Chương 1: Chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tôpô trong toán học và chất điện môi tôpô trong vật lí. Chương 2: Chúng tôi trình bày lí thuyết mạng tinh thể có cấu trúc vùng năng lượng phẳng, từ mô hình tổng quát đi tới mô hình liên kết chặt trong mạng tinh thể Lieb, liên kết spin-quỹ đạo và điều biến mạng. Chương 3: Chúng tôi trình bày kết quả cấu trúc vùng năng lượng mạng tinh thể Lieb có dạng dải băng nano. 5 Kết quả chính của luân văn này đã được báo cáo tại Hội nghị Vật lí lí thuyết toàn quốc lần thứ 43 tại Quy Nhơn năm 2018, và đã được chấp nhận đăng trên tạp chí Journa of Physics: Conference Series.
Trong luận văn này chúng tôi sử dụng hệ đơn vị tự nhiên với c kB 1. CHẤT ĐIỆN MÔI TÔPÔ 1.1 KHÁI NIỆM TÔPÔ TRONG TOÁN HỌC Tôpô hay tôpô học là một lĩnh vực nghiên cứu toán học liên quan đến tính chất hình học của các vật thể ở dạng tổng thể toàn cục. Tính chất tôpô của các vật thể là các đặc tính được bảo toàn qua sự biến dạng, sự xoắn và sự kéo dãn. Các đặc tính đó gọi là các bất biến tôpô.
Ví dụ đơn giản là cái vòng xuyến và một cái ca có quai. Cả hai đều có thể biến đổi liên tục qua lại với nhau, do vậy chúng có cùng tính chất tôpô. Về mặt tôpô chúng có đúng một lỗ hổng.1: Một cái ca có quai trở thành vòng xuyến qua sự biến dạng hình học bảo toàn bất biến tôpô. Cả cái ca và vòng xuyến đều có những tính chất tôpô hoàn toàn giống nhau [20].
Như vậy, có thể nói một cách nôm na rằng tôpô là một ngành nghiên cứu về đặc tính của các cấu trúc hình học có tính siêu co dãn, siêu biến dạng nhưng lại không thể bị cắt rời thành nhiều mảnh, không thể bị đâm thủng hay bị dán dính vào nhau. 7 Đối với các bề mặt hình học, có thể phân loại tôpô dựa trên định lý Gauss-Bonnet. Định lý này nói rằng mỗi bề mặt hình học có một bất biến tôpô thể hiện qua đặc trưng Euler 1 𝜒= ∫ 𝐾𝑑𝐴 2𝜋 𝑠 trong đó: K là độ cong Gauss và tích phân lấy theo một bề mặt kín của một mặt liên quan tới tính chất bất biến. Tích phân của độ cong ở trên chỉ phụ thuộc vào tính chất toàn cục của bề mặt (tôpô).
Nó bất biến khi bề mặt biến dạng liên tục. Ví dụ đối với mặt xuyến 𝜒 = 0, mặt cầu 𝜒 = 2 [21].2 CHẤT ĐIỆN MÔI TÔPÔ Trong vật lý các chất cô đặc việc mô tả đặc điểm các pha của vật chất đang rất được quan tâm. Đại đa số các pha, ví dụ như sắt từ, có thể được mô tả theo nguyên lý đối xứng mà trong đó có vỡ đối xứng tự phát. Khái niệm tôpô trong vật lý đầu tiên được đưa ra để miêu tả hiệu ứng Hall lượng tử.
Hiệu ứng Hall lượng tử là hiệu ứng Hall mà độ dẫn Hall có tính chất lượng tử. Nó bằng số nguyên lần (hay số phân số lần) đại lượng e2 /. Trạng thái Hall lượng tử không làm phá vỡ tính đối xứng, nó có tính bất biến đối với thay đổi các tham số trong vật liệu và chỉ thay đổi khi hệ buộc phải chuyển pha. Tính chất bất biến của hiệu ứng Hall lượng tử chính là độ dẫn Hall.
