Nghiên cứu ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu hay nghiên cứu sự ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm dựa trên nội suy, khảo sát thực trạng, phân tích nguyên nhân, đề

• Tác giả: Lâm Văn Trì
• Người hướng dẫn: TS. Đặng Thị Oanh
• Trường học: Trường Đại học Công nghệ Thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Khoa học máy tính
• Đề tài: Nghiên cứu sự ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm dựa trên nội suy hàm cơ sở bán kính
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
• 1.1. Bài toán nội suy
• 1.2. Nội suy dữ liệu phân tán trong không gian Rd
• 1.3. Nội suy với hàm cơ sở bán kính
• 1.4. Hàm xác định dương và ma trận xác định dương
• 1.5. Số gần đúng và sai số
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH XẤP XỈ ĐẠO HÀM DỰA VÀO HÀM RBF
• 3. CHƯƠNG 3: ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM ĐẾN ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA XẤP XỈ ĐẠO HÀM
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về nghiên cứu ảnh hưởng của bộ tâm nội suy

Nghiên cứu về bộ tâm nội suy là một lĩnh vực quan trọng trong toán học ứng dụng, đặc biệt trong việc xấp xỉ đạo hàm. Việc lựa chọn bộ tâm phù hợp có thể ảnh hưởng lớn đến độ chính xác xấp xỉ của các hàm số. Nghiên cứu này sẽ tập trung vào việc phân tích các phương pháp nội suy và cách chúng tác động đến kết quả tính toán. Các hàm cơ sở bán kính (RBF) đã trở thành công cụ phổ biến trong việc giải quyết các bài toán này.

1.1. Khái niệm về bộ tâm nội suy và vai trò của nó

Bộ tâm nội suy là tập hợp các điểm được chọn để thực hiện nội suy. Sự phân bố của các tâm này ảnh hưởng trực tiếp đến độ chính xác xấp xỉ của đạo hàm. Việc lựa chọn bộ tâm không chỉ dựa vào số lượng mà còn vào vị trí của chúng trong không gian.

1.2. Tầm quan trọng của độ chính xác trong xấp xỉ đạo hàm

Độ chính xác trong xấp xỉ đạo hàm là yếu tố quyết định trong nhiều ứng dụng thực tiễn. Các sai số có thể phát sinh từ việc chọn bộ tâm không phù hợp, dẫn đến kết quả không chính xác. Nghiên cứu này sẽ chỉ ra các yếu tố ảnh hưởng đến độ chính xác và cách khắc phục.

II. Vấn đề và thách thức trong việc chọn bộ tâm nội suy

Việc chọn bộ tâm nội suy không phải là một nhiệm vụ đơn giản. Có nhiều yếu tố cần xem xét, bao gồm phương pháp nội suy và độ phân tán của dữ liệu. Các thách thức này có thể dẫn đến sai số lớn trong kết quả xấp xỉ. Nghiên cứu sẽ phân tích các vấn đề thường gặp và cách giải quyết chúng.

2.1. Các vấn đề thường gặp khi chọn bộ tâm

Một số vấn đề phổ biến bao gồm sự phân bố không đồng đều của các tâm và việc chọn số lượng tâm không phù hợp. Những vấn đề này có thể dẫn đến sai số trong xấp xỉ đạo hàm, ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả.

2.2. Thách thức trong việc tối ưu hóa bộ tâm nội suy

Tối ưu hóa bộ tâm nội suy là một thách thức lớn. Cần phải cân nhắc giữa số lượng tâm và độ chính xác của xấp xỉ. Nghiên cứu sẽ đề xuất các phương pháp để cải thiện việc chọn bộ tâm, nhằm giảm thiểu sai số.

III. Phương pháp nội suy và lựa chọn bộ tâm hiệu quả

Có nhiều phương pháp nội suy khác nhau, mỗi phương pháp có ưu điểm và nhược điểm riêng. Nghiên cứu này sẽ tập trung vào các phương pháp nội suy phổ biến như hàm cơ sở bán kính (RBF) và cách chọn bộ tâm hiệu quả để đạt được độ chính xác cao nhất trong xấp xỉ đạo hàm.

