CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trình bày kiến thức chuẩn bị, các khái niệm liên quan đến hỗn loạn như phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu, số mũ Lyapunov; Các kiến thức mang tính chất giới thiệu về các hệ động lực được sử dụng trong luận văn như hệ Lorenz, hệ Chua, hệ Rossler, hệ Rabinovich- Fabrikant; Các tính chất của phương pháp giải số như tính ổn định, độ phức tạp, độ khó, độ chính xác của phương pháp. Hỗn loạn Lý thuyết hỗn loạn là một nhánh của toán học, được biết đến rộng rãi hiện nay nhờ sự khó dự đoán của mô hình dự báo thời tiết [6] và mô hình tăng trưởng của quần thể sinh học [13]. Một tính chất quan trọng của hệ hỗn loạn là nhạy cảm với các điều kiện ban đầu. Sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu: Sự thay đổi rất nhỏ trong điều kiện ban đầu của hệ sẽ dẫn tới sự thay đổi to lớn trong nghiệm.
Khái niệm này có nghĩa là những lỗi rất nhỏ sẽ tăng theo thời gian và cuối cùng làm nghiệm sai lệch hoàn toàn, vô giá trị. Những lỗi vô cùng nhỏ không thể tránh khỏi khi dùng dấu phẩy động thay thế cho đầu vào chính xác, sẽ phát triển theo thời gian và làm mô hình mô phỏng không còn chính xác nữa. Không có định nghĩa phổ quát được chấp nhận cho sự hỗn loạn, mặc dù hầu hết các định nghĩa đều nhắc đến sự phụ thuộc nhạy cảm vào điều kiện ban đầu. Một số tác giả chỉ yêu cầu điều kiện nhạy cảm với đk ban đầu [5], trong khi một số khác lại yêu cầu một số điều kiện khác nữa [12], [27], [4].
Luận văn này tìm hiểu về số mũ Lyapunov của hệ, 6 dùng để đo sự phân tách của nghiệm dựa trên sự thay đổi nhỏ của điều kiện ban đầu. Số mũ Lyapunov là một phương pháp để nghiên cứu sự nhạy cảm với điều kiện ban đầu. Tính toán số mũ Lyapunov cho phép chúng ta xác định được hệ là hỗn loạn dựa trên định nghĩa của Alligood [5]. Trước khi thảo luận về số mũ Lyapunov và các phương pháp để tính toán nó, một số kiến thức liên quan được trình bày.
Một Hệ động lực là một hệ phương trình mô tả sự biến đổi theo thời gian. Nó có thể là hệ các phương trình sai phân rời rạc hoặc các phương trình vi phân liên tục. Hệ động lực có thể mô tả các hiện tượng thực tế như mô hình thời tiết hay sự tăng trưởng của các quần thể theo thời gian [23], [28], [2]. Các phương trình sai phân mô tả sự biến đổi trạng thái theo thời gian còn được gọi là các ánh xạ (map) và các phương trình vi phân gọi là các luồng (flow).
Quỹ đạo hay đường đi mô tả sự phát triển theo thời gian của trạng thái (nghiệm) của hệ động lực. Một quỹ đạo với véc tơ ban đầu v0 của hệ động lực F có nghiệm số ft (vi ) tại thời gian ti , t0 ≤ ti ≤ tF inal , là: OF = {ft (v0 ) : t ∈ [t0 , tF inal ]} (1.1) Mọi hệ động lực chúng ta xét sẽ là các hệ phi tuyến, chỉ những hệ phi tuyến mới có thể xuất hiện hiện tượng hỗn loạn. Theo tiến trình thời gian, quỹ đạo có thể tiệm cận đến một giá trị hữu hạn, bị giữ trong một vùng cụ thể hay dần tới vô cùng. Ví dụ, với phương trình sai phân (1.2) Quỹ đạo xuất phát với x0 = 2 sẽ tăng, không bị chặn; Nhưng với điều kiện ban đầu x0 = 0.5, quỹ đạo tương ứng sẽ hội tụ về 0, bị giữ trong vùng giữa 0 và 0.5 với mọi thời gian.
