I. Sơ lược về giải số phương trình vi phân ngẫu nhiên
Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân ngẫu nhiên và các điều kiện cần thiết để tồn tại và duy nhất nghiệm. Đặc biệt, phương trình ngẫu nhiên Itô được giới thiệu, cùng với các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô. Các điều kiện đủ để nghiệm thỏa mãn tính chất như mô men bị chặn, liên tục theo thời gian và ổn định tiệm cận cũng được nêu rõ. Định lý cơ bản về sai số xấp xỉ được trình bày, từ đó suy ra sai số toàn cục cho các lược đồ xấp xỉ như lược đồ Euler-Maruyama và lược đồ Milstein. Những lược đồ này là công cụ quan trọng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số không chính qui.
1.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô
Trong mục này, các tính chất cơ bản của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô được trình bày. Định nghĩa về tích phân ngẫu nhiên Itô được đưa ra, cùng với các điều kiện cần thiết để đảm bảo tính chính xác của nghiệm. Các kết quả liên quan đến sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cũng được nêu rõ. Đặc biệt, các điều kiện Lipschitz và tăng tuyến tính được nhấn mạnh, cho thấy tầm quan trọng của chúng trong việc xác định tính chính qui của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Những khái niệm này là nền tảng cho việc phát triển các lược đồ xấp xỉ trong các chương tiếp theo.
1.2 Tính bị chặn và liên tục của mô men nghiệm
Mục này tập trung vào việc phân tích tính bị chặn và liên tục của mô men nghiệm của phương trình vi phân ngẫu nhiên. Các định lý liên quan đến tính chất này được trình bày, cho thấy rằng nghiệm của phương trình ngẫu nhiên có thể được kiểm soát trong một khoảng nhất định. Điều này rất quan trọng trong việc đảm bảo rằng các lược đồ xấp xỉ không chỉ hội tụ mà còn bảo toàn các tính chất của nghiệm đúng. Các kết quả này cung cấp cơ sở lý thuyết cho việc phát triển các phương pháp xấp xỉ hiệu quả hơn trong các chương tiếp theo.
1.3 Xấp xỉ nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên
Chương này giới thiệu các phương pháp xấp xỉ nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu nhiên. Phương pháp Monte-Carlo đa cấp được nêu ra như một công cụ hữu ích trong việc ước lượng các đại lượng có dạng E[f(X)], trong đó X là nghiệm của phương trình ngẫu nhiên. Các kết quả về tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xỉ đến nghiệm đúng cũng được phân tích. Điều này cho thấy rằng việc xây dựng các lược đồ xấp xỉ phù hợp là rất cần thiết để đạt được độ chính xác cao trong các ứng dụng thực tiễn.
II. Lược đồ Euler Maruyama khống chế cho phương trình vi phân ngẫu nhiên
Chương này tập trung vào việc phát triển lược đồ Euler-Maruyama khống chế cho các phương trình vi phân ngẫu nhiên có hệ số không chính qui. Tính cần thiết của việc khống chế được nhấn mạnh, cho thấy rằng các lược đồ này có thể cải thiện độ chính xác của nghiệm xấp xỉ. Các điều kiện Lipschitz và Hölder địa phương được áp dụng để đảm bảo tính ổn định và hội tụ của nghiệm. Kết quả về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm cũng được chứng minh, cung cấp cơ sở lý thuyết vững chắc cho việc áp dụng các lược đồ này trong thực tiễn.
2.1 Giới thiệu bài toán
Mục này giới thiệu bài toán liên quan đến phương trình vi phân ngẫu nhiên với hệ số không chính qui. Các điều kiện cần thiết để áp dụng lược đồ Euler-Maruyama được nêu rõ, cùng với các giả thiết về tính liên tục và Lipschitz của hệ số. Điều này giúp xác định rõ ràng các yêu cầu cho việc xây dựng lược đồ xấp xỉ, từ đó tạo điều kiện cho việc phát triển các phương pháp giải số hiệu quả hơn.
2.2 Một số điều kiện
Trong mục này, các điều kiện cần thiết cho lược đồ Euler-Maruyama được phân tích chi tiết. Các điều kiện này bao gồm tính liên tục của hệ số dịch chuyển và khuếch tán, cũng như các điều kiện Lipschitz địa phương. Việc đảm bảo các điều kiện này là rất quan trọng để đạt được tính ổn định và hội tụ của nghiệm xấp xỉ. Các kết quả lý thuyết được trình bày để chứng minh rằng các lược đồ này có thể được áp dụng cho các bài toán thực tế trong lĩnh vực phương trình vi phân ngẫu nhiên.
