Nghiên Cứu Tương Tác Tán Sắc Gần Các Vật Thể Vĩ Mô

Khám phá luận án tiến sĩ về vật lý tương tác tán sắc gần các vật thể vĩ mô, nghiên cứu sâu về hiện tượng và ứng dụng trong khoa học.

• Tác giả: Nguyễn Dũng Chỉnh
• Người hướng dẫn: PGS. Hồ Trung Dũng
• Trường học: Đại học Quốc gia TP.HCM
• Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
• Đề tài: Tương Tác Tán Sắc Gần Các Vật Thể Vĩ Mô
• Loại tài liệu: luận án tiến sĩ
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: TP.HCM

Mục lục chi tiết

• LỜI CẢM ƠN
• LỜI CAM ĐOAN
• 1. MỞ ĐẦU
• 1.1. Lý thuyết tổng quan
• 2. NGUYÊN TỬ KÍCH THÍCH BÊN TRONG HỆ TRỤ DÀI VÔ HẠN
• 2.1. Công thức cho tương tác Casimir-Polder và tốc độ rã tự phát
• 2.2. Hàm Green tán xạ
• 2.3. Tốc độ rã tự phát
• 2.4. Tương tác Casimir-Polder
• 2.5. Hằng số điện môi thực tế
• 3. TƯƠNG TÁC VAN DER WAALS GIỮA HAI NGUYÊN TỬ Ở MỨC CƠ BẢN BÊN TRONG HỆ TRỤ DÀI VÔ HẠN
• 3.1. Hàm Green cho tần số ảo
• 3.2. Kỹ thuật giải số hàm Green tán xạ tần số ảo
• 3.3. Tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử gần biên
• 3.4. Ảnh hưởng của vật liệu thực và tường phản xạ Bragg
• 4. TƯƠNG TÁC CASIMIR-POLDER CỦA NGUYÊN TỬ GẦN MỘT ĐẦU CỦA HỆ TRỤ DÀI HỮU HẠN
• 4.1. Khai triển Born
• 4.2. Khai triển Born cho tốc độ rã tự phát và tương tác Casimir-Polder
• 4.3. Nguyên tử bên ngoài khối trụ
• 4.4. Nguyên tử bên trong khối trụ
• 4.5. Kết quả luận hiệp
• 4.6. Tương tác Casimir-Polder lên một nguyên tử kích thích
• 4.7. Tương tác Casimir-Polder lên một nguyên tử ở mức cơ bản
• KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
• DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Nghiên Cứu Tương Tác Tán Sắc Gần Vật Thể Vĩ Mô

Tương tác tán sắc là tương tác giữa các vật thể trung hòa điện thông qua trường điện từ chân không. Các vật thể có thể là vi mô (nguyên tử, phân tử) hoặc vĩ mô (tấm, khối). Tương tác này đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực như vật lý phân tử, vật lý bề mặt, khoa học kết dính, sinh học và thiên văn học. Có ba loại tương tác tán sắc chính: tương tác van der Waals (vdW), tương tác Casimir-Polder (CP), và tương tác Casimir. Lực vdW gây ra bởi nhiễu loạn lượng tử của phân bố điện tử, tạo thành các lưỡng cực điện tức thời. Lực Casimir thường được giải thích qua nhiễu loạn lượng tử của trường điện từ chân không, phát sinh các photon ảo. Tương tác CP có thể được xem như tương tác vdW, với hạt thứ hai là ảnh của hạt thứ nhất bên trong vật thể vĩ mô. Các tương tác tán sắc là các tương tác yếu nhất trong tương tác điện từ, nhưng có mặt khắp nơi và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học.

1.1. Phân Loại Chi Tiết Các Tương Tác Tán Sắc Cơ Bản

Tương tác tán sắc được chia thành ba loại chính: tương tác van der Waals (vdW) giữa các nguyên tử, tương tác Casimir-Polder (CP) giữa nguyên tử và vật thể vĩ mô, và tương tác Casimir giữa các vật thể vĩ mô. Mỗi loại tương tác có cơ chế và đặc điểm riêng, nhưng đều xuất phát từ sự dao động lượng tử của điện tích và trường điện từ. Ví dụ, lực vdW đóng góp vào sự liên kết của các nguyên tử để hình thành phân tử, tương tác giữa hai nguyên tử ở khoảng cách r có thể được mô tả bởi thế Lennard-Jones gồm thành phan hút tỉ lệ với r~® và thành phần day tỉ lệ với r~¹². Lực hút CP là cơ chế cơ bản cho sự hấp phụ của các nguyên tử hoặc phân tử với các bề mặt.