Một điểm xi được gọi là điểm 7 bất động (cố định) nếu nó ánh xạ vào chính nó, nghĩa là f (xi ) = xi. Với phương trình sai phân (1.2) ta có x = 0 là một điểm bất động. Một chu trình tuần hoàn có nghĩa tương tự như điểm bất động, một tập hợp các điểm x0 , x1 , ., xn là chu trình tuần hoàn của hệ F nếu F (x0 ) = x1 , F (x1 ) = x2 ,. Trong [27], [4], Strogatz định nghĩa một vùng hút là một tập hợp mà tất cả những quỹ đạo lân cận đều hội tụ đến nó.
Điểm x = 0 chính là điểm hút của (1. Một vùng hút lạ có thể hiểu đơn giản là tập hợp khác với tập các điểm cố định hay chu trình tuần hoàn. Khi nghiệm của hệ được vẽ ra thì ta có thể nhìn thấy trực quan vùng hút lạ. Vùng hút Lorenz là một ví dụ kinh điển về vùng hút lạ (hình 1.
Qua đó ta có thể thấy hành vi không tuần hoàn trong dài hạn của hệ Lorenz: Quỹ đạo bị chặn nhưng không hội tụ về bất kỳ một điểm cố định hay một chu trình tuần hoàn nào.1: Vùng hút Lorenz với các tham số δ = 10, β = 83 , ρ = 28 và với điều kiện ban đầu [0.9, 0] 8 Strogatz đưa ra một định nghĩa vùng hút lạ khắt khe hơn với ba phần: Một vùng hút lạ là một tập bất biến, thu hút một tập mở các điều kiện ban đầu và phải là tối tiểu. Một tập bất biến A là một tập mà mọi quỹ đạo hay đường đi xuất phát từ trong nó sẽ mãi ở trong nó theo thời gian, nghĩa là f (A) ⊂ A. Tính chất thu hút một tập mở các điểm điều kiện ban đầu có nghĩa là tồn tại một tập mở B chứa A thỏa mãn mọi quỹ đạo hay đường đi OF xuất phát trong B sẽ có khoảng cách kế tiếp nhau các điểm trên quỹ đạo đến A dần tới 0 theo tiến trình thời gian. Còn khái niệm tối tiểu nghĩa là đó là tập lớn nhất thỏa mãn định nghĩa.
Khái niệm về hỗn loạn có nhiều định nghĩa khác nhau theo hướng chặt chẽ dần. Định nghĩa của Strogatz [27] như sau: Định nghĩa 1. Một hệ động lực được gọi là hỗn loạn nếu nó biểu lộ sự không tuần hoàn trong dài hạn và nhạy cảm với điều kiện ban đầu. Một hệ tồn tại vùng hút lạ và nhạy cảm với điều kiện ban đầu là một hệ hỗn loạn theo định nghĩa của Strogatz.
Devanley [12] định nghĩa sự hỗn loạn cho ánh xạ chặt chẽ hơn, nhưng cần hiểu thêm một số khái niệm mới. Một bao đóng của tập A là tập gồm các phần tử của A và các điểm giới hạn của A. Một tập con B của tập C được gọi là trù mật trong C nếu C là bao đóng của B. Một hàm g được gọi là hòa trộn tô pô nếu mọi cặp A, B rời nhau sau hữu hạn lần lặp A sẽ có ảnh giao nhau khác rỗng với B , g k (A) ∩ B 6= ∅.
