I. Tổng Quan Bất Đẳng Thức Biến Phân Banach Giới thiệu
Bất đẳng thức biến phân cổ điển, được ký hiệu là CVI(F, C), đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết toán học và ứng dụng thực tế. Bài toán này, lần đầu được giới thiệu bởi Stampacchia và Lions vào cuối những năm 60, đầu những năm 70 của thế kỷ trước, liên quan đến việc tìm điểm x* thuộc tập lồi đóng C trong không gian Hilbert H sao cho thỏa mãn điều kiện hF x*, x - x* i ≥ 0 với mọi x thuộc C. Sự quan trọng của bất đẳng thức biến phân nằm ở khả năng ứng dụng trong các bài toán cân bằng như cân bằng mạng giao thông, cân bằng thị trường độc quyền nhóm và các bài toán cân bằng tài chính. Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân tập trung vào sự tồn tại nghiệm và các phương pháp giải. Các phương pháp tiêu biểu bao gồm phương pháp chiếu, nguyên lý bài toán phụ, phương pháp điểm gần kề và phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov.
1.1. Lịch Sử Phát Triển Bất Đẳng Thức Biến Phân
Bất đẳng thức biến phân có nguồn gốc từ công trình của Lions và Stampacchia (1967) [52]; Stampacchia (1964) [68], đánh dấu sự ra đời của một lĩnh vực nghiên cứu sâu rộng. Kể từ đó, nó đã trở thành một chủ đề nghiên cứu thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học, nhờ vào vai trò quan trọng trong cả lý thuyết toán học và các ứng dụng thực tế. Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân có thể được phân loại thành hai hướng chính: sự tồn tại của nghiệm (Chen, 1992 [29]; Giannessi, 2000 [37]) và các phương pháp giải quyết bất đẳng thức biến phân.
1.2. Ứng Dụng Thực Tế Của Bất Đẳng Thức Biến Phân
Bất đẳng thức biến phân được ứng dụng để nghiên cứu các bài toán cân bằng. Ví dụ, bài toán cân bằng mạng giao thông [35], [58], bài toán cân bằng thị trường độc quyền nhóm, bài toán cân bằng tài chính [56] và bài toán cân bằng di cư [11], [48]. Các nhà nghiên cứu đã phát triển nhiều kỹ thuật để giải bất đẳng thức biến phân, bao gồm phương pháp chiếu của Lions (1977) [51] và phương pháp điểm gần kề của Martinet (1970) [55].
II. Thách Thức Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân Banach
Việc mở rộng bất đẳng thức biến phân sang không gian Banach đặt ra nhiều thách thức. Trong không gian Hilbert, tính chất hình bình hành và sự tồn tại duy nhất của phép chiếu metric đơn giản hóa việc nghiên cứu. Tuy nhiên, trong không gian Banach tổng quát, những tính chất này không còn đúng, đòi hỏi các phương pháp giải phức tạp hơn. Các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach được chia thành hai hướng chính: xét ánh xạ F : E → E* từ E vào không gian đối ngẫu E* và xét ánh xạ F : E → E từ không gian Banach E vào chính nó.
2.1. Khó Khăn Trong Không Gian Banach Tổng Quát
Không gian Hilbert H có nhiều tính chất đặc biệt so với không gian Banach tổng quát. Ví dụ như tính chất hình bình hành, hoặc sự tồn tại và duy nhất của phép chiếu mêtric PC từ H lên một tập con lồi đóng bất kỳ C. Những tính chất này làm cho việc nghiên cứu các bài toán trong không gian Hilbert trở nên đơn giản hơn so với việc nghiên cứu bài toán đó trong không gian Banach tổng quát. Việc mở rộng bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach đòi hỏi các kỹ thuật và phương pháp mới để vượt qua các khó khăn này.
2.2. Hướng Nghiên Cứu Trong Không Gian Banach
Việc mở rộng bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach được xét trong hai trường hợp. Trường hợp thứ nhất là xét ánh xạ F : E → E ∗ biến đổi từ E vào không gian đối ngẫu E ∗ . Một số phương pháp giải cho bài toán này có thể kể đến như phương pháp chiếu (Alber, 1996 [3]; Iiduka và Takahashi, 2008 [41]; Zeidler, 1985 [88]) và phương pháp hiệu chỉnh (Alber, 1983 [4]; Buong, 1991 [18]; Ryazantseva, 2002 [62]).
III. Phương Pháp Lai Ghép Đường Dốc Giải Bất Đẳng Thức
Phương pháp lai ghép đường dốc của Yamada (2001) là một phương pháp hiệu quả để giải bất đẳng thức biến phân khi ánh xạ F: H → H đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz. Phương pháp này khắc phục khó khăn của việc thực hiện phép chiếu metric PC lên tập con lồi đóng bất kỳ C. Dựa trên cách tiếp cận của Yamada, nhiều nghiên cứu đã mở rộng và cải biên thuật toán lai ghép dạng đường dốc cho các bài toán phức tạp hơn, bao gồm bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ các ánh xạ không giãn và nửa nhóm các ánh xạ không giãn.
