nút đo thực tế.
2. Lý thuyết hàm cơ sở bán kính và tính xác định dương: Ứng dụng các dạng hàm RBF phổ biến như Multiquadric, Inverse Multiquadric và Gaussian. Việc kết hợp tham số hình dạng delta dương giúp duy trì tính đối xứng xác định dương của ma trận nội suy, đảm bảo hệ phương trình tuyến tính tìm véc tơ trọng số luôn có nghiệm duy nhất.
3. Lý thuyết ma trận điều kiện xấu và lan truyền sai số: Phân tích sự mất ổn định của nghiệm hệ phương trình khi dữ liệu bị nhiễu thông qua số điều kiện cond(A) = ||A|| . ||A^(-1)||. Khi số điều kiện tăng cao vượt ngưỡng 10^12, ma trận rơi vào trạng thái điều kiện xấu, làm sai lệch kết quả xấp xỉ đạo hàm nghiêm trọng.

Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu kết hợp chặt chẽ giữa suy diễn giải tích toán học và thử nghiệm số trị mô phỏng:

• Cỡ mẫu và tập dữ liệu thử nghiệm: Khảo sát trên miền hình học 2 chiều với tập hợp hàng trăm điểm nút rời rạc phân bố theo hai kịch bản: phân bố tương đối đều và phân bố phân tán ngẫu nhiên. Dữ liệu thử nghiệm gồm 3 hàm mục tiêu u1, u2 và u3 có biên độ dao động từ êm dịu đến biến thiên phức tạp.
• Phương pháp chọn mẫu bộ tâm: Triển khai và so sánh hiệu năng của 4 tiêu chuẩn chọn tâm hỗ trợ gồm: Tiêu chuẩn láng giềng gần nhất (Nearest Neighbor), Tiêu chuẩn n điểm tự nhiên (Natural Points trên vành khuyên), Tiêu chuẩn 4 góc phần tư và Thuật toán chọn tâm góc đều (Equiangular). Cấu hình số tâm cục bộ k được khảo sát chi tiết với các mức 5, 6, 7, 8 và 9 điểm.
• Lý do lựa chọn phương pháp phân tích: Sử dụng thuật toán tìm kiếm nhị phân để tự động xác định tham số hình dạng an toàn lớn nhất, vừa tối ưu hóa độ chính xác vừa chặn số điều kiện ma trận dưới ngưỡng 10^12. Toàn bộ sai số được đo lường bằng chuẩn sai số trung bình bình phương (rms) trên toàn miền tính toán trong suốt quá trình nghiên cứu kéo dài 12 tháng, đảm bảo tính khách quan và khả năng tái lập của mô hình.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

Quá trình thử nghiệm số đã mang lại 3 phát hiện khoa học quan trọng:

1. Hiệu năng vượt trội của thuật toán góc đều trên dữ liệu phân tán: Khi tính xấp xỉ đạo hàm cho các hàm có độ dao động mạnh như u2 và u3, thuật toán góc đều giúp giảm sai số rms từ 25% đến 45% so với tiêu chuẩn láng giềng gần nhất. Sai số tuyệt đối của đạo hàm cấp 1 giảm mạnh từ mức 1.8x10^(-3) xuống còn 9.4x10^(-4).
2. Xác lập ngưỡng số lượng tâm tối ưu: Trong trường hợp phân bố điểm tương đối đồng đều, việc chọn số lượng tâm k nằm trong khoảng từ 6 đến 8 điểm (phân bố trên 2 hình vành khuyên lân cận) mang lại độ hội tụ tốt nhất. Việc tăng số tâm lên trên 12 điểm làm tăng chi phí tính toán lên gấp 2.4 lần nhưng không cải thiện độ chính xác do ma trận tiệm cận vùng điều kiện xấu.
3. Ứng dụng thành công trong giải phương trình vi phân Poisson: Khi áp dụng véc tơ trọng số RBF vào giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet, sai số trung bình bình phương toàn cục E đạt giá trị cực tiểu xấp xỉ 3.2x10^(-5) tại cấu hình k = 7 với hàm cơ sở Multiquadric, cải thiện độ chính xác hơn 30% so với cấu hình k = 5 cố định.

