Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian banach

Phương pháp lập giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không gian Banach, khám phá ứng dụng và lý thuyết.

• Tác giả: Phạm Thanh Hiếu
• Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thị Thu Thủy
• Trường học: Đại học Thái Nguyên
• Chuyên ngành: Toán Giải tích
• Đề tài: Phương Pháp Lặp Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân Trong Không Gian Banach
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Thái Nguyên

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• MỤC LỤC
• DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT
• DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ
• 1. CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Một số đặc trưng hình học của không gian Banach
• 1.2. Nửa nhóm không giãn và ứng dụng của nửa nhóm không giãn trong nghiên cứu nghiệm của bài toán Cauchy
• 1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển và một số bài toán liên quan
• 1.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu và bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu
• 2. CHƯƠNG 2
• 3. CHƯƠNG 3
• KẾT LUẬN CHUNG VÀ ĐỀ NGHỊ
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Bất Đẳng Thức Biến Phân Banach Giới thiệu

Bất đẳng thức biến phân cổ điển, được ký hiệu là CVI(F, C), đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học và ứng dụng thực tế. Bài toán này, lần đầu được giới thiệu bởi Stampacchia và Lions vào cuối những năm 60, đầu những năm 70 của thế kỷ trước, liên quan đến việc tìm điểm x* thuộc tập lồi đóng C trong không gian Hilbert H sao cho thỏa mãn điều kiện hF x*, x - x* i ≥ 0 với mọi x thuộc C. Sự quan trọng của bất đẳng thức biến phân nằm ở khả năng ứng dụng trong các bài toán cân bằng như cân bằng mạng giao thông, cân bằng thị trường độc quyền nhóm và các bài toán cân bằng tài chính. Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân tập trung vào sự tồn tại nghiệm và các phương pháp giải. Các phương pháp tiêu biểu bao gồm phương pháp chiếu, nguyên lý bài toán phụ, phương pháp điểm gần kề và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov.

1.1. Lịch Sử Phát Triển Bất Đẳng Thức Biến Phân

Bất đẳng thức biến phân có nguồn gốc từ công trình của Lions và Stampacchia (1967) [52]; Stampacchia (1964) [68], đánh dấu sự ra đời của một lĩnh vực nghiên cứu sâu rộng. Kể từ đó, nó đã trở thành một chủ đề nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, nhờ vào vai trò quan trọng trong cả lý thuyết toán học và các ứng dụng thực tế. Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân có thể được phân loại thành hai hướng chính: sự tồn tại của nghiệm (Chen, 1992 [29]; Giannessi, 2000 [37]) và các phương pháp giải quyết bất đẳng thức biến phân.

1.2. Ứng Dụng Thực Tế Của Bất Đẳng Thức Biến Phân

Bất đẳng thức biến phân được ứng dụng để nghiên cứu các bài toán cân bằng. Ví dụ, bài toán cân bằng mạng giao thông [35], [58], bài toán cân bằng thị trường độc quyền nhóm, bài toán cân bằng tài chính [56] và bài toán cân bằng di cư [11], [48]. Các nhà nghiên cứu đã phát triển nhiều kỹ thuật để giải bất đẳng thức biến phân, bao gồm phương pháp chiếu của Lions (1977) [51] và phương pháp điểm gần kề của Martinet (1970) [55].

II. Thách Thức Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân Banach

Việc mở rộng bất đẳng thức biến phân sang không gian Banach đặt ra nhiều thách thức. Trong không gian Hilbert, tính chất hình bình hành và sự tồn tại duy nhất của phép chiếu metric đơn giản hóa việc nghiên cứu. Tuy nhiên, trong không gian Banach tổng quát, những tính chất này không còn đúng, đòi hỏi các phương pháp giải phức tạp hơn. Các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach được chia thành hai hướng chính: xét ánh xạ F : E → E* từ E vào không gian đối ngẫu E* và xét ánh xạ F : E → E từ không gian Banach E vào chính nó.

2.1. Khó Khăn Trong Không Gian Banach Tổng Quát

Không gian Hilbert H có nhiều tính chất đặc biệt so với không gian Banach tổng quát. Ví dụ như tính chất hình bình hành, hoặc sự tồn tại và duy nhất của phép chiếu mêtric PC từ H lên một tập con lồi đóng bất kỳ C. Những tính chất này làm cho việc nghiên cứu các bài toán trong không gian Hilbert trở nên đơn giản hơn so với việc nghiên cứu bài toán đó trong không gian Banach tổng quát. Việc mở rộng bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach đòi hỏi các kỹ thuật và phương pháp mới để vượt qua các khó khăn này.