3.1. Ưu Điểm Của Phương Pháp Lai Ghép Đường Dốc
Đối với lớp bài toán này, phương pháp lai ghép đường dốc của Yamada đề xuất năm 2001 [85] để giải (0.1) tỏ ra là phương pháp khá hiệu quả khi ánh xạ F : H → H là thỏa mãn điều kiện đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz vì nó đã khắc phục được khó khăn của việc thực hiện phép chiếu mêtric PC lên tập con lồi đóng bất kỳ C khi dùng dãy lặp Picard dạng xn+1 = PC (xn − λn F xn ) để giải (0.
3.2. Mở Rộng Phương Pháp Lai Ghép Cho Bài Toán Phức Tạp
Dựa trên cách tiếp cận của Yamada, đã có nhiều nghiên cứu nhằm mở rộng và cải biên thuật toán lai ghép dạng đường dốc cho các bài toán phức tạp hơn chẳng hạn bất đẳng thức biến phân trên tập ràng buộc C là tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn ([20], [21]), họ vô hạn đếm 3 được các ánh xạ không giãn và nửa nhóm các ánh xạ không giãn.
3.3. Ứng Dụng Trong Xử Lý Tín Hiệu và Khôi Phục Ảnh
Khi tập ràng buộc C của bài toán (0.1) được cho dưới dạng ẩn là tập điểm bất động chung của một ánh xạ không giãn hoặc một họ các ánh xạ không giãn thì bài toán (0.1) còn có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như xử lý tín hiệu [34], [42], khôi phục ảnh [40], [65], kiểm soát năng lượng trong hệ thống mạng CDMA [43], phân phối băng thông [44], [64] và bài toán điều khiển tối ưu [45].
IV. Phương Pháp Hiệu Chỉnh Giải Bất Đẳng Thức Biến Phân
Phương pháp hiệu chỉnh, đặc biệt là phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov, là một phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán đặt không chỉnh, bao gồm bất đẳng thức biến phân. Phương pháp này giúp ổn định quá trình giải và đảm bảo hội tụ ngay cả khi bài toán gốc không ổn định. Các nghiên cứu gần đây đã tập trung vào việc cải tiến và mở rộng phương pháp hiệu chỉnh cho các lớp bài toán phức tạp hơn, bao gồm bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập điểm bất động chung của một họ ánh xạ không giãn.
4.1. Tính Đặt Không Chỉnh Của Bất Đẳng Thức Biến Phân
Một khía cạnh khác của bất đẳng thức biến phân chính là tính đặt không chỉnh của bài toán [4]. Do đó việc xây dựng các phương pháp giải ổn định cho bất đẳng thức biến phân cũng là một nội dung cần được quan tâm trong đó phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder–Tikhonov ([16], [76]) tỏ ra là một phương pháp khá hữu hiệu để giải nhiều lớp bài toán đặt không chỉnh.
4.2. Cải Tiến Phương Pháp Hiệu Chỉnh Browder Tikhonov
Năm 2012, Buong và Phuong [24] đã đề xuất phương pháp hiệu chỉnh dạng Browder−Tikhonov cho bài toán bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu trên tập chấp nhận được là tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn {Ti }∞ i=1 trong không gian Banach E bằng việc sử dụng V -ánh xạ như một cải tiến của W -ánh xạ [72] trong phương trình hiệu chỉnh.
V. Ứng Dụng Nửa Nhóm Không Giãn trong Bất Đẳng Thức
Nửa nhóm không giãn đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tập ràng buộc của bất đẳng thức biến phân. Khi tập ràng buộc là tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn, bài toán trở nên phức tạp hơn và đòi hỏi các phương pháp giải đặc biệt. Các nghiên cứu đã sử dụng ánh xạ tích phân Bochner để giải bất đẳng thức biến phân cổ điển trên tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn trong không gian Hilbert.
5.1. Vai Trò Của Nửa Nhóm Không Giãn
Khi C = F := ∩s≥0 Fix(T (s)) là tập điểm bất động chung của nửa nhóm không giãn {T (s) : s ≥ 0} trên H, Yang và đồng tác giả (2012) [86] đã sử dụng ánh xạ tích phân Bochner trong dãy lặp để giải bất đẳng thức biến phân cổ điển trên tập ràng buộc F.
5.2. Hướng Nghiên Cứu Với Nửa Nhóm Không Giãn
Trong trường hợp tập ràng buộc của bất đẳng thức biến phân j-đơn điệu là tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn thì chưa có các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh để giải lớp bài toán này.
VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Bất Đẳng Thức
Nghiên cứu về bất đẳng thức biến phân, đặc biệt trong không gian Banach, là một lĩnh vực đang phát triển mạnh mẽ. Việc xây dựng các phương pháp giải hiệu quả và ổn định cho các lớp bài toán phức tạp hơn, bao gồm bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của nửa nhóm không giãn, vẫn là một hướng nghiên cứu quan trọng. Mục tiêu là mở rộng phạm vi áp dụng của các thuật toán và giải quyết các vấn đề thực tế liên quan đến bất đẳng thức biến phân.
6.1. Tổng Kết Các Phương Pháp Tiếp Cận
Có thể khẳng định rằng, bài toán bất đẳng thức biến phân đã và đang 5 được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng khác nhau nhằm xây dựng các phương pháp giải hữu hiệu cho bài toán.
6.2. Hướng Nghiên Cứu Tương Lai
Việc xây dựng các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach là một vấn đề được nảy sinh một cách tự nhiên và cần thiết để làm phong phú và hoàn thiện thêm cho lý thuyết về bài toán quan trọng này.
