Giải phương trình Schrodinger cho một số dạng hố thế - Luận văn của Vương Thị Vui

Chuyên khảo phân tích 1265 giải phương trình schrodinger cho một số dạng hố thế trong cơ học lượng tử vương thị vui luận, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất hướng nghiên

• Trường học: Đại Học Quảng Nam
• Chuyên ngành: Cơ Học Lượng Tử
• Đề tài: Giải Phương Trình Schrödinger Cho Một Số Dạng Hố Thế Trong Cơ Học Lượng Tử
• Loại tài liệu: Luận Văn
• Địa điểm: Quảng Nam

Tóm tắt

I. Toàn cảnh luận văn 1265 giải phương trình Schrodinger

Luận văn tốt nghiệp đại học của sinh viên Vương Thị Vui, mã số 2111010265, tại trường Đại học Quảng Nam mang tên "Giải phương trình Schrodinger cho một số dạng hố thế trong cơ học lượng tử" là một công trình nghiên cứu chuyên sâu và bài bản. Đề tài tập trung vào một trong những phương trình nền tảng nhất của cơ học lượng tử, có vai trò tương đương định luật II Newton trong vật lý cổ điển. Việc giải phương trình Schrodinger cho phép xác định hàm sóng và các mức năng lượng của một hệ vi mô, từ đó cung cấp một bức tranh toàn diện về trạng thái và động lực của hệ. Luận văn này không chỉ hệ thống hóa cơ sở lý thuyết mà còn đi sâu vào việc áp dụng các phương pháp toán học để tìm lời giải cho các bài toán cụ thể về hố thế lượng tử. Công trình được chia thành ba chương chính, bắt đầu từ tổng quan lý thuyết, đi đến giải các bài toán cụ thể và cuối cùng là ứng dụng thực tiễn, tạo thành một tài liệu tham khảo giá trị cho sinh viên ngành Sư phạm Vật lý. Nghiên cứu này đặc biệt hữu ích trong bối cảnh thời lượng học môn cơ học lượng tử còn hạn chế, giúp người học có cái nhìn sâu sắc hơn về các bài toán phức tạp liên quan đến hố thế vô hạn và hố thế hữu hạn.

1.1. Tầm quan trọng của phương trình Schrodinger trong cơ học

Phương trình Schrodinger là phương trình trụ cột của cơ học lượng tử. Nó mô tả sự biến đổi theo thời gian của hàm sóng, một hàm toán học chứa đựng mọi thông tin về trạng thái của một hệ lượng tử. Theo tiên đề V của cơ học lượng tử, phương trình này có dạng iħ(∂Ψ/∂t) = ĤΨ, trong đó Ĥ là toán tử Hamilton, đại diện cho năng lượng toàn phần của hệ. Việc giải phương trình này cho phép chúng ta tìm ra các trị riêng và hàm riêng của hệ, tương ứng với các mức năng lượng được phép (sự lượng tử hóa năng lượng) và các trạng thái dừng tương ứng. Luận văn của Vương Thị Vui đã nhấn mạnh rằng, việc nắm vững cách giải phương trình này là chìa khóa để hiểu rõ các hiện tượng vi mô như cấu trúc nguyên tử, phổ vạch phát xạ, và các hiệu ứng lượng tử độc đáo.

1.2. Mục tiêu và cấu trúc của luận văn Vương Thị Vui

Mục tiêu chính của luận văn là "nghiên cứu cơ sở lý thuyết về phương trình Schrodinger, nghiên cứu một số dạng hố thế và giải được một số bài tập liên quan". Để đạt được mục tiêu này, cấu trúc của đề tài được xây dựng một cách logic gồm 3 chương. Chương 1 trình bày tổng quan lý thuyết về phương trình Schrodinger phụ thuộc và không phụ thuộc thời gian. Chương 2 là nội dung trọng tâm, tập trung giải phương trình cho các dạng hố thế lượng tử cụ thể như hố thế chữ nhật sâu vô hạn, hố thế sâu hữu hạn, thế bậc thang và hàng rào thế. Chương 3 minh họa các ứng dụng thông qua việc giải các bài tập cơ học lượng tử có lời giải chi tiết. Cấu trúc này giúp người đọc đi từ lý thuyết nền tảng đến thực hành, làm cho đề tài trở thành một chuyên đề vật lý lượng tử hoàn chỉnh.