1.2. Ứng Dụng Quan Trọng Của Tương Tác Tán Sắc Trong Thực Tế

Tương tác tán sắc có nhiều ứng dụng quan trọng trong thực tế. Trong lĩnh vực sinh học, tương tác tán sắc được cho là cơ chế cho sự bám dính giữa bàn chân của một số loài nhện và tắc kè với các bề mặt vĩ mô. Trong khoa học vật liệu, người ta có thể lợi dụng điều này để điều khiển tương tác vdW dẫn tới các ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực khoa học vật liệu hoặc trong thiết kế các linh kiện có kích thước cực nhỏ. Các nghiên cứu về ảnh hưởng của các vật thể vĩ mô lên tương tác nguyên tử - trường điện từ tạo thành một nhánh quan trọng trong quang học lượng tử, thường được gọi là điện động lực học lượng tử buồng cộng hưởng.

II. Thách Thức Trong Nghiên Cứu Tương Tác Tán Sắc Gần Vật Thể Vĩ Mô

Nghiên cứu tương tác tán sắc gặp nhiều thách thức do tính phức tạp của hệ thống và sự yếu ớt của tương tác. Việc tính toán chính xác tương tác đòi hỏi các phương pháp lý thuyết phức tạp, đặc biệt khi có sự hiện diện của các vật thể vĩ mô với hình dạng và cấu trúc phức tạp. Sự hiện diện của vật thể vĩ mô gần hai nguyên tử sẽ ảnh hưởng lên trường điện từ, từ đó thay đổi tương tác vdW. Do tính phức tạp của hệ nhiều lớp, việc tính số gặp nhiều khó khăn. Chúng tôi sẽ chỉ ra những khó khăn này và cách giải quyết vấn đề trong luận án. Hơn nữa, việc đo đạc thực nghiệm tương tác tán sắc cũng rất khó khăn do yêu cầu về độ chính xác cao và khả năng kiểm soát môi trường.

2.1. Khó Khăn Trong Tính Toán Lý Thuyết Tương Tác Tán Sắc

Việc tính toán lý thuyết tương tác tán sắc trở nên phức tạp khi xét đến ảnh hưởng của các vật thể vĩ mô. Các phương pháp như mô phỏng Monte Carlo, phương pháp phần tử hữu hạn, và tính toán ab initio thường được sử dụng, nhưng đòi hỏi tài nguyên tính toán lớn và kỹ năng chuyên môn cao. Sự phức tạp tăng lên đáng kể khi vật thể vĩ mô có hình dạng không đều hoặc cấu trúc nhiều lớp. Các nghiên cứu cho hệ trụ trên đây chỉ xem xét hệ trụ hai hoặc ba lớp, hai nguyên tử được đặt trên trục hoặc song song với trục. Trong luận án này, chúng tôi mở rộng xem xét hệ trụ có số lớp bất kì và tìm thấy vật lý thú vị cho một cấu hình mới theo vị trí cho tương tác giữa hai nguyên tử.

2.2. Thách Thức Thực Nghiệm Trong Đo Đạc Tương Tác Tán Sắc

Đo đạc thực nghiệm tương tác tán sắc đòi hỏi độ chính xác và độ nhạy cao. Các thí nghiệm thường được thực hiện trong môi trường chân không và nhiệt độ thấp để giảm thiểu ảnh hưởng của các yếu tố bên ngoài. Các kỹ thuật như phổ học và cảm biến nano được sử dụng để đo đạc lực Casimir và tương tác vdW. Gần đây, các nhà khoa học đã đạt được nhiều thành tựu trong thực nghiệm tao ra nền tang tiềm năng trong công nghệ thông tin lượng tử khi nghiên cứu tương tác CP [43,44]. Hai bài toán tốc độ rã tự phát và tương tác CP trong môi trường là hệ phẳng và hệ cầu đã được quan tâm nhiều.

