Tổng quan luận án

Tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu

Lý thuyết ổn định và ổn định hóa các hệ động lực là một hướng nghiên cứu trung tâm trong lý thuyết điều khiển và toán học ứng dụng. Trong các quá trình vật lý, kỹ thuật và sinh học, hiện tượng trễ thời gian xuất hiện phổ biến do thời gian truyền tín hiệu, thời gian trễ phản ứng hoặc tính di truyền của hệ thống. Sự xuất hiện của trễ thường là nguyên nhân chính dẫn đến sự mất ổn định và làm suy giảm hiệu suất điều khiển.

Trong thực tế kỹ thuật, yêu cầu đối với hệ thống điều khiển không chỉ dừng lại ở việc bảo đảm tính ổn định tiệm cận mà còn phải bảo đảm các chỉ tiêu chất lượng vận hành:

  • Đối với bài toán điều khiển đảm bảo chi phí (guaranteed cost control), mục tiêu là thiết kế bộ điều khiển sao cho hệ kín vừa ổn định vừa giới hạn hàm mục tiêu chi phí toàn phương không vượt quá một giá trị chặn trên xác định.
  • Đối với bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn (finite-time $H_\infty$ control), mục tiêu là duy trì trạng thái của hệ thống không vượt quá ngưỡng cho trước trong một khoảng thời gian xác định $[0, T]$ dưới tác động của các nhiễu ngoại lai có năng lượng bị chặn, đồng thời triệt tiêu ảnh hưởng của nhiễu lên tín hiệu quan sát đầu ra theo mức suy giảm $\gamma$.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định từ việc tổng hợp các công trình đi trước:

  • Phần lớn các nghiên cứu về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển chỉ tập trung vào hệ tuyến tính có trễ hằng số hoặc trễ khả vi, và chủ yếu sử dụng luật điều khiển phản hồi trạng thái ($u(t) = Kx(t)$). Các trường hợp trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi, trễ xuất hiện đồng thời trên cả biến trạng thái lẫn biến quan sát, và sử dụng thông tin phản hồi đầu ra ($u(t) = Fy(t)$) cho hệ phi tuyến và hệ không chắc chắn còn rất ít được khảo sát.
  • Các công trình về điều khiển $H_\infty$ cho hệ có trễ phần lớn chỉ xét tính ổn định tiệm cận theo nghĩa Lyapunov-Krasovskii trên khoảng thời gian vô hạn $[0, \infty)$, với trễ là hằng số hoặc khả vi có đạo hàm bị chặn. Chưa có kết quả nào nghiên cứu bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên dạng khoảng không khả vi thông qua phản hồi đầu ra được công bố.

Mục tiêu và câu hỏi nghiên cứu

Mục tiêu tổng quát của luận án là thiết lập các điều kiện đủ cho sự tồn tại của bộ điều khiển phản hồi đầu ra và thuật toán thiết kế điều khiển dưới dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear Matrix Inequalities - LMI) cho các lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng.

Các mục tiêu và nhiệm vụ cụ thể được đánh số theo văn bản bao gồm:

  1. Xây dựng điều kiện đủ để thiết kế bộ điều khiển ngược thông qua thông tin phản hồi đầu ra cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi xuất hiện đồng thời trên biến trạng thái và biến quan sát, nhằm đảm bảo hệ kín $\alpha$-ổn định hóa dạng mũ và xác định giá trị chặn trên của hàm chi phí toàn phương.
  2. Áp dụng các kết quả lý thuyết để giải bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không chắc chắn có trễ biến thiên dạng khoảng.
  3. Thiết lập các điều kiện phụ thuộc độ trễ (delay-dependent conditions) cho sự tồn tại của bộ điều khiển phản hồi đầu ra nhằm giải quyết bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến có nhiễu bị chặn và trễ biến thiên dạng khoảng.
  4. Áp dụng giải bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình vi phân tuyến tính không chắc chắn có trễ biến thiên.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

  • Đối tượng nghiên cứu: Các lớp hệ phương trình vi phân có trễ bao gồm hệ phi tuyến có thành phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng dưới tuyến tính, hệ tuyến tính có chứa các tham số không chắc chắn (bất định cấu trúc dạng ma trận bị chặn), hệ có nhiễu ngoại lai với năng lượng bị chặn; bài toán điều khiển đảm bảo chi phí và bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn.
  • Phạm vi không gian và thời gian:
    • Không gian toán học: Không gian véc tơ Euclid $n$ chiều $\mathbb{R}^n$, không gian ma trận thực $\mathbb{R}^{n \times r}$, không gian các hàm liên tục $C([a, b], \mathbb{R}^n)$ với chuẩn cực đại, không gian các hàm khả vi liên tục $C^1([a, b], \mathbb{R}^n)$, không gian các hàm bình phương khả tích $L_2([0, \infty), \mathbb{R}^n)$, và không gian hàm liên tục từng khúc $PC([-r, 0], \mathbb{R}^n)$.
    • Đặc tính độ trễ: Trễ biến thiên dạng khoảng $h(t)$ thỏa mãn $0 \le h_1 \le h(t) \le h_2$, là hàm liên tục nhưng không nhất thiết phải khả vi.
    • Phạm vi thời gian: Miền thời gian vô hạn $[0, \infty)$ đối với bài toán $\alpha$-ổn định mũ và đảm bảo chi phí; miền thời gian hữu hạn $[0, T]$ đối với bài toán ổn định và điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Các hướng nghiên cứu trước được tác giả điểm lại

