Chương 1 XÂY DỰNG MÔ HÌNH TOÁN HỌC HỆ THỐNG BÓNG VÀ THANH Hình 1.1: Mô hình toán học hệ thống bóng và thanh Trước tiên ta xác định phương trình động lực học nhằm có cái nhìn tổng quát về đối tượng. Bỏ qua hệ truyền động của động cơ, xét riêng hệ banh đòn bẩy thì ta có: Hình 1.2: Trục tọa độ và các lực thành phần trên hệ thống bóng và thanh 8 Luan van Theo hình 1.2 thì quả bóng được đặt trên một thanh nằm ngang và lăn tự do dọc theo chiều dài thanh. Cánh tay di động được gắn với thanh (beam) ở 1 đầu và đầu còn lại gắn với đĩa quay. Đĩa quay có thể thay đổi 1 góc là , và cánh tay di động hợp với thanh một góc .
Các lực tác động lên quả bóng làm quả bóng lăn tròn bao gồm các thành phần của lực hấp dẫn nằm song song với thanh. Gia tốc của quả bóng thực sự tăng lên đáng kể khi nó chuyển động lăn trên thanh. Chúng ta có thể đơn giản hóa các thành phần này bằng việc giả định rằng quả bóng sẽ chuyển động trượt mà không có ma sát trên thanh. Mô hình toán học của hệ thống bóng thanh bao gồm động cơ DC, quan hệ giữa góc alpha và góc theta, quả bóng chuyển động trên thanh.
Dựa vào định luật Kirchoff, áp vào motor DC có phương trình : di Vin I m Rm K b Lm (1.1) dt Để đơn giản phương trình động cơ DC ta bỏ qua điện cảm phần ứng của motor La (mH). Do đó phương trình động cơ DC là : Vin I m Rm K b (1.2) Hệ thống bóng thanh với lực tác động lên thanh beam như sau: 1 m ( J m Bm ) K m I m (1.3) Kg Trong đó Bm là hệ số ma sát và m lực quay của động cơ, từ (1.3) ta có : Rm J m R B Vin ( K b m m ) (1.4) Km K g Km K g Theo phương pháp Larrange động học của hệ thống được tính toán như sau: T = T1 + T2 (1.5) Với T1: là động học của thanh beam T2 : là động học của quả bóng.7) 2 2 2 2 Vì J 2 mR 2 , r R2 5 1 2 2 động năng của quả bóng là : ( mr ) (1.5) ta được phương trình động năng của hệ thống : 1 7 2 T ( J mr 2 ) 2 mr (1.9) 2 1 5 Trong khi đó thế năng của hệ thống : L P mg ( L r ) sin Mg sin (1.10) 2 Áp dụng phương trình toán Lagrange : 1 7 L LT P ( J 1 mr 2 ) 2 mr 2 mg ( L r ) Mg sin (1.11) 2 5 2 d L L dt d L L 0 dt r r L L (mg ( L r ) Mg ) cos 2 L ( J 1 mr 2 ) Mà : L mr 2 mg sin r L 7 mr r 5 10 Luan van Do đó thay vào ta được : L ( J1 mr 2 ) 2mrr (mg ( L r ) Mg ) cos 2 7 (1.12) r r 2 g sin 0 5 Phân tích các lực tác động lên hệ thống bóng thanh ta có phương trình: my mg N cos F sin (1.13) mz N sin F cos Với N là phản lực (N) , F là lực tác động (N). x 2 FR J , , J mR 2 R 5 Nhân 2 phương trình của (1.12) lần lượt cho sin và cos sau đó cộng 2 phương trình lại với nhau ta được: 2 my sin mz cos mg sin mr (1.14) 5 d y ( r sin r cos ) dt d Mà z ( r cos r sin ) dt y r sin , z r cos y sin z cos r r 2 Khi hệ thống quanh điểm cân bằng thì 0 , sin . 5 r g sin 7 Trong hệ thống bóng và thanh trục lệch mối quan hệ giữa và là: d (1.15) L 11 Luan van Hình 1.3: Mối quan hệ giữa vị trí động cơ và góc beam Kết hợp (1.15) ta có mô hình toán học hệ bóng và thanh trục lệch: L ( mr 2 K1 ) (2mrr K2 ) (mg ( L r ) Mg ) cos 2 (1.16) K 4 r r 2 g sin 0 Với : (t ) : góc thanh beam (rad/s) r (t ) : vị trí quả banh (m) (t ) : góc quay của của bánh đà (rad/s) m: khối lượng quả bóng (kg) M: khối lượng thanh beam (Kg) L: Chiều dài thanh beam (m) Rm: Trở kháng motor ( ) Jm: Moment motor (Kg.m2) Km: Hằng số motor Kg: hệ số tỉ lệ d: chiều dài cánh tay động (m) J1: Moment thanh beam (kg.m2) Kb: Hằng số Back EMF (V/rad/s) Với các thông số k1 , k2 , k3 , k4 được xác định như sau: 12 Luan van Rm J m L L K m Kb R B Km 7 K1 J1 K2 Kb m m K3 1 K4 Km K g d d Rm K m K g Rm 5 Vin(t): điện áp cấp cho động cơ; u(t) =K3Vin: là điện áp điều khiển hệ bóng và thanh Từ phương trình (2.16) ta có thể suy ra : 1 L 2 u (2mrr K 2 ) (mg ( L r ) Mg ) cos (1.18) K4 Đặt: x1 r , x2 r, x3 , x4 Ta suy ra : x1 x2 g x 2 sin x3 K4 x3 x4 (1.19) 1 L x 4 2 u (2mx1 x2 K 2 ) x4 (mg ( L x1 ) Mg ) cos x3 (mx1 K1 ) 2 13 Luan van Chương 2 ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT VÀ LOGIC MỜ 1.
