I. Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về toán tử Laplace và các khái niệm liên quan đến nửa mặt phẳng Poincaré. Đầu tiên, hình học của nửa mặt phẳng Poincaré được mô tả qua nhóm các ma trận vuông cấp 2 có định thức bằng 1. Các phép biến đổi phức tạp trên nửa mặt phẳng này được định nghĩa và ứng dụng trong việc phân tích phổ. Toán tử vi phân được giới thiệu, với định nghĩa và các tính chất cơ bản. Đặc biệt, một nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất cho toán tử Laplace được trình bày, cho thấy sự liên kết giữa các hàm và không gian Hilbert. Sự đối xứng của toán tử Laplace trên nửa mặt phẳng Poincaré cũng được thảo luận, nhấn mạnh tầm quan trọng của nó trong việc phân tích phổ.
1.1 Hình học và toán tử vi phân
Hình học của nửa mặt phẳng Poincaré được mô tả qua các phép biến đổi phức tạp. Toán tử vi phân được định nghĩa và ứng dụng trong việc phân tích phổ. Các khái niệm như hàm Green và phương trình Whittaker cũng được giới thiệu, tạo nền tảng cho các phần sau của luận văn.
1.2 Một nghiệm của phương trình
Nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất cho toán tử Laplace được trình bày. Điều này cho thấy sự liên kết giữa các hàm và không gian Hilbert, đồng thời mở ra hướng nghiên cứu cho các phần tiếp theo của luận văn.
II. Mô hình Whittaker cho phổ rời rạc
Chương này tập trung vào mô hình Whittaker và ứng dụng của nó trong việc phân tích phổ rời rạc. Hàm Green và phương trình Whittaker được thảo luận chi tiết, nhấn mạnh vai trò của chúng trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến toán tử Laplace. Phân tích của giải trên nửa mặt phẳng Poincaré với điều kiện o > 3 cũng được trình bày, cho thấy sự phức tạp và tính chất của các hàm liên quan. Các phương trình và định lý quan trọng được nêu ra, cùng với các ví dụ minh họa cụ thể.
2.1 Hàm Green và phương trình Whittaker
Hàm Green được định nghĩa cho toán tử vi phân và các điều kiện cần thiết để nó thỏa mãn. Phương trình Whittaker được trình bày với các nghiệm độc lập tuyến tính, cho thấy sự liên kết giữa lý thuyết và ứng dụng thực tiễn trong phân tích phổ.
2.2 Phân tích của giải trên nửa mặt phẳng Poincaré
Phân tích giải trên nửa mặt phẳng Poincaré với điều kiện o > 3 được thực hiện. Các tổng và phần đỉnh được nghiên cứu, cho thấy sự phức tạp trong việc xác định các hàm và tính chất của chúng trong không gian Hilbert.
III. Chuỗi Eisenstein và phổ liên tục
Chương cuối cùng của luận văn tập trung vào chuỗi Eisenstein và phổ liên tục. Các phương trình giải trên khoảng được trình bày, cùng với các định lý quan trọng liên quan đến toán tử Eisenstein và hàm Eisenstein. Sự liên kết giữa các hàm và các điểm kì di được thảo luận, nhấn mạnh tầm quan trọng của chúng trong lý thuyết số và các ứng dụng thực tiễn. Các mối quan hệ giữa các toán tử và hàm cũng được phân tích, cho thấy sự phong phú của lý thuyết này.
3.1 Phương trình giải trên khoảng
Các phương trình giải trên khoảng được trình bày, nhấn mạnh vai trò của chúng trong việc xác định các hàm và tính chất của phổ. Các mối quan hệ giữa các hàm Eisenstein và các điểm kì di cũng được thảo luận.
3.2 Toán tử Eisenstein và hàm Eisenstein
Toán tử Eisenstein và hàm Eisenstein được định nghĩa và phân tích. Sự liên kết giữa chúng với các hàm giải tích và các điểm kì di được làm rõ, cho thấy tầm quan trọng của chúng trong lý thuyết số và các ứng dụng thực tiễn.