2.2. Hướng Nghiên Cứu Trong Không Gian Banach

Việc mở rộng bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach được xét trong hai trường hợp. Trường hợp thứ nhất là xét ánh xạ F : E → E ∗ biến đổi từ E vào không gian đối ngẫu E ∗ . Một số phương pháp giải cho bài toán này có thể kể đến như phương pháp chiếu (Alber, 1996 [3]; Iiduka và Takahashi, 2008 [41]; Zeidler, 1985 [88]) và phương pháp hiệu chỉnh (Alber, 1983 [4]; Buong, 1991 [18]; Ryazantseva, 2002 [62]).

III. Phương Pháp Lai Ghép Đường Dốc Giải Bất Đẳng Thức

Phương pháp lai ghép đường dốc của Yamada (2001) là một phương pháp hiệu quả để giải bất đẳng thức biến phân khi ánh xạ F: H → H đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Phương pháp này khắc phục khó khăn của việc thực hiện phép chiếu metric PC lên tập con lồi đóng bất kỳ C. Dựa trên cách tiếp cận của Yamada, nhiều nghiên cứu đã mở rộng và cải biên thuật toán lai ghép dạng đường dốc cho các bài toán phức tạp hơn, bao gồm bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn và nửa nhóm các ánh xạ không giãn.

3.1. Ưu Điểm Của Phương Pháp Lai Ghép Đường Dốc

Đối với lớp bài toán này, phương pháp lai ghép đường dốc của Yamada đề xuất năm 2001 [85] để giải (0.1) tỏ ra là phương pháp khá hiệu quả khi ánh xạ F : H → H là thỏa mãn điều kiện đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz vì nó đã khắc phục được khó khăn của việc thực hiện phép chiếu mêtric PC lên tập con lồi đóng bất kỳ C khi dùng dãy lặp Picard dạng xn+1 = PC (xn − λn F xn ) để giải (0.

3.2. Mở Rộng Phương Pháp Lai Ghép Cho Bài Toán Phức Tạp

Dựa trên cách tiếp cận của Yamada, đã có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng và cải biên thuật toán lai ghép dạng đường dốc cho các bài toán phức tạp hơn chẳng hạn bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc C là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ([20], [21]), họ vô hạn đếm 3 được các ánh xạ không giãn và nửa nhóm các ánh xạ không giãn.

3.3. Ứng Dụng Trong Xử Lý Tín Hiệu và Khôi Phục Ảnh

Khi tập ràng buộc C của bài toán (0.1) được cho dưới dạng ẩn là tập điểm bất động chung của một ánh xạ không giãn hoặc một họ các ánh xạ không giãn thì bài toán (0.1) còn có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như xử lý tín hiệu [34], [42], khôi phục ảnh [40], [65], kiểm soát năng lượng trong hệ thống mạng CDMA [43], phân phối băng thông [44], [64] và bài toán điều khiển tối ưu [45].

IV. Phương Pháp Hiệu Chỉnh Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân

Phương pháp hiệu chỉnh, đặc biệt là phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov, là một phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán đặt không chỉnh, bao gồm bất đẳng thức biến phân. Phương pháp này giúp ổn định quá trình giải và đảm bảo hội tụ ngay cả khi bài toán gốc không ổn định. Các nghiên cứu gần đây đã tập trung vào việc cải tiến và mở rộng phương pháp hiệu chỉnh cho các lớp bài toán phức tạp hơn, bao gồm bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn.

4.1. Tính Đặt Không Chỉnh Của Bất Đẳng Thức Biến Phân

Một khía cạnh khác của bất đẳng thức biến phân chính là tính đặt không chỉnh của bài toán [4]. Do đó việc xây dựng các phương pháp giải ổn định cho bất đẳng thức biến phân cũng là một nội dung cần được quan tâm trong đó phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov ([16], [76]) tỏ ra là một phương pháp khá hữu hiệu để giải nhiều lớp bài toán đặt không chỉnh.

4.2. Cải Tiến Phương Pháp Hiệu Chỉnh Browder Tikhonov

Năm 2012, Buong và Phuong [24] đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder−Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập chấp nhận được là tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn {Ti }∞ i=1 trong không gian Banach E bằng việc sử dụng V -ánh xạ như một cải tiến của W -ánh xạ [72] trong phương trình hiệu chỉnh.

V. Ứng Dụng Nửa Nhóm Không Giãn trong Bất Đẳng Thức

Nửa nhóm không giãn đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tập ràng buộc của bất đẳng thức biến phân. Khi tập ràng buộc là tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn, bài toán trở nên phức tạp hơn và đòi hỏi các phương pháp giải đặc biệt. Các nghiên cứu đã sử dụng ánh xạ tích phân Bochner để giải bất đẳng thức biến phân cổ điển trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert.

