Chương 4 QUAN HỆ TUYẾN TÍNH VÀ CÁC HÀM TRUYỀN ĐẠT 4.QUAN HỆ TUYẾN TÍNH GIỮA CÁC BIẾN ĐIỀU HOÀ 4. Quan hệ tuyến tính 4. Khái niệm quan hệ tuyến tính giữa các biến Trong một tập hợp các biến trạng thái của một hệ thống, ta ký hiệu các kích tỉ fi(t),. x„(t), các biến ấy được gọi là quan hệ tuyến | với nhau nếu chúng liên hệ với nhau bằng một hệ phương trình vi tích phân tuyến ¡ hoặc những toán tử tuyến tính.
Vị dụ: 1) Các biến dòng, áp trong mạch Kirchhoff có quan hệ tuyến tính thông qua phương trình tuyến tính KCL và KLV. 2) Nếu ký hiệu tắt các toán tử vi tích phân: oe =D; fat =D", thi:. ¬l - Mạch r-L-C nối tiếp có tổng trở Z. là: Z=LT +r+C idt =LD+r+ - Mach r-L-C song song có tổng dẫn Y là: Y =CD+g+D/L 4.
Cửa Khái niệm "cửa" theo nghĩa chung nhất, được hiểu là một bộ phận sơ đồ mạch, t đó có thể đưa vào hoặc lấy ra tín hiệu. Trong mạch Kirchhoff, đối với các biến nhánh, "cửa" thường là một cặp đỉnh; nhiên, đối với các biến đỉnh như dòng, thế đỉnh (j, @) so với một đỉnh mốc, "cửa" s một đỉnh; còn đối với các biến vòng như dòng vòng, sức điện động vòng (1„ e,), "C lại là một vòng hoặc bù cành. Ý nghĩa quan hệ tuyến tính Mot quan hé tuyén tính, với những toán tử và hệ số đã cho, là một đặc a toan của một mạch tuyến tính. Vận dụng những quan hệ tuyến tính, có thể xây dựng những phương pháp khảo toàn hệ cũng như một bộ phận kết cấu mạch như mạng một cửa, mạng hai cửa h nhiều cửa.
Quan hệ tuyến tính giữa các biến điều hoà Quan hệ tuyến tính giữa các biến điều hòa trong mạch tuyến tính thường được mô tả dưới dạng các phương trình ảnh phức, cụ thể: Trong hệ phương trình mạch có n kích thích cùng tần số, nếu chỉ mội kích thích (giả sử F› ) biến động thông số, còn các kích thích khác không dổi, có thể viết quan hệ tuyến tính của đáp ứng X, với riêng F, hoặc với riêng một đáp ứng X , tùy ý khác như sau: x, =T,F+X,, [4.1-2] Nhu vậy, nếu có m kích thích đánh số từ F, đến Ê_ biến động thông số, thì: Ä, =T,Ê +.= Ta =2 - là một phức xác định (không kể các đáp ứng do kích thích biến động gây ra) Ox Ty, = Ti, (6) =— - là hàm truyề đạt riéng ntir F sang ÄX,, ứng với mỗi tần số @, 1 Tạ là một số phức xác định. Am, B- IA các hệ số truyền đạt Ví dụ 4-1-1: Cho mạch điện hình 4-1, khi tổng trở tải Z„- biến động, dòng và áp các nhánh sẽ biến động theo. Hãy aj tìm quan hệ giữa Ù và Ï trên tải. 2, | | Ke T Gidi: Trong mạch có một phần tir bién dong duoc, (4) & vậy theo [4.1-2] có thể viết quan hệ giữa cặp đáp ứng b Ủ và Ï dưới dang: Hinh 4.1 U=Ai+B (a) Muốn tìm A, B, ta xét hai chế độ ứng với hai trị s6 cu thé cia Zp.
Khi Z+ = œ, ta có Ï =0, cực a, b hở mạch, sẽ có một điện áp hở mạch Un Thay vào (a) ta được: , Ủ,„ = A.0+B, tức là: B=U, (b) va U=Ai+U,, (c) Từ sơ đồ, với Ï=0, ta có: Ủ,„= E, Z,=B (d) Z,+Z, Để tìm hệ số A, ta xét với Z = 0. =È,/Z, là chế độ ngắn mạch trên tải. Thay các quan hệ đó vào (c), ta có: O=Ai_,+U,, => A=-Ủ„„/Ï_. =-———= - 11, 6235, 5°Q 15,6⁄-15° ˆ Kết quả, ta được quan hệ giữa U vai la: ÚỦ =—11,6⁄⁄35,5°Ï+180,8⁄20,5°V Ví dụ 4.1-2: Xét một mạch tuyến tính phức tạp dùng để truyền tín hiệu một chiều từ đầu vào 1 đến một điện trở tải rr đặt ở đầu ra 2.