II. Thách thức khi giải phương trình Schrodinger cho hố thế

Việc giải phương trình Schrodinger cho các dạng hố thế lượng tử khác nhau không phải là một nhiệm vụ tầm thường. Thách thức lớn nhất đến từ bản chất của nó là một phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc hai. Lời giải, tức hàm sóng ψ(x), phải thỏa mãn các điều kiện vật lý nghiêm ngặt. Hàm sóng phải đơn trị, hữu hạn và liên tục trên toàn không gian. Quan trọng hơn, đạo hàm bậc nhất của hàm sóng cũng phải liên tục, trừ những điểm có thế năng vô hạn. Các yêu cầu này, được gọi là điều kiện biên, đóng vai trò quyết định trong việc xác định các mức năng lượng cho phép. Luận văn 1265 đã chỉ ra rằng, mỗi dạng hố thế (ví dụ hố thế vô hạn so với hố thế hữu hạn) sẽ có một bộ điều kiện biên khác nhau, dẫn đến những phương pháp giải và kết quả hoàn toàn khác biệt. Việc áp dụng sai hoặc thiếu các điều kiện này sẽ dẫn đến các nghiệm không có ý nghĩa vật lý. Bên cạnh đó, nhiều bài toán, đặc biệt là với hố thế hữu hạn, dẫn đến các phương trình siêu việt, đòi hỏi phải sử dụng phương pháp đồ thị hoặc phương pháp số để tìm nghiệm, thay vì giải tích trực tiếp.

2.1. Phân tích tính phức tạp của phương trình vi phân Schrodinger

Phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian có dạng Ĥψ = Eψ. Đây là một phương trình trị riêng. Tính phức tạp của nó nằm ở việc toán tử Hamilton Ĥ = - (ħ²/2m)∇² + U(x) chứa cả toán tử đạo hàm bậc hai và hàm thế năng U(x). Dạng của hàm thế năng U(x) quyết định hoàn toàn phương pháp giải. Với các vùng có U(x) là hằng số, phương trình trở nên đơn giản. Tuy nhiên, tại các điểm biên nơi thế năng thay đổi đột ngột (gián đoạn), việc kết nối các nghiệm ở các vùng khác nhau đòi hỏi sự cẩn trọng tuyệt đối.

2.2. Vai trò của điều kiện biên và tính liên tục của hàm sóng

Luận văn nhấn mạnh tầm quan trọng của điều kiện biên. Tại các điểm giao giữa hai vùng có thế năng khác nhau, hàm sóng ψ(x) và đạo hàm của nó ψ'(x) phải liên tục. Điều kiện ψ(x₁) (trái) = ψ(x₁) (phải) và ψ'(x₁) (trái) = ψ'(x₁) (phải) là chìa khóa để liên kết các hằng số trong nghiệm tổng quát của mỗi vùng. Chính những điều kiện này đã dẫn đến sự lượng tử hóa năng lượng: chỉ có một số giá trị năng lượng E cụ thể mới cho phép tồn tại một hàm sóng thỏa mãn tất cả các điều kiện biên. Đây là một trong những đặc tính cốt lõi của cơ học lượng tử.