5.1. Vai Trò Của Nửa Nhóm Không Giãn

Khi C = F := ∩s≥0 Fix(T (s)) là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn {T (s) : s ≥ 0} trên H, Yang và đồng tác giả (2012) [86] đã sử dụng ánh xạ tích phân Bochner trong dãy lặp để giải bất đẳng thức biến phân cổ điển trên tập ràng buộc F.

5.2. Hướng Nghiên Cứu Với Nửa Nhóm Không Giãn

Trong trường hợp tập ràng buộc của bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu là tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn thì chưa có các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh để giải lớp bài toán này.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức

Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân, đặc biệt trong không gian Banach, là một lĩnh vực đang phát triển mạnh mẽ. Việc xây dựng các phương pháp giải hiệu quả và ổn định cho các lớp bài toán phức tạp hơn, bao gồm bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn, vẫn là một hướng nghiên cứu quan trọng. Mục tiêu là mở rộng phạm vi áp dụng của các thuật toán và giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến bất đẳng thức biến phân.

6.1. Tổng Kết Các Phương Pháp Tiếp Cận

Có thể khẳng định rằng, bài toán bất đẳng thức biến phân đã và đang 5 được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau nhằm xây dựng các phương pháp giải hữu hiệu cho bài toán.

6.2. Hướng Nghiên Cứu Tương Lai

Việc xây dựng các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach là một vấn đề được nảy sinh một cách tự nhiên và cần thiết để làm phong phú và hoàn thiện thêm cho lý thuyết về bài toán quan trọng này.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality) được G. Stampacchia khởi xướng từ những năm 1960 (Stampacchia, 1964; Lions và Stampacchia, 1967). Đây là công cụ toán học được sử dụng trong việc nghiên cứu và mô hình hóa các bài toán cân bằng, tiêu biểu như cân bằng mạng giao thông (Dafermos, 1980; Patriksson, 1994), cân bằng thị trường độc quyền nhóm, cân bằng tài chính (Nagurney, 1999) và cân bằng di cư (Börsch-Supan, 1987; Kinderlehrer và Stampacchia, 1980). Khi tập ràng buộc của bất đẳng thức biến phân được biểu diễn dưới dạng ẩn là tập điểm bất động chung của một ánh xạ hoặc một họ các ánh xạ không giãn, bài toán còn xuất hiện trong các lĩnh vực xử lý tín hiệu (Combettes, 2001; Hanke, 1997), khôi phục ảnh (Combettes và Wajs, 2005; Stark và Yang, 1998), kiểm soát năng lượng trong mạng CDMA (Iiduka, 2011), phân phối băng thông (Iiduka, 2012, 2013) và điều khiển tối ưu (Iiduka, 2015).

Đối với lớp bài toán này trong không gian Hilbert, phương pháp lai ghép đường dốc do Yamada (2001) đề xuất đã khắc phục được việc phải tính phép chiếu mêtric lên tập con lồi đóng phức tạp. Hướng tiếp cận này sau đó được mở rộng cho họ hữu hạn, họ vô hạn đếm được (Yao và ctv, 2010; Wang, 2011) và nửa nhóm không giãn (Yang và ctv, 2012). Tuy nhiên, các kết quả trên chủ yếu được thiết lập trong không gian Hilbert. Khi chuyển sang không gian Banach tổng quát, các nghiên cứu của Ceng và cộng sự (2008) sử dụng phương pháp lặp Mann và Halpern đòi hỏi ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc phải liên tục yếu theo dãy. Tính chất này thỏa mãn trong không gian dãy $l_p$ ($1 < p < \infty$) nhưng không thỏa mãn trong không gian hàm $L_p[a, b]$ ($1 < p < \infty$) (Cioranescu, 1990). Đồng thời, đối với bài toán bất đẳng thức biến phân $j$-đơn điệu đặt không chỉnh trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn, các phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov vẫn chưa được nghiên cứu đầy đủ.

