Chương 1. Tính giải được cho bài toán (1. Chương này xây dựng điều kiện đủ và trong một số trường hợp là điều kiện cần và đủ cho tính giải được của bài toán giá trị biên: ′′ = ( , )+ ( , )′ ( +) = 0, ( −) = 0 trong đó , ∈ Car (( , ) × (0, +∞); ℝ). 2 Nghiệm của bài toán (1.2) là hàm không bị chặn, ∈ AC1 (( , ); (0; +∞)) thỏa mãn phương trình (1.1) hầu khắp nơi trên ( , ) và thỏa mãn điều kiện biên (1.
Tính giải được cho bài toán (2. Chương này xây dựng điều kiện đủ cho tính giải được của bài toán giá trị biên: = ( , )+ ( , ) ′′ ′ ( +) = 0, ( −) = 1 trong đó , ∈ Car (( , ) × (0,1); ℝ). Nghiệm của bài toán (2.2) là hàm bị chặn, ∈ AC1 (( , ); ℝ), 0 < ( ) < 1, ∈ ( , ) thỏa mãn phương trình (2.1) hầu khắp nơi trên ( , ) và thỏa mãn điều kiện biên (2. TÍNH GIẢI ĐƯỢC CHO BÀI TOÁN (1.2) Trong chương này, ta xây dựng điều kiện đủ và trong một số trường hợp là điều kiện cần và đủ cho sự tồn tại nghiệm không bị chặn của bài toán giá trị biên: ′′ = ( , )+ ( , )′ ( +) = 0, ( −) = 0 Trong đó , ∈ Car (( , ) × (0, +∞); ℝ).
Các kết quả cơ bản cho bài toán (1. Hàm liên tục : ( , ) → (0, +∞) là hàm dưới (trên) của phương trình (1. Giả sử 1 và 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (1.3) Giải sử thêm, với mỗi 0 < < min{ 2( ): ≤ ≤ } tồn tại ∈ ( , ), , ∈ (( , ); ℝ+) thỏa mãn: 4 ∫ ( ) < +∞ , ∫ ( − )( − ) ( ) < +∞ (1.5) Khi đó, bài toán (1.2) có ít nhất một nghiệm thỏa mãn: 1( )≤ ( )≤ 2( ), ∈ ( , ). Cho là hàm không giảm theo biến thứ hai và tồn tại > 0 thỏa mãn: ( , ) ≤ 0, ∈ ( , ) (1.9) là điều kiện cần và đủ để bài toán (1.
Cho là hàm không giảm theo biến thứ hai và tồn tại > 0 thỏa thỏa điều kiện (1. Giả sử thêm, tồn tại ∈ ( , ) sao cho ánh xạ ( , ) → ( , ) ( − ) không giảm theo biến thứ hai, và: ∫ | ( , )| < +∞, >0 Khi đó, (1.9) là điều kiện cần và đủ để bài toán (1. Các bổ đề bổ trợ Phần này trình các bổ đề tiên nghiệm và bổ đề về tính có nghiệm của bài toán (1.2) trong trường hợp các hàm , ∈ (( , ) × ℝ; ℝ). Khi đó, tồn tại 0 > 0, + + ∈ ([ , ];ℝ + ), ∈ ([ , ];ℝ ) thỏa điều kiện( ) = 0, 1 2 + 1 2 2 ( ) = 0 và với ∈( , ) , ∈( + + mọi , ), ∈ ([ , ]; ℝ]) 1 2 1 1 1 1 2 2 thỏa mãn các bất đẳng thức: ′′ ( ) ≥ −ℎ ( )−ℎ ( )| ′ ( )|, ∈ ( , ), 2 1 1 1 | ( )| ≤ 0, ∈ ( 1, 1).13) 1 2 1 2 Chứng minh: Giả sử ∈ ([ 1 , ]; ℝ) thỏa các điều kiện của Bổ đề 1.