III. Phương pháp giải Schrodinger cho hố thế sâu vô hạn

Chương 2 của luận văn trình bày chi tiết phương pháp giải cho bài toán hạt trong hộp một chiều, hay còn gọi là hố thế vô hạn. Đây là mô hình cơ bản nhất nhưng vô cùng quan trọng trong cơ học lượng tử. Thế năng U(x) được định nghĩa bằng 0 bên trong hố (ví dụ từ 0 đến L) và bằng vô cùng ở bên ngoài. Điều này có nghĩa là hạt hoàn toàn bị giam giữ bên trong hố. Do đó, hàm sóng phải bằng 0 tại các thành của hố, tức là ψ(0) = 0 và ψ(L) = 0. Đây chính là điều kiện biên của bài toán. Bên trong hố, phương trình Schrodinger trở thành một phương trình vi phân đơn giản d²ψ/dx² + k²ψ = 0, với k² = 2mE/ħ². Nghiệm tổng quát có dạng ψ(x) = A sin(kx) + B cos(kx). Áp dụng các điều kiện biên, ta dễ dàng tìm được các trạng thái năng lượng và hàm sóng cho phép. Luận văn đã giải quyết cả hai trường hợp: hố thế không đối xứng (từ 0 đến L) và hố thế đối xứng (từ -L/2 đến L/2), cho thấy sự tương đương về mặt vật lý của chúng.

3.1. Bước giải chi tiết cho hố thế không đối xứng bề rộng L

Đối với hố thế chữ nhật không đối xứng từ 0 đến L, điều kiện ψ(0) = 0 buộc hằng số B trong nghiệm tổng quát phải bằng 0. Nghiệm còn lại là ψ(x) = A sin(kx). Áp dụng điều kiện thứ hai ψ(L) = 0, ta có A sin(kL) = 0. Vì A không thể bằng 0 (nếu không sẽ không có hạt), nên sin(kL) phải bằng 0. Điều này chỉ xảy ra khi kL = nπ, với n là số nguyên dương (n=1, 2, 3,...). Từ đây, ta suy ra các mức năng lượng bị lượng tử hóa: E_n = (n²π²ħ²)/(2mL²). Năng lượng của hạt không thể nhận giá trị liên tục mà chỉ có thể là E₁, 4E₁, 9E₁,... Đây là kết quả trực tiếp của việc giam giữ hạt.

3.2. Lời giải cho hố thế đối xứng và sự lượng tử hóa năng lượng

Với hố thế đối xứng từ -L/2 đến L/2, thế năng U(x) là một hàm chẵn. Do đó, nghiệm của phương trình Schrodinger, tức hàm sóng, phải là hàm chẵn hoặc lẻ. Luận văn đã xét riêng hai trường hợp. Nghiệm chẵn có dạng ψ(x) = B cos(kx) và nghiệm lẻ có dạng ψ(x) = A sin(kx). Áp dụng điều kiện biên ψ(±L/2) = 0 cho cả hai trường hợp, kết quả cuối cùng vẫn dẫn đến cùng một phổ năng lượng E_n = (n²π²ħ²)/(2mL²). Điều này chứng tỏ tính chất vật lý của hệ không phụ thuộc vào việc lựa chọn gốc tọa độ.

IV. Hướng dẫn giải Schrodinger cho hố thế sâu hữu hạn

Khác với hố thế vô hạn, bài toán hố thế hữu hạn phức tạp hơn nhưng lại mô tả thực tế tốt hơn, ví dụ như electron trong một chất bán dẫn. Trong trường hợp này, thế năng U(x) có giá trị hữu hạn U₀ ở bên ngoài hố. Hạt có năng lượng E < U₀ vẫn bị liên kết, nhưng hàm sóng của nó không triệt tiêu tại biên mà "thấm" vào vùng cấm cổ điển. Điều này dẫn đến một hiện tượng thuần túy lượng tử: có một xác suất khác không để tìm thấy hạt ở bên ngoài hố thế. Luận văn của Vương Thị Vui đã trình bày phương pháp giải bằng cách chia không gian thành ba vùng và viết phương trình Schrodinger cho từng vùng. Nghiệm ở vùng ngoài hố có dạng hàm mũ giảm dần, trong khi nghiệm bên trong vẫn là hàm sin và cos. Việc áp dụng các điều kiện biên (tính liên tục của ψ và ψ') tại hai biên của hố dẫn đến một hệ phương trình siêu việt, không thể giải trực tiếp bằng phương pháp giải tích mà phải dùng phương pháp đồ thị để xác định các mức năng lượng cho phép.