Tính chất này có thể hiểu như là các kết quả cấu trúc tôpô của các mức năng lượng Laudau do chất khí electron được đặt trong từ trường. Hiệu ứng Hall lượng tử chỉ xuất hiện khi có từ trường ngoài. Tiếp 8 theo hiệu ứng Hall lượng tử người ta đã tìm thấy những trật tự tôpô mới thông qua việc tìm ra chất điện môi tôpô. Chất điện môi tôpô giống như các chất điện môi thông thường, nó có khe năng lượng tách cấu trúc vùng năng lượng của vật liệu thành hai vùng, vùng hóa trị và vùng dẫn.
Tuy nhiên, phần bề mặt (hoặc cạnh biên trong không gian hai chiều) của chất điện môi tôpô có trạng thái dẫn không có khe năng lượng. Hiệu ứng Hall lượng tử cho thấy trạng thái biên có tính chất dẫn, và có kích thích không khe (gapless). Giống như trạng thái Hall lượng tử, trong trường hợp hai chiều chất điện môi tôpô ứng với mỗi cạnh biên có một trạng thái cạnh biên duy nhất. Đó là nguyên lý tương ứng khối –cạnh biên.
Nguyên lý này cho rằng tính chất tôpô trong khối luôn tương ứng với số trạng thái biên hay bề mặt. Do vậy nhiều khi thay vì đi tính bất biến tôpô của chất điện môi, người ta quan sát số trạng thái biên và từ đó xác định chất điện môi có tính chất tôpô hay không. Năm 2006, Bernevig, Hughes và Zhang [18] đề xuất tồn tại trạng thái Hall spin lượng tử, tên gọi lúc bấy giờ cho trạng thái điện môi tôpô hai chiều, trong giếng lượng tử HgTe/CdTe, mà ngay sau đó thực nghiệm đã xác định tính đúng đắn của đề xuất này [18]. Giếng lượng tử HgTe/CdTe là chất điện môi tôpô hai chiều đầu tiên có tính chất đối xứng nghịch đảo thời gian, khác với hệ Hall lượng tử, khi từ trường ngoài phá vỡ đối xứng nghịch đảo thời gian.
Trong giếng lượng tử HgTe/CdTe tương tác spin - quỹ đạo đóng vai trò quyết định tạo ra độ dẫn Hall lượng tử nguyên, không cần đến từ trường ngoài. Chính vì vậy mà ban đầu tính chất này được gọi là hiệu ứng Hall spin lượng tử, để phân biệt với hiệu ứng Hall lượng tử thông thường, khi điện tích trong từ trường đóng vai trò quyết định. Song song với khám phá trạng thái điện môi tôpô trong giếng lượng tử HgTe/CdTe, các nhóm nghiên cứu khác cũng đề xuất lý thuyết về chất điện môi Hall spin, một tên gọi khác cho chất điện 9 môi tôpô, có đối xứng nghịch đảo thời gian và liên kết spin - quỹ đạo [18], [20,21]. Từ đó hình thành lý thuyết vùng năng lượng cho chất điện môi tôpô hay chất điện môi tôpô Z2.
Xuất phát điểm của lý thuyết này là tính chất đối xứng nghịch đảo thời gian và liên kết spin - quỹ đạo. Định lý Kramer khẳng định rằng tất cả các trạng thái riêng của hệ có Hamiltonian bất biến đối với đối xứng nghịch đảo thời gian đều suy biến bậc 2. Khi không có liên kết spin - quỹ đạo, suy biến bậc 2 theo định lý Kramer đơn giản chỉ là suy biến theo spin lên và spin xuống. Nhưng khi có liên kết spin - quỹ đạo suy biến bậc hai này dẫn tới một hệ quả thú vị.
Do Hamiltionian bất biến theo nghịch đảo thời gian nên các trạng thái có động lượng km km G , trong đó G là vector mạng đảo, sẽ suy biến bậc 2. Các trạng thái có động lượng khác không còn suy biến bậc 2 do tương tác spin - quỹ đạo tách chúng ra. Có thể nhận thấy km nằm trên biên của vùng Brillouin thứ nhất, và thường là các điểm có tính chất đối xứng cao của mạng tinh thể.2, hình bên tay trái, các trạng thái liên kết nối với nhau bằng các đường đi qua mức Fermi số chẵn lần. Trong trường hợp này, các trạng thái biên có thể loại đi khỏi các trạng thái liên kết ra khỏi khe năng lượng.