Luận án hệ thống hóa các kết quả nghiên cứu nền tảng và các phát triển liên quan:

  1. Lý thuyết ổn định Lyapunov và hàm Lyapunov-Krasovskii:
    • A. Lyapunov (khoảng năm 1890) đặt nền móng với luận án tiến sĩ "Bài toán tổng quan về tính ổn định của chuyển động", đưa ra phương pháp số mũ và phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân thường. Ông chứng minh hệ tuyến tính $\dot{x}(t) = Ax(t)$ ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tồn tại ma trận $P > 0$ thỏa mãn $A^T P + PA < 0$.
    • N. N. Krasovskii (1959, 1963) đã mở rộng phương pháp hàm Lyapunov sang lớp hệ phương trình vi phân hàm có trễ, hình thành phương pháp phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii.
  2. Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển:
    • S. Peng (1972) [13] lần đầu tiên đề xuất bài toán đảm bảo giá trị điều khiển cho hệ thống nhằm kết hợp tính ổn định với việc giới hạn chặn trên cho hàm chi phí toàn phương.
    • McFarlane (1990) và Petersen cùng các cộng sự [44] nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình vi phân thường có nhiễu cấu trúc $\dot{x}(t) = [A + D_1 \Delta(t) E_1]x(t) + [B + D_1 \Delta(t) E_2]u(t)$ với $\Delta^T(t)\Delta(t) \le I$, sử dụng nghiệm của phương trình đại số Riccati.
    • Chu (2001) [60] mở rộng bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho lớp hệ phương trình vi phân không chắc chắn có trễ hằng $\dot{x}(t) = [A + \Delta A]x(t) + [A_1 + \Delta A_1]x(t-d) + [B + \Delta B]u(t)$ bằng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và lý thuyết ma trận.
    • Vũ Ngọc Phát (Phat, 2005) [51] nghiên cứu bài toán đảm bảo chi phí cho hệ phương trình vi phân có trễ hỗn hợp trên cả biến trạng thái và biến điều khiển, với trễ liên tục không khả vi, bằng cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii chứa tốc độ mũ $\alpha$, kết hợp công thức Newton-Leibniz và bất đẳng thức Cauchy.
  3. Bài toán điều khiển $H_\infty$ và ổn định trong thời gian hữu hạn:
    • Lihua Xie và Carlos E. de Souza (1990) nghiên cứu điều khiển $H_\infty$ cho hệ vi phân tuyến tính có nhiễu, biểu diễn điều kiện qua phương trình Riccati đại số.
    • Xiefu Jiang và Qing-Long Han (2005) [25] nghiên cứu bài toán điều khiển $H_\infty$ cho hệ tuyến tính có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi và không có trễ trong kênh quan sát, thu được kết quả ổn định tiệm cận.
    • Vũ Ngọc Phát (2005) [24] nghiên cứu hệ có trễ khả vi với đạo hàm bị chặn và thu được kết quả ổn định mũ.
    • Dorato (1961) giới thiệu khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn (Finite-Time Stability - FTS).
    • Amato F. và các cộng sự (2001, 2006) [4, 5, 16] phát triển lý thuyết ổn định hóa và tính bị chặn trong thời gian hữu hạn (Finite-Time Boundedness - FTB) cho hệ tuyến tính có nhiễu.
  4. Kỹ thuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI):
    • Lur'e và Postnikov (khoảng 1940) giải các LMI bậc nhỏ bằng phương pháp giải tích.
    • Yakubovich, Popov, Kalman (1960) tiếp cận LMI qua phương pháp hình học.
    • N. Karmarkar (1984) đưa ra thuật toán điểm trong giải quy hoạch lồi đa thức.
    • Gahinet và Nemirovskii (1993) phát triển công cụ LMI-Lab; El Ghaoui (1994) cùng Nikoukhah và Delebecque phát triển LMI Control Toolbox trong môi trường MATLAB.
Hướng nghiên cứu Tác giả & Năm Đối tượng hệ thống Hạn chế mà luận án khắc phục
Đảm bảo chi phí S. Peng (1972) Hệ tuyến tính không trễ Chưa xét trễ và bất định
Đảm bảo chi phí McFarlane / Petersen (1990) Hệ vi phân thường có nhiễu Chưa xét trễ thời gian
Đảm bảo chi phí Chu (2001) Hệ trễ hằng $x(t-d)$ Trễ cố định, phản hồi trạng thái
Đảm bảo chi phí Phat (2005) Hệ trễ hỗn hợp không khả vi Phản hồi trạng thái
Điều khiển $H_\infty$ Xie & de Souza (1990) Hệ tuyến tính không trễ Ổn định tiệm cận vô hạn
Điều khiển $H_\infty$ Jiang & Han (2005) Hệ tuyến tính trễ khoảng Không có trễ ở đầu ra, vô hạn
Ổn định thời gian hữu hạn Amato F. et al. (2001, 2006) Hệ tuyến tính không trễ / trễ hằng Chưa xét phi tuyến và phản hồi đầu ra