4.1. Giải phương trình siêu việt để tìm phổ năng lượng gián đoạn

Sau khi áp dụng các điều kiện liên tục, luận văn đã thu được hai phương trình siêu việt, một cho các trạng thái chẵn (ξ tan(ξ) = √(ξ₀² - ξ²)) và một cho các trạng thái lẻ (-ξ cot(ξ) = √(ξ₀² - ξ²)), trong đó ξ và ξ₀ liên quan đến năng lượng E và độ sâu hố thế U₀. Giao điểm của các đường cong trên đồ thị sẽ cho ta các giá trị năng lượng được phép. Phương pháp này cho thấy số lượng trạng thái liên kết phụ thuộc vào độ sâu và độ rộng của hố thế. Một hố thế quá nông hoặc quá hẹp có thể không chứa bất kỳ trạng thái liên kết nào.

4.2. Phân tích hiệu ứng đường hầm qua hàng rào thế năng

Một phần quan trọng khác được đề cập là bài toán hàng rào thế và hiệu ứng đường hầm. Khi một hạt có năng lượng E nhỏ hơn chiều cao hàng rào U₀ tiến tới hàng rào, cơ học cổ điển dự đoán nó sẽ bị phản xạ hoàn toàn. Tuy nhiên, cơ học lượng tử cho thấy có một xác suất để hạt "xuyên" qua hàng rào và xuất hiện ở phía bên kia. Luận văn đã tính toán hệ số truyền qua T, cho thấy nó phụ thuộc vào năng lượng của hạt, chiều cao và bề rộng của hàng rào. Hiệu ứng đường hầm là cơ sở của nhiều công nghệ hiện đại như kính hiển vi quét chui và bộ nhớ flash, là một minh chứng ấn tượng cho tính đúng đắn của vật lý chất rắn và cơ học lượng tử.

V. Ứng dụng kết quả giải phương trình Schrodinger thực tế

Chương 3 của luận văn 1265 tập trung vào việc áp dụng các kết quả lý thuyết đã tìm được ở Chương 2 để giải quyết các bài toán vật lý cụ thể. Phần này có giá trị thực tiễn cao, giúp củng cố kiến thức và phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề cho sinh viên. Các bài toán được lựa chọn rất đa dạng, bao gồm việc xác định hàm sóng tại một thời điểm t > 0 nếu biết hàm sóng ban đầu, tính toán năng lượng trung bình của hệ, và tìm xác suất để hạt xuất hiện trong một vùng không gian nhất định. Ví dụ, bài toán về một electron trong hố thế vô hạn có trạng thái ban đầu là một tổ hợp của các trạng thái dừng cho thấy cách hệ tiến hóa theo thời gian. Việc sử dụng các công thức tính hệ số phản xạ và truyền qua cũng được minh họa qua các bài tập về thế bậc thang và hàng rào thế. Đây là những dạng bài tập cơ học lượng tử có lời giải điển hình, giúp người học làm quen với các công cụ toán học và khái niệm vật lý của chuyên đề vật lý lượng tử.

5.1. Ví dụ tính toán năng lượng trung bình và xác suất tìm hạt

Một bài toán điển hình trong luận văn yêu cầu tính năng lượng trung bình <E> của một hệ có hàm sóng ban đầu Ψ(x, 0) không phải là một trạng thái dừng. Phương pháp giải là khai triển Ψ(x, 0) theo cơ sở các hàm riêng năng lượng ψ_n(x). Năng lượng trung bình sau đó được tính bằng công thức <E> = Σ |c_n|² E_n, trong đó |c_n|² là xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái có năng lượng E_n. Tương tự, xác suất tìm hạt trong một khoảng (a, b) được tính bằng tích phân P = ∫|Ψ(x, t)|² dx từ a đến b.

5.2. Bài toán về sự thay đổi bề rộng hố thế và trạng thái cơ bản

Luận văn cũng giải quyết một bài toán thú vị: một electron ban đầu ở trạng thái cơ bản trong hố thế rộng a. Nếu bề rộng hố đột ngột tăng lên 4a, xác suất để tìm thấy electron vẫn ở trạng thái cơ bản của hố mới là bao nhiêu? Bài toán này đòi hỏi việc tính toán tích phân xen phủ giữa hàm sóng của trạng thái ban đầu và hàm sóng của trạng thái cuối cùng. Kết quả cho thấy xác suất này nhỏ hơn 1, nghĩa là có khả năng electron sẽ chuyển lên các trạng thái kích thích cao hơn.

