CHƯƠNG 1. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 18 Ta có hệ số của chuỗi lũy thừa như sau: y(0) = 1 y(T) = 4 y(2T) = 8 y(3T) = 8 Hay hàm thời gian y(t) có dạng: y(t) = δ(t) + 4δ(t-T) + 8δ(t-2T) + 8δ(t-3T) +. là một số mẫu đầu của y(t). Một số mẫu đầu của y(t) trong Ví dụ 1.
Nhược điểm của phương pháp chuỗi luỹ thừa là phương pháp này không đưa đến dạng chính xác của kết quả cần tìm. Khi cần tìm dạng chính xác của hàm thời gian, chúng ta cần sử dụng các phương pháp khác. Phương pháp 2: Khai triển thành phố các phân số riêng Tương tự như kỹ thuật biến đổi Laplace ngược, một hàm Y(z) có thể được khai triển thành các phân số riêng. Sau đó chúng ta dùng bảng của các biến đổi Z của các hàm thông dụng để tìm ra biến đổi Z ngược của các phân số này.
Nếu nhìn vào bảng biến đổi Z, chúng ta thấy chỉ có thành phần z ở tử số. Do đó sẽ thuận tiện hơn nếu chúng ta tìm biến đổi Z của các phân số riêng của hàm y(z)/z và sau đó nhân các phân số riêng này với z để xác định được y(z) và sau đó nhân các phân số riêng này với z để xác định được y(z). CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 19 Ví dụ 1. Tìm biến đổi Z ngược của hàm sau: Lời giải: Trước tiên chúng ta có thể biểu diễn lại phương trình trên như sau Các giá trị của A và B được xác định từ phương trình sau A(z-2)+B(z-1)=(A+B)z-(2A+B)=1 Dễ dàng suy ra A=-1 và B = 1 do đó hay Mặt khác ta lại có: Cho nên y(nT) = -1 + 2n Ta có các hệ số của chuỗi luỹ thừa như sau y(0) = 0 y(T) = 1 y(2T) = 3 y(3T) = 7 y(4T) = 15.
Hay hàm thời gian y(t) có dạng y(t) = δ(t - T) + 3δ(t - 2T) + 7δ(t - 3T)+15δ(t - 4T)… 1. Hàm truyền của hệ thống điều khiển số Hàm truyền xung là tỷ số biến đổi Z của đầu ra so với đầu vào lấy mẫu tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau. Giả thiết chúng ta muốn lấy mẫu một hệ thống với đáp ứng đầu ra như trên hình 1. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 20 Hình 1.9: Lấy mẫu một hệ thống.
Dạng tín hiệu lấy mẫu của tín hiệu đầu ra có dạng như sau (1.23) Phương trình (1.23) có nghĩa là nếu có tối thiểu một hàm liên tục được lấy mẫu thì biến đổi Z của tích bằng tích biến đổi Z của mỗi hàm (chú ý rằng ). Điều này có nghĩa là một tín hiệu đã được lấy mẫu rồi sẽ không có tác dụng với lấy mẫu nữa. G(z) là hàm truyền giữa tín hiệu đầu ra và đầu vào lấy mẫu tại các thời điểm lấy mẫu khác nhau và được gọi là hàm truyền xung. Chú ý từ phương trình (1.23), chúng ta không có thông tin đầu ra về y(z) giữa các thời điểm lấy mẫu.
Hàm truyền hệ thống hở 1. Hàm truyền hệ hở Trong phần này chúng ta sẽ khảo sát một số ví dụ thao tác các sơ đồ khối của các hệ thống vòng hở: Ví dụ 1.10 Trình bày một hệ thống dữ liệu lấy mẫu vòng hở. Xác định biến đổi Z của đầu ra hệ thống. Hệ vòng hở Ví dụ 1.
Lời giải: Đối với hệ thống này, chúng ta có thể viết CHƯƠNG 1. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 21 hoặc và Ví dụ 1.11 trình bày một hệ thống lấy mẫu vòng hở. Xác định biến đổi Z cuả đầu ra hệ thống. Hệ vòng hở Ví dụ 1.
