Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cần dùng cho các phân tích, chứng minh trong luận văn và một vài ví dụ minh họa. Cụ thể là một số kiến thức mở rộng về ma trận, chuẩn và một vài kiến thức cơ bản về PTVP.1 Một số khái niệm về ma trận 1.1 Ma trận Metzler, ma trận dương. Nghịch đảo Drazin Định nghĩa 1. Cho ma trận A = [aij ] ∈ Rn×n, 1 ≤ i, j ≤ n.
A được gọi là một ma trận Metzler nếu tất cả các phần tử, ngoại trừ những phần tử trên đường chéo chính, là không âm, tức là aij ≥ 0, ∀i 6= j. A được gọi là ma trận không âm (nonnegative matrix) và viết là A ≥ 0 nếu aij ≥ 0, ∀i, j = 1, 2,. A được gọi là ma trận dương (positive matrix) nếu tất cả các phần tử của A là dương, tức là aij > 0, ∀i, j = 1, 2,. Trong đại số tuyến tính, chúng ta đã biết đến khái niệm ma trận nghịch đảo của một ma trận vuông khả nghịch.
Mở rộng khái niệm này chúng ta có các khái niệm nghịch đảo khác, chẳng hạn: nghịch đảo nhóm, nghịch đảo Drazin, nghịch đảo suy rộng. Trong phần này chúng tôi trình bày về khái niệm nghịch đảo Drazin và một vài kết quả liên quan. 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Định nghĩa 1. Cho ma trận A ∈ Cn×n.
Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của A và kí hiệu là ind(A) = k nếu k là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn rank Ak = rank Ak+1. Ma trận X ∈ Cn×n được gọi là nghịch đảo Drazin của A nếu X thỏa mãn đồng thời các biểu thức Ak XA = Ak , XAX = X, AX = XA. Nghịch đảo Drazin của ma trận A kí hiệu là AD. Từ định nghĩa ta có ngay rằng, khái niệm nghịch đảo thông thường là trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin, tức là nếu A là khả nghịch theo nghĩa thông thường thì AD = A−1.
Ta có một số kết quả sau về nghịch đảo Drazin. Trong định lý này ta chỉ xét các ma trận vuông. Khi đó ta có các khẳng định sau: (a) Nghịch đảo Drazin của ma trận A luôn tồn tại và duy nhất, (b) Nghịch đảo Drazin của ma trận lũy linh là ma trận không, (c) Nếu P là ma trận chiếu, P 2 = P , có chỉ số ind P ≤ 1 thì P D = P , (d) (A∗ )D = (AD )∗ , (e) (AT )D = (AD )T. Ví dụ sau chỉ ra ma trận nghịch đảo Drazin của một ma trận suy biến.
Xét ma trận: " # 1 0 0 A= 0 0 1. 0 0 0 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có rank A = 2, rank A2 = rank A3 = 1 nên ind(A) = 2. Vì det A = 0, nên không tồn tại A−1. Tuy nhiên ta có thể kiểm tra " # 1 0 0 X= 0 0 0 0 0 0 thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 1.2, tức là AD = X .2 Khai triển kì dị Khai triển kì dị (Singular Value Decomposition) là một công cụ đại số tuyến tính rất mạnh và hữu dụng, được sử dụng trong nhiều bài toán liên quan đến ma trận mà khi áp dụng các phương pháp như khử Gauss hay phân tích LU sẽ cho kết quả với sai số lớn.
Phân tích SVD dựa trên định lý sau, xem [6]. Khi đó luôn tồn tại các ma trận trực giao U ∈ Cm×m, V ∈ Cn×n và ma trận đường chéo D := diag(σ1,. , σr ) trong đó σi, 0 ≤ i ≤ r, là các căn bậc hai dương (kể cả bội) của các giá trị riêng của ma trận A∗ A thỏa mãn D 0 ∗ A=U 0 0 V. D 0 Ta thường ký hiệu Σ := 0 0 ∈ Rm×n và khai triển A = U ΣV ∗ được gọi là khai triển kỳ dị của ma trận A.
Các véc-tơ cột của ma trận U được gọi là các véc-tơ kỳ dị trái, và các véc-tơ cột của ma trận V được gọi là các véc-tơ kỳ dị phải, còn σi được gọi là các giá trị kỳ dị của ma trận A. Để tìm khai triển kì dị của một ma trận A ta đi tìm các véc-tơ riêng của các ma trận A∗ A và AA∗. Cụ thể các véc-tơ riêng đơn vị của A∗ A là các véc-tơ cột của V , còn các véc-tơ riêng đơn vị của AA∗ là các véc-tơ cột của U , các giá trị kỳ dị của A là các căn bậc hai của các giá trị riêng 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com của A∗ A hoặc AA∗. Tìm khai triển kì dị cho ma trận sau: 1 1 2 A= 2 2 4.
Ta có 6 12 AAT = 12 24 , nên 6−λ 12 2 det(AAT − λI) = 12 24 − λ = λ − 30λ. Suy ra các giá trị riêng của AAT là λ1 = 30 và λ2 = 0, hay A có một giá √ trị kì dị là σ1 = 30. Ta có các véc-tơ riêng đơn vị ứng với các giá trị riêng λ1 và λ2 của ma trận AAT là " # " # √1 −2 √ u1 = √2 5 và u2 = √1 5 , 5 5 nên " # √1 −2 √ U= 5 5. √2 √1 5 5 Tiếp tục ta có " # 5 5 10 AT A = 5 5 10 , 10 10 20 nên 5−λ 5 10 T det(A A − λI) = 5 5−λ 10 = −λ3 + 30λ2.
