Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương thứ nhất này, chúng tôi sẽ nhắc lại các định nghĩa và tính chất về tính ổn định và hệ động lực. Bên cạnh đó, lý thuyết về hàm Lyapunov, hàm năng lượng đối với hệ động lực và ứng dụng của nó cũng được trình bày trong mục cuối của chương này. Đây là các kiến thức cơ sở cho nội dung các chương sau. Phần lớn các nội dung ở chương này được trình bày dựa trên các tài liệu [1], [2], [4] và [5].1 Hệ động lực phi tuyến Trong chương này, chúng ta luôn xét hệ động lực phi tuyến (ô tô nôm) sau đây ẋ = f (x), (1.1) trong đó x ∈ Rn là một biến véctơ và hàm f : Rn → Rn thỏa mãn điều kiện đảm bảo bài toán giá trị ban đầu đối với (1.1) tồn tại và duy nhất nghiệm.
Trong luận văn này, chúng ta luôn giả thiết hàm f khả vi r lần và các đạo hàm này liên tục. Điều kiện này đảm bảo rằng với mỗi giá trị ban đầu x0 , tồn tại một khoảng cực đại I = (w− , w+ ) ⊂ R, 0 ∈ I và tồn tại duy nhất hàm khả vi liên tục x(t) : I → Rn là một nghiệm của phương trình (1. Cho x(t) là một nghiệm của phương trình (1.1) và [0, w+ ] là một khoảng cực đại tồn tại nghiệm này. Khi đó, nếu tồn tại một tập compact 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com K ⊂ Rn sao cho x(t) ∈ K với mọi t ∈ [0, w+ ] thì w+ = +∞, tức là nghiệm tồn tại và xác định với mọi t ≥ 0.
Sau đây, ta sẽ trình bày một số khái niệm cần thiết cho các kết quả về sau. Đường cong nghiệm của phương trình (1.1) xuất phát từ x0 tại thời điểm t = 0 được gọi là một quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 và được ký hiệu là φ(. Hơn nữa, quỹ đạo nghiệm xuất phát từ x0 là một hàm theo thời gian. Việc tham số hóa t → φ(t, x0 ) sinh ra một đường cong trong Rn , được gọi là một quỹ đạo nghiệm của (1.
Quỹ đạo đi qua x0 được ký hiệu là φt (x0 ) và được xác định bởi φt (x0 ) = {φ(t, x0 ) ∈ Rn , t ∈ R}. Trong một số trường hợp, ta ký hiệu tập {φ(t, x) ∈ Rn , x ∈ A} bởi φ(t, A), A ⊂ Rn. Điểm x ∈ Rn được gọi là một điểm cân bằng của (1.1) nếu f (x) = 0, tức là điểm cân bằng là một nghiệm đặc biệt không thay đổi theo thời gian. Do đó, điểm cân bằng là một quỹ đao nghiệm không dịch chuyển.
Tập tất cả các điểm cân bằng của (1.1) được ký hiệu là E = {x ∈ Rn : f (x) = 0}. Một dạng quan trọng khác của quỹ đạo nghiệm đó là quỹ đạo đóng. Một quỹ đạo nghiệm γ là một quỹ đạo đóng nếu γ không phải là một điểm cân bằng và với bất kỳ x ∈ γ , tồn tại T > 0 sao cho φ(T, x) = x. Điểm cân bằng và quỹ đạo đóng có thể ổn định hoặc không ổn định.
Tập M ⊂ Rn được gọi là một tập bất biến của (1.1) nếu mọi quỹ đạo nghiệm của hệ (1.1) xuất phát từ M luôn nằm trong M với mọi t. Hợp và giao của các tập bất biến cũng là tập bất biến. Tập M ⊂ Rn được gọi là tập bất biến dương (âm) của (1.1) nếu mọi quỹ đạo nghiệm của (1.1) xuất phát từ M vẫn nằm M với mọi t ≥ 0 (t ≤ 0). Một điểm p nằm trong tập w-giới hạn của x nếu ứng với mỗi ε > 0 và T > 0, tồn tại t > T sao cho |φ(t, x) − p| < ε.
Điểm p nằm trong tập α-giới hạn của x nếu ứng với mỗi ε > 0 và T < 0, tồn tại t < T sao cho |φ(t, x) − p| < ε. Nói cách khác, p được gọi là nằm trong tập w-giới hạn (tập α-giới hạn) của x nếu với mỗi ε > 0, tồn tại một dãy {ti } ∈ R sao cho φ(ti , x) → p khi ti → +∞ (ti → −∞). Các tập w-giới hạn và tập α-giới hạn của một quỹ đạo 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nghiệm φ(t, x) của hệ (1.1) là các tập đóng, bất biến. Ngoài ra, nếu quỹ đạo nghiệm φ(t, x) của (1.1) bị chặn với t ≥ 0 (t ≤ 0) thì tập w-giới hạn (tập α-giới hạn) khác rỗng, compact và liên thông.
Như ta có thể thấy rằng điểm cân bằng ổn định tiệm cận là loại đơn giản nhất của tập giới hạn. Tuy nhiên, tập giới hạn vô cùng phức tạp; nó có thể là điểm cân bằng, quỹ đạo đóng hay một dạng khác.2 Tính ổn định Tiếp theo, ta nhắc lại định nghĩa ổn định Lyapunov và tiệm cận ổn định. Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định Lyapunov nếu với mỗi lân cận mở U of x ∈ Rn , tồn tại một lân cận mở V của x ∈ Rn sao cho φ(t, x) ∈ U với mọi x ∈ V và với mọi t > 0. Ngược lại, x được gọi là không ổn định.1: Minh họa định nghĩa ổn định Lyapunov.