Lời giải: Đối với hệ thống này chúng ta có thể viết hoặc và Ở đây nếu G1(p) = 1 và G2(p) = a p p+a Từ bảng biến đổi Z ta có: và đầu ra của hệ thống sẽ là CHƯƠNG 1. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 22 Ví dụ 1.12 trình bày một hệ thống lấy mẫu vòng hở. Xác định dạng biến đổi Z của đầu ra hệ thống Hình 1. Hệ vòng hở Ví dụ 1.
Lời giải: Đối với hệ vòng hở này chúng ta có thể viết x(p) = e*(p)G1(p) hoặc Và hoặc Cuối cùng ta có biến đổi Z của tín hiệu ra có dạng như sau: y(z) = e (z) G1(z)G2(z) Nếu G1(p) = 1 và G2(p) = a p p+a Khi đó ta có: và Đầu ra của hệ thống sẽ là: 1. Đáp ứng thời gian vòng hở Đáp ứng thời gian của một hệ thống dữ liệu lấy mẫu có thể thu được bằng cách tìm biến đổi Z ngược của hàm đầu ra. Chúng ta sẽ làm rõ khái niệm này thông qua các ví dụ. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 23 Ví dụ 1.
Một tín hiệu bước nhảy đơn vị được đặt vào một hệ RC điện như trên hình 1. Tính và vẽ đáp ứng đầu ra của hệ thống, giả thiết chu kỳ lấy mẫu là T=1s Hình 1. Hệ thống RC với tín hiệu đầu vào bước nhảy. Lời giải: Hàm truyền của hệ RC là Đối với hệ thống này ta có thể viết và Biến đổi Z của hàm đầu ra có dạng như sau y(z) = u(z)G(z) Biến đổi Z của hàm bước nhảy đơn vị có dạng như sau Hàm truyền G(p) có thể viết lại như sau Trong đó a =1/RC.
Mặt khác, theo bảng biến đổi Z của một số hàm thông dụng (bảng 1.1) Ta dễ dàng suy ra CHƯƠNG 1. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 24 Do đó biến đổi Z của hàm đầu ra là Nếu chu kỳ lấy mẫu T=1s, R=1Ω, C=1F thì Đáp ứng đầu ra có thể thu được bằng cách tìm biến đổi Z ngược của y(z). Bằng cách khai triển y(z) thành các phần số từng phần ta có hay Mặt khác ta có biến đổi Z ngược của z/(z-a) như sau đáp ứng đầu ra sẽ có dạng y(nT) = 1,582-0,582(0,368)n Từ phương trình trên ta có một số mẫu đầu như sau y(0) = 1 y(T) = 1,367 y(2T) = 1,503 y(3T) = 1,552 y(4T) = 1,571. Đáp ứng đầu ra là y(t) = δ(t) + 1.
Đáp ứng đầu ra của hệ thống RC. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 25 Một điều quan trọng là đáp ứng chỉ được biết tại các thời điểm lấy mẫu. Nếu diện tích của tụ được xả qua điện trở giữa các khoảng chu kỳ lấy mẫu thì sẽ xảy ra hiện tuợng suy giảm theo hàm mũ của đáp ứng giữa các khoảng thời gian lấy mẫu. Tuy nhiên hiện tượng này không thể xác định được bằng phương pháp biến đổi Z của quá trình phân tích.
Hàm truyền hệ thống kín 1. Hàm truyền hệ thống kín Trong phần này chúng ra sẽ xem xét một số ví dụ về thao tác sơ đồ khối hệ vòng kín (hệ có phản hồi).15 Trình bày sơ đồ khối của một hệ thống vòng kín. Xác định hàm truyền của hệ thống. Hệ thống dữ liệu lấy mẫu của Ví dụ 1.