Thảo luận kết quả

Khi tổng hợp dữ liệu trên các bảng thống kê sai số rms và biểu đồ phân bố sai số không gian, nguyên nhân dẫn đến sự chênh lệch hiệu năng giữa các phương pháp chọn tâm được làm sáng tỏ. Tiêu chuẩn láng giềng gần nhất bộc lộ nhược điểm lớn khi các điểm phân tán bị dồn cục về một phía, tạo ra các góc kề nhau quá hẹp hoặc quá rộng, làm méo mó tính đối xứng của toán tử đạo hàm riêng theo trục tọa độ x và y. Biểu đồ trực quan hóa véc tơ trọng số cho thấy thuật toán góc đều phân bổ năng lượng xấp xỉ cân đối 360 độ xung quanh tâm tính toán, giúp triệt tiêu hiện tượng lệch hướng đạo hàm.

So sánh với các nghiên cứu kinh điển của Fornberg và các cộng sự, luận văn đã kiểm chứng tính đúng đắn của quy luật số điều kiện ma trận tỷ lệ thuận với tham số hình dạng. Đóng góp nổi bật của luận văn là đưa ra quy trình thực nghiệm cân bằng tối ưu giữa chất lượng hình học của bộ tâm và độ ổn định đại số, duy trì độ phức tạp thuật toán ở mức chấp nhận được là O(Nint . m^2).

Đề xuất và khuyến nghị

Dựa trên các kết quả lý thuyết và thực nghiệm, luận văn đưa ra 4 giải pháp và khuyến nghị hành động cụ thể:

1. Chuẩn hóa thuật toán chọn tâm góc đều trong các thư viện số trị: Các nhóm phát triển phần mềm mô phỏng kỹ thuật cần tích hợp thuật toán góc đều vào các module tiền xử lý dữ liệu không lưới, hướng tới mục tiêu giảm sai số xấp xỉ vi phân ít nhất 30% trong vòng 6 tháng triển khai.
2. Tự động hóa kiểm soát tham số hình dạng an toàn: Các kỹ sư giải thuật số cần áp dụng cơ chế tìm kiếm nhị phân để tự động điều chỉnh tham số delta cho từng cụm tâm cục bộ, giữ số điều kiện ma trận ổn định dưới ngưỡng 10^12 trong mọi bài toán mô phỏng thực tế.
3. Nâng cấp cấu trúc dữ liệu không gian bằng k-d tree: Các viện nghiên cứu khoa học máy tính cần thay thế phương pháp duyệt vét cạn bằng cấu trúc cây phân vùng không gian k-d tree khi tìm kiếm m điểm lân cận, nhằm hạ độ phức tạp tính toán từ O(m^2) xuống O(m log m), tiết kiệm hơn 50% thời gian xử lý dữ liệu lớn trong vòng 9 tháng.
4. Mở rộng ứng dụng trên các hệ phương trình đạo hàm riêng phi tuyến: Các phòng thí nghiệm cơ học tính toán tại các trường đại học kỹ thuật nên triển khai thử nghiệm bộ tâm RBF tối ưu cho phương trình Navier-Stokes và phương trình truyền nhiệt 2 chiều, phấn đấu nâng cao độ chính xác mô phỏng thêm 20% trong giai đoạn 12 tháng tiếp theo.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

Công trình luận văn là nguồn tài liệu học thuật giá trị cao cho 4 nhóm đối tượng trọng tâm:

1. Học viên cao học và nghiên cứu sinh ngành Khoa học máy tính, Toán tin ứng dụng: Tiếp cận tài liệu tổng quan toàn diện về phương pháp nội suy RBF, kỹ thuật xấp xỉ đạo hàm số và phương pháp chứng minh tính xác định dương của ma trận trong không gian đa chiều.
2. Kỹ sư phát triển phần mềm mô phỏng CAE và đồ họa kỹ thuật số: Khai thác trực tiếp các giải thuật xây dựng véc tơ trọng số RBF để phát triển các công cụ tính toán thủy khí động lực học hoặc tái tạo bề mặt vật thể 3 chiều từ đám mây điểm quét laser.
3. Nghiên cứu viên trong lĩnh vực Cơ học tính toán và Vật lý địa cầu: Ứng dụng giải pháp không lưới để giải các bài toán biên phức tạp, bài toán thấm và biến dạng vật liệu mà không phải chịu chi phí tạo lưới phần tử hữu hạn tốn kém.
4. Giảng viên và sinh viên đại học chuyên ngành Công nghệ thông tin: Sử dụng các ví dụ số trị, bảng sai số rms và thuật toán tìm kiếm nhị phân làm tài liệu giảng dạy, học tập chuyên đề Giải tích số nâng cao và Tính toán khoa học hiệu năng cao.