III. Phương Pháp Tính Toán Tương Tác Tán Sắc Gần Vật Thể Vĩ Mô

Có nhiều phương pháp lý thuyết để tính toán tương tác tán sắc gần các vật thể vĩ mô. Một phương pháp phổ biến là sử dụng hàm Green để mô tả trường điện từ trong môi trường. Hàm Green cho phép tính toán lực Casimir, tương tác CP, và tốc độ rã tự phát của nguyên tử. Các phương pháp khác bao gồm lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp phần tử hữu hạn, và mô phỏng Monte Carlo. Việc lựa chọn phương pháp phù hợp phụ thuộc vào hình dạng và cấu trúc của vật thể vĩ mô, cũng như độ chính xác yêu cầu. Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp hàm Green để tính toán tương tác tán sắc trong hệ trụ nhiều lớp.

3.1. Sử Dụng Hàm Green Để Tính Tương Tác Casimir Polder

Hàm Green là một công cụ mạnh mẽ để tính toán tương tác Casimir-Polder giữa nguyên tử và vật thể vĩ mô. Hàm Green mô tả trường điện từ do một nguồn điểm gây ra trong môi trường. Từ hàm Green, có thể tính toán thế CP và tốc độ rã tự phát của nguyên tử. Các tính toán sau này xuất phat từ lực CP như một trường hợp riêng của lực Lorentz dẫn tới cùng một kết quả. Ta hãy điểm qua một số nghiên cứu cũng như khả năng ứng dụng của điện động lực học lượng tử buồng cộng hưởng: Việc điều khiển tốc độ rã tự phát thông qua thay đổi môi trường xung quanh [31-35] dẫn tới ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như thông tin lượng tử [36] hay thiết kế các thiết bị lượng tử [37].

3.2. Ứng Dụng Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Trong Tính Toán

Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp số mạnh mẽ để giải các bài toán điện từ phức tạp. FEM cho phép tính toán trường điện từ trong các hệ thống có hình dạng và cấu trúc phức tạp. FEM thường được sử dụng để tính toán lực Casimir và tương tác vdW trong các hệ thống nano. Các công trình khác xem xét bức xạ tự phát trong tỉnh thể quang học một chiều [46], hệ cầu điện môi nhiều lớp [47], với ứng dụng trong nguồn phát đơn photon [48]. Các hiệu ứng liên quan như hiệu chỉnh trường định xứ trong cấu trúc cầu và phổ gần hồng ngoại phan xa từ hệ cầu Bragg đã được xem xét lần lượt trong [49] và [50].

IV. Ứng Dụng Của Nghiên Cứu Tương Tác Tán Sắc Trong Công Nghệ Nano

Nghiên cứu tương tác tán sắc có nhiều ứng dụng tiềm năng trong công nghệ nano. Việc điều khiển tương tác vdW và lực Casimir có thể được sử dụng để thiết kế các thiết bị nano, cảm biến, và vật liệu mới. Ví dụ, lực Casimir có thể được sử dụng để tạo ra các thiết bị MEMS/NEMS, trong khi tương tác vdW có thể được sử dụng để điều khiển sự lắp ráp của các cấu trúc nano. Bản thân nguyên tử chịu tác dung của lực CP với môi trường vật thể thong qua trung gian là các photon ảo [1]. Các bay nguyên tử có thể được tạo ra thông qua cơ chế này [38-41]. Trái ngược với tương tác hút khi nguyên tử ở mức cơ bản, tương tác CP còn được tìm thấy là tương tác day 6 vài vùng khoảng cách của nguyên tử với sợi quang học [42].

4.1. Thiết Kế Cảm Biến Dựa Trên Tương Tác Casimir

Lực Casimir có thể được sử dụng để thiết kế các cảm biến có độ nhạy cao. Sự thay đổi nhỏ trong khoảng cách hoặc tính chất vật liệu có thể dẫn đến sự thay đổi đáng kể trong lực Casimir, cho phép phát hiện các tín hiệu yếu. Các cảm biến dựa trên lực Casimir có thể được sử dụng trong nhiều ứng dụng, bao gồm đo lường lực, áp suất, và gia tốc. Trong công trình [51], Wylie và Sipe sử dung lý thuyết phan hồi tuyến tính để tính độ dịch chuyển tần số, như trên đã nói, đại lượng này cũng chính là thế CP, và thời gian sống của một nguyên tử kích thích gần bề mặt tấm phẳng.