10 10 20 − λ Suy ra các giá trị riêng của AT A là λ1 = 30 và λ2 = λ3 = 0, hay A có một √ giá trị kỳ dị là σ1 = 30. Khi đó ma trận Σ là √ Σ= 30 0 0. 0 0 0 9 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ta có các véc-tơ riêng đơn vị ứng với các giá trị riêng λ1 , λ2 và λ3 của ma trận AT A là 1 1 1 √ √ √ 6 2 3 √1 v1 = 6 , v2 = √ −1 và v3 = √13 , 2 √2 0 −1 √ 6 3 nên 1 √ √1 √1 √16 −1 2 3 √1 V = 6 √ 2 3. Vậy khai triển kì dị của ma trận A là A = U ΣV T 1.3 Phổ và chỉ số Ở đây ta nhắc lại một số khái niệm về phổ và chỉ số của cặp ma trận, xem [4].
Cho cặp ma trận (E, A), E, A ∈ Kn×n. Ngược lại, nếu với mọi λ ∈ C mà det(λE − A) = 0 thì ta nói rằng cặp (E, A) suy biến. Trường hợp E = I 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ta có khái niệm phổ của ma trận A, σ(A). Nếu E suy biến và cặp (E, A) chính quy thì ta nói rằng (E, A) có giá trị riêng ∞.
Trong khuôn khổ luận văn này, ta chỉ xét các cặp ma trận (E, A) chính quy. Khi đó ta biến đổi về dạng chính tắc Weierstrass-Kronecker, tức là tồn tại các ma trận không suy biến W, T ∈ Cn×n sao cho Ir 0 J 0 E = W 0 N T −1 và A = W 0 I T −1, (1.1) n−r trong đó Ir , In−r là các ma trận đơn vị có cỡ tương ứng là r và n − r, J ∈ Cr×r và N ∈ C(n−r)×(n−r) là các ma trận dạng Jordan và N là ma trận lũy linh. Nếu E khả nghịch thì r = n. Xét cặp ma trận chính quy (E, A) với E, A ∈ Kn×n được viết ở dạng chính tắc Weierstrass-Kronecker.
Nếu r < n và N là lũy linh chỉ số ν ∈ {1, 2,. , ν − 1, thì ν được gọi là chỉ số của cặp (E, A) ứng với phương trình vi phân E ẋ(t) = Ax(t), kí hiệu ind(E, A) = ν. Nếu r = n thì ta nói phương trình vi phân tương ứng có chỉ số ν = 0. Ta xét ví dụ sau.
3 −2 1 3 −1 1 2 Có thể kiểm tra, một dạng chính tắc Weierstrass-Kronecker của cặp (E, A) là "# " # 1 0 0 2 0 0 E = W 0 0 1 T −1, A = W 0 1 0 T −1, 0 0 0 0 0 1 ở đó " # " # 1 −1 0 2 3 −1 W = 0 2 1 , T = 1 0 0. −1 1 3 0 2 0 Suy ra ind(E, A) = 2. Xét cặp ma trận (E, A) chính quy, từ dạng Weierstrass-Kronecker 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Hơn nữa, ta có det(λE −A) = det W.
det T −1 cho nên deg det(λE − A) = deg det(λIr − J) + deg det(λN − In−r ). Do đó, det deg(λE − A) =rankE = r nếu và chỉ nếu ind(E, A) ≤ 1.2 Chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận Tiếp theo, ta nhắc lại về chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận, xem [6]. Chuẩn của véc-tơ x = (x1, x2 ,. , xn)T ∈ Kn là một hàm f : Kn → R thỏa mãn các tính chất sau: (i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ Kn ; f (x) = 0 ⇔ x = 0; (ii) f (αx) = |α|f (x), ∀α ∈ R, x ∈ Kn ; (iii) f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Kn.
Ta thường kí hiệu f (x) bởi kxk, tức là f (x) = kxk. Một lớp các chuẩn thường được sử dụng là chuẩn p được định nghĩa dưới đây: 1 kxkp := |x1 |p + |x2|p +. Trong đó, các chuẩn quan trọng là k.k∞ , cụ thể là kxk1 = |x1 | + |x2 | +. 1≤i≤n Cho ma trận A ∈ Km×n , chuẩn của ma trận A, kí hiệu là kAk, cũng được định nghĩa tương tự như định nghĩa chuẩn véc-tơ.
Các chuẩn ma trận thường gặp là chuẩn - p. kAxk Chuẩn-p là chuẩn được xác định bởi công thức kAkp = maxx6=0 kxkpp. Ta có vài trường hợp đặc biệt tương ứng với chuẩn véc-tơ sau: • Với p = 1, ta có chuẩn cực đại theo cột: kAk1 = max Σni=1|aij |. 1≤j≤n 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com • Với p = ∞, ta có chuẩn cực đại theo dòng: kAk∞ = max Σnj=1|aij |.
1≤i≤n • Với p = 2 và m = n, ta có chuẩn Euclide là giá trị kì dị lớn nhất của ma trận A: kAk2 = σ1. Một chuẩn khác được nhắc tới trong tài liệu này là chuẩn Frobenius, kí hiệu k.