Chương 1 MÃ LƯỚI CHO KÊNH FADING RAYLEIGH Chương này trình bày việc xây dựng mã lưới cho hệ thống truyền thông tin qua kênh fading Rayleigh, 1 antenna phát và 1 antenna thu.1 trình bày về mô hình kênh fading Rayleigh.2 trình bày các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới.3 trình bày thiết kế mã lưới từ trường vòng và phần cuối cùng trình bày về giải mã hình cầu (sphere decoder ), đây là một đặc trưng và là lợi thế của mã lưới. Các khái niệm toán học liên quan được trích dẫn trong phần phụ lục A.1 Mô hình hệ thống Giả sử mô hình kênh không dây là một kênh fading phẳng Rayleigh độc lập [1, 2, 7]. Giả thiết rằng thông tin về tình trạng kênh (Channel State Information) được biết tại phía thu và không có sự xuất hiện của nhiễu xuyên ký hiệu. Mô hình rời rạc theo thời gian của kênh như sau: r0 = α0 x + n0 , (1.1) trong đó x là một ký hiệu (symbol ) từ tập hợp tín hiệu phức, n0 là nhiễu Gauss trắng phức và α0 là hệ số fading phức theo phân bố Gauss trung bình 0 (hình 1.
Các hệ số fading đối với một ký hiệu được giả thiết là độc lập đối với các ký hiệu tiếp theo. Vì phía thu biết được CSI nên các pha ϕ của các hệ số fading α0 = |α| eiϕ có thể được loại bỏ, do đó ta có: r = αx + n, (1.2) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 9 x Channel r0 Transmitter Receiver α 0 , n0 α0 Hình 1.1: Mô hình kênh [7] 0 trong đó α = α là hệ số fading thực theo phân bố Rayleigh và n = n0 e−jϕ vẫn là nhiễu Gauss trắng phức. Với mô hình (1.2), ta có thể giả sử rằng x ∈ R và n là biến ngẫu nhiên thực và các hệ số fading là độc lập giữa một ký hiệu thực được phát và ký hiệu tiếp theo. Khi xem xét quá trình truyền dẫn mã, mỗi từ mã là một vector thực n chiều x = (x1 , x2 , ., xn ) được lấy ra từ chòm sao tín hiệu hữa hạn S ⊆ Rn.
Mỗi thành phần vector bị ảnh hưởng bởi một hệ số fading thực độc lập. Xét hệ thống truyền dẫn như hình vẽ (1.2): Bộ ánh xạ (mapper ) kết hợp một bộ Information u Lattice x Bit mapper bits Encoder M α * α n + x̂, û ML r 1 Detection Hình 1.2: Mô hình hệ thống truyền dẫn [7] các bit đầu vào với một điểm u ∈ Zn. Tiếp theo đó u được ánh xạ đến một điểm x sử dụng mã hóa lưới. Như vậy, x thuộc chòm sao tín hiệu n chiều S lấy ra từ tập hợp các điểm lưới TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 Λ = {x = uM }, trong đó u là một vector nguyên, M là ma trận sinh của lưới.
Các điểm chòm sao được phát qua kênh fading Rayleigh độc lập như đã mô tả ở phần trước: r = xH + n, (1., rn ) là điểm thu được; n = (n1 , n2 , ., nn ) là vector nhiễu, có các thành phần thực ni là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Gauss với trung bình 0 và phương sai bằng N0 , H là ma trận fading kênh có dạng đường chéo H = diag (α1 , α2 , ., αn ), với αi giá trị thực là các biến ngẫu nhiên độc lập phân bố Rayleigh với moment bậc hai bằng 1. Với giả thiết CSI được biết tại phía thu, giải mã trên cơ sở hợp lẽ tối đa (Maximum Likelihood - ML) yêu cầu tối thiểu hóa độ đo sau: n X m (x |r, α) = |ri − αi xi |2 (1.4) 1 Nói cách khác, điểm giải mã x̂ phải thỏa mãn: 0 2 x̂ = arg min kr − xHk2 = arg min 0 0 r−x (1. Việc tối thiểu hóa (1.5) là một phép toán có độ phức tạp cao đối với một chòm sao tín hiệu bất kỳ, với số lượng nhiều điểm. Trong trường hợp của chúng ta là mã lưới, một thuật toán giải mã dựa trên ML hiệu quả hơn đó là giải mã hình cầu mà chúng ta sẽ bàn tiếp trong phần cuối của chương này.2 Các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới Việc xây dựng các tiêu chí cho thiết kế mã lưới được xem xét trên cơ sở xác suất lỗi cặp và hình dạng của chòm sao tín hiệu.1 Các tiêu chí dựa trên xác suất lỗi cặp Để đưa ra các tiêu chí cho việc thiết kế mã cho hệ thống như đã đề cập ở phần trước, trước hết chúng ta ước lượng xác suất lỗi của nó [1, 8].
TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 11 Ký hiệu Pe (S) là xác suất lỗi khi phát một điểm của chòm sao tín hiệu hữu hạn S, và P (x → x̂) là xác suất lỗi cặp, đây là xác suất mà khi x được phát, điểm nhận được gần với x̂ hơn so với x theo độ đo đã xác định trong công thức (1. Đối với một chòm sao tín hiệu S bất kỳ, với |S| là số phần tử của chòm sao, ta có: 1 X Pe (S) = Pe (S|x) |S| x∈S Công thức này có thể đơn giản hơn nhiều trong trường hợp mã lưới. Vì một lưới vô hạn là đồng dạng hình học, chúng ta có thể viết một cách đơn giản xác suất lỗi khi phát một điểm thuộc lưới Pe (Λ) = Pe (Λ|x) cho bất kỳ điểm x ∈ Λ được phát. Giả sử rằng S là một chòm sao hữu hạn lấy ra từ Λ, ta có: [ X Pe (S) ≤ Pe (Λ) = P (x → x̂) ≤ P (x → x̂) x̂6=x x̂6=x Tức là, xác suất của hợp các biến cố nhỏ hơn hoặc bằng tổng các xác suất của các biến cố thành phần.