Khoảng trống luận án lựa chọn giải quyết

Luận án tập trung giải quyết các bài toán chưa có lời giải hoàn chỉnh:

  • Thiết kế luật điều khiển phản hồi đầu ra ($u(t) = Fy(t)$) thay vì phản hồi trạng thái đầy đủ đối với hệ có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng $h_1 \le h(t) \le h_2$, trong đó hàm trễ không đòi hỏi tính khả vi.
  • Xử lý bài toán trễ xuất hiện đồng thời trong cả phương trình trạng thái và phương trình quan sát đầu ra ($y(t) = C_1 x(t) + C_2 x(t-h(t))$).
  • Giải bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn cho hệ phi tuyến có nhiễu bị chặn thông qua thông tin phản hồi đầu ra, bảo đảm trạng thái bị chặn trong miền xác định $[0, T]$ và hệ số triệt tiêu nhiễu thỏa mãn chỉ tiêu $H_\infty$.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết và khái niệm sử dụng

Luận án sử dụng các khái niệm và định nghĩa toán học chính thống sau:

  • Hệ phương trình vi phân có trễ tổng quát: $\dot{x}(t) = f(t, x_t)$ với $x_t \in C([-h, 0], \mathbb{R}^n)$.
  • Khái niệm ổn định: Nghiệm $x = 0$ được gọi là ổn định nếu $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0: |\phi|_C \le \delta \Rightarrow |x_t(t_0, \phi)|C \le \varepsilon, \forall t \ge t_0$; ổn định tiệm cận nếu ổn định và $\lim{t \to \infty} x(t) = 0$; $\beta$-ổn định mũ nếu tồn tại $M > 0$ sao cho $|x(t_0, \phi)(t)| \le M e^{-\beta(t-t_0)} |\phi|_C$.
  • Định nghĩa phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii: Hàm $V(t, \phi)$ liên tục, xác định dương thỏa mãn tồn tại $u \in \mathcal{K}$ sao cho $u(|\phi(0)|) \le V(t, \phi)$ và đạo hàm Dini dọc theo nghiệm thỏa mãn $\dot{V}(t, \phi) \le 0$ (cho ổn định) hoặc $\dot{V}(t, \phi) \le -2\lambda_0 V(t, \phi)$ (cho ổn định mũ).
  • Khái niệm ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS): Hệ $\dot{x}(t) = Ax(t)$ được gọi là FTS tương ứng với $(c_1, c_2, T, R)$ với $c_2 > c1 > 0$ và $R > 0$ nếu: $$x^T(0) R x(0) < c_1 \implies x^T(t) R x(t) < c_2, \quad \forall t \in [0, T]$$
  • Tính bị chặn trong thời gian hữu hạn (FTB): Hệ có nhiễu được gọi là FTB tương ứng với $(c_1, c_2, T, R, d)$ nếu với mọi nhiễu thỏa mãn $w^T(t)w(t) \le d$ thì điều kiện $x^T(0)Rx(0) < c_1$ dẫn tới $x^T(t)Rx(t) < c_2, \forall t \in [0, T]$.
  • Chỉ tiêu hiệu năng $H_\infty$ thời gian hữu hạn: $$\sup \frac{\int_0^T |z(t)|^2 dt}{c_0 |\phi|_{C^1}^2 + \int_0^T |w(t)|^2 dt} \le \gamma$$

Các bổ đề kỹ thuật bổ trợ

Luận án thiết lập và áp dụng 4 bổ đề kỹ thuật:

  • Bổ đề 1.1 (Bất đẳng thức ma trận đại số): Với ma trận $S \in \mathbb{R}^{n \times n}$ đối xứng, xác định dương và mọi $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}, x, y \in \mathbb{R}^n$: $$2x^T Q y - y^T S y \le x^T Q S^{-1} Q^T x$$
  • Bổ đề 1.2 (Đánh giá tích phân cấp 1 và cấp 2): Cho $Z > 0$, với các tích phân xác định: $$\int_{t-h}^t x^T(s) Z x(s) ds \ge \frac{1}{h} \left( \int_{t-h}^t x(s)ds \right)^T Z \left( \int_{t-h}^t x(s)ds \right)$$
  • Bổ đề 1.3 (Bất đẳng thức tích phân Jensen mở rộng): Cho $R > 0$ và hàm khả vi $\phi: [a, b] \to \mathbb{R}^n$: $$\int_a^b \dot{\phi}^T(u) R \dot{\phi}(u) du \ge \frac{1}{b-a} (\phi(b) - \phi(a))^T R (\phi(b) - \phi(a)) + \frac{12}{b-a} \Omega^T R \Omega$$ trong đó $\Omega = \frac{\phi(b) + \phi(a)}{2} - \frac{1}{b-a} \int_a^b \phi(u) du$.
  • Bổ đề 1.4 (Bổ đề phần bù Schur): Cho các ma trận đối xứng $X_{11}, X_{22}$ với $X_{22} < 0$. Ma trận khối $\begin{bmatrix} X_{11} & X_{12} \ X_{12}^T & X_{22} \end{bmatrix} < 0$ khi và chỉ khi $X_{11} - X_{12} X_{22}^{-1} X_{12}^T < 0$.

Phương pháp nghiên cứu và công cụ xử lý

  • Phương pháp tiếp cận: Phương pháp giải tích toán học thuần túy, kết hợp giải tích phiếm hàm và lý thuyết ma trận. Xây dựng các dạng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phụ thuộc trễ phân chia theo khoảng $[t-h_2, t-h_1]$ và $[t-h_1, t]$.
  • Kỹ thuật tuyến tính hóa: Sử dụng ma trận biến đổi chính quy không suy biến $\Delta$ và các bất đẳng thức Schur để khử các phần tử phi tuyến và tích các biến ma trận không xác định, chuyển đổi bài toán về dạng hệ bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs).
  • Công cụ tính toán: Thuật toán tối ưu lồi điểm trong được hiện thực hóa thông qua hộp công cụ MATLAB LMI Control Toolbox để tìm nghiệm số của các ma trận và kiểm chứng bằng mô phỏng số nghiệm quỹ đạo.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Cơ sở toán học

Chương 1 đóng vai trò hệ thống hóa toàn bộ khung lý thuyết nền tảng cho luận án:

  • Trình bày chi tiết lý thuyết phương trình vi phân có trễ, định nghĩa nghiệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục trong không gian hàm $C([t_0-h, t_0+\sigma), \mathbb{R}^n)$.
  • Phân tích các tiêu chuẩn ổn định tiệm cận và ổn định mũ theo hàm Lyapunov-Krasovskii $V(t, \phi)$ với điều kiện suy giảm mũ $\dot{V}(t, \phi) \le -2\lambda_0 V(t, \phi)$.
  • Trình bày bài toán ổn định hóa cho hệ điều khiển $\dot{x}(t) = f(t, x_t, u(t))$ và bài toán đảm bảo chi phí điều khiển tuyến tính theo Định lý 1.1:
    • Hệ thống: $\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)$ với hàm chi phí $J = \int_0^\infty (x^T Q x + u^T R u)dt$.
    • Tồn tại ma trận $P > 0$ và ma trận $Y$ sao cho LMI: $$\begin{bmatrix} AP + PA^T + BY + Y^T B^T & P Q & Y^T R \ * & -Q & 0 \ * & * & -R \end{bmatrix} < 0$$ khi đó luật điều khiển $u(t) = Y P^{-1} x(t)$ đảm bảo chi phí $J^* = x_0^T P^{-1} x_0$.
  • Trình bày bài toán ổn định, ổn định hóa và bị chặn trong thời gian hữu hạn (Định lý 1.2 của Amato F.) với điều kiện chặn ma trận kết hợp hệ số điều kiện $\text{cond}(Q) = \lambda_{\max}(Q) / \lambda_{\min}(Q)$ thỏa mãn $\text{cond}(Q) < \frac{c_2}{c_1} e^{-\alpha T}$.
  • Trình bày lịch sử phát triển của lý thuyết LMI và phát biểu chính xác 4 bổ đề kỹ thuật bổ trợ.

Chương 2: Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển

Chương 2 nghiên cứu thiết kế điều khiển phản hồi đầu ra đảm bảo chi phí cho hệ có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng $0 \le h_1 \le h(t) \le h_2$.