Điều khiển trượt: Xét hệ thống động phi tuyến biểu diễn bởi phương trình vi phân sau: x ( n ) f ( X ) g ( X ). x ( n 1) là vector trạng thái u: tín hiệu điều khiển y: tín hiệu ra n: bậc của hệ thống Các hàm f = f(X), g = g(X) là các hàm phi tuyến không biết trước, nhưng biết trước các chặn trên và dưới của chúng. f min f f max , 0 g min g g max (2.2) Gọi r là tín hiệu đặt. Giả thiết r có đạo hàm theo t đến cấp n.
Định nghĩa: xd r x (1) r (1) Xd d . ( n 1) x xd( n 1) e ( n1) Mục tiêu điều khiển là xác định luật điều khiển u sao cho sai lệch tiến tới không khi t . Định nghĩa hàm trượt: S e( n 1) an 2 e( n 2) .4) 14 Luan van Các hệ số a0, a1, …, an-2 phải chọn sao cho phương trình đặc trưng của phương trình vi phân (2.5) Có tất cả các nghiệm với phần thực âm (thỏa tiêu chuẩn ổn định Hurwitz). Trong không gian trạng thái n chiều, phương trình S = 0 xác định một mặt cong được gọi là mặt trượt.
Luật điều khiển u được xác định sao cho S 0 trong khoảng thời gian hữu hạn. Trên mặt trượt S = 0, vì tất cả các nghiệm của (2.5) đều có phần thực âm nên E 0 khi t . Các quỹ đạo pha của hệ thống được đưa về mặt trượt. Bên trên mặt trượt, quỹ đạo pha bám theo điểm Xd một cách tiệm cận.
Để xác định luật điều khiển, đạo hàm (2.6) Sử dụng phương pháp Lyapunov, chọn một hàm xác định dương V có dạng: 1 2 V S (2.7) 2 Suy ra: V SS (2.8) Để V xác định âm cần chọn luật điều khiển u sao cho: Khi S >0 thì S <0 Khi S <0 thì S >0 Khi S =0 thì S =0 Có thể chọn: S k .9) 1, S 0 Với k>0 và sign(S)= 0, S 0 1, S 0 Thay (2.6) ta được luật điều khiển: 15 Luan van 1 u [f ( X ) xd( n ) an 2 ( x ( n 1) xd( n 1) ) .10) g( X ) Với k là hằng số dương. Gía trị của k được chọn sao cho trong trường hợp xấu nhất quan hệ SS 0 khi S 0 vẫn luôn thỏa mãn. Luật điều khiển u (2.10) đưa quỹ đạo pha của hệ thống về mặt trượt và duy trì một cách bền vững trên mặt trượt này.1: Hình chiếu của quỹ đạo pha Hiện tượng chattering: Điều khiển trượt lý tưởng đòi hỏi luật điều khiển phải thay đổi tức thời ngay tại thời điểm quỹ đạo pha của hệ thống vừa chạm vào mặt trượt để đảm bảo khi S = 0 thì S =0. Trong thực tế, điều này không thể thực hiện được do thời gian trễ hay quán tính của khâu chấp hành.
Kết quả là quỹ đạo pha tiếp tục vượt qua khỏi mặt trượt sau khi chạm vào nó và gây nên hiện tượng quỹ đạo pha dao động quanh mặt trượt (hiện tượng chattering) như hình 1. 16 Luan van Hình 2.2: Hiện tượng chattering Hiện tượng chattering là không mong muốn vì nó gây ra sai số điều khiển, làm phát nóng mạch điện tử, mài mòn các bộ phận cơ khí, kích động các mode tần số cao không được mô hình hóa, làm giảm chất lượng điều khiển hoặc mất ổn định. Người ta luôn tìm hiểu nhiều biện pháp khác nhau để làm giảm thiểu hoặc loại trừ hiện tượng này. Một số cách để khắc phục hiện tượng chattering là sử dụng hàm saturation, hàm sigmoid hoặc hàm Sat-PI thay thế cho hàm sign; dùng logic mờ để giảm hiện tượng chattering.