Câu hỏi thường gặp

Tại sao phương pháp nội suy RBF không phát huy tác dụng trong không gian 1 chiều?
Trong không gian 1 chiều, các phương pháp cổ điển như đa thức Lagrange hay Spline đã tạo thành không gian Haar hoàn chỉnh với độ phức tạp cực thấp. Phương pháp RBF đòi hỏi giải hệ ma trận phức tạp và tính toán tham số hình dạng nên chi phí tính toán cao mà không mang lại ưu thế vượt trội về độ chính xác.

Thuật toán chọn tâm góc đều giải quyết vấn đề gì trong xấp xỉ đạo hàm?
Khi dữ liệu phân bố phân tán, các điểm lân cận thường bị co cụm về một phía làm méo xấp xỉ vi phân. Thuật toán góc đều tối ưu hàm chi phí tổng bình phương các góc, đảm bảo các tia nối tâm phân bổ đều quanh 360 độ, giúp giảm sai số rms từ 25% đến 45%.

Làm thế nào để xác định tham số hình dạng an toàn cho ma trận nội suy?
Tham số hình dạng delta được lựa chọn ở giá trị lớn nhất thông qua phương pháp tìm kiếm nhị phân sao cho số điều kiện ma trận cond(A) không vượt quá 10^12. Ngưỡng này ngăn ngừa hiện tượng ma trận điều kiện xấu và đảm bảo tính ổn định của véc tơ trọng số.

Số lượng tâm cục bộ k được khuyến nghị là bao nhiêu để đạt độ chính xác tối ưu?
Trong không gian 2 chiều, cấu hình k từ 6 đến 8 điểm mang lại độ chính xác cao nhất. Chọn k dưới 5 điểm sẽ thiếu bậc tự do xấp xỉ, trong khi chọn k trên 12 điểm làm tăng số điều kiện ma trận và lãng phí hơn 50% tài nguyên tính toán.

Phương pháp RBF có thể thay thế hoàn toàn phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) không?
Phương pháp RBF là giải pháp bổ trợ xuất sắc cho FEM trên các miền biên biến dạng phức tạp nhờ loại bỏ khâu tạo lưới. Tuy nhiên, FEM vẫn duy trì lợi thế ma trận thưa cục bộ trên các bài toán quy mô lớn với hàng triệu nút lưới.

Kết luận

• Luận văn đã chứng minh định lượng sự ảnh hưởng quyết định của cấu trúc bộ tâm nội suy đến độ chính xác của phép xấp xỉ đạo hàm dựa trên hàm cơ sở bán kính RBF 2 chiều.
• Khẳng định tính ưu việt của thuật toán góc đều trên dữ liệu phân tán mạnh, giúp giảm sai số trung bình bình phương rms từ 25% đến 45% so với phương pháp láng giềng gần nhất.
• Xác định cấu hình số tâm cục bộ tối ưu k từ 6 đến 8 điểm, giúp cân bằng hoàn hảo giữa độ chính xác giải tích và khối lượng tính toán.
• Đề xuất thành công quy trình tìm kiếm nhị phân tham số hình dạng an toàn, khống chế số điều kiện ma trận dưới ngưỡng 10^12 và giải hiệu quả phương trình Poisson đạt sai số cực tiểu 3.2x10^(-5).
• Phân tích chi tiết độ phức tạp thuật toán O(Nint . m^2), đặt nền tảng vững chắc cho việc ứng dụng cây phân vùng không gian k-d tree trong tương lai.

Lộ trình nghiên cứu tiếp theo trong giai đoạn 12 đến 24 tháng tới cần tập trung mở rộng giải thuật sang không gian 3 chiều và song song hóa tính toán trên GPU. Quý độc giả, các nhà nghiên cứu và kỹ sư quan tâm có thể kết nối trực tiếp với tác giả hoặc liên hệ thư viện Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên để tiếp cận toàn văn công trình cùng bộ mã nguồn thử nghiệm chi tiết.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu Trên đây ta đã định nghĩa các loại sai số của một số gần đúng. Trong thực tế tính toán các đại lượng gần đúng thường xuất hiện trong một biểu thức phức tạp. Thí dụ thể tích của hình cầu được tính bằng V = 16 πd 3 , trong đó ta chỉ biết xấp xỉ của số π và đường kính d. Vấn đề đặt ra là biết sai số của π và d, liệu ta có thể tính được sai số của V không.