1. Hệ phương trình vi phân phi tuyến có trễ biến thiên

Hệ thống phi tuyến được mô tả: $$\begin{cases} \dot{x}(t) = A_1 x(t) + A_2 x(t-h(t)) + Bu(t) + f(t, x(t), x(t-h(t)), u(t)) \ y(t) = C_1 x(t) + C_2 x(t-h(t)) \ x(t) = \varphi(t), \quad t \in [-h_2, 0] \end{cases}$$ Hàm nhiễu phi tuyến $f$ thỏa mãn điều kiện tăng trưởng dưới tuyến tính: $$f^T f \le x^T E_1^T E_1 x + x_h^T E_2^T E_2 x_h + u^T E_3^T E_3 u$$ với $E_3$ là ma trận có hạng cột đầy đủ. Hàm chi phí liên tục $J(u) = \int_0^\infty g(t, x(t), x(t-h(t)), u(t))dt$ thỏa mãn: $$|g(t, x, x_h, u)| \le x^T Q_1 x + x_h^T Q_2 x_h + u^T R u$$ Hệ đóng dưới luật phản hồi đầu ra $u(t) = F y(t) = N^{-1} K y(t)$: $$\dot{x}(t) = (A_1 + B F C_1)x(t) + (A_2 + B F C_2)x(t-h(t)) + f(t, x(t), x(t-h(t)), u(t))$$

Tác giả xây dựng phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii mới gồm 6 thành phần: $$V(t, x_t) = \sum_{i=1}^6 V_i(t, x_t)$$ trong đó tích phân chứa thừa số mũ $e^{2\alpha s}$ và phân chia theo các đoạn trễ $[t-h_1, t]$, $[t-h_2, t]$, $[t-h_2, t-h_1]$:

  • $V_1 = x^T(t) P x(t)$
  • $V_2 = \int_{t-h_1}^t e^{2\alpha(s-t)} x^T(s) U_1 x(s)ds + \int_{t-h_2}^t e^{2\alpha(s-t)} x^T(s) U_2 x(s)ds$
  • $V_3 = h_1 \int_{-h_1}^0 \int_{t+s}^t e^{2\alpha(\tau-t)} x^T(\tau) S_1 x(\tau)d\tau ds + h_2 \int_{-h_2}^0 \int_{t+s}^t e^{2\alpha(\tau-t)} x^T(\tau) S_2 x(\tau)d\tau ds$
  • $V_4 = (h_2 - h_1) \int_{-h_2}^{-h_1} \int_{t+s}^t e^{2\alpha(\tau-t)} x^T(\tau) S_3 x(\tau)d\tau ds$
  • $V_5 = \frac{h_1^2}{2} \int_{-h_1}^0 \int_\theta^0 \int_{t+s}^t e^{2\alpha(\tau-t)} \dot{x}^T(\tau) X_1 \dot{x}(\tau)d\tau ds d\theta + \frac{h_2^2}{2} \int_{-h_2}^0 \int_\theta^0 \int_{t+s}^t e^{2\alpha(\tau-t)} \dot{x}^T(\tau) X_2 \dot{x}(\tau)d\tau ds d\theta$
  • $V_6 = \frac{h_2^2 - h_1^2}{2} \int_{-h_2}^{-h_1} \int_\theta^0 \int_{t+s}^t e^{2\alpha(\tau-t)} \dot{x}^T(\tau) X_3 \dot{x}(\tau)d\tau ds d\theta$

Đánh giá chặn trên và chặn dưới: $\lambda |x(t)|^2 \le V(t, x_t) \le \Lambda |x_t|_{C^1}^2$.

Ký hiệu hệ số Biểu thức toán học Ký hiệu hệ số Biểu thức toán học
$\lambda_1$ $e^{-2\alpha(h_1+h_2)}$ $\lambda_6$ $2\lambda_2^2 h_1^{-1}$
$\lambda_2$ $e^{-2\alpha h_1}$ $\lambda_7$ $2\lambda_3^2 h_2^{-1}$
$\lambda_3$ $e^{-2\alpha h_2}$ $\lambda_8$ $2\lambda_2^2 (h_1^2)^{-1}$
$\lambda_4$ $2\lambda_3^2 \hat{h}^{-1}$ $\lambda_9$ $2\lambda_3^2 (h_2^2)^{-1}$
$\lambda_5$ $2\lambda_3^2 h_m^{-1}$ $\bar{h}, \hat{h}, \tilde{h}$ $\bar{h} = h_1^2+h_2^2, \hat{h} = (h_2-h_1)^2, \tilde{h} = \frac{h_2-h_1}{h_2+h_1}$
$\delta_1, \delta_2$ $\lambda_{\min}(R^{-1}), \lambda_{\min}((E_3^T E_3)^{-1})$ $\Lambda$ $\lambda_{\max}(P) + h_1\lambda_{\max}(U_1) + h_2\lambda_{\max}(U2) + \dots$

Định lý 2.1: Giả sử tồn tại các ma trận đối xứng xác định dương $P, U_1, U_2, S_1, S_2, S_3, X_1, X_2, X_3, N$ và ma trận $K$ thỏa mãn LMI $\Pi = \begin{bmatrix} \Pi_1 & \Pi_2 \ * & \Pi_3 \end{bmatrix} < 0$. Khi đó:

  • Luật điều khiển phản hồi đầu ra là $u(t) = N^{-1} K y(t)$.
  • Hệ kín $\alpha$-ổn định mũ: $|x(t, \varphi)| \le \sqrt{\frac{\Lambda}{\lambda}} e^{-\alpha t} |\varphi|_{C^1}, \forall t \ge 0$.
  • Giá trị chặn trên của hàm chi phí: $J(u^) \le J^ = \Lambda |\varphi|_{C^1}^2$.