3.1. Các phương pháp nội suy phổ biến

Các phương pháp nội suy như RBF, đa thức, và spline đều có ứng dụng riêng. Mỗi phương pháp có cách thức hoạt động khác nhau và ảnh hưởng đến độ chính xác của xấp xỉ. Nghiên cứu sẽ phân tích chi tiết từng phương pháp.

3.2. Tiêu chí lựa chọn bộ tâm nội suy

Việc lựa chọn bộ tâm cần dựa trên các tiêu chí như độ phân tán của dữ liệu và tính chất của hàm cần xấp xỉ. Nghiên cứu sẽ đề xuất các tiêu chí cụ thể để giúp người dùng chọn bộ tâm phù hợp.

IV. Ứng dụng thực tiễn của bộ tâm nội suy trong xấp xỉ đạo hàm

Bộ tâm nội suy có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, từ khoa học máy tính đến kỹ thuật. Nghiên cứu sẽ trình bày các ứng dụng cụ thể của bộ tâm nội suy trong việc xấp xỉ đạo hàm và các lĩnh vực liên quan.

4.1. Ứng dụng trong khoa học máy tính

Trong khoa học máy tính, bộ tâm nội suy được sử dụng để giải quyết các bài toán phức tạp liên quan đến tính toán số. Các ứng dụng này bao gồm mô phỏng và phân tích dữ liệu lớn.

4.2. Ứng dụng trong kỹ thuật và công nghệ

Trong kỹ thuật, bộ tâm nội suy giúp cải thiện độ chính xác của các mô hình tính toán. Các ứng dụng này có thể được tìm thấy trong thiết kế sản phẩm và phân tích hệ thống.

V. Kết luận và triển vọng tương lai của nghiên cứu

Nghiên cứu về ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác xấp xỉ đạo hàm mở ra nhiều hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo. Việc tối ưu hóa bộ tâm và cải thiện các phương pháp nội suy sẽ là những thách thức lớn trong tương lai.

5.1. Tóm tắt kết quả nghiên cứu

Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng việc chọn bộ tâm phù hợp có thể cải thiện đáng kể độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm. Các phương pháp nội suy cũng cần được tối ưu hóa để đạt được kết quả tốt nhất.

5.2. Triển vọng nghiên cứu trong tương lai

Nghiên cứu trong tương lai có thể tập trung vào việc phát triển các thuật toán mới cho việc chọn bộ tâm và cải thiện các phương pháp nội suy. Điều này sẽ giúp nâng cao độ chính xác trong các ứng dụng thực tiễn.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu Trên đây ta đã định nghĩa các loại sai số của một số gần đúng. Trong thực tế tính toán các đại lượng gần đúng thường xuất hiện trong một biểu thức phức tạp. Thí dụ thể tích của hình cầu được tính bằng V = 16 πd 3 , trong đó ta chỉ biết xấp xỉ của số π và đường kính d. Vấn đề đặt ra là biết sai số của π và d, liệu ta có thể tính được sai số của V không.

Một cách tổng quát, vấn đề đặt ra là sai số của các dữ liệu đầu vào lan truyền và dẫn đến sai số của kết quả tính toán như thế nào? Để giải quyết vấn đề này xét hàm số u của 2 biến số x và y: u = f (x, y). Giả sử x là xấp xỉ của giá trị đúng X, y là xấp xỉ của giá trị đúng Y và ta coi u là xấp xỉ của giá trị đúng U = f (X,Y ). Biết sai số về x và y, hãy tính sai số của u. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 14 Ký hiệu ∆x = x − X là số gia của x, còn dx là vi phân của biến x.

Theo định nghĩa về sai số tuyệt đối, ta có |∆x| ≤ ∆x. Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: ∂u ∂u du = dx + dy. ∂x ∂y Từ đây ∂u ∂u du ≈ ∆x + ∆y ∂x ∂y Suy ra ∂u ∂u ∆u = | |∆x + | |∆y (1.6) ∂x ∂y b) Sai số của tổng Cho u = x ± y. Ta có ∂∂ ux = 1, ∂∂ ux = ±1.7) Như vậy, sai số tuyệt đối của một tổng đại số bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.