Một cách tổng quát, vấn đề đặt ra là sai số của các dữ liệu đầu vào lan truyền và dẫn đến sai số của kết quả tính toán như thế nào? Để giải quyết vấn đề này xét hàm số u của 2 biến số x và y: u = f (x, y). Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉ của giá trị đúng U = f (X,Y ). Biết sai số về x và y, hãy tính sai số của u. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 14 Ký hiệu ∆x = x − X là số gia của x, còn dx là vi phân của biến x.

Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có |∆x| ≤ ∆x. Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: ∂u ∂u du = dx + dy. ∂x ∂y Từ đây ∂u ∂u du ≈ ∆x + ∆y ∂x ∂y Suy ra ∂u ∂u ∆u = | |∆x + | |∆y (1.6) ∂x ∂y b) Sai số của tổng Cho u = x ± y. Ta có ∂∂ ux = 1, ∂∂ ux = ±1.7) Như vậy, sai số tuyệt đối của một tổng đại số bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.

Thí dụ: Giả sử x = 3.4 là hai số đã được làm tròn. Tính tổng của chúng và xác định sai số của tổng thu được. Thật vậy, vì x và y đã được làm tròn đến một chữ số sau dấu chấm thập phân nên sai số tuyệt đối của chúng là ∆x = ∆y = 0.0 với sai số tuyệt đối là ∆u = ∆x + ∆y = 0. Chú ý: Xét trường hợp u = x − y và x, y cùng dấu.

|u| |x − y| Ta thấy rằng nếu |x − y| rất bé thì sai số tương đối rất lớn. Thí dụ: Giả sử x = 15.14 là hai số đã được làm tròn. Xác định sai số tương đối của x, y và của hiệu hai số trên. Do x và y đã được làm tròn đến LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 15 2 chữ số sau dấu chấm thập phân nên sai số tuyệt đối của chúng là ∆x = ∆y = 0.

Vì thế sai số tuyệt đối của hiệu là ∆u = ∆x + ∆y = 0. Do đó sai số tương đối của hiệu là δu = ∆|u|u = 0.066 trong khi sai số tương đối của x 0.005 ∆ và y tương ứng là δx = ∆|x|x = 15. Rõ ràng là sai số tương đối của hiệu lớn gấp 200 lần sai số tương đối của từng số x và y. Trong tính toán người ta cố gắng tránh việc trừ hai số gần nhau bằng cách biến đổi biểu thức của hiệu (trong những trường hợp có thể được).

c) Sai số của tích Giả sử u = xy. Ta có ∂∂ ux = y, ∂∂ uy = x.8) Ta có quy tắc: Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số của tích. Thí dụ: Giả sử X và Y là hai cạnh của một hình chữ nhật mà độ dài của chúng (tính bằng cm) được làm tròn đến một chữ số sau dấu chấm thập phân là 15. Hỏi giá trị thực sự của diện tích của hình chữ nhật nằm trong khoảng nào? Ký hiệu x = 15.

Như vậy x là giá trị gần đúng của X và y là giá trị gần đúng của Y với sai số tuyệt đối là 0. Do đó sai số tương đối của chúng là δx = 0.9) sai số tương đối của tích là δu = 0.92 nên sai số tuyệt đối của u là ∆u = |u| δu = 127.19, tức là giá trị thực sự của diện tích của hình chữ nhật nằm trong khoảng từ 126. d) Sai số của thương LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.9) Ta có quy tắc: Sai số tương đối của một thương bằng tổng các sai số tương đối của số chia và số bị chia. e) Sai số của hàm bất kỳ Cho hàm u = f (x1 , x2 ,.

Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: ∂u ∂u ∂u du = dx1 + dx2 + · · · + dxn. ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn Từ đây ta có ∂u ∂u ∂u ∆u ≈ ∆x1 + ∆x2 + · · · + ∆xn ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn Suy ra ∂u ∂u ∂u ∆u = ∆x 1 + ∆x2 + · · · + ∆x n .10) ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn Thí dụ. Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của thể tích hình cầu: 1 V = πd 3 6 nếu cho đường kính d = 3. Thật vậy, xem π và d là đối số của hàm V , áp dụng (1.10) ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Giá trị gần đúng của thể tích là V = 61 πd 3 = 26. Do đó, ta tính được sai số tương đối của nó là ∆V = |V | × δV = 26. Các loại sai số mắc phải khi giải một bài toán thực tế Như đã biết, để nghiên cứu một đối tượng thực tế, chẳng hạn một đối tượng vật lý như dòng chảy trong sông, hiện tượng dẫn nhiệt trong một thanh vật chất, hay một đối tượng kinh tế-xã hội,. người ta thường xây dựng mô hình toán học của đối tượng và nghiên cứu đối tượng thông qua mô hình.