Ví dụ số 2.1: Xét hệ phi tuyến bậc hai với trễ không khả vi $h(t) = 0.1 + 0.4 \sin^2(t)$ (hoặc hàm bậc thang tuần hoàn), $\alpha = 0.2$. Giải LMI bằng MATLAB thu được ma trận phản hồi $F = [-0.1199 \dots]$ và chặn trên quỹ đạo nghiệm $|x(t, \varphi)| \le 3.0400 e^{-0.2 t} |\varphi|_{C^1}$.

2. Hệ phương trình vi phân tuyến tính không chắc chắn

Xét hệ tuyến tính có chứa bất định tham số: $$\dot{x}(t) = (A_1 + L_1 M_1(t) H_1) x(t) + (A_2 + L_2 M_2(t) H_2) x(t-h(t)) + (B + L_3 M_3(t) H_3) u(t)$$ với $M_i^T(t) M_i(t) \le I$.

  • Hệ quả 2.1: Thiết lập điều kiện LMI $\Gamma < 0$ cho sự tồn tại bộ điều khiển phản hồi đầu ra $u(t) = N^{-1} K y(t)$ đảm bảo tính $\alpha$-ổn định mũ và chặn trên chi phí.
  • Ví dụ số 2.2: Áp dụng cho hệ tham số bất định với $\alpha = 0.2$, giải qua MATLAB thu được $F = [-0.1497 \dots]$ và chặn trên quỹ đạo trạng thái $|x(t, \varphi)| \le 6.1497 e^{-0.2 t} |\varphi|_{C^1}$.

Chương 3: Bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn

Chương 3 nghiên cứu bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn cho hệ phi tuyến có trễ biến thiên dạng khoảng và nhiễu ngoài $w(t)$ thỏa mãn $\int_0^T w^T(t) w(t) dt \le d$.

1. Mô hình hệ phi tuyến có nhiễu bị chặn

$$\begin{cases} \dot{x}(t) = A_1 x(t) + A_2 x(t-h(t)) + B u(t) + G w(t) + f(t, x(t), x(t-h(t)), u(t), w(t)) \ z(t) = C_1 x(t) + C_2 x(t-h(t)) \ x(t) = \phi(t), \quad t \in [-h_2, 0] \end{cases}$$ với hàm phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng: $$|f|^2 \le a_1 |x|^2 + a_2 |y|^2 + a_3 |u|^2 + a_4 |w|^2$$

2. Điều kiện đủ giải bài toán $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn

Sử dụng các biến đổi ma trận $P = R^{1/2} \tilde{P} R^{1/2}$, $U_i = R^{1/2} \tilde{U}i R^{1/2}$, $X_i = R^{1/2} \tilde{X}i R^{1/2}$, $S = R^{1/2} \tilde{S} R^{1/2}$ cùng các khối ma trận $\Psi{1ij}, \Psi{2ij}$:

  • $\Psi_{122} = -U_1 - 4X_1 - 4S$
  • $\Psi_{133} = -U_2 - 4X_2 - 4S$
  • $\Psi_{144} = -8S + a_2 I + \eta C_2^T C_2$
  • $\Psi_{155} = h_1^2 X_1 + h_2^2 X_2 + (h_2 - h_1)^2 S - 2Q$
  • $\Psi_{166} = a_4 I - \gamma \eta I$
  • $\Psi_{177} = -I$, $\Psi_{188} = -12X_1$, $\Psi_{199} = -12X_2$, $\Psi_{1,10,10} = \Psi_{1,11,11} = -12S$

Bằng cách áp dụng Bổ đề Jensen mở rộng (Bổ đề 1.3) và phương pháp phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii, luận án thiết lập điều kiện LMI phụ thuộc trễ để hệ kín vừa ổn định trong thời gian hữu hạn đối với $(c_1, c_2, T, R)$ vừa triệt tiêu nhiễu đạt chỉ tiêu $H_\infty$ với mức $\gamma$.

3. Ứng dụng cho hệ tuyến tính không chắc chắn

Mở rộng tiêu chuẩn cho hệ tuyến tính có tham số bất định và nhiễu ngoại lai bị chặn trong thời gian hữu hạn.

