I. Tổng Quan Về Ổn Định Phương Trình Vi Phân Điều Khiển 55
Trong thực tế, nhiều bài toán kỹ thuật và điều khiển liên quan đến các hệ thống được mô tả bằng các phương trình toán học. Khi nghiên cứu các phương trình này, việc nghiên cứu định tính trở nên quan trọng. Điều này bao gồm việc nghiên cứu những tính chất đặc trưng của tất cả hoặc một phần các đường cong nghiệm, từ đó phán đoán được dáng điệu của chúng trong thời gian quan sát. Đặc biệt là trong quá trình thời gian dần ra vô cùng. Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực và được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực cơ học, vật lý toán, kỹ thuật, kinh tế. Lý thuyết này được hình thành bởi những công trình nghiên cứu đầu tiên của nhà toán học người Nga A. Lyapunov từ cuối thế kỷ XIX.
1.1. Lịch Sử Phát Triển Của Lý Thuyết Ổn Định Lyapunov
Trước Lyapunov đã có một số công trình nghiên cứu về tính ổn định, tuy nhiên phải đến khi Lyapunov công bố công trình nổi tiếng "Bài toán tổng quát về sự ổn định của chuyển động, 1892" thì lý thuyết ổn định mới thực sự được quan tâm và có bước tiến mạnh mẽ [1], [17],v. Vấn đề ổn định phương trình vi phân đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và giải quyết. Có thể kể ra đây một số tác giả trong nước như: Hoàng Hữu Đường, Vũ Tuấn, Nguyễn Thế Hoàn, Vũ Ngọc Phát, Trần Thị Loan. Những định nghĩa về tính ổn định của Lyapunov đưa ra hơn một thế kỷ qua vẫn còn nguyên giá trị và ngày càng phát triển. Hai phương pháp do ông đề xuất là phương pháp số mũ đặc trưng và phương pháp hàm Lyapunov.
1.2. Vai Trò Của Phương Pháp Hàm Lyapunov Trong Nghiên Cứu Ổn Định
Phương pháp hàm Lyapunov được xem là cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về tính ổn định. Nội dung của phương pháp này là dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm đặc biệt (được gọi là hàm Lyapunov) mà tính ổn định của hệ đã cho được kiểm tra trực tiếp qua dấu của đạo hàm (dọc theo quỹ đạo của hệ đang xét) của hàm Lyapunov tương ứng.
II. Điều Khiển Ổn Định Hóa Hệ Thống Bài Toán Giải Pháp 59
Cùng với sự phát triển của lý thuyết ổn định, lý thuyết điều khiển toán học cũng là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng mới được xuất hiện và phát triển trong mấy thập kỷ gần đây. Tính điều khiển được hệ động lực được khởi xướng bởi một công trình nổi tiếng của Kalman từ những năm 60 của thế kỷ XX, trong đó đã chứng minh một điều kiện đại số về tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều không có hạn chế điều khiển. Từ những kết quả của Kalman thì việc nghiên cứu tính điều khiển được đã không ngừng phát triển và trở thành một hướng quan trọng của lý thuyết điều khiển hệ động lực.
2.1. Bài Toán Ổn Định Hóa Hệ Điều Khiển Khái Niệm Cơ Bản
Do nhu cầu nghiên cứu các tính chất định tính của hệ thống điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiển hay còn gọi là tính ổn định hóa cho hệ điều khiển. Nói một cách giải tích, cho một hệ thống mô tả bởi phương trình toán học điều khiển: u(t) --> ẋ(t) = f (t, x(t), u(t)). Bài toán ổn định hóa của hệ là tìm hàm điều khiển (có thể phụ thuộc vào biến trạng thái mà người ta thường gọi là hàm điều khiển ngược u(t) = h(t, x)) sao cho hệ động lực ẋ(t) = f (t, x(t), h(t, x(t))) = F (t, x(t)) là ổn định hoặc ổn định tiệm cận tại trạng thái cân bằng.
2.2. Liên Hệ Giữa Ổn Định Hóa Và Nghiệm Phương Trình Riccati
Đã có nhiều công trình nghiên cứu quan trọng về bài toán này đối với các hệ điều khiển tuyến tính ôtonôm ẋ = Ax + Bu thông qua nghiệm của phương trình Riccati đại số: A0 P + P A − P BB 0 P + Q = 0 (1). Tuy nhiên, hướng nghiên cứu về tính ổn định của các hệ điều khiển tuyến tính không ôtonôm, các hệ có nhiều phi tuyến, mối liên hệ giữa tính ổn định hóa với nghiệm phương trình Riccati vi phân: Ṗ (t) + A0 (t)P (t) + P (t)A(t) − P (t)B(t)B 0 (t)P (t) + Q(t) = 0 (2) còn rất ít.
2.3. Hướng Nghiên Cứu Mới Về Ổn Định Hóa Hệ Tuyến Tính Không Ôtônôm
Luận văn này trình bày một hướng nghiên cứu mới về bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân điều khiển tuyến tính không ôtonôm có nhiều phi tuyến với mục đích là tìm hiểu và nghiên cứu các điều kiện đủ sao cho hệ là ổn định hóa được dựa trên nghiệm của phương trình Riccati vi phân (2).
III. Phương Pháp Giải Phương Trình Riccati Vi Phân Chi Tiết 58
Chương 1 nhắc lại một số kiến thức cơ bản về lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết ổn định Lyapunov và một số kết quả cơ sở cho hệ phương trình vi phân tuyến tính. Đây là các kết quả nền tảng cho việc trình bày các kết quả nghiên cứu trong các chương sau. Chương 2 trình bày một số tiêu chuẩn ổn định hóa cơ bản nhận được đối với các hệ điều khiển tuyến tính và tìm mối liên hệ giữa phương trình Riccati vi phân tương ứng (2) với tính ổn định hóa được xuất phát từ một số kết quả cơ sở đã có.