4.2. Ứng Dụng Tương Tác vdW Trong Vật Liệu Nano

Tương tác vdW đóng vai trò quan trọng trong sự lắp ráp và ổn định của các cấu trúc nano. Việc điều khiển tương tác vdW có thể được sử dụng để tạo ra các vật liệu nano có tính chất đặc biệt, chẳng hạn như độ bền cao, khả năng dẫn điện tốt, hoặc khả năng hấp thụ ánh sáng hiệu quả. Các nghiên cứu trong [21] cho thấy tương tác vdW giữa hai nguyên tử ở nhiệt độ khác không trong buồng cộng hưởng phẳng độc lập với hiệu ứng trễ (hiệu ứng xảy ra khi khoảng cách giữa hai nguyên tử lớn hơn bước sóng chuyển mức của nguyên tử), ngược với quy luật tương tac trong chân không.

V. Kết Luận Và Hướng Phát Triển Nghiên Cứu Tương Tác Tán Sắc

Nghiên cứu tương tác tán sắc gần các vật thể vĩ mô là một lĩnh vực đầy tiềm năng với nhiều ứng dụng trong khoa học và công nghệ. Các kết quả nghiên cứu có thể được sử dụng để thiết kế các thiết bị nano, cảm biến, và vật liệu mới. Trong tương lai, cần tập trung vào việc phát triển các phương pháp lý thuyết và thực nghiệm chính xác hơn để nghiên cứu tương tác tán sắc trong các hệ thống phức tạp hơn. Các nghiên cứu trong [27] cho thấy tương tác vdW giữa hai nguyên tử đặt giữa hai tường phản xạ toàn phần (ở tất cả các tần số truyền qua) của hệ trụ ba lớp tăng lên đáng kể so với trong không gian tự do. Ảnh hưởng của tường phản xạ toàn phần lên tương tác vdW giữa hai nguyên tử đặt trên trục của hệ trụ hai lớp được xem xét trong [28].

5.1. Phát Triển Các Phương Pháp Tính Toán Chính Xác Hơn

Việc phát triển các phương pháp tính toán chính xác hơn là rất quan trọng để nghiên cứu tương tác tán sắc trong các hệ thống phức tạp. Các phương pháp như điện động lực học lượng tử và lý thuyết phiếm hàm mật độ cần được cải tiến để có thể mô tả chính xác tương tác giữa các nguyên tử và vật thể vĩ mô. Các nghiên cứu cho hệ trụ trên đây chỉ xem xét hệ trụ hai hoặc ba lớp, hai nguyên tử được đặt trên trục hoặc song song với trục. Trong luận án này, chúng tôi mở rộng xem xét hệ trụ có số lớp bất kì và tìm thấy vật lý thú vị cho một cấu hình mới theo vị trí cho tương tác giữa hai nguyên tử.

5.2. Nghiên Cứu Tương Tác Tán Sắc Trong Môi Trường Thực Tế

Cần tập trung vào việc nghiên cứu tương tác tán sắc trong các môi trường thực tế, nơi có sự hiện diện của các yếu tố như nhiệt độ, tạp chất, và độ ẩm. Các nghiên cứu này sẽ giúp hiểu rõ hơn về vai trò của tương tác tán sắc trong các ứng dụng thực tế. Các nghiên cứu ban đầu về tương tác vdW thường tập trung vào trường hợp đơn giản nhất khi hai nguyên tử nằm trong không gian tự do. Sự hiện diện của vật thể vĩ mô gần hai nguyên tử sẽ ảnh hưởng lên trường điện từ, từ đó thay đổi tương tác vdW [I,15-17]. Người ta có thể lợi dụng điều nay để điều khiển tương tác vdW dẫn tới các ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực khoa học vật liệu hoặc trong thiết kế các linh kiện có kích thước cực nhỏ [18-20].

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ "Tương tác tán sắc gần các vật thể vĩ mô" do nghiên cứu sinh Nguyễn Dũng Chỉnh thực hiện tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, thuộc chuyên ngành Vật lý lý thuyết và vật lý toán (mã số chuyên ngành: 62440103), dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Hồ Trung Dũng, bảo vệ năm 2023.

Tương tác tán sắc là các tương tác điện từ có bản chất lượng tử xuất hiện giữa các vật thể trung hòa điện thông qua trạng thái chân không của trường điện từ. Tùy thuộc vào bản chất vi mô hay vĩ mô của hệ, tương tác tán sắc được phân loại thành: tương tác van der Waals (vdW) giữa các nguyên tử hoặc phân tử; tương tác Casimir-Polder (CP) giữa nguyên tử và vật thể vĩ mô; và tương tác Casimir giữa các vật thể vĩ mô với nhau. Mặc dù là tương tác yếu nhất trong thang đo điện từ, tương tác tán sắc đóng vai trò nền tảng trong vật lý phân tử, vật lý bề mặt, sự bám dính sinh học, bẫy nguyên tử và công nghệ thông tin lượng tử.