Thí dụ: Giả sử x = 3.4 là hai số đã được làm tròn. Tính tổng của chúng và xác định sai số của tổng thu được. Thật vậy, vì x và y đã được làm tròn đến một chữ số sau dấu chấm thập phân nên sai số tuyệt đối của chúng là ∆x = ∆y = 0.0 với sai số tuyệt đối là ∆u = ∆x + ∆y = 0. Chú ý: Xét trường hợp u = x − y và x, y cùng dấu.

|u| |x − y| Ta thấy rằng nếu |x − y| rất bé thì sai số tương đối rất lớn. Thí dụ: Giả sử x = 15.14 là hai số đã được làm tròn. Xác định sai số tương đối của x, y và của hiệu hai số trên. Do x và y đã được làm tròn đến LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 15 2 chữ số sau dấu chấm thập phân nên sai số tuyệt đối của chúng là ∆x = ∆y = 0.

Vì thế sai số tuyệt đối của hiệu là ∆u = ∆x + ∆y = 0. Do đó sai số tương đối của hiệu là δu = ∆|u|u = 0.066 trong khi sai số tương đối của x 0.005 ∆ và y tương ứng là δx = ∆|x|x = 15. Rõ ràng là sai số tương đối của hiệu lớn gấp 200 lần sai số tương đối của từng số x và y. Trong tính toán người ta cố gắng tránh việc trừ hai số gần nhau bằng cách biến đổi biểu thức của hiệu (trong những trường hợp có thể được).

c) Sai số của tích Giả sử u = xy. Ta có ∂∂ ux = y, ∂∂ uy = x.8) Ta có quy tắc: Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của các thừa số của tích. Thí dụ: Giả sử X và Y là hai cạnh của một hình chữ nhật mà độ dài của chúng (tính bằng cm) được làm tròn đến một chữ số sau dấu chấm thập phân là 15. Hỏi giá trị thực sự của diện tích của hình chữ nhật nằm trong khoảng nào? Ký hiệu x = 15.

Như vậy x là giá trị gần đúng của X và y là giá trị gần đúng của Y với sai số tuyệt đối là 0. Do đó sai số tương đối của chúng là δx = 0.9) sai số tương đối của tích là δu = 0.92 nên sai số tuyệt đối của u là ∆u = |u| δu = 127.19, tức là giá trị thực sự của diện tích của hình chữ nhật nằm trong khoảng từ 126. d) Sai số của thương LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.9) Ta có quy tắc: Sai số tương đối của một thương bằng tổng các sai số tương đối của số chia và số bị chia. e) Sai số của hàm bất kỳ Cho hàm u = f (x1 , x2 ,.

Theo công thức vi phân của hàm nhiều biến ta có: ∂u ∂u ∂u du = dx1 + dx2 + · · · + dxn. ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn Từ đây ta có ∂u ∂u ∂u ∆u ≈ ∆x1 + ∆x2 + · · · + ∆xn ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn Suy ra ∂u ∂u ∂u ∆u = ∆x 1 + ∆x2 + · · · + ∆x n .10) ∂ x1 ∂ x2 ∂ xn Thí dụ. Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của thể tích hình cầu: 1 V = πd 3 6 nếu cho đường kính d = 3. Thật vậy, xem π và d là đối số của hàm V , áp dụng (1.10) ta có LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Giá trị gần đúng của thể tích là V = 61 πd 3 = 26. Do đó, ta tính được sai số tương đối của nó là ∆V = |V | × δV = 26. Các loại sai số mắc phải khi giải một bài toán thực tế Như đã biết, để nghiên cứu một đối tượng thực tế, chẳng hạn một đối tượng vật lý như dòng chảy trong sông, hiện tượng dẫn nhiệt trong một thanh vật chất, hay một đối tượng kinh tế-xã hội,. người ta thường xây dựng mô hình toán học của đối tượng và nghiên cứu đối tượng thông qua mô hình.