Luận án xác định hai mục tiêu nghiên cứu cụ thể như sau:

1. Xây dựng các phương pháp lai ghép đường dốc dạng ẩn và dạng hiện cho bất đẳng thức biến phân $j$-đơn điệu trong không gian Banach lồi đều và có chuẩn khả vi Gâteaux đều, mà không đòi hỏi tính chất liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
2. Nghiên cứu thiết lập phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov cho bất đẳng thức biến phân $j$-đơn điệu, kết hợp phương pháp hiệu chỉnh với phương pháp điểm gần kề quán tính để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính trong không gian Banach lồi đều và có chuẩn khả vi Gâteaux đều; đồng thời kết hợp phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov với kỹ thuật lặp hiện để xây dựng phương pháp hiệu chỉnh lặp trong không gian Banach $q$-trơn đều.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án:

• Đối tượng nghiên cứu: Bài toán bất đẳng thức biến phân $j$-đơn điệu $VI^(F, \mathcal{F})$, tìm điểm $p^ \in \mathcal{F}$ thỏa mãn $\langle F p^, j(x - p^) \rangle \geq 0$ với mọi $x \in \mathcal{F}$, trong đó $F: E \to E$ là ánh xạ $\eta$-$j$-đơn điệu mạnh và $\gamma$-giả co chặt ($\eta + \gamma > 1$), và $\mathcal{F} := \bigcap_{s \geq 0} \text{Fix}(T(s)) \neq \emptyset$ là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn ${T(s) : s \geq 0}$.
• Phạm vi không gian: Không gian Banach phản xạ, lồi đều, có chuẩn khả vi Gâteaux đều và không gian Banach $q$-trơn đều. Luận án nghiên cứu các thuật toán giải tích và đánh giá hội tụ lý thuyết kết hợp thử nghiệm số.

Thông số	Đặc trưng trong luận án
Chuyên ngành	Toán Giải tích (Mã số: 62 46 01 02)
Cơ sở đào tạo	Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên (2016)
Cấu trúc văn bản	Mở đầu, 3 Chương nội dung, Kết luận chung, 91 Tài liệu tham khảo
Phương pháp tiếp cận	Giải tích phi tuyến, giải tích hàm, phương pháp lặp và hiệu chỉnh

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân phát triển qua hai nhánh chính: nghiên cứu sự tồn tại nghiệm (Chen, 1992; Giannessi, 2000) và xây dựng các phương pháp giải. Các kỹ thuật giải kinh điển trong không gian Hilbert gồm:

• Phương pháp chiếu của Lions (1977);
• Nguyên lý bài toán phụ của Cohen (1980);
• Phương pháp điểm gần kề của Martinet (1970);
• Phương pháp điểm gần kề quán tính của Alvarez và Attouch (2001);
• Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (Browder, 1966; Tikhonov, 1963).

Khi tập ràng buộc là tập điểm bất động của họ ánh xạ, Yamada (2001) xây dựng phương pháp lai ghép đường dốc trên cơ sở kết quả tối ưu của Deutsch và Yamada (1998). Thuật toán này được mở rộng cho họ vô hạn đếm được thông qua $W$-ánh xạ của Takahashi và Tamura (1998) bởi Yao và ctv (2010), Wang (2011). Đối với nửa nhóm không giãn trên không gian Hilbert, Yang và ctv (2012) áp dụng tích phân Bochner để thiết lập dãy lặp.

Trong không gian Banach, các nghiên cứu được phân tách theo hai dạng ánh xạ:

• Ánh xạ $F: E \to E^*$: Phương pháp chiếu được nghiên cứu bởi Alber (1996), Iiduka và Takahashi (2008), Zeidler (1985); phương pháp hiệu chỉnh được phát triển bởi Alber (1983), Buong (1991), Ryazantseva (2002).
• Ánh xạ $F: E \to E$: Ceng và ctv (2008) kết hợp phương pháp lai ghép đường dốc với lặp Mann (1953) và Halpern (1967). Đối với bài toán xấp xỉ điểm bất động của nửa nhóm không giãn, Shioji và Takahashi (1998), Suzuki (2005) nghiên cứu trong không gian Hilbert; Xu (2005), Chen và He (2007) mở rộng sang không gian Banach có ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy.

Về phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân $j$-đơn điệu trên tập điểm bất động của họ vô hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Banach, Buong và Phuong (2012) sử dụng $V$-ánh xạ (cải tiến từ $W$-ánh xạ của Shimoji và Takahashi, 2001), sau đó Thuy (2015) đề xuất $S$-ánh xạ với cấu trúc đơn giản hơn.