Khoảng trống nghiên cứu được tác giả xác định xuất phát từ giới hạn của các công trình đi trước:

• Cấu trúc trụ là hình học cơ bản của sợi quang truyền thông và các buồng vi cộng hưởng hiện đại, nhưng hàm Green trong hệ tọa độ trụ có cấu trúc toán học phức tạp hơn nhiều so với hệ phẳng hay hệ cầu, dẫn đến việc nghiên cứu còn chưa đầy đủ.
• Các công trình trước đây về hệ trụ phần lớn chỉ giới hạn ở mô hình hai hoặc ba lớp, hoặc áp dụng mô hình nguồn dòng dài vô hạn hai chiều, chưa phản ánh đầy đủ mô hình điện động lực học lượng tử ba chiều.
• Cấu trúc trụ phản xạ Bragg nhiều lớp (Bragg reflector) với khả năng giam nhốt quang học và tạo các mode cộng hưởng sắc nét chưa từng được khảo sát toàn diện đối với tương tác CP và tốc độ rã tự phát.
• Trong bài toán tương tác vdW giữa hai nguyên tử, các nghiên cứu trước đây chỉ khảo sát vị trí nguyên tử đặt trên trục hoặc song song với trục, bỏ qua cấu hình hai nguyên tử đặt đối xứng trên cùng một đường kính gần biên. Đồng thời, việc tính toán số hàm Green trên trục tần số ảo gặp khó khăn lớn do sự phân kỳ tại cận vô cùng.
• Khi chuyển sang hệ trụ có chiều dài hữu hạn, các nghiên cứu gần đúng Born trước đó chỉ khảo sát moment lưỡng cực định hướng dọc theo trục ($z$), chưa phân tích đầy đủ các phương phân cực khác và chưa tính toán thế CP cho nguyên tử ở trạng thái cơ bản cũng như kích thích gần đầu mút khối trụ.

Luận án đặt ra các mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu cụ thể, được tổ chức thành ba bài toán lớn:

1. Bài toán 1: Khảo sát tốc độ rã tự phát và tương tác Casimir-Polder của một nguyên tử hai mức kích thích đặt ở lớp trong cùng của hệ trụ dài vô hạn có tường phản xạ Bragg nhiều lớp; xác định cấu trúc mode cộng hưởng và so sánh định lượng với mô hình tường phản xạ toàn phần (Perfectly Reflecting Wall - PRW).
2. Bài toán 2: Nghiên cứu tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử ở trạng thái cơ bản bên trong hệ trụ dài vô hạn cho hai cấu hình không gian: hai nguyên tử trên trục của hệ trụ Bragg và hai nguyên tử đặt đối diện nhau trên cùng một đường kính gần biên của hệ trụ hai lớp; phân tích ảnh hưởng của vật liệu thực (Silicon, Vàng) và phát triển kỹ thuật tính số trên trục tần số ảo.
3. Bài toán 3: Khảo sát ảnh hưởng của biên hai đầu khối trụ lên tốc độ rã tự phát và tương tác Casimir-Polder đối với một nguyên tử đặt gần một đầu của hệ trụ có chiều dài hữu hạn, mở rộng cho mọi hướng phân cực của moment lưỡng cực điện và đánh giá khả năng tạo bẫy nguyên tử ba chiều.

Phạm vi và đối tượng nghiên cứu của luận án:

• Đối tượng nghiên cứu: Nguyên tử hai mức (ở trạng thái kích thích hoặc trạng thái cơ bản), cặp nguyên tử trung hòa điện không phân cực vĩnh cửu, trường điện từ lượng tử hóa, và các cấu trúc vật thể vĩ mô dạng trụ.
• Phạm vi không gian và hình học: Hệ trụ đa lớp dài vô hạn có cấu trúc gương phản xạ Bragg (số lớp $N$ từ 2 đến 25), hệ trụ phản xạ lý tưởng hai lớp, và hệ trụ điện môi có chiều dài hữu hạn ($H/\lambda_A = 10, R/\lambda_A = 1$); vị trí nguyên tử được đặt trên trục đối xứng, lệch trục, đối diện trên đường kính hoặc đặt gần mặt phẳng đầu mút khối trụ ($z_A/\lambda_A$ từ $4.96$ đến $5.0$).
• Phạm vi vật liệu: Môi trường chân không, vật liệu phản xạ toàn phần lý tưởng ($\epsilon \to -\infty$), vật liệu điện môi lý tưởng không suy hao ($\epsilon_L = 1, \epsilon_H = 9$ hoặc $25$), và các vật liệu thực có tán sắc và hấp thụ gồm Silicon ($\mathrm{Si}$), Vàng ($\mathrm{Au}$), Silica ($\mathrm{SiO_2}$).
• Phạm vi vật lý: Quá trình diễn ra tại nhiệt độ không tuyệt đối ($T = 0$), tương tác được mô tả thông qua gần đúng lưỡng cực điện và gần đúng sóng quay (đối với tốc độ rã tự phát).