Do tính chất phức tạp của đối tượng nên người ta không thể đưa hết tất cả các yếu tố liên quan vào mô hình, mà buộc phải loại bỏ những yếu tố không quan trọng và ảnh hưởng ít đến đối tượng. Kết quả là người ta chỉ nhận được mô hình toán học phản ánh gần đúng đối tượng cần nghiên cứu. Sai số mắc phải trong quá trình này gọi là sai số mô hình. Khi đã có mô hình toán học, thường là các phương trình vi phân, tích phân hoặc phương trình đại số,.

người ta phải giải nó. Nói chung người ta không nhận được lời giải đúng của một bài toán mà chỉ có thể nhận được lời giải gần đúng bằng một phương pháp nào đấy, thí dụ phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến, phương pháp hình thang tính tích phân,. Sai số mắc phải khi phải giải một bài toán bằng phương pháp gần đúng được gọi là sai số phương pháp. Đây là loại sai số mà chúng ta cần quan tâm khi nghiên cứu các phương pháp gần đúng (giải tích hoặc số trị) vì sai số này phản ánh chất lượng của phương pháp và thông qua nó có thể đánh giá được khối lượng tính toán cần thiết để có được lời giải với một độ chính xác cho trước.

Sau khi đã có phương pháp hoặc thuật toán giải một bài toán cần phải thực LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 18 hiện nó trên máy tính để có được lời giải số. Trong quá trình tính toán bằng số này không thể tránh khỏi việc làm tròn số. Sai số xảy ra trong công đoạn này được gọi là sai số tính toán. Một loại sai số nữa có thể mắc phải khi giải một bài toán thực tế là sai số dữ liệu khi các dữ liệu đầu vào của bài toán nhận được bằng các phép đo đạc hoặc quan sát thực nghiệm hoặc là lời giải gần đúng của một bài toán khác.

Các loại đánh giá sai số phương pháp Sai số của một phương pháp số có thể được đánh giá tiên nghiệm hoặc hậu nghiệm. Đánh giá sai số tiên nghiệm là đánh giá sai số nhận được trước khi thực hiện tính toán. Thí dụ, để giải một phương trình phi tuyến bằng một phương pháp lặp đơn ta có thể đánh giá được sai số của nghiệm gần đúng nhận được sau n lần lặp theo công thức ∗ qn |xn − x | ≤ |x1 − x0 | , 1−q trong đó 0 < q < 1, x∗ là nghiệm đúng, x0 là xấp xỉ ban đầu. Đánh giá sai số hậu nghiệm là đánh giá sai số nhận được sau khi tính toán được nghiệm.

Thí dụ, sau khi tính được xn theo phương pháp lặp đơn ta có đánh giá hậu nghiệm q |xn − x∗ | ≤ |xn − xn−1 |. 1−q LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Hệ phương trình tuyến tính Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số x1 , x2 , ., xn được cho bởi     a11 x1 + a12 x2 +. + ann xn = bn  Hệ này có thể viết dưới dạng ma trận Ax = b, trong đó   a.

    an1 an2 ann Nếu det A 6= 0 thì hệ (1.1) có nghiệm duy nhất và nghiệm của nó có thể tính theo công thức Cramer: det A j xj = , (1.2) det A trong đó A j là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi cột b.2) thường chỉ dành cho hệ với ma trận hệ số cỡ nhỏ, còn với ma trận cỡ lớn thì chi phí cho tính toán quá lớn. Do đó, người ta đã đi xây dựng các phương pháp nhanh để giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn là khai thác triệt để các thông tin về ma trận của hệ. Dưới đây là một số dạng đặc biệt của ma trận: • Ma trận đường chéo: Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là ai j = a ji = 0, với i 6= j, được gọi là ma trận đường chéo. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 20 • Nếu ma trận đường chéo có aii = 1 thì ta gọi là ma trận đơn vị cấp n và ta thường kí hiệu là E hoặc I.

• Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạng   a a. ann tức là ai j = 0 khi i > j. • Ma trận tam giác dưới: Tương tự ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới, nếu A có dạng   a 0. ann tức là ai j = 0 khi i < j.

• Ma trận thưa: Ma trận thưa là ma trận có rất nhiều phần tử bằng 0.