VI. Kết luận từ luận văn giải phương trình Schrodinger 1265

Luận văn "Giải phương trình Schrodinger cho một số dạng hố thế trong cơ học lượng tử" của Vương Thị Vui là một công trình nghiên cứu khoa học nghiêm túc, có hệ thống và đóng góp thiết thực. Đề tài đã hoàn thành xuất sắc các mục tiêu đề ra: hệ thống hóa cơ sở lý thuyết về phương trình Schrodinger, phân tích và đưa ra phương pháp giải chi tiết cho các dạng hố thế lượng tử tiêu biểu, và vận dụng lý thuyết để giải quyết các bài toán cụ thể. Những kết quả nghiên cứu trong luận văn vật lý lý thuyết này không chỉ thể hiện sự nắm vững kiến thức chuyên môn của tác giả mà còn cung cấp một tài liệu tham khảo quý báu cho các sinh viên khóa sau của ngành Sư phạm Vật lý tại Đại học Quảng Nam. Công trình đã làm rõ các khái niệm trừu tượng như lượng tử hóa năng lượng, hàm sóng, điều kiện biên, và các hiệu ứng lượng tử như hiệu ứng đường hầm. Đây là một nền tảng vững chắc cho những ai muốn đi sâu hơn vào lĩnh vực vật lý chất rắn và các chuyên ngành khác của vật lý hiện đại.

6.1. Tổng kết các phương pháp giải và kết quả chính đạt được

Luận văn đã tổng kết thành công các phương pháp giải phương trình Schrodinger một chiều. Đối với hố thế vô hạn, phương pháp giải tích trực tiếp dựa trên điều kiện biên được áp dụng. Đối với hố thế hữu hạn và hàng rào thế, phương pháp kết hợp nghiệm và giải phương trình siêu việt bằng đồ thị đã được trình bày rõ ràng. Các kết quả chính bao gồm việc xác định phổ năng lượng gián đoạn và các hàm sóng tương ứng cho mỗi loại hố thế, cũng như việc tính toán các hệ số phản xạ và truyền qua.

6.2. Ý nghĩa khoa học và giá trị thực tiễn của đề tài nghiên cứu

Về mặt khoa học, đề tài góp phần làm sáng tỏ những nguyên lý cơ bản của cơ học lượng tử thông qua các ví dụ trực quan. Về giá trị thực tiễn, luận văn là một tài liệu học tập và tham khảo hữu ích, đặc biệt là phần ứng dụng giải các bài tập cơ học lượng tử có lời giải. Nó giúp sinh viên thu hẹp khoảng cách giữa lý thuyết trừu tượng và ứng dụng tính toán, một kỹ năng cần thiết cho bất kỳ nhà vật lý hay kỹ sư nào trong tương lai. Công trình này là một minh chứng cho chất lượng đào tạo và nghiên cứu khoa học tại Khoa Lý - Hóa - Sinh, trường Đại học Quảng Nam.

Trích đoạn nội dung tài liệu

chương 1 Qua việc tìm hiểu cơ sở lý thuyết, trong chương đầu tiên chúng tôi đã trình bày tổng quan về phương trình Schrodinger bao gồm một số vấn đề như cách giải phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian; cách xác định hàm sóng, năng lượng trong phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, mật độ xác suất, mật độ dòng xác suất. Đông thời đưa ra các tính chất của chuyển động một chiều từ đó đi đến một số tính chất nghiệm cụ thể của phương trình Schrodinger một chiều. Đây sẽ là cơ sở cho việc giải phương trình Schrodinger cho một số dang hé thé ở chương tiếp theo. CHUONG 2: GIAI PHUONG TRINH SCHRODINGER CHOMỘT SỐ DẠNG HỒ THÊ, 2.