Kết quả và những đóng góp mới

Đóng góp mới về lý luận

  1. Mở rộng phạm vi lớp hệ khảo sát: Thiết lập thành công tiêu chuẩn ổn định hóa mũ và điều khiển đảm bảo chi phí cho lớp hệ phương trình vi phân phi tuyến và tuyến tính không chắc chắn có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi ($h_1 \le h(t) \le h_2$). Khắc phục được giả thiết hạn chế về tính khả vi của độ trễ trong các nghiên cứu trước đây.
  2. Thiết kế điều khiển phản hồi đầu ra có trễ: Giải quyết bài toán điều khiển ngược thông qua thông tin phản hồi đầu ra $u(t) = F y(t)$ khi kênh đo quan sát cũng bị trễ thời gian ($y(t) = C_1 x(t) + C_2 x(t-h(t))$).
  3. Phát triển phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii mới: Đề xuất dạng phiếm hàm phân chia khoảng trễ tích hợp tốc độ suy giảm mũ $\alpha$ và sử dụng bất đẳng thức tích phân Jensen mở rộng, giúp giảm bớt tính bảo thủ (conservativeness) trong các đánh giá bất đẳng thức ma trận.
  4. Tiên phong trong điều khiển $H_\infty$ thời gian hữu hạn cho hệ trễ phi tuyến: Lần đầu tiên đưa ra điều kiện đủ dưới dạng LMI phụ thuộc trễ cho bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn đối với hệ vi phân phi tuyến có trễ không khả vi.

Đóng góp về thực tiễn và giải pháp đề xuất

  1. Thuật toán giải số hiệu quả: Mọi điều kiện đủ thiết lập trong luận án đều được đưa về dạng các bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs). Điều này cho phép kiểm tra tính khả thi và tìm chính xác ma trận hệ số của bộ điều khiển $F = N^{-1} K$ bằng các thuật toán tối ưu lồi trong MATLAB LMI Control Toolbox.
  2. Xác định tường minh các chặn chất lượng: Cung cấp công thức tường minh tính giá trị chặn trên của hàm chi phí $J^* = \Lambda |\varphi|{C^1}^2$ và công thức đánh giá bán kính bao quỹ đạo trạng thái $|x(t)| \le M e^{-\alpha t} |\varphi|{C^1}$.
  3. Kiến nghị áp dụng: Đề xuất áp dụng các thuật toán điều khiển phản hồi đầu ra vào các hệ thống tự động hóa có trễ mạng truyền thông (networked control systems), nơi tín hiệu phản hồi không thể đo đầy đủ trạng thái và trễ truyền tin thay đổi liên tục nhưng không khả vi.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế được ghi nhận từ văn bản

  • Các điều kiện ổn định hóa và điều khiển $H_\infty$ được thiết lập dưới dạng điều kiện đủ, chưa phải là điều kiện cần và đủ.
  • Hàm trễ biến thiên $h(t)$ bị giới hạn trong khoảng bị chặn biết trước $[h_1, h_2]$.
  • Thành phần phi tuyến $f$ phải thỏa mãn điều kiện tăng trưởng dưới tuyến tính hoặc điều kiện Lipschitz.
  • Nhiễu tác động ngoài $w(t)$ bị giới hạn trong lớp hàm có năng lượng tích phân bị chặn $L_2[0, T]$.

Hướng nghiên cứu tiếp

  • Mở rộng các kết quả cho lớp hệ phương trình vi phân có trễ dạng trung hòa (neutral delay differential systems) hoặc hệ có trễ vô hạn.
  • Nghiên cứu bài toán điều khiển bền vững cho hệ động lực chuyển mạch (switched systems) có trễ biến thiên không khả vi.
  • Tối ưu hóa việc tìm giá trị cực tiểu của mức suy giảm nhiễu $\gamma$ và chặn trên chi phí $J^*$ bằng cách kết hợp thuật toán LMI với các kỹ thuật tối ưu hóa tham số.

Giá trị tham khảo

Đối tượng thụ hưởng

  • Nghiên cứu sinh và học viên cao học: Chuyên ngành Toán giải tích, Toán ứng dụng, Lý thuyết điều khiển và Điều khiển học kỹ thuật; có thể sử dụng luận án làm tài liệu học tập chuyên sâu về phương pháp phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii và kỹ thuật xử lý LMI.
  • Giảng viên và nhà nghiên cứu: Trong lĩnh vực phương trình vi phân hàm, tối ưu hóa và điều khiển các hệ động lực phức tạp.
  • Kỹ sư hệ thống điều khiển: Các kỹ sư thiết kế bộ điều khiển cho các hệ thống có trễ biến thiên, hệ thống điều khiển qua mạng truyền thông và hệ thống chịu tác động của nhiễu ngoại lai.

Các nội dung đáng tham khảo

  • Kỹ thuật xây dựng 6 thành phần phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii kết hợp tốc độ suy giảm $\alpha$ ở Chương 2.
  • Cách áp dụng Bổ đề Jensen mở rộng (Bổ đề 1.3) để làm mịn các đánh giá tích phân đạo hàm trong Chương 3.
  • Phương pháp sử dụng ma trận biến đổi chính quy $\Delta$ để chuyển bài toán ma trận phi tuyến thành hệ LMI giải được trên máy tính.
  • Các ví dụ số và cách thiết lập tham số kiểm chứng trên MATLAB LMI Toolbox.