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Tương tác tán sắc bắt đầu từ các khảo sát cơ học lượng tử của London (1930) [5] cho tương tác vdW giữa hai nguyên tử trung hòa điện, không phân cực trong không gian tự do ở khoảng cách nhỏ so với bước sóng chuyển mức nguyên tử, dẫn xuất quy luật lực hút tỷ lệ nghịch với lũy thừa bậc sáu của khoảng cách ($r^{-6}$). Casimir và Polder (1948) [6] phát triển lý thuyết lượng tử tổng quát tính đến hiệu ứng trễ do tốc độ ánh sáng hữu hạn, chỉ ra rằng ở khoảng cách lớn hơn nhiều bước sóng chuyển mức, thế tương tác chuyển sang quy luật tiệm cận $r^{-7}$, đồng thời công bố biểu thức cho tương tác giữa một nguyên tử và một tấm dẫn lý tưởng (tương tác CP). Lý thuyết vdW sau đó được mở rộng cho hai nguyên tử ở trạng thái kích thích (công trình [7-9]), hệ một nguyên tử kích thích và một nguyên tử ở mức cơ bản ([7, 10]), nguyên tử phân cực từ ([11, 12]), hệ có mặt photon nhiệt ([13]), và hai nguyên tử trong điện trường tĩnh ([14]).

Về ảnh hưởng của vật thể vĩ mô, các cấu hình phẳng ([21-23, 26]), cầu ([24-26]) và trụ ([27-30]) lần lượt được nghiên cứu. Điển hình, nghiên cứu [21] chỉ ra tương tác vdW giữa hai nguyên tử ở nhiệt độ khác không trong buồng cộng hưởng phẳng độc lập với hiệu ứng trễ. Đối với hệ trụ, công trình [27] chứng minh tương tác vdW giữa hai nguyên tử đặt giữa hai tường phản xạ toàn phần của hệ trụ ba lớp tăng đáng kể so với không gian tự do. Công trình [28] khảo sát hai nguyên tử trên trục của hệ trụ hai lớp phản xạ toàn phần, chỉ ra tương tác giảm theo hàm mũ theo khoảng cách dọc trục nhưng tăng nhiều bậc khi moment lưỡng cực định hướng dọc trục $z$ trong hệ trụ silicon. Khi hai nguyên tử lệch trục, công trình [29] phát hiện lực tăng nhiều bậc đối với lưỡng cực định hướng theo phương bán kính ở bên ngoài hệ trụ hai lớp. Đặc biệt, nghiên cứu [30] chứng minh tương tác vdW biến mất trong chân không khi hai moment lưỡng cực vuông góc nhau nhưng lại tiếp tục tồn tại khi có mặt hệ trụ hai lớp.

Trong lĩnh vực điện động lực học lượng tử buồng cộng hưởng (cavity QED), tốc độ rã tự phát và dịch chuyển Lamb (tương đương thế CP) được khảo sát bởi nhiều nhóm tác giả: Wylie và Sipe (1984) [51] dùng lý thuyết phản hồi tuyến tính cho nguyên tử gần tấm phẳng; Rippin và Knight (1996) [52] dùng phương pháp khai triển mode cho nguyên tử hai mức trong hệ trụ hai lớp vô hạn và gương Bragg dọc trục; Henkel và Sandoghdar (1998) [53] phân tích ảnh hưởng của độ nhám bề mặt điện môi; Klimov và Ducloy (2002, 2004) [54, 55] nghiên cứu dịch chuyển lưỡng cực và tứ cực gần hệ trụ kim loại và điện môi; Guzatov và Klimov (2006) [56] khảo sát trụ dẫn điện tiết diện elip; Bennett (2009) [57] dùng hàm Green và khai triển Born cho bề mặt quang khắc; Kien và Rauschenbeutel (2014) [58] khảo sát lưỡng cực quay gần bề mặt phẳng; Buhmann và Scheel (2008) [59] thảo luận điều kiện áp dụng lý thuyết Lifshitz cho lực CP nhiệt; công trình [60] dùng khai triển Born xét biên tấm phẳng; Ellingsen, Buhmann và Scheel (2010) [61] nghiên cứu buồng cộng hưởng trụ kim loại ở nhiệt độ khác không; Bender và cộng sự (2014) [62] đo đạc thực nghiệm tương tác CP; công trình [63] nghiên cứu tốc độ rã bên trong trụ hai lớp hữu hạn và loại bỏ kỳ dị ở tâm; Stourm và cộng sự (2019) [64] tính tốc độ rã và dịch chuyển Lamb của nguyên tử $^{87}\mathrm{Rb}$ gần sợi quang $\mathrm{SiO_2}$.