Vị trí của luận án được xác định tại khoảng trống: các thuật toán lai ghép đường dốc và hiệu chỉnh trước đó trong không gian Banach đều dựa vào điều kiện liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $j$. Luận án thiết lập các phương pháp lặp ẩn, lặp hiện và các phương pháp hiệu chỉnh cho bài toán $VI^*(F, \mathcal{F})$ trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều mà không cần giả thiết này.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng khung phân tích của Giải tích hàm phi tuyến và Lý thuyết điểm bất động. Các khái niệm và công cụ lý thuyết chính bao gồm:

• Đặc trưng hình học không gian Banach:
  • Không gian phản xạ (Định lý Eberlein–Šmulian: tính phản xạ tương đương với việc mọi dãy bị chặn có dãy con hội tụ yếu).
  • Không gian lồi chặt, lồi đều (mô đun lồi $\delta_E(\varepsilon)$).
  • Không gian trơn, chuẩn khả vi Gâteaux, khả vi Gâteaux đều, khả vi Fréchet.
  • Không gian $q$-trơn đều ($q > 1$) thông qua mô đun trơn $\rho_E(t)$ và Bổ đề Xu (1991) với hằng số $C_q$.
• Ánh xạ đối ngẫu và giới hạn Banach:
  • Ánh xạ đối ngẫu tổng quát $J_q x = {u_q \in E^* : \langle x, u_q \rangle = |x| |u_q|, |u_q| = |x|^{q-1}}$ và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $J$ ($j$ khi đơn trị).
  • Khái niệm tính liên tục mạnh-yếu$^*$ của $j$ trên các tập bị chặn trong không gian có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
  • Phiếm hàm giới hạn Banach $\mu : l^\infty \to \mathbb{R}$ và bổ đề Shioji–Takahashi (1998) về điểm cực tiểu hàm khoảng cách bình phương: $\mu |x_n - z|^2 = \min_{u \in C} \mu |x_n - u|^2 \Leftrightarrow \mu \langle u - z, j(x_n - z) \rangle \leq 0$.
• Lớp toán tử phi tuyến: Ánh xạ $L$-liên tục Lipschitz, ánh xạ không giãn, ánh xạ $\gamma$-giả co chặt ($|F x - F y| \leq (1 + 1/\gamma)|x - y|$), ánh xạ $\eta$-$j$-đơn điệu mạnh, ánh xạ $m$-$j$-đơn điệu, và phép co rút không giãn theo tia $Q_C$.
• Nửa nhóm không giãn và bài toán Cauchy: Nửa nhóm ${T(t) : t \geq 0}$ thỏa mãn điều kiện liên tục theo tham số $t$; mối liên hệ với phương trình tiến hóa $\frac{du}{dt} + Au = 0$ ($u(0) = x$), trong đó tập trạng thái cân bằng $A^{-1}(0)$ trùng với tập điểm bất động $\mathcal{F}$.

Công cụ lý thuyết	Vai trò trong luận án	Phạm vi áp dụng
Giới hạn Banach $\mu$	Khử điều kiện liên tục yếu theo dãy của $j$	Chứng minh hội tụ mạnh dãy lặp
Phép co rút không giãn theo tia $Q_{\mathcal{F}}$	Chuyển đổi $VI^*(F, \mathcal{F})$ về bài toán điểm bất động	Xác định sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Bổ đề Reich (1980)	Đánh giá tiệm cận tích phân Bochner	Phân tích giới hạn $\lim_{t \to \infty} |T(h)T_t x - T_t x| = 0$
Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov	Ổn định hóa bài toán đặt không chỉnh	Chương 3 cho bài toán đơn điệu

Phương pháp nghiên cứu trong luận án là phương pháp toán học thuần túy: xây dựng lược đồ lặp, thiết lập các đánh giá tiên nghiệm, sử dụng bất đẳng thức hàm giải tích để chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy nghiệm xấp xỉ. Cuối mỗi chương nghiên cứu, tác giả xây dựng ví dụ số và sử dụng phần mềm Matlab để lập trình tính toán sai số tuyệt đối qua các bước lặp $n$, vẽ đồ thị so sánh tốc độ hội tụ.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức cơ sở gồm bốn phần:

• Mục 1.1: Trình bày các đặc trưng hình học của không gian Banach ($E$ phản xạ, lồi chặt, lồi đều, trơn, trơn đều, $q$-trơn đều). Trình bày định nghĩa ánh xạ đối ngẫu $J_q$, $J$, giới hạn Banach $\mu$ trên $l^\infty$, ánh xạ liên tục Lipschitz, ánh xạ giả co chặt và ánh xạ $j$-đơn điệu. Phân tích tính chất của không gian $l_p$ và $L_p[a, b]$: $l_p$ có ánh xạ đối ngẫu liên tục yếu theo dãy, còn $L_p[a, b]$ ($1 < p < \infty$) không có tính chất này.
• Mục 1.2: Giới thiệu nửa nhóm không giãn ${T(t) : t \geq 0}$ và mối liên hệ với bài toán Cauchy cho phương trình tiến hóa $\frac{du}{dt} + Au = 0$ với toán tử $m$-$j$-đơn điệu $A$. Nghiệm tiệm cận khi $\frac{du}{dt} = 0$ dẫn đến $Au = 0$, nghĩa là tập không điểm $A^{-1}(0)$ biểu thị trạng thái cân bằng.
• Mục 1.3: Định nghĩa bài toán bất đẳng thức biến phân cổ điển $CVI(F, C)$ trong không gian Hilbert và mối liên hệ với hệ phương trình, bài toán bù phi tuyến ($CP$), bài toán cực trị ($\min_{x \in C} f(x)$ với $F = \nabla f$) và bài toán điểm bất động ($x^* = P_C(I - \lambda F)x^*$).
• Mục 1.4: Trình bày bất đẳng thức biến phân đơn điệu $VI(F, C)$ với $F: E \to E^$ và bất đẳng thức biến phân $j$-đơn điệu $VI^(F, C)$ với $F: E \to E$. Trình bày thuật toán lai ghép đường dốc Yamada (2001) và phát biểu bài toán trung tâm của luận án: tìm $p^* \in \mathcal{F} = \bigcap_{s \geq 0} \text{Fix}(T(s))$ sao cho $\langle F p^, j(x - p^) \rangle \geq 0, \forall x \in \mathcal{F}$. Chứng minh bài toán có nghiệm duy nhất khi $F$ là $\eta$-$j$-đơn điệu mạnh và $\gamma$-giả co chặt với $\eta + \gamma > 1$.

Chương 2. Phương pháp lai ghép đường dốc cho bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn

Chương 2 thiết lập các phương pháp lặp ẩn và lặp hiện dựa trên tư tưởng lai ghép đường dốc:

• Phương pháp lặp ẩn: Đề xuất ba sơ đồ lặp với $F_k x = (I - \lambda_k F)x$ và $T_k x = \frac{1}{t_k} \int_0^{t_k} T(s)x ds$:
  • Phương pháp 2.1 (Tổ hợp lồi với tích phân Bochner): $x_k = \gamma_k F_k x_k + (1 - \gamma_k) T_k x_k$, với $\gamma_k \in (0, 1), \lambda_k \in (0, 1], t_k > 0$ sao cho $\lim \lambda_k = 0, \lim t_k = \infty$.
  • Phương pháp 2.2 (Tổ hợp lồi với phần tử nửa nhóm): $y_k = \gamma_k F_k y_k + (1 - \gamma_k) T(t_k)y_k$, với $\lim t_k = 0, \lim \frac{\gamma_k}{t_k} = 0$.
  • Phương pháp 2.3 (Hợp thành): $w_k = T_k F_k w_k$, với $\lim \lambda_k = 0, \lim t_k = \infty$.
• Chứng minh sự hội tụ: Luận án chứng minh tính xác định (dựa trên nguyên lý ánh xạ co Banach với hệ số co $1 - \gamma_k \lambda_k \tau$, trong đó $\tau = 1 - \sqrt{(1-\eta)/\gamma} \in (0, 1)$), tính bị chặn của các dãy ${x_k}, {y_k}, {w_k}$, và sử dụng giới hạn Banach $\mu$ để chứng minh sự hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất $p^* \in \mathcal{F}$ trong không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều.
• Phương pháp lặp hiện: Rời rạc hóa các phương pháp lặp ẩn tương ứng thành các sơ đồ lặp hiện, thiết lập các điều kiện tham số bước lặp đảm bảo dãy lặp hội tụ mạnh.
• Thử nghiệm số: Mục 2.3 trình bày các ví dụ số kiểm chứng thuật toán. Tác giả so sánh sai số tuyệt đối của các phương pháp lặp thông qua các đồ thị Hình 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 theo số bước lặp $n$.

Chương 3. Phương pháp hiệu chỉnh giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach

Chương 3 nghiên cứu xử lý tính đặt không chỉnh của bài toán $VI^*(F, \mathcal{F})$ bằng các phương pháp hiệu chỉnh:

• Phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (Mục 3.1): Xây dựng phương trình hiệu chỉnh trong không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều, chứng minh quỹ đạo nghiệm hiệu chỉnh hội tụ mạnh về nghiệm của bài toán khi tham số hiệu chỉnh tiến về 0.
• Phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính (Mục 3.2): Kết hợp phương pháp hiệu chỉnh với số hạng quán tính dạng $x_n + \beta_n (x_n - x_{n-1})$ nhằm tăng tốc độ hội tụ của dãy lặp. Thiết lập các định lý hội tụ mạnh cho thuật toán kết hợp.
• Phương pháp hiệu chỉnh lặp (Mục 3.3): Thiết lập phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng hiện giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach $q$-trơn đều, tận dụng bất đẳng thức đặc trưng với hằng số $C_q$ để kiểm soát sai số và chứng minh hội tụ mạnh.
• Thử nghiệm số (Mục 3.4): Đưa ra các ví dụ số cụ thể, vẽ đồ thị so sánh sai số tuyệt đối giữa các phương pháp hiệu chỉnh (Hình 3.1 và Hình 3.2), minh họa ảnh hưởng của tham số hiệu chỉnh và số hạng quán tính đến tốc độ hội tụ.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự nêu các đóng góp mới về mặt lý thuyết và phương pháp tính toán:

1. Xây dựng các phương pháp lặp ẩn và lặp hiện lai ghép đường dốc mới: Đề xuất ba sơ đồ lặp ẩn (Phương pháp 2.1, 2.2, 2.3) và các sơ đồ lặp hiện tương ứng giải bài toán bất đẳng thức biến phân $j$-đơn điệu trên tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn.
2. Loại bỏ điều kiện liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc: Chứng minh thành công sự hội tụ mạnh của các dãy lặp trong không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều bằng cách sử dụng công cụ giới hạn Banach và phép co rút không giãn theo tia, mở rộng phạm vi áp dụng thuật toán sang các không gian hàm $L_p[a, b]$ ($1 < p < \infty$).
3. Phát triển các phương pháp hiệu chỉnh cho nửa nhóm không giãn trong không gian Banach: Thiết lập phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov, phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính trong không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều, và phương pháp hiệu chỉnh lặp trong không gian Banach $q$-trơn đều cho bài toán $VI^*(F, \mathcal{F})$.
4. Kiểm chứng thực nghiệm tính toán: Xây dựng các ví dụ số minh họa, cung cấp dữ liệu đồ thị so sánh sai số tuyệt đối (Hình 2.1 đến 2.4 và Hình 3.1, 3.2), chứng minh tính khả thi của các thuật toán đề xuất.

Về mặt ứng dụng và giải pháp, các kết quả của luận án cung cấp cơ sở thuật toán để giải các bài toán thực tế dẫn về bài toán tìm trạng thái cân bằng của phương trình tiến hóa trong không gian Banach, bài toán tối ưu lồi và bài toán khôi phục tín hiệu, ảnh.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Dựa trên phạm vi và nội dung trình bày trong văn bản luận án, các hạn chế và hướng mở rộng được ghi nhận như sau:

• Hạn chế:
  • Điều kiện đặt lên toán tử $F$ còn chặt: yêu cầu đồng thời tính $\eta$-$j$-đơn điệu mạnh và $\gamma$-giả co chặt thỏa mãn $\eta + \gamma > 1$.
  • Các kết quả hội tụ đòi hỏi không gian Banach phải có cấu trúc hình học tương đối mạnh (lồi đều kết hợp khả vi Gâteaux đều của chuẩn, hoặc $q$-trơn đều).
  • Nghiên cứu tập trung vào nửa nhóm ánh xạ không giãn liên tục ${T(t) : t \geq 0}$, chưa xét đến các họ ánh xạ mở rộng có tính chất không giãn tiệm cận hoặc nửa co trong không gian Banach tổng quát.
• Hướng nghiên cứu tiếp:
  • Nghiên cứu giảm nhẹ các điều kiện đặt lên toán tử $F$, mở rộng cho lớp ánh xạ đơn điệu, giả đơn điệu hoặc ánh xạ nửa co.
  • Nghiên cứu mở rộng các phương pháp lặp và hiệu chỉnh trên các lớp không gian Banach tổng quát hơn (không đòi hỏi tính lồi đều hoặc $q$-trơn đều).
  • Ứng dụng các thuật toán giải bài toán phương trình đạo hàm riêng phi tuyến và bài toán điều khiển tối ưu trong không gian hàm cụ thể.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị tham khảo chuyên môn trong các lĩnh vực:

• Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên ngành Toán Giải tích, Toán Tối ưu: Tài liệu cung cấp hệ thống kiến thức về hình học không gian Banach (Chương 1), kỹ thuật xử lý giải tích hàm phi tuyến với giới hạn Banach để vượt qua rào cản tính liên tục yếu của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc.
• Các nhà nghiên cứu về Lý thuyết Điểm bất động và Bất đẳng thức biến phân: Tham khảo cấu trúc thuật toán lai ghép đường dốc (Chương 2), phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov và phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính (Chương 3) để phát triển thuật toán cho các lớp bài toán cân bằng phi tuyến.
• Người nghiên cứu toán ứng dụng trong xử lý tín hiệu, khôi phục ảnh và điều khiển tối ưu: Tham khảo các sơ đồ lặp hiện và mã nguồn thuật toán số để giải các bài toán tối ưu ràng buộc trên tập điểm bất động.