0 1 Khi đó, là một nghiệm của phương trình: ′′ = ( )′+ ( ) (1. 2 2 và 1 1 1 1 Suy ra: 1( ) ≥ −ℎ1( ), ∈ ( 1, 1).17) 0 Trường hợp ′( ) > 0: 0 Đặt: ( )=∫1 [∫ 0( ) ] , ∈ ( 0, 1). 0 1 Nhân hai vế của (1.14) với và lấy tích phân từ 0 đến 1 ta được: ∫ 1 ( ) ′′( ) = ∫ 1 ( ) ( ) ′( ) + ∫ 1 ( ) ( ) 0 1 0 0 0 Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt: 1( ) = ( ), 1( ) = ′( ) = ( ) , = ∫ ′′( ). 0 1 0 Trường hợp ( 0) < 0: ′ Đặt: ( )=∫ [∫ 0( ) ] , ∈ ( 1, 0) Suy ra ( ) là nghiệm của phương trình: 1 ( ) = − 0( ) ( ) + 1 thỏa điều kiện ( 1) = 0.
′ Nhân hai vế của (1.14) với và lấy tích phân từ 1 đến 0 ta được: ∫ 0 ( ) ′′( ) = ∫ 0 ( ) ( ) ′( ) + ∫ 0 ( 0 1 1 1 1 8 Dùng phương pháp tích phân từng phần: Đặt: 1( ) = ( ), 1( ) = ′( ) 1= ( ) , 1 = ∫ ( ). ′ 2 0 Chứng minh tương tự ta có: ′ 2 ( 0 − 1)( 1 − 0)| ( 0)| ≤ [2 0( − ) + ∫ ( − )( − )ℎ1( ) ] ℎ0 ( 0 − 1)| ′( 0)| ≤ [2 0 + ∫ ( − )ℎ1( ) ] ℎ2 0 10 Vì 0 ∈ ( 1, 1) tùy ý nên ( − 1)( 1 − )| ′( )| ≤ 0, ∈ ( 1, 1) với 0 = [2 0( − ) + ∫ ( − )( − )ℎ1( ) ] [2 ∫ ℎ2( ) ].20) Tiếp theo ta sẽ chứng minh (1.21) Giả sử 1 là nghiệm của bài toán ′′ = ( ) ′ −ℎ( ); ( )=0, ( + )=2 0 1 1 0 2 Ta cần chứng minh: ̃( ) = ( ) − ( 1) − 1( ) ≤ 0, 0 ∈ ( 1, 2).22) sai, khi đó tồn tại ∈[ , + ) và ∗ ∈( , + ] thỏa mãn: ∗ 1 ∗ 2 2 ̃( ) > 0, ∈ ( , ∗), ̃( ) = 0 và ̃( ∗) = 0. ′ ′ ′ ∗ ≥ Điều này mẫu thuẫn với (1. Dễ dàng kiểm tra: + 1( )≤ 1( ), ∈ [ 1, 2] + 11 Hay ( ) − ( 1) ≤ 1( ), ∈ [ 1, 2].
Từ đó suy ra bất đẳng thức thứ nhất của (1. Chứng minh tương tự ta được: ( ) ≤ ( 1) + 2( ), 2( ) ≤ 2( ), ∈ [ 2 , 1], với 2 là nghiệm của + bài toán ′′ = 0( ) ′ − ℎ1( ); ( + ) = 2 0, ( 1) = 0. Khi đó, tồn tại hàm ∈ (( , ); ℝ+), bị chặn trên ( , ) và với mọi ∈ ( , ), ∈ ( , ), hàm ∈ ([ 1 , ]; ℝ) thỏa (1.11) và thỏa 1 1 1 1 mãn các bất đẳng thức: ′′ ( ) (( − ) ′( )) ≥ −ℎ ( ) − ℎ 2 ( )| ′( )|, ∈ ( , ),(1.26) 1 1 Chứng minh: Giả sử ∈ ([ 1 , ]; ℝ) thỏa các điều kiện của Bổ đề 1. 12 Ta cần chứng minh: | ( )| ≤ ′ ( ), ∈ ( , ) (1.
∗ Khi đó theo bổ đề bất đẳng thức tích phân, từ (1. Điều này mâu thuẫn với (1. Chứng minh tương tự ta có | ( )| ≤ 1( ), ∈ [ , 1). Suy ra bất đẳng thức (1.26) được thực hiện.
