I. Không gian metric
Không gian metric là một khái niệm cơ bản trong toán học, được giới thiệu bởi M. Fréchet và phát triển bởi F. Hausdorff. Nó là một tập hợp mà trên đó có thể đo được khoảng cách giữa các phần tử. Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian metric, bao gồm sự hội tụ, tập hợp mở, tập hợp đóng, và ánh xạ liên tục. Không gian metric đầy đủ cũng được đề cập, với các ví dụ như không gian Euclid và không gian hàm liên tục.
1.1 Khái niệm không gian metric
Không gian metric được định nghĩa là một tập hợp X cùng với một hàm khoảng cách p thỏa mãn các tiên đề: đồng nhất, đối xứng, và bất đẳng thức tam giác. Ví dụ, không gian Euclid R^n với khoảng cách Euclid là một không gian metric. Các tính chất cơ bản của không gian metric bao gồm tính duy nhất của giới hạn và tính liên tục của ánh xạ.
1.2 Sự hội tụ trong không gian metric
Sự hội tụ trong không gian metric được định nghĩa thông qua giới hạn của dãy các phần tử. Một dãy {x_n} hội tụ đến x_0 nếu khoảng cách giữa x_n và x_0 tiến về 0 khi n tiến đến vô cùng. Tính chất quan trọng của sự hội tụ là tính duy nhất của giới hạn và sự bảo toàn giới hạn qua các ánh xạ liên tục.
1.3 Tập hợp mở và tập hợp đóng
Tập hợp mở trong không gian metric là tập hợp mà mọi điểm của nó đều là điểm trong. Tập hợp đóng là tập hợp mà phần bù của nó là tập hợp mở. Các tính chất của tập hợp mở và đóng bao gồm: hợp của các tập hợp mở là tập hợp mở, giao hữu hạn các tập hợp mở là tập hợp mở, và giao của các tập hợp đóng là tập hợp đóng.
II. Không gian tôpô
Không gian tôpô là một khái niệm tổng quát hơn không gian metric, trong đó không cần thiết phải có khái niệm khoảng cách. Chương này giới thiệu các khái niệm cơ bản về không gian tôpô, bao gồm cơ sở tôpô, ánh xạ liên tục, và các tiên đề tách. Không gian tôpô cũng được xây dựng thông qua các ánh xạ và các không gian con.
2.1 Cơ sở của không gian tôpô
Cơ sở của không gian tôpô là một họ các tập hợp mở sao cho mọi tập hợp mở trong không gian đều có thể biểu diễn như hợp của các tập hợp trong cơ sở. Cơ sở tôpô giúp đơn giản hóa việc nghiên cứu các tính chất của không gian tôpô và xây dựng các tôpô mới từ các cơ sở cho trước.
2.2 Ánh xạ liên tục và phép đồng phôi
Ánh xạ liên tục trong không gian tôpô là ánh xạ bảo toàn cấu trúc tôpô. Phép đồng phôi là một song ánh liên tục có ánh xạ ngược cũng liên tục. Phép đồng phôi bảo toàn các tính chất tôpô và được sử dụng để nghiên cứu sự tương đương giữa các không gian tôpô.
III. Độ đo và tích phân
Độ đo và tích phân là các khái niệm quan trọng trong giải tích và lý thuyết độ đo. Chương này trình bày các khái niệm cơ bản về độ đo, bao gồm độ đo Lebesgue và độ đo Borel, cũng như các phép toán trên các hàm đo được. Tích phân Lebesgue được giới thiệu như một công cụ mạnh mẽ để tích phân các hàm không liên tục.
3.1 Độ đo và các tính chất
Độ đo là một hàm số xác định trên một đại số các tập hợp, thỏa mãn các tính chất như cộng tính và không âm. Độ đo Lebesgue là một ví dụ quan trọng của độ đo, được sử dụng rộng rãi trong giải tích và lý thuyết xác suất. Các tính chất của độ đo bao gồm tính đủ và tính thác triển.
3.2 Tích phân Lebesgue
Tích phân Lebesgue là một công cụ mạnh mẽ để tích phân các hàm không liên tục. Nó được định nghĩa thông qua độ đo Lebesgue và có các tính chất như tính tuyến tính và tính chuyển qua giới hạn dưới dấu tích phân. Tích phân Lebesgue cũng có mối quan hệ chặt chẽ với tích phân Riemann.