Do tính chất phức tạp của đối tượng nên người ta không thể đưa hết tất cả các yếu tố liên quan vào mô hình, mà buộc phải loại bỏ những yếu tố không quan trọng và ảnh hưởng ít đến đối tượng. Kết quả là người ta chỉ nhận được mô hình toán học phản ánh gần đúng đối tượng cần nghiên cứu. Sai số mắc phải trong quá trình này gọi là sai số mô hình. Khi đã có mô hình toán học, thường là các phương trình vi phân, tích phân hoặc phương trình đại số,.

người ta phải giải nó. Nói chung người ta không nhận được lời giải đúng của một bài toán mà chỉ có thể nhận được lời giải gần đúng bằng một phương pháp nào đấy, thí dụ phương pháp lặp giải phương trình phi tuyến, phương pháp hình thang tính tích phân,. Sai số mắc phải khi phải giải một bài toán bằng phương pháp gần đúng được gọi là sai số phương pháp. Đây là loại sai số mà chúng ta cần quan tâm khi nghiên cứu các phương pháp gần đúng (giải tích hoặc số trị) vì sai số này phản ánh chất lượng của phương pháp và thông qua nó có thể đánh giá được khối lượng tính toán cần thiết để có được lời giải với một độ chính xác cho trước.

Sau khi đã có phương pháp hoặc thuật toán giải một bài toán cần phải thực LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 18 hiện nó trên máy tính để có được lời giải số. Trong quá trình tính toán bằng số này không thể tránh khỏi việc làm tròn số. Sai số xảy ra trong công đoạn này được gọi là sai số tính toán. Một loại sai số nữa có thể mắc phải khi giải một bài toán thực tế là sai số dữ liệu khi các dữ liệu đầu vào của bài toán nhận được bằng các phép đo đạc hoặc quan sát thực nghiệm hoặc là lời giải gần đúng của một bài toán khác.

Các loại đánh giá sai số phương pháp Sai số của một phương pháp số có thể được đánh giá tiên nghiệm hoặc hậu nghiệm. Đánh giá sai số tiên nghiệm là đánh giá sai số nhận được trước khi thực hiện tính toán. Thí dụ, để giải một phương trình phi tuyến bằng một phương pháp lặp đơn ta có thể đánh giá được sai số của nghiệm gần đúng nhận được sau n lần lặp theo công thức ∗ qn |xn − x | ≤ |x1 − x0 | , 1−q trong đó 0 < q < 1, x∗ là nghiệm đúng, x0 là xấp xỉ ban đầu. Đánh giá sai số hậu nghiệm là đánh giá sai số nhận được sau khi tính toán được nghiệm.

Thí dụ, sau khi tính được xn theo phương pháp lặp đơn ta có đánh giá hậu nghiệm q |xn − x∗ | ≤ |xn − xn−1 |. 1−q LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Hệ phương trình tuyến tính Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số x1 , x2 , ., xn được cho bởi     a11 x1 + a12 x2 +. + ann xn = bn  Hệ này có thể viết dưới dạng ma trận Ax = b, trong đó   a.

    an1 an2 ann Nếu det A 6= 0 thì hệ (1.1) có nghiệm duy nhất và nghiệm của nó có thể tính theo công thức Cramer: det A j xj = , (1.2) det A trong đó A j là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi cột b.2) thường chỉ dành cho hệ với ma trận hệ số cỡ nhỏ, còn với ma trận cỡ lớn thì chi phí cho tính toán quá lớn. Do đó, người ta đã đi xây dựng các phương pháp nhanh để giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn là khai thác triệt để các thông tin về ma trận của hệ. Dưới đây là một số dạng đặc biệt của ma trận: • Ma trận đường chéo: Ma trận vuông cấp n mà mọi phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0, tức là ai j = a ji = 0, với i 6= j, được gọi là ma trận đường chéo. LUAN VAN CHAT LUONG download : add [e-mail] 20 • Nếu ma trận đường chéo có aii = 1 thì ta gọi là ma trận đơn vị cấp n và ta thường kí hiệu là E hoặc I.

• Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác trên, nếu A có dạng   a a. ann tức là ai j = 0 khi i > j. • Ma trận tam giác dưới: Tương tự ma trận vuông A được gọi là ma trận tam giác dưới, nếu A có dạng   a 0. ann tức là ai j = 0 khi i < j.

• Ma trận thưa: Ma trận thưa là ma trận có rất nhiều phần tử bằng 0.