Đối với hệ trụ đa lớp, các nghiên cứu trước như [65, 66] xem xét hệ $N$ lớp nhưng giới hạn ở mô hình hai chiều do giả định nguồn là dòng dài vô tận; các công trình [67, 68] tập trung vào tiết diện tán xạ để ứng dụng tàng hình; công trình [69] khảo sát Tamm plasmon polaritons. Đối với hệ trụ hữu hạn, các mô hình thực nghiệm như nguồn phát đơn photon [71-73] và bẫy ion tích hợp sợi quang [74] đòi hỏi tính toán lý thuyết chính xác. Gần đúng Born từng được áp dụng để tính tốc độ rã của nguyên tử bên ngoài khối trụ hữu hạn [78] và bên trong khối trụ [63], nhưng cả hai đều chỉ giới hạn ở trường hợp moment lưỡng cực định hướng dọc theo trục $z$.

Khoảng trống mà luận án lựa chọn giải quyết bao gồm:

1. Thiết lập bài toán ba chiều giải tích và giải số đầy đủ cho tốc độ rã tự phát và tương tác CP bên trong hệ trụ phản xạ Bragg $N$ lớp, không dùng mô hình nguồn dòng hai chiều.
2. Khảo sát cấu hình hai nguyên tử đặt đối xứng trên cùng một đường kính trong ống dẫn sóng trụ đa lớp, đồng thời đề xuất giải pháp toán học xử lý tích phân hàm Green tán xạ trên trục tần số ảo.
3. Mở rộng lý thuyết khai triển Born cho hệ trụ có chiều dài hữu hạn sang mọi phương định hướng lưỡng cực (phương $z$, phương bán kính $\rho$, phương góc $\phi$ và trung bình định hướng ngẫu nhiên), phân tích thế CP ba chiều ở vùng lân cận đầu mút khối trụ.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án xây dựng trên nền tảng điện động lực học lượng tử vĩ mô (macroscopic QED) trong môi trường vật chất có tán sắc và hấp thụ thỏa mãn hệ thức Kramers-Kronig, theo khuôn khổ lý thuyết của Dung, Ho Trung Dung và các cộng sự ([86, 88]).

Trường điện từ lượng tử được biểu diễn thông qua các toán tử vector thế và cường độ điện trường. Để mô tả tính hấp thụ của môi trường, các toán tử mật độ điện tích nhiễu $\rho(\mathbf{r}, \omega)$ và mật độ dòng nhiễu $\mathbf{j}(\mathbf{r}, \omega)$ được đưa vào phương trình Maxwell lượng tử, liên hệ với toán tử phân cực nhiễu $\mathbf{P}(\mathbf{r}, \omega)$ qua hệ thức $\rho(\mathbf{r}, \omega) = -\nabla \cdot \mathbf{P}(\mathbf{r}, \omega)$. Toán tử cường độ điện trường $\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}, \omega)$ được biểu diễn qua tích phân không gian của các trường toán tử sinh/hủy hạt boson liên tục $\mathbf{f}(\mathbf{r}, \omega)$ và $\mathbf{f}^\dagger(\mathbf{r}, \omega)$, với nhân tích phân là hàm tensor Green $\boldsymbol{G}(\mathbf{r}, \mathbf{r}', \omega)$:

$$\hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}, \omega) = i \sqrt{\frac{\hbar}{\pi \epsilon_0}} \frac{\omega^2}{c^2} \int d^3\mathbf{r}' , \sqrt{\text{Im},\epsilon(\mathbf{r}', \omega)} , \boldsymbol{G}(\mathbf{r}, \mathbf{r}', \omega) \cdot \mathbf{f}(\mathbf{r}', \omega)$$