Đối với hệ thống hình 1.15 ta có thể viết e(p) = r(p)-H(p)y(p) và y(p) = e*(p)G(p) Thay y(p) vào phương trình e(p) ta có e(p) = r(p) - H(p) G(p)e*(p) Hoặc: e*(p)= r*(p)e*(p) Từ phương trình trên ta suy ra e*(p) như sau Đầu ra lấy mẫu là: CHƯƠNG 1. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 26 Ở dạng biến đổi Z ta có: Và hàm truyền của hệ thống là: Ví dụ 1.16 trình bày sơ đồ khối của một hệ thống vòng kín. Xác định hàm truyền của hệ thống. Hệ thống dữ liệu lấu mẫu Ví dụ 1.
Lời giải: Đối với hệ vòng kín trên hình 1.16 ta có: y(p) = e(p)G(p) và e(p) = r(p) - H(y)y*(p) Thay e(p) vào phương trình y(p) ta có: y (p) = [r(p) - H(p) y*(p)]G(p) y(p)=r(p)G(p) - G(p)H(p)y*(p) hay y*p) = Gr*(p) - GH*(p)y*(p) Từ phương trình trên ta xác định được y*(p) như sau: và CHƯƠNG 1. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 27 Ví dụ 1. Cho một hệ thống điều khiển vòng kín có sơ đồ khối như trên hình 1. Xác định hàm truyền của hệ thống.
Lời giải: Bộ chuyển đổi A/D có thể được xem như là một bộ lấy mẫu lý tưởng. Tương tự bộ chuyển đổi D/A ở đầu ra của bộ điều khiển có thể được xem như là một giữ bậc không (ZOH). Chúng ta biểu thị hàm truyền của bộ điều khiển là D(p) và hàm truyền kết hợp giữ bậc không và đối tượng điều khiển là G(p). Do đó sơ đồ tương đương của hệ thống được biểu diễn như trên hình 1.
Hệ thống dữ liệu lấy mẫu của Ví dụ 1. Sơ đồ tương đương của thống dữ liệu lấy mẫu hình 1. Đối với hệ thống này chúng ta có thể viết: e(p) = r(p) - H(p)y(p) và y(p) = e*(p)D*(p)G(p) Từ hai phương trình trên, ta có thể viết: e(p) = r*(p) - GH*(p)D*(p)e*(p) hoặc e*(p) = r*(p) - GH*(p)D*e*(p) Từ phương trình trên ta suy ra e*(p) có dạng như sau: CHƯƠNG 1. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 28 Đầu ra của hệ thống y(p) có dạng như sau: Dạng lấy mẫu của đầu ra có dạng như sau: Do đó biến đổi Z của đầu ra có dạng như sau: Hay hàm truyền của hệ thống là: 1.
Đáp ứng thời gian của hệ thống vòng kín Đáp ứng thời gian của hệ thống vòng kín được xác định bằng biến đổi Z ngược của hàm đầu ra. Trong phần này chúng ra sẽ xét một số ví dụ về đáp ứng thời gian của hệ thống vòng kín Ví dụ 1. Một tín hiệu bước nhảy đơn vị được đặt vào một hệ thống số như trên hình 1. Xác định đáp ứng đầu ra của hệ thống với giả thiết chu kỳ lấy mẫu là 1s.
Đầu ra của hệ thống ở dạng biến đổi Z. Đầu ra của hệ thống ở dạng biến đổi Z có dạng biến đổi như sau: Ở đây CHƯƠNG 1. CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI Z 29 ,G và H Thay r(z), G(z) và H(z) vào phương trình y(z) ta có Với giả thiết T = 1s ta có hay Đáp ứng thời gian của hệ thống sau 10 chu kỳ lấy mẫu có dạng như trên hình 1. Đáp ứng thời gian của hệ thống trong Ví dụ 1.
Sử dụng Matlab để tìm biến đổi Z và biến đổi Z ngược Trong Matlab, hộp công cụ hệ thống điều khiển hỗ trợ việc thiết kế hệ thống điều khiển thời gian rời rạc. Trong phần này chúng ta sẽ đề cập đến một số lệnh thông dụng để xác định biến đổi Z. Để chuyển một hàm liên tục (hay hàm ở dạng biến đổi Laplace) thành một hàm rời rạc chúng ta sử dụng lệnh ''c2d''. Lệnh này đòi hỏi phải nhập vào giá trị của chu kỳ lấy mẫu.