I. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài ở trong và ngoài nước
Nghiên cứu về điều kiện tồn tại nghiệm dương cho hệ phương trình đại số phi tuyến đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học. Các bài toán này thường xuất phát từ các lĩnh vực như kinh tế học, mạng phức hợp và kỹ thuật cơ học. Bài toán tồn tại nghiệm được định nghĩa thông qua hàm f: X → Rn, với X là tập hợp con của không gian Euclide n-chiều Rn. Một điểm x ∈ X được gọi là nghiệm nếu f(x) = θ. Nhiều tác giả đã đưa ra các định lý về sự tồn tại nghiệm dương cho hệ phương trình đại số phi tuyến, tuy nhiên vẫn còn nhiều vấn đề mở cần được nghiên cứu. Các tài liệu tham khảo như [2], [6], và [7] đã chỉ ra rằng việc áp dụng định lý điểm bất động Guo-Krasnosekii có thể giúp giải quyết các bài toán này. Những nghiên cứu này không chỉ cung cấp các điều kiện tồn tại nghiệm mà còn mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo.
II. Tính cấp thiết của đề tài
Từ những nghiên cứu đã được công bố, có thể thấy rằng việc thiết lập điều kiện tồn tại nghiệm dương cho hệ phương trình đại số phi tuyến là một vấn đề quan trọng và cần thiết. Nhiều kỹ thuật hiện có vẫn chưa được trình bày một cách chi tiết, và các ví dụ minh họa còn thiếu sót. Đề tài này nhằm mục đích làm rõ các điều kiện cho sự tồn tại nghiệm dương, đồng thời cung cấp các ví dụ minh họa cụ thể. Việc nghiên cứu này không chỉ giúp nâng cao chất lượng học tập và giảng dạy mà còn góp phần vào việc phát triển lý thuyết trong lĩnh vực này. Đề tài sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên và giảng viên ngành Sư phạm Toán học tại Trường Đại học Đồng Tháp.
III. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu chính của đề tài là chi tiết hóa các điều kiện tồn tại nghiệm dương cho hệ phương trình đại số phi tuyến. Cụ thể, đề tài sẽ phát biểu và chứng minh một số điều kiện cụ thể đảm bảo sự tồn tại nghiệm dương, đồng thời xây dựng các ví dụ minh họa cho các điều kiện này. Việc đạt được mục tiêu này sẽ không chỉ làm rõ các khái niệm lý thuyết mà còn cung cấp các công cụ thực tiễn cho việc giải quyết các bài toán trong thực tế. Đề tài cũng sẽ góp phần vào việc nâng cao năng lực tư duy toán học của sinh viên và giảng viên.
IV. Cách tiếp cận
Đề tài sẽ tiếp cận vấn đề thông qua việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo trong và ngoài nước liên quan đến điều kiện tồn tại nghiệm dương. Bằng cách tương tự hóa các kết quả đã có, đề xuất các kết quả mới sẽ là phương pháp chính trong nghiên cứu. Việc phân tích các tài liệu hiện có sẽ giúp xác định các khoảng trống trong nghiên cứu và từ đó phát triển các phương pháp mới. Cách tiếp cận này không chỉ giúp làm rõ các vấn đề lý thuyết mà còn tạo ra các ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán cụ thể.
V. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu sẽ bao gồm việc đọc hiểu các tài liệu tham khảo, trao đổi thông tin với các thành viên trong nhóm nghiên cứu và những người cùng lĩnh vực. Việc áp dụng các định lý và kỹ thuật đã được chứng minh trong các tài liệu sẽ là nền tảng cho việc phát triển các kết quả mới. Đặc biệt, định lý điểm bất động Guo-Krasnosekii sẽ được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm dương cho hệ phương trình đại số phi tuyến. Phương pháp này không chỉ giúp làm rõ các điều kiện tồn tại mà còn mở ra hướng đi mới cho các nghiên cứu tiếp theo.
VI. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hệ phương trình đại số phi tuyến trong lĩnh vực lý thuyết điểm bất động và ứng dụng của nó. Phạm vi nghiên cứu sẽ tập trung vào việc thiết lập các điều kiện tồn tại nghiệm dương cho các hệ phương trình này. Đề tài sẽ không chỉ dừng lại ở lý thuyết mà còn hướng tới việc áp dụng các kết quả nghiên cứu vào thực tiễn, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập trong ngành Sư phạm Toán học. Việc nghiên cứu này sẽ góp phần vào việc phát triển lý thuyết và ứng dụng trong lĩnh vực toán học.
VII. Nội dung nghiên cứu
Nội dung nghiên cứu của đề tài sẽ bao gồm việc trình bày các điều kiện tồn tại nghiệm dương của hệ phương trình đại số phi tuyến đã có trong tài liệu tham khảo. Đề tài sẽ phát biểu và chứng minh các điều kiện cụ thể để tồn tại nghiệm dương, đồng thời xây dựng các ví dụ minh họa cho các điều kiện này. Việc làm rõ các nội dung này không chỉ giúp nâng cao hiểu biết về lý thuyết mà còn tạo ra các ứng dụng thực tiễn trong việc giải quyết các bài toán cụ thể. Đề tài sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên và giảng viên trong ngành Sư phạm Toán học.