Câu hỏi thường gặp

1. Khác biệt cơ bản giữa bài toán ổn định Lyapunov và bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS) trong luận án là gì?

Ổn định Lyapunov nghiên cứu trạng thái của hệ thống khi thời gian tiến ra vô hạn ($t \to \infty$), tập trung vào sự hội tụ về vị trí cân bằng trong một lân cận của điểm cân bằng. Ngược lại, ổn định trong thời gian hữu hạn (FTS) xét hành vi của hệ thống trên một khoảng thời gian hữu hạn xác định $[0, T]$, đòi hỏi quỹ đạo trạng thái không vượt qua một ngưỡng giới hạn cho trước $c_2$ nếu trạng thái ban đầu nằm trong ngưỡng $c_1$. Một hệ thống có thể ổn định trong thời gian hữu hạn nhưng không ổn định tiệm cận Lyapunov, và ngược lại.

2. Tại sao các tiêu chuẩn ổn định trễ trước đây không áp dụng được cho lớp hệ xét trong Chương 2 và Chương 3 của luận án?

Các tiêu chuẩn truyền thống thường yêu cầu hàm trễ $h(t)$ phải khả vi và có đạo hàm bị chặn ($\dot{h}(t) \le d < 1$). Trong luận án này, hàm trễ $h(t)$ là hàm biến thiên liên tục dạng khoảng ($0 \le h_1 \le h(t) \le h_2$) nhưng không đòi hỏi tính khả vi. Do đó, các phương pháp đạo hàm trực tiếp biến trễ không thể áp dụng, buộc tác giả phải phát triển cấu trúc phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii phân chia khoảng trễ và áp dụng các bất đẳng thức tích phân mở rộng.

3. Cấu trúc bộ điều khiển được thiết kế trong luận án có dạng như thế nào?

Luận án thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra (output feedback controller) có dạng: $$u(t) = F y(t) \quad \text{hoặc} \quad u(t) = F z(t)$$ với ma trận độ lợi điều khiển $F$ được tính toán thông qua các biến ma trận của hệ LMI theo công thức $F = N^{-1} K$, trong đó $N$ là ma trận đối xứng xác định dương và $K$ là ma trận tự do thu được từ nghiệm của bài toán LMI.

4. Giá trị chặn trên của hàm chi phí toàn phương $J^*$ được xác định dựa trên những yếu tố nào?

Giá trị đảm bảo chi phí điều khiển được xác định bằng công thức: $$J^* = \Lambda |\varphi|{C^1}^2$$ trong đó $|\varphi|{C^1} = \max{\sup |\varphi(t)|, \sup |\dot{\varphi}(t)|}$ là chuẩn của hàm điều kiện ban đầu trên đoạn trễ $[-h_2, 0]$, và $\Lambda$ là hằng số phụ thuộc vào các giá trị riêng lớn nhất của các ma trận nghiệm LMI ($P, U_1, U_2, S_2, S_3, X_1, X_2, X_3$) cùng các giới hạn độ trễ $h_1, h_2$.

5. Vai trò của Bổ đề tích phân Jensen mở rộng trong Chương 3 là gì?

Bổ đề tích phân Jensen mở rộng (Bổ đề 1.3) cung cấp đánh giá chặn dưới chặt chẽ hơn cho tích phân dạng $\int_a^b \dot{\phi}^T(u) R \dot{\phi}(u) du$ thông qua việc bổ sung thêm số hạng bậc hai $\frac{12}{b-a} \Omega^T R \Omega$. Việc đưa số hạng này vào phân tích đạo hàm phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii giúp giảm bớt tính bảo thủ của các điều kiện ổn định và điều khiển $H_\infty$, cho phép tìm được nghiệm LMI cho các khoảng trễ lớn hơn.

Kết luận

Luận án của tác giả Tạ Thị Huyền Trang, dưới sự hướng dẫn của GS. Vũ Ngọc Phát tại Viện Toán học, đã giải quyết có hệ thống bài toán đảm bảo chi phí điều khiển và bài toán điều khiển $H_\infty$ trong thời gian hữu hạn cho các lớp hệ phương trình vi phân có trễ biến thiên liên tục dạng khoảng không khả vi. Bằng việc phát triển phương pháp phiếm hàm Lyapunov-Krasovskii mới kết hợp với bất đẳng thức tích phân Jensen mở rộng và kỹ thuật LMI, tác giả đã thiết lập các điều kiện đủ tường minh để thiết kế bộ điều khiển phản hồi đầu ra cho cả hệ phi tuyến và hệ tuyến tính không chắc chắn. Các kết quả đạt được đã được công bố trên 2 bài báo thuộc danh mục SCI-E và được kiểm chứng tính khả thi thông qua các ví dụ mô phỏng số bằng MATLAB LMI Toolbox.