Làm thí nghiệm xác địnhcác thông số mạch, ta biết được ba trạng thái mạch ở đầu vào và đầu ra như bảng sau: Kích thích Ú, (V) Đáp ứng Ủ; (V) umg I, (A) 0 0 0 5 0 2 10 5 0 1) Hãy tìm quan hệ tuyến tính giữa điện áp vào U; với áp và dòng ra U;, l¿. 2) Khi điện áp vào U¡ = 17V, muốn áp ra là 6V thì điện trở tải rr phải bằng bao nhiêu? Giải: Trong mạch này, theo [4.1-4], mỗi biến trạng thái phải quan hệ tuyến tính ít nhất với hai biến khác, ta viết được quan hệ tuyến tính như sau: U, = AU, + BI, +C (a) Thay số liệu thí nghiệm ba trạng thái, ta được ba phương trình: 0=A.0+C Nghiệm của hệ phương trình này là: A = 2; B= 2,5; C=0 (b) 67 '1) Thay (b) vào (a), ta được kết quả cần tìm: U¡ = 2.1, hay 1,=2A Vậy lúc đó, điện trở tải phải bằng: r= U,/ I, = 6/2 = 3Q. CÁC HÀM ĐẶC TRƯNG MẠCH TUYẾN TÍNH HỆ SỐ HẰNG 4. Hàm truyền đạt Đối với mô hình mạch Kirchhoff, các biến đáp ứng và kích thích gồm hai loại là áp điện áp, điện thế, sức điện động) và đòng (dòng điện và nguồn dòng).
ứng với nó có bốn tàm truyền đạt chính sau đây: 4. Hàm truyền đạt áp đo khả năng cung cấp áp thứ k từ riêng một nguồn áp thứ n, dạng: SỐ Kou= Wim ØE„ hoặc OM dE” › ae V. Hàm truyền dat dòng đo khả năng cung cấp dòng thứ k từ một nguồn dòng hứ m, dạng: Ko =>— hoặc —~ V. Hàm tổng dân đo khả năng truyền dòng thứ k từ một minh nguồn áp thứ m kể cả m = k), dạng: Yu = al, hoặc Ay a, [4.
Hàm tổng trở do khả năng cung cấp áp thứ k từ một mình nguồn dòng thứ n (kể cả m = k), dạng: Z = Uy, hoặc OF OMe yy.2-4] ra) } al aj 4. Tính tương hỗ các hàm tổng dẫn Y„„ và tổng trở Z„y Trong mạch Kirchhoff thường có các phần tử thụ động ghép sắn từng cặp với nhau, ược hiểu là giữa chúng sắn có quan hệ hàm truyền đạt (trở, dẫn, truyền áp, truyền òng) nào đó, không tuỳ thuộc cách bố trí chúng trong mạch. Ta định nghĩa, hàm truyền đạt của một cặp phần tử mạch (m và k) ghép nhau là tyến tính và tương hỗ nếu những hàm truyền đạt ghép chúng là tuyến tính và thuận chích, tức là: Z hoặc Kamk = Kiem hode King = Kiem [4.2 Vi dụ, hai cuộn dây hỗ cảm tuyến tính có tính tương hỗ vì Z„w = Z,,,- Nhung c ghép các dây quấn biến áp, biến dòng, các hàm K, # l1; K; # 1 thi không có tính tư: hỗ vì không đảm bảo các quan hệ [4. Định lý về tính tương hỗ của tổng dẫn và tổng trở Mét mach Kirchhoff chỉ gồm những phần tử tuyến tính, trong đó, mọi cặp ghép nh.
đều tương hô thì hàm tổng dẫn và hàm tổng trở giữa mọi cặp cửa (nhánh, đỉnh, vòn; trong mạch đều có tính tương hồ. Yon=YamVa Zen = Zinn [4. Ý nghĩa của định lý tương hỗ Các biểu thức [4.2-7] cho ta thêm một quan hệ hàm hỗ dẫn và hỗ trở trong một Ì mạch tuyến tính có những đặc điểm riêng đã nêu. Chúng giúp ta trong việc hiểu và : định hàm truyền đạt này.
Cụ thể, với loại mạch thoả mãn những điều kiện đã nêu, thì: - Chỉ cần tìm một nửa các hàm hỗ trở, hỗ dẫn; ví dụ, biết Y„.„ cũng tức là biét Y,,,,. - Trong viéc tinh hodc do mot trong hai ham Y,,,, Y,,, hay Zn» Zpm t4t nhién chọn hàm nào dễ xác định hơn. Từ định lý tương hỗ, có thể suy ra: - Các hàm truyền đạt áp, dòng Kme; K;¡„v, nói chung, không tương hỗ. - Những hàm tổng trở, tổng dẫn trong mạch chứa các điểm cực phần tử bán dẫn.