Trước hết, chúng ta đưa ra biên trên của xác suất lỗi có điều kiện P (x → x̂|α). Một lỗi xuất hiện, trong khi giải mã với quy tắc ML, nếu điểm nhận được r gần với x̂ hơn x. Xác suất lỗi cặp có điều kiện là: n n ! X X P (x → x̂|α) = P |ri − αi x̂i |2 ≤ |ri − αi x̂i |2 |x i=1 i=1 n n ! X X =P |αi (xi − x̂i ) + ni |2 ≤ |ni |2 i=1 i=1 n n ! X X =P αi2 (xi − x̂i )2 + 2 αi (xi − x̂i ) ni ≤ 0 i=1 i=1 n X Đặt χ = αi (xi − x̂i ) ni là tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên Gauss ni. i=1 Ta có χ là biến ngẫu nhiên Gauss với trung bình bằng 0 và phương sai bằng: n X σχ2 = N0 αi (xi − x̂i )2.
i=1 n 1X Cho A = αi (xi − x̂i )2 là hằng số. Chúng ta có thể viết xác suất lỗi cặp có điều 2 i=1 kiện theo χ và A. P (x → x̂|α) = P (χ ≥ A) = Q (A/σχ ) , TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 12 Z ∞ −1 trong đó hàm Q (x) được định nghĩa bởi Q (x) = (2π) exp −t2 /2 dt.8), L là số thành phần khác nhau nhỏ nhất của hai điểm bất kỳ thuộc chòm sao và được gọi là độ phân tập điều chế (modulation diversity) hay bậc phân tập (diversity order ) của chòm sao lưới. Để hạn chế biên trên của bất đẳng thức (1.8), các tiêu chí của chúng ta là tối đa (L) hóa L và và dp,min (với dp,min = min dp ).
TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.2 Tiêu chí về hình dạng chòm sao lưới Để thiết kế chòm sao lưới, hai hoạt động quan trọng là tạo nhãn bit (bit labelling) và tạo hình dạng chòm sao (constellation shaping). Hai vấn đề này có quan hệ chặt chẽ với nhau và có sử thỏa hiệp giữa độ phức tạp và hiệu suất thực hiện. Quá trình gán nhãn bit bao gồm quá trình ánh xạ các bit đầu vào với một điểm thuộc chòm sao tín hiệu. Nếu chúng ta muốn tránh sử dụng một bảng tìm kiếm (look-up table) lớn để thực hiện gán nhãn bit thì chúng ta cần một thuật toán đơn giản hơn để kết hợp các bit với các điểm tín hiệu.
Trong quá trình thiết kế chòm sao lưới cho kênh fading, các chòm sao có hình khối là một lựa chọn tối ưu trong nghĩa là lưới thiết kế là một phiên bản quay của lưới Zn [3, 7].3 Xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh 1.1 Cách xây dựng mã lưới cho kênh fading Rayleigh Trong phần trước, chúng ta đã xét các tiêu chí cho việc thiết kế mã lưới, cụ thể như sau: 1. Tối đa hóa bậc phân tập L. Tối đa hóa giá trị dp,min = min dp (x, x̂) 3. Các chòm sao lưới là một phiên bản của lưới Zn.
Ta xây dựng lưới thỏa mãn các tiêu chí trên thông qua trường số đại số. Điều này xuất phát từ những cơ sở và phương thức thực hiện như sau: 1. Tối đa hóa bậc phân tập L: Xây dựng lưới đại số thực trên vành OK , do lưới đại số xây dựng trên trường số thực có bậc phân tập lớn nhất L = n, với n là bậc của trường số K. Từ cơ sở nguyên thuộc OK , nhúng vào Rn qua phép nhúng chính tắc để nhận được một lưới đại số.
TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Tối đa hóa dp,min : Để đánh giá tiêu chí về dp,min , ta xây dựng lưới từ một ideal thuộc vành OK , vì ideal của vành OK cũng có cơ sở nguyên n thành phần (xem Định lý 10, Phục lục A). Đặc biệt trong trường hợp lưới sinh ra từ cơ sở nguyên của một ideal chính (ideal được sinh ra từ một phần tử) của vành OK thì dp,min của lưới có thể được tính một cách tường minh và chỉ phụ thuộc vào dK. Do đó ta phải tối thiểu hóa biệt thức của trường số dK.
Các chòm sao lưới là một phiên bản của lưới Zn : Với một giá trị n cho trước, chúng ta phải xác định một trường số K bậc n và một ideal I ⊆ OK sao cho lưới Λ = (I, qβ ) là tương đương với Zn. Một phiên bản tỷ lệ của √ n Zn có dạng: ( cZ) , c ∈ Z, do đó định thức của lưới này là det (G) = cn. Ta lại có: (Công thức (8), Phụ lục A) det (Λ) = N (β) N (I)2 |dK | Do đó: N (β) N (I)2 |dK | = cn (1.9) Như vậy, ta phải xác định β thỏa mãn (1.2 Xây dựng mã lưới từ trường vòng Phần này trình bày tổng quát việc xây dựng mã lưới từ trường vòng (xem [7]) Q (ζp ), trong đó ζ = ζp = e−2iπ/p là căn bậc p của đơn vị, và quan tâm đến trường hợp p ≥ 5 [7, 8].