Câu hỏi thường gặp

1. Bài toán bất đẳng thức biến phân $j$-đơn điệu trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn được định nghĩa như thế nào trong luận án?
Cho $E$ là không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều, $F: E \to E$ là ánh xạ $\eta$-$j$-đơn điệu mạnh và $\gamma$-giả co chặt ($\eta + \gamma > 1$), ${T(t) : t \geq 0}$ là nửa nhóm không giãn trên $E$ với $\mathcal{F} := \bigcap_{s \geq 0} \text{Fix}(T(s)) \neq \emptyset$. Bài toán $VI^(F, \mathcal{F})$ yêu cầu tìm $p^ \in \mathcal{F}$ thỏa mãn: $$\langle F p^, j(x - p^) \rangle \geq 0, \quad \forall x \in \mathcal{F}$$ Bài toán này được chứng minh tương đương với phương trình điểm bất động $p^* = Q_{\mathcal{F}}(I - \lambda F)p^*$ với $\lambda > 0$ và có nghiệm duy nhất.

2. Vì sao việc loại bỏ điều kiện ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc liên tục yếu theo dãy là đóng góp then chốt của luận án?
Các nghiên cứu trước đây (như Ceng và ctv, 2008; Xu, 2005) yêu cầu ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc $j$ phải liên tục yếu theo dãy để đảm bảo sự hội tụ mạnh. Điều kiện này thỏa mãn trong $l_p$ nhưng không thỏa mãn trong không gian hàm $L_p[a, b]$ ($1 < p < \infty$). Bằng việc sử dụng giới hạn Banach $\mu$ và phép co rút không giãn theo tia $Q_{\mathcal{F}}$, luận án chứng minh được sự hội tụ mạnh mà không cần điều kiện này, mở rộng không gian áp dụng thuật toán sang $L_p[a, b]$.

3. Phương pháp lặp ẩn 2.1 trong Chương 2 được thiết lập bằng công thức nào?
Phương pháp 2.1 xác định dãy ${x_k}$ xuất phát từ $x_1 \in E$ theo phương trình: $$x_k = \gamma_k (I - \lambda_k F)x_k + (1 - \gamma_k) \frac{1}{t_k} \int_0^{t_k} T(s)x_k ds, \quad k \geq 1$$ trong đó $\gamma_k \in (0, 1), \lambda_k \in (0, 1], t_k > 0$ thỏa mãn $\lim_{k \to \infty} \lambda_k = 0$ và $\lim_{k \to \infty} t_k = \infty$.

4. Mối liên hệ giữa bài toán Cauchy với nửa nhóm không giãn được trình bày ra sao?
Xét bài toán Cauchy $\frac{du}{dt} + Au = 0$ ($t > 0, u(0) = x$) với $A$ là toán tử $m$-$j$-đơn điệu trong không gian Banach phản xạ. Nghiệm duy nhất của bài toán được xác định bởi nửa nhóm không giãn $T(t)x = \lim_{n \to \infty} (I + \frac{t}{n}A)^{-n} x$. Khi $\frac{du}{dt} = 0$, phương trình trở thành $Au = 0$ biểu thị trạng thái cân bằng, do đó tập không điểm $A^{-1}(0)$ trùng với tập điểm bất động $\mathcal{F}$ của nửa nhóm.

5. Chương 3 đề xuất những phương pháp hiệu chỉnh nào cho bất đẳng thức biến phân?
Chương 3 đề xuất ba phương pháp: phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov (Mục 3.1), phương pháp hiệu chỉnh điểm gần kề quán tính (Mục 3.2) trong không gian Banach lồi đều có chuẩn khả vi Gâteaux đều, và phương pháp hiệu chỉnh lặp dạng hiện (Mục 3.3) trong không gian Banach $q$-trơn đều.

Kết luận

Luận án tiến sĩ toán học của tác giả Phạm Thanh Hiếu (2016) đã giải quyết trọn vẹn bài toán xây dựng các phương pháp lặp và phương pháp hiệu chỉnh cho bất đẳng thức biến phân $j$-đơn điệu trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn trong không gian Banach. Bằng việc sử dụng công cụ giới hạn Banach và phép co rút không giãn theo tia, luận án đã khắc phục được rào cản về tính liên tục yếu theo dãy của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, mở rộng tính hội tụ mạnh của các thuật toán sang không gian hàm $L_p[a, b]$. Các kết quả lý thuyết cùng thử nghiệm số trong luận án đóng góp vào sự phát triển của giải tích phi tuyến và cung cấp phương pháp giải cho các bài toán cân bằng, tối ưu hóa trong không gian Banach.