Hồ thế có bể sâu vô hạn 2. Hồ thế không đối xứng bề rộngL. Xét trường hợp một hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều có bề rộng L. Lúc đó hạt hoàn toàn bị nhốt trong giếng.

Thế năng đang xét có dạng như ở hình 2.1: Sơ đồ thế năng của giếng thế một chiều sâu vô han Dạng giải tích của thế năng là ỨŒ) =0,khi0 < x<L, U(x) = 0, khix < Ö và x > L. Ta thấy rằng ngoài giếng thế U(x) = hàm song p(x) = 0, hat khong tồn tại ở ngoài giếng. Như vay ta chi xét hat 6 trong giéng (0< x < L). Phương trình schrodinger cho trạng thái đừng có đạng “9+ k?@œ) = 0, với k? = 2mE /hP.

Nghiệm của phương trình có dạng wx) = Asinkx + B coskx. Ap dung điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biênta được la ụ)=0. Ụ =0,A#0 Suy'ra AsinkL +B coskl = 0, => AsinkL =0- 10 => sinkL = 0> =k= F tt suy ra Œ)=A 7 Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có J;IWG@9|24x = 1, tư = A? fiein™)" 7 ax = 1, @ Sfa- A ob cos 2nTx, ax = 1, oanftL 'Vậy hàm sóng ở trạng thái đừng ứng với hạt có năng lượng E„ là tủuŒ) = fisn%s, n=1,23. Vik? = 2mE /h” nên ta có biểu thức năng lượng của hạt trong hồ thế là Pn? m 2m12 n? = nEy, trong đó Ey = = là năng lượng ứng với n=1 và được gọi là năng lượng của hạt ở trạng thái cơ bản.

Như vậy, hạt ở trong giếng có thể được tìm thấy với một trong các giá trị năng lượng Eo, 4E9, 9Eo, 16Eo -. Hồ thế đối xứng bề rộng L. Xét một hạt chuyển động trên đường thẳng, nếu thế năng U(x) co dang U(x) = 0,khi-L/2 <x < 1/2, U(x) =, khilx| = 1/2. Sơ đồ thế năng có dạng như hình 2.2: Sơ đồ thế năng của giếng thế đối xứng một chiều Trong khoảng từ—,/2 đến L/2 hạt chuyển động tự do, muốn cho hạt ra ngoài khoảng này thì phải tốn một năng lượng bằng eo.

Như vậy tức là ở điểm —Ù/2 tà L/2 hạt bị chặn lại. Phương trình schrodinger của hạt chuyển động có dạng HO + kh) 42V) v+z == 0, với k? = 2mE/h°. Nghiệm của phương trình có dạng w(x) =Asinkx + B coskx. Vi thé nang 14 ham chin cia toa dé nén nghiém cia phwong trinh dugc phân thành hai lớp nghiệm lẻ và nghiệm chẵn.

Đối với lớp nghiệm chin Œ) = ÚC), ta được W(x) = B coskx. Áp đụng điều kiện biên p(L/2)=0, ta duge cos“ke2 = 0, = k=, n=13,5. Tương tự đối với lớp nghiệm lẻ 9Œ) = ~C*), ta được Œ) = Asinkx. Áp dụng điều kiện biên ý(—1,/2)=0, ta được 12 Asinkx = 0, ok=%,ow 246.

Áp dụng điều kiện chuẩn hóa ta có ta | woorar=1, be Bãi eB? J (cos) dx =1, THIX 2 tn A oo = ft Giải tương tự ta được: Á = fi 'Vậy nghiệm của phương trình là dae = fisin x ndurn = 2,46. 2 : ta) = Foose néun = 1,35. Ta thay trong cả hai lớp nghiệm ta đều cók — “” do đó năng lượng của hạt được tính theo hệ thức Ta có thể đưa ra một số nhận xét về bài toán giếng thể một chiều vuông góc sâu vô hạn như năng lượng E„ của hạt trong giếng bị lượng tử hóa (điều này xây ra là do chuyển động của hạt mặc dầu tự do nhưng bị giới hạn). Hàm sóng tử„ là hàm chẵn (khi n lẻ) và hàm lẻ (khi n chẵn) đối với tâm của giếng.