3.1. Cơ Sở Lý Thuyết Về Phương Trình Vi Phân Tuyến Tính
Một hệ thống được mô tả bởi hệ phương trình vi phân ( ẋ(t) = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0 , t0 + b], (1.) : I × D → Rn , D = {x ∈ Rn : kx − x0 k 6 a}. Nghiệm của phương trình vi phân (1.1) là hàm x(t) khả vi liên tục thỏa mãn: i. x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1. Giả sử f (t, x(t)) liên tục trên I × D . Khi đó nghiệm x(t) của hệ (1.1) cho bởi dạng tích phân: Zt x(t) = x0 + f (s, x(s)) ds.1) t0 Trường hợp f (t, x(t)) = A(t)x(t) + g(t) ta có hệ: ( ẋ(t) = A(t)x(t) + g(t), t > 0, (1.) : [0, ∞) → Rn khả tích.
3.2. Lý Thuyết Ổn Định Lyapunov Định Nghĩa và Tính Chất
Xét hệ phương trình vi phân ( ẋ(t) = f (t, x(t)), t ∈ I = [t0 , +∞), (1. Trong luận văn này, chúng tôi luôn giả thiết hệ (1.1) thỏa mãn các điều kiện về tồn tại và kéo dài nghiệm phụ thuộc liên tục theo điều kiện ban đầu. Khi đó dạng tích phân của nghiệm được cho bởi Zt x(t) = x0 + f (s, x(s)) ds, t ∈ [t0 , +∞).1) được gọi là ổn định nếu với mọi ε > 0, t0 > 0 tồn tại δ = δ(t0 , ε) > 0 sao cho bất cứ nghiệm y(t) : y(t0 ) = y0 của hệ thỏa mãn ky0 − x0 k < δ thì ta đều có ky(t) − x(t)k < ε với mọi t > t0.
IV. Ổn Định Hóa Hệ Phi Tuyến Kết Quả Nghiên Cứu Mới 55
Chương 3 trình bày một số nghiên cứu độc lập về bài toán ổn định hóa các hệ điều khiển tuyến tính có nhiều phi tuyến dựa trên nghiệm của phương trình Riccati vi phân tương ứng. Cụ thể là cho hệ điều khiển tuyến tính ôtonôm có nhiều phi tuyến ẋ = Ax + Bu + f (t, x, u), hệ điều khiển tuyến tính không ôtonôm có nhiều phi tuyến ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + f (t, x(t), u(t)) và hệ điều khiển tuyến tính không ôtonôm với nhiều chậm Pm có nhiều phi tuyến ẋ(t) = A(t)x(t) + i=1 Ai (t)x(t − hi ) + B(t)u(t) + f (t, x(t), x(t − h1 ), ., x(t − hm ), u(t)).
4.1. Điều Kiện Tăng Trưởng Tuyến Tính Cho Hàm Phi Tuyến
Điều kiện đặt ra đối với hàm f (.) là điều kiện tăng trưởng tuyến tính dạng kf (t, x, y1 , ., ym , z)k 6 Pm akxk + i=1 bi kyi k + ckzk. Phần kết luận trình bày các kết quả mới thu được và hướng nghiên cứu mới của luận văn. Luận văn này hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các giáo sư, tiến sĩ Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là các giáo sư, tiến sĩ tổ
4.2. Ứng Dụng Phương Trình Riccati vào Hệ Điều Khiển Chậm và Phi Tuyến
Phương trình vi phân-tích phân đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập tại Khoa Toán - Tin. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Điều hành Dự án Giáo viên Trung học cơ sở, Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm Khoa Sư phạm, Bộ môn Toán Trường Đại học An Giang đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia khóa đào tạo này. Cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.
V. Phân Tích Tính Ổn Định Biên Cho Phương Trình Vi Phân 60
Luận văn đã trình bày các kết quả nghiên cứu về tính ổn định của hệ điều khiển tuyến tính không tự trị (nonautonomous) với nhiều thành phần phi tuyến. Các hệ này được nghiên cứu dựa trên việc sử dụng phương trình Riccati vi phân tương ứng. Kết quả cho thấy mối liên hệ giữa nghiệm của phương trình Riccati và tính ổn định của hệ, đặc biệt trong trường hợp có nhiễu loạn hoặc chậm trễ. Công trình này đóng góp vào việc mở rộng lý thuyết điều khiển cho các hệ phức tạp hơn, gần gũi hơn với thực tế.
5.1. Các Phương Pháp Tiếp Cận Nghiên Cứu Ổn Định Biên
Việc phân tích tính ổn định biên cho phép ta xác định ngưỡng mà hệ thống vẫn duy trì tính ổn định, điều này rất quan trọng trong các ứng dụng thực tế khi có sự thay đổi các tham số của hệ thống. Các nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc phát triển các phương pháp hiệu quả hơn để giải phương trình Riccati vi phân, đặc biệt trong trường hợp hệ có kích thước lớn. Ngoài ra, việc mở rộng các kết quả cho các lớp hệ phi tuyến tổng quát hơn cũng là một hướng nghiên cứu tiềm năng.
5.2. Tương Lai Của Nghiên Cứu Về Ổn Định Phương Trình Vi Phân
Trong tương lai, việc kết hợp các kỹ thuật từ lý thuyết điều khiển bền vững (robust control) có thể giúp cải thiện khả năng chống nhiễu của hệ thống. Đồng thời, việc nghiên cứu các ứng dụng cụ thể của lý thuyết này trong các lĩnh vực như điều khiển robot, hệ thống năng lượng tái tạo, và mạng lưới giao thông thông minh sẽ là những bước tiến quan trọng.