Tính chất nhạy cảm với điều kiện ban đầu được Devanley định nghĩa là sự tồn tại của δ > 0 thỏa mãn với mọi điểm trong miền và với mọi lân cận của nó, tồn tại điểm trong lân cận thỏa mãn sau hữu hạn lần lặp, hai điểm sẽ phân tách lớn hơn δ. Điều này được thể hiện trong hình 3.1 và là cơ sở cho việc nghiên cứu phân tách quỹ đạo. Định nghĩa hỗn loạn của Davenley như sau: 9 Định nghĩa 1. Một ánh xạ f : A → A được gọi là hỗn loạn nếu nó hòa trộn tô pô, nhạy cảm với điều kiện ban đầu và tập các điểm tuần hoàn của f là trù mật trong A Luận văn sử dụng định nghĩa của Alligood [5]: Định nghĩa 1.
Một hệ động lực được gọi là hỗn loạn nếu nó có số mũ Lyapunov dương. Định nghĩa về số mũ Lyapunov sẽ được đưa ra ở phần sau. Các hệ động lực sử dụng 1. Hệ Lorenz Nhà toán học kiêm khí tượng học Edward Lorenz là một trong những người đặt nền móng cho lý thuyết hỗn loạn.
Trong quá trình xử lý số liệu liên quan đến hệ mô phỏng thời tiết để dự báo, ông đã làm tròn đến 3 chữ số thập phân các dữ kiện đầu vào thay vì để chính xác 6 số và nhận thấy sự sai khác rất lớn ở kết quả. Đây chính là đặc tính nhạy cảm với điều kiện ban đầu mà ông đã ghi nhận được từ hệ phương trình của mình [26], [19], [4]. Mô hình được đơn giản hóa thành hệ phương trình vi phân thường như sau: ẋ = σ (y − x) ẏ = x (ρ − z) − y (1.1) ż = xy − βz với σ, ρ, β là các tham số thực. Một bộ tham số thường được sử dụng là σ = 10, ρ = 28, β = 38 , vì đây chính là các giá trị cho ta vùng hút Lorenz nổi tiếng (hình 1.
Hành vi không tuần hoàn trong thời gian dài và nhạy cảm với điều kiện ban đầu làm cho hệ Lorenz thỏa mãn định nghĩa 1.2 về hỗn loạn. Hệ Rossler Hệ Rossler được bác sỹ y khoa Otto Rossler thiết lập vào năm 1970.2) ż = b + z (x − c) Các phương trình của hệ Rossler đơn giản hơn hệ Lorenz. Mặc dù cả hai đều có số chiều là ba nhưng hệ Rossler chỉ có một thành phần phi tuyến zx ở phương trình thứ ba. Tập hợp các tham số làm hệ là hỗn loạn theo nghĩa định nghĩa 1.2 thể hiện vùng hút của hệ với những giá trị tham số này.2: Vùng hút Rossler với a = 0.7 và điều kiện đầu [0.
Hệ Rabinovich-Fabrikant Hệ Rabinovich-Fabrikant được cho bởi hệ phương trình vi phân: ẋ = y z − 1 + x2 + bx ẏ = x 3z + 1 − x2 + by (1.3) ż = −2z (a + xy) 11 Những phương trình này được Rabinovich - Fabrikant sử dụng để mô hình hóa sóng trong môi trường vật chất không cân bằng. Nó không nổi tiếng như hai hệ trên những vẫn là một lĩnh vực nghiên cứu sôi động. Các nhà toán học thường sử dụng hệ này để kiểm tra phương pháp giải số cho phương trình vi phân thường [10], [1] và giá trị tham số khác nhau dẫn đến các bức tranh pha rất khác nhau.3 cho thấy vùng hút hỗn loạn khi a = −1, b = −0.3: Vùng hút Rabinovich - Fabrikant với a = −1, b = −0.1 và các giá trị ban đầu [0. Mạch Chua Mạch Chua được cho bởi hệ phương trình sau: ẋ = α (y − x − f (x)) ẏ = x − y + z (1.4) ż = −βy 12 trong đó α, β là các tham số thực và hàm f (x) là hàm tuyến tính từng khúc và liên tục được cho bởi bx + a − b x≥1 f (x) = ax −1 ≤ x ≤ 1 (1.