Hàm sóng tủ„ có n-1 nút (mode). 13 = Ps 4 4 Ws t Nang Luong E 28 E, pe , l6 E, du on) 4E, le L Ei Hình 2.3: Đồ thị hàm song py (x) va ning lượng E„trong giếng thế vuông một chiều sâu vô hạn 2. Hồ thế có bễ sâu hữu hạn 2. Hồ thế đối xứng bề rộng L.

Xét trường hợp giếng thế hình chữ nhật có chiều cao hữu hạn với thế năng, có đạng U(x) = 0,khi—L/2 <x < L/2, UG) = Uy, khilx| = L/2. Sơ đồ thế năng được cho ở hình 2. Ux} — af 2 0 12 Hình 2.4: Sơ đỗ thế năng giếng thé một chiều sâu hữu hạn đối xứng Có thể thấy rằng khi năng lượng E > Ứ thì hạt tự đo không bị liên kết, năng lượng È là liên tục. Ngược lại khi E < Up hat bi nhốt trong giếng năng lượng của hạt bị lượng tử hóa.

Ta sẽ giải phương trình schrodinger cho từng miễn thế năng để tìm năng lượng và hàm sóng ứng với các trạng thái Khác nhau của hạt. 14 Ta có phương trình schrodinger đừng một chiều Trường hợp E < Up, |x| < L/2. u@) + khúu @) = 0, với k?= 2mE/HẺ. Nghiệm của phương trình có dạng W(x) = Acoskx + Bsinkx.

Trường hop EF > Up, [x] = b/2. Nghiệm của phương trình có dạng 9Œ) = C.e—RY, Áp dụng điều kiện biên We 70)=0> C=0> py, = D.e** Áp đụng các điều kiện liên tục của hàm sóng tại các điểm biên ta được ti 1/2) = 0uC—1/2) 90/2) = 9u¡(/2) VẠC- 1/2) = 9uC-1/2) (1/2) = 9iu(Œ/2).e= =Acos— Bsin a Acos +B sin = D.e7= = kAsin=+ kB cos KL kA sin+ kB cos”: = ~KD. k tan (“) = Ñ đối với lớp nghiệm chẵn, Ta được ý - kcot ( ) = —K đối với lớp nghiệm lẻ. Thay vao hai phuong trinh trén ta duge { ‡tan= viễ —È”, —Ÿ cotỆ = Viễ — €2.

Hai phương trình siêu việt trên xác định các giá trị năng lượng cho phép của hạt trong giếng thế hữu hạn. Giá trị năng lượng chứa trong số hạng ÿ = kL/2 = VữmE/2h°L. Các phương trình này không thể bằng phương pháp giải tích mà chỉ có thể giải bằng phương pháp tích số hoặc đồ i. G day ta sẽ giải bằng phương pháp đồ thị.5a biểu biến đồ thị của tan‡ à V‡2 — È2/‡ theo É.5b biểu biến đỗ thị của —cot‡ zà vV #2 — È/‡ theo š với các gii 1 £o khác nhau, nghĩa là Ứạ rà L khác nhau.

Giao điểm của các đường cong này xác định các giá trị cho phép ứng với các giá trị nhất định của ‡ọ. Đối với trường hợp trạng thái chẵn, khi £gbé chỉ có một giao điểm, nghĩa là có một giá trị năng lượng cho phép. Khi ‡otăng số giá trị năng lượng cho phép tăng lên. Trong trường hợp trạng thái lẻ vì T— cotÿ < Onên khi ¢ = z/2 sẽ không có giao điểm nào xuất hiện, nghĩa là không có giá trị năng lượng cho phép.