Một cách trực quan, một điểm cân bằng được gọi là ổn định nếu các quỹ đạo xuất phát từ lân cận của điểm cân bằng vẫn còn nằm gần với điểm cân bằng sau một khoảng thời gian bất kỳ. Mặc dù vậy, trong nhiều bài toán thì yêu cầu về quỹ đạo nằm gần với quỹ đạo là chưa đủ. Thay vào đó, người ta đưa ra một yêu cầu mạnh hơn là các quỹ đạo gần với điểm cân bằng và hội tụ về điểm cân bằng. 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định nghĩa 1.
(i) Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại một lân cận mở U của x sao cho mọi quỹ đạo φ(t, x) xuất phát từ lân cận U đều hội tụ về điểm cân bằng x khi t → ∞ hay lim kφ(t, x) − xk = 0 với mọi x ∈ U. t→∞ (ii) Điểm cân bằng x ∈ Rn của hệ (1.1) được gọi là ổn định tiệm cận toàn cục nếu nó ổn định và với mọi x0 ∈ Rn , φ(t, x0 ) → x khi t → ∞.2: Minh họa định nghĩa ổn định tiệm cận. (i) Một tập đóng, bất biến γ được gọi là ổn định Lyapunov nếu với mỗi lân cận mở U của γ , tồn tại một lân cận mở V của γ sao cho φ(t, x) ∈ U với mọi x ∈ V và với mọi t > 0. Ngược lại, γ được gọi là không ổn định.
(ii) Một tập đóng, bất biến γ được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tại một lân cận V của γ sao cho tập w-giới hạn của mọi điểm trong V chứa trong γ. Thực tế, tập ổn định và tập hút là một tập bất biến ổn định tiệm cận. Nói cách khác, một tập γ là tập hút nếu mọi quỹ đạo nghiệm trong lân cận γ đủ gần với γ và hội tụ về γ khi t → ∞. 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Để xác định tính ổn định của một điểm cân bằng x, ta cần một số công cụ để mô tả dáng điệu của quỹ đạo nghiệm, ít nhất là về mặt định tính quỹ đạo nghiệm xung quanh điểm cân bằng x.
Đối với hệ động lực tuyến tính ẋ = Ax, việc kiểm tra có thể thực hiện bằng cách tính các giá trị riêng và véctơ riêng tương ứng của ma trận A. Do đó, dáng điệu động lực địa phương của bài toán phi tuyến có thể được nghiên cứu thống qua bài toán tuyến tính hóa. Bây giờ, ta giả thiết rằng x ∈ Rn là một điểm cân bằng của (1. Bằng cách đổi biến x(t) = x + y(t) và sử dụng khai triển Taylor tại x, ta có ẋ(t) = ẏ(t) = f (x)+Df (x)y+O(kyk2 ), trong đó Df là đạo hàm của trường véctơ f.
Do đó, để nghiên cứu dạng điệu quỹ đạo nghiệm, ta xét hệ tuyến tính hóa ẏ(t) = Df (x)y. Điểm cân bằng x của hệ phi tuyến (1.1) được gọi là hy- perbolic nếu ma trận Jacobi tương ứng Df (x) không có giá trị riêng có phần thực bằng 0. Ngược lại, nó được gọi là điểm cân bằng không hyperbolic. Hơn nữa, một điểm cân bằng hyperbolic được gọi là loại k nếu k giá trị riêng của ma trận Jacobi Df (x) có phần thực dương và n − k giá trị riêng có phần thực âm.
Đặc biệt, nếu Df (x) có đúng một giá trị riêng có phần thực dương, ta gọi x là điểm cân bằng loại 1. Nói chung, điểm cân bằng loại 1 được xem là tối quan trọng khi nghiên cứu các đặc trưng về biên ổn định và biên tựa ổn định. Ta ký hiệu λ là một giá trị riêng của Df (x) và Eλ là không gian véctơ riêng suy rộng ứng với giá trị riêng λ. Nhắc lại rằng Eλ là bất biến đối với hệ (1.
Nếu gốc tọa độ là một điểm cân bằng hyperbolic thì ta có thể viết như sau Rn = E s ⊕ E u , trong đó E s = ⊕Eλ với Re(λ) < 0 và E u = ⊕Eλ với Re(λ) > 0. Ngoài ra, nếu điểm hyperbolic là điểm cân bằng loại k thì E s và E u lần lượt có số chiều là n − k và k. Xét hệ phi tuyến tổng quát (1.1) có điểm cân bằng x. Nếu Df (x) không có giá trị riêng 0 và không có giá trị riêng thuần ảo, thì sẽ có một đồng phôi h, xác định trên một lân cận U của 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com x, biến quỹ đạo φ(t, .) của hệ động lực phi tuyến (1.1) thành nghiệm của hệ tuyến tính hóa của (1.
Phép đồng phôi bảo toàn các tính chất của các quỹ đạo nghiệm và cách chọn tham số hóa theo thời gian. Định lý sau đây đưa ra điều kiện đủ cho một điểm cân bằng của hệ (1.1) là ổn định tiệm cận. Giả sử rằng mọi giá trị riêng của ma trận Jacobi Df (x) trong hệ tuyến tính tương ứng (1.2) đều có phần thực âm. Khi đó, nghiệm cân bằng x = x của hệ phi tuyến (1.1) là ổn định tiệm cận.
Với x là một điểm cân bằng và U ⊂ Rn là một lân cận của x.