Và do vậy các trạng thái điện môi ở biên vẫn mang tính điện môi. Ngược lại, ở hình bên phải của hình 1.2 khi các đường liên kết các trạng thái biên đi qua mức năng lượng Fermi số lẻ lần, các trạng thái biên không làm sao có thể loại bỏ được. Do vậy trạng thái biên mang tính dẫn, mặc dù trạng thái trong khối vẫn là điện môi. Đây chính là trường hợp của chất điện môi tôpô.
Vậy theo lý thuyết vùng năng lượng này, một chất điện môi tôpô có tính chất tôpô hay không phụ thuộc vào số lần các trạng thái biên có mức năng lượng cắt mức Fermi là chẵn hay lẻ, nên có thể ánh xạ nó vào nhóm Z2. Do vậy chất điện môi tôpô theo lý thuyết vùng năng lượng như trên còn được gọi là chất điện môi tôpô Z2. Kane và các cộng sự đã xây dựng một chỉ số theo nhóm Z2 để xác định một chất điện môi có phải là chất điện 10 môi tôpô hay không [18]. Chỉ số đó chính là bất biến tôpô.
Khi chỉ số đó bằng 0, chất điện môi là chất điện môi thông thường, và khi chỉ số đó bằng 1, chất điện môi là chất điện môi tôpô. Lưu ý ví dụ được xét ở trên chỉ có một cạnh biên. Khi hệ có hai cạnh biên số trạng thái biên ứng với tính chất tôpô của khối được tính cho mỗi cạnh biên. Chi tiết cụ thể về chất điện môi tôpô có thể xem trong các tài liệu tổng quan [18].
Đặc tính xác định chất điện môi tôpô này cũng có thể áp dụng cho chất điện môi 3 chiều. Thực nghiệm đã tìm ra chất điện môi tôpô 3 chiều như Bi2Se3, Bi2Te [ 18].2: Hệ thức tán sắc điện tử giữa hai suy biến Kramer tại a 0 và b / a. Trong hình (a) số trạng thái qua năng lượng Fermi là số chẵn, trong hình (b) là số lẻ. MẠNG TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC VÙNG NĂNG LƯỢNG PHẲNG Vùng năng lượng phẳng là vùng năng lượng không có tán sắc, có nghĩa là nó là một hằng số, không phụ thuộc vào động lượng.
Vùng năng lương phẳng xuất hiện trong các mạng tinh thể có cấu trúc khác nhau. Một trog những mạng tinh thể có cấu trúc đơn giản nhất có cấu trúc vùng năng lượng phẳng là mạng tinh thể Lieb. Mạng tinh thể Lieb được quan tâm nghiên cứu khá nhiều, vì ngoài tính chất có cấu trúc vùng năng lượng phẳng, nó còn có cấu trúc tương tự như cấu trúc cơ bản của các chất siêu dẫn nhiệt độ cao chứa oxit đồng. Khi chất điện môi tôpô được phát hiện, mạng tinh thể Lieb lại được quan tâm nghiên cứu và khi kết hợp với liên kết spin-quỹ đạo chúng có khả năng tạo ra trạng thái điện môi tôpô.
Do vậy có thể kỳ vọng vùng năng lượng phẳng , liên kết spin-quỹ đạo và tương quan điện tử có thể dẫn đến hiện tượng phân số hóa điện tích như trong hiệu ứng Hall lượng tử phân số. Do vậy trong chương này, trước tiên chúng tôi sẽ trình bày về cấu trúc vùng năng lượng trong mô hình tổng quát. Sau đó cấu trúc mạng tinh thể Lieb sẽ được trinh bày ở mục 2. Mô hình liên kết chặt và cấu trúc vung năng lượng sẽ được trình bày ở mục 2.4, liên kết spin-quỹ đạo sẽ được đưa vào.
Cuối cùng mục 2.5 trình bày về điều biến mạng và cấu trúc vùng năng lượng khi có điều biến mạng.