U m2 +? 3ml2 2m 5ml 3mTn2 Ÿ 0 wR œ 3ml2 2z 5ml2 3m Tri2 (a) (b) Hình 2.5: a) Đồ thị của tan£ va v2 — €2/€ theo & b) Đô thị của —cot‡ øà V2 — È2/‡ theo š Một cách tổng quát giá trị của bề rộng giếng thế mà tại đó có n trạng thái liên kết, nghĩa là có n giá trị năng lượng được cho bởi 16 ne ia Tt, 2h2 fo = hodc Ue = G)?. Như vậy, phổ năng lượng bao gồm các trạng thái chẵn và lẻ xen kẻ nhau, trong đó trạng thái cơ bản là trạng thái chẵn. Trường hợp giới hạn khi Ứa — œ thi fy > eo thi ham J &2 — &2/€ sé cit tang va —cot€ tai céc điểm tiệm cận € = nw/2 vi khi Ug > © cd tang vacoté đều tiền tới vô cùng (mm —. Kết hợp cả hai điều kiện này ta được tt,tr.

Vì ‡? =m12E,/(2h°) nên ta nhận được biểu thức của năng lượng cho trường thế vô hạn Hạ Fy Hinh 2.6: Sơ đồ 3 mức hàm sóng và năng lượng trong giếng thế một chiều. Đường liền nét ứng với thế hữu hạn, đường đứt nét ứng với thế năng vô hạn Từ đỏ thị cho thấy rằng các hàm sóng “lan tỏa” qua miền E < Uạ. Điều này có nghĩa là xác suất tìm hạt [tự (x)|? ở miền I và miễn II khác không, nghĩa là hạt có thể có mặt ở bên ngoài giếng. Hồ thế không đối xứng bề rộng a Hat có khói lượng m chuyển động trong trường thế có dạng U=-Uy khi 0<x<a, U=0_ khix<0x>a.

17 Sơ đồ thế năng như hình 2. Xác định hàm sóng của hạt. Tìm hệ số phản xạ và hệ số truyền qua của hat. U62 LES 1 a au SỨ Hình 2.7: Sơ đỏ thế năng giếng thế một chiều sâu hữu hạn không đối xứng Các phương trình schrodinger trong các vùng 1, II và TH có dạng 1Œ) + k?ú;Œ) = 0 khi x < 0, Wh Ge) + Ky Oc) = 0 khi 0 < x < a, Win Oc) + kp) = Okhix <a, trong đó k=V2mE/h,K = (2m + E)/h.

Nghiệm của các phương trình trên có dạng, tÚ,(x) = é “+ Bị, ø— tụ Œ) = Ape + By. eH Win Oc) = Ay. eo 'Trơng vùng III không có sóng phản xạ nên ta đặt 8; = 0. Từ điều kiện liên tục của y va y" tai các điểm x = 0 vax = ata duge 1,(0) = #,,(0) 19¡() = ¡,(0) Wn (@) = Yin@) Wis (@) = Yin (a).

eX + Bye? = Ay, elke <<. Từ hai đẳng thức đầu ta có k k 24, =14+£4+0-5B & k 2B,=1—Š+(1+2)B,. 'Từ hai đẳng thức sau ta có 24;.e*(1 + 2) 2B; e7 = As,etfe (1 ~ ), Dễ đồng thầy rằng lark & 2á, _ GIẾ(-Đ aig 2 0gp GHẾ Từ đó suy ra “. 1 TXkR)2e-IRa _ 2R(K+K)ea 2 — 1X+K)2e-IRaS (r~K)2efa^ Be ak(x-Ket®a 2 = 1X+R)22-IRd-(K~k)2eIRa? _ 2kke~Ita 3 — (1RJ22-Te—gr-R)P of By =0.

Các hàm sóng tới (ÿ;)sóng phản xạ („„)và sóng truyền qua (/;a) lần lượt là wr) =e, Wyx (x) = Bye, Weg) = A;.e ft, Các hệ số phản xạ R và hệ số truyền qua D được xác định từ các công thức 19 patel _ ja, de Dé dang thay ring R +D =1.Thé bac thang Xét hạt chuyển động trong trường thé có dạng hình 2.8: Sơ đồ thế năng hồ thế bậc thang Thế năng có dạng U =0, khix< 0, U = Ứạ,khi x > 0. Theo cơ học cổ điển hạt có năng lượng E từ miền I đi qua miền II sẽ có động năng T = E — Uạ.