« không tương hỗ.2-I: Hãy vận dụng tính tương hỗ tìm dòng điện trên nhánh 5, dưới tác dụng : nguồn sức điện động trong nhánh 6 ở sơ đồ hình 4-2a. Tính bằng số với rạ = rạ = rạ = l( 1, = 40Q; 1,= 11Q va E= 12V. Giai: Néu ding mach hinh 4-2a, tinh dòng I; rất khó khăn, vi phai giai ba phu trình dòng vòng. Nhung theo định lý tương hỗ, dòng I¿ trong mạch hình 4-2a cũng b dong |, trong mạch hình 4-2b.
Phân tích mạch hình 4-2b, ta thấy sức điện động E cung cấp cho tổng trở gồm rạ n tiếp với r;//rạ, nối tiếp r,//ry. Do đó: E 12 =0,5A 10+40 10+10 L=IL,—5—=0,s—!?— =0,1A +r, 10+ 40 1, =1, 5 =0,5—? _=0,25a +r, 10+10 Dùng KCL, ta có: Ig = Iy - Ig = 0,25 - 0,1 = 0,15A. Vì mach cé tuong hé nén dong |, nay chinh la dong I, can tim trong so dé hinh 4-2 Từ đây, ta cũng tìm được tổng dẫn tương hỗ giữa hai nhánh 5 và 6: Y5¢ = Yes =1. Ứng dụng của ham truyền đạt Với một mạch Kirchhoff hệ số hằng có kết cấu và những phần tử thụ động đã ch quan hệ truyền đạt giữa hai cửa hoàn toàn đặc trưng bởi những hàm truyền đạt xác địn của tần số.
Chúng rất tiện khảo sát hoặc tìm đáp ứng trên các cửa theo những kích thíc phân bố trong mạch, nhất là vì đối với hệ tuyến tính có thể dùng phương pháp xếp chén tìm đáp ứng truyền từ những cửa kích thích khác nhau đến một cửa đã cho.2-2: Cho một mạch có kết cấu hình T (hình 43a), hãy tìm các thông số TY.3 Giải: Sơ đồ tìm tổng trở và tổng dẫn vào nhánh I vẽ ở hình 4-3b, với nguồn kích thích E, đặt vào nhánh I. Theo sơ dé ấy, khi tìm được dòng Ï, sẽ tính ra Y¡; và Z,, Dùng phương pháp dòng điện vòng ta viết được phương trình mạch: (Z,+Z,)l, -Z,1, =E, -Z,1,+(Z,+Z,)i, =0 | 70 Giải hệ phương trình ta được: =i, = E 415 'Z,Z,+Z,Z,+Z,Z, Vay: Y,=—^2!1“__— Z,Z,+Z,Z,+Z,Z, z,, = =. 5T r2 > Yp =Y, "°° ZZ, +Z,L, 5 +22, Dé tim Yz, Zp», ta lai dat một nguồn kích thích È, vào nhánh 2 trong sơ đồ hình 5-3a, rồi tính dòng Ï, ; tương tự, ta cũng có: L-b,_—^!12——_ Z,Z,+Z,Z,+Z,Z, Va: Y=—_ 212 — 2n 6A 1a Si °Z7,+2,7+7.2-3: Tinh Z„¡ giữa cặp nút 2-2' và 1-]' trong sơ đồ hình ð (hình 4-4). Giải: Muốn tìm Z„¡, ta bơm vào cặp nút 1-1' một nguồn dòng i, va tim đáp ứng áp trên cặp nút ¡, 1 2-2.
Nguồn dòng sẽ phân phối vào hai nhánh ghép sơng song có tổng trở Z„¡ và (Z2 + Z„a). i, Dòng chạy vào nhánh có Z„; bằng: -" Hình 44 ¬ Za 2 À0 ng. :¿ Dòng này gây ra điện áp trên cặp nút 2-2" có giá trị bằng: U, 2 =1,.Z,, 2~*~a2 =, 7n —""—_ Za +4 +Z„ n2 Vậy, tổng trở tương hỗ cần tìm là: Z„ =U;__ ZmxZuz — I, Z4+2Z,+Z,2 Vi du 4.2-3: Tim hé s6 truyền đạt K, và K; từ cửa vào 1 đến cửa 2 trong sơ đồ hình T (hình 4-3a, ở ví dụ 4.