Vậy, bổ đề được chứng minh. Cho , ∈ (( , ) × ℝ; ℝ), 1, 2 lần lượt là hàm dưới và hàm trên của phương trình (1. Hơn nữa, giả sử tồn tại 0, 0 ∈ (( , ); ℝ+) thỏa mãn ∫ ( − )( − ) 0( ) < +∞ , ∫ 0( ) < +∞.32) Khi đó, bài toán (1.2) có ít nhất một nghiệm thỏa điều kiện (1. Chứng minh: Giả sử điều kiện (1.31) được thực hiện.
0 1 2 Do đó, bài toán: ′′ = ( , , ′), (1.40) có ít nhất một nghiệm (xem Bổ đề 2. Ta sẽ chứng minh: ( ) = 1( ) − ( ) ≤ 0, ∈ [ 1 , 2 ]. 15 ̃ Giả sử trái lại, với mỗi ∈ ( , 2 ) thì ( ) > 0. ∗ ([ , ]; ℝ) nên bất đẳng thức trên mâu thuẫn với điều kiện (1.
Chứng minh tương tự ta được: ( ) ≤ ( ), ∈ [ , ].38) ta có: ( )= 0( ′′ : Tiếp theo ta kiểm ra thỏa các điều kiện của Bổ đề 1.5 với 1 = 1 , 1 = 2 , ℎ1( ) = 0( ), ℎ2( ) = 0( ) hay ta kiểm tra thỏa mãn (1. Thật vậy, Ta có: ( ) ≤ 1 ( ) ≤ 2( ), ∈ [ 1 , 2 ] Suy ra: | ( )| ≤ 0 = max{| 1( )| + | 2( )|: ∈ [ , ]}. Trường hợp 1: | ( )| ≤ ( ) Từ (1. ′ Trường hợp 2: ( ) < | ( )| ≤ 2 ( ) Vì ( , ( ), ( )) ≥ − 0( ) − 0( )| ( )| và 0 ≤ 2 − <1 ′ ′ | ( )| ( ) Nên ′′ ( ) = (2 − | ( )|) ( , ( ), ′ ( )) (do (1.37) ta có: Trường hợp 3: | ( )| ≥ 2 ( ) () ′′ ′ 17 ( ) = 0 ≥ − 0( ) − 0( )| ( )|, ∈ ( 1 , 2 ).
Như vậy thỏa các điều kiện của Bổ đề 1.48) 2 2 2 2 trong đó, 1 và 2 là các hàm như trong Bổ đề 1. Do đó, không mất tính tổng quát ta giả sử: +∞ ′ +∞ lim Từ (1.45) cho → +∞, với để ý lim = , lim = ta được: ( ) = 0( ), lim ′ ( ) = ′ ( ) đều trên ( , ). + hay → +∞, suy ra: 0( ) ≤ 1( ) + 1( ), ∈ ( , 2) + Cho → 1( ) = 0 nên: + Cho 0≤ → lim+ 0( ) ≤ 1( +) = 0 hay 0( +) = 0 , do 18 và ( )≤ 2 + 2( ), ∈ ( 2 , 2 ) + Hay ( ) ≤ 1( 2 ) + 2( ), ∈ ( 2 , 2 ). + Cho → +∞, suy ra: ( ) ≤ ( ) + ( ), ∈ ( 0 1 2 + 2 , ) Cho → , do ( ) = 0 nên: − 2 0 ≤ lim 0( ) ≤ 1( −) = 0 hay 0( −) = 0.
− → Như vậy 0 là nghiệm của bài toán (1. Trường hợp bất đẳng thức (1.32) thực hiện thì bổ đề được chứng minh tương tự. Chỉ khác nhau ở chỗ ta không lấy dãy ( )+∞ =1, = 1,2 mà đặt ̃( ) = ( ), ∈ ( , ), trong đó là hàm được cho trong Bổ đề 1. Vậy, bổ đề được chứng minh.
Xét phương trình: ′′ = ( ) + ( ) ′; , ∈ (( , ); ℝ) Định nghĩa: Phương trình (1.