Toán tử Hamilton của hệ trường điện từ kết hợp môi trường hấp thụ và hạt tích điện được xây dựng dưới hai sơ đồ tương đương:

• Sơ đồ tương tác tối thiểu (minimal-coupling scheme): Được áp dụng trong Chương 1 và Chương 2 kết hợp lý thuyết Wigner-Weisskopf để xác định tốc độ rã tự phát $\Gamma$ và độ dịch chuyển mức năng lượng của nguyên tử hai mức. Sau khi áp dụng gần đúng lưỡng cực điện và gần đúng sóng quay (rotating wave approximation), tốc độ rã tự phát $\Gamma$ và thế Casimir-Polder $U$ liên hệ trực tiếp với phần ảo và phần thực của hàm Green tán xạ tại vị trí nguyên tử $\mathbf{r}_A$:

$$\Gamma = \frac{2\omega_A^2}{\hbar \epsilon_0 c^2} \mathbf{d}_A \cdot \text{Im},\boldsymbol{G}(\mathbf{r}_A, \mathbf{r}_A, \omega_A) \cdot \mathbf{d}_A$$

$$U = -\frac{\omega_A^2}{\epsilon_0 c^2} \mathbf{d}_A \cdot \text{Re},\boldsymbol{G}^{(sc)}(\mathbf{r}_A, \mathbf{r}_A, \omega_A) \cdot \mathbf{d}_A$$

• Sơ đồ tương tác đa cực (multipolar-coupling scheme): Được áp dụng trong Chương 1 và Chương 3 dựa trên biến đổi Power-Zienau-Woolley theo tiếp cận của Safari và cộng sự (2006) [23]. Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn lượng tử bậc bốn đối với toán tử tương tác $\hat{H}_{int} = -\mathbf{d}_A \cdot \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}_A) - \mathbf{d}_B \cdot \hat{\mathbf{E}}(\mathbf{r}_B)$, kết hợp với kỹ thuật tích phân vòng Cauchy trên nửa trên mặt phẳng phức tần số để chuyển tích phân tần số thực sang tần số ảo $\omega = iu$, thu được biểu thức tổng quát cho thế vdW giữa hai nguyên tử mức cơ bản:

$$U_{AB}(\mathbf{r}_A, \mathbf{r}_B) = -\frac{\hbar \mu_0^2}{\pi} \int_0^\infty du , u^4 \alpha_A(iu) \alpha_B(iu) , \text{Tr}\left[ \boldsymbol{G}(\mathbf{r}_A, \mathbf{r}_B, iu) \cdot \boldsymbol{G}(\mathbf{r}_B, \mathbf{r}_A, iu) \right]$$

Các phương pháp tính toán và xử lý số liệu thực tế bao gồm:

1. Phương pháp giải tích hàm tensor Green trong hệ trụ: Tác giả sử dụng dạng tường minh hàm Green của Li và cộng sự (2000) [82] cho hệ trụ đa lớp vô hạn. Trường điện từ được phân tích theo hệ hàm vector sóng trụ $\mathbf{M}{e/o,n\eta}(h)$ và $\mathbf{N}{e/o,n\eta}(h)$. Các hệ số tán xạ $C_j^{(H,V)s}$ cho các mode sóng điện ngang TE ($H$) và từ ngang TM ($V$) được xác định thông qua ma trận truyền $2 \times 2$ giữa các mặt phân cách trụ liên tiếp.
2. Kỹ thuật giải số trên trục tần số ảo: Trong bài toán tương tác vdW tại tần số ảo $\omega = iu$, hàm dưới tích phân có cận trên phân kỳ khi $u \to \infty$. Tác giả xử lý bằng cách bóc tách phần tiệm cận giải tích của hàm Green chân không và hàm Green tán xạ tương ứng với phản xạ cục bộ, tính tích phân giải tích phần tiệm cận và chỉ áp dụng phương pháp số cho phần hiệu số hội tụ nhanh.
3. Phương pháp khai triển Born bậc nhất (First-order Born approximation): Áp dụng cho hệ trụ có chiều dài hữu hạn ở Chương 4, nơi điều kiện biên không cho phép tìm nghiệm giải tích chính xác của hàm Green. Khai triển chuỗi Born đối với độ cảm điện của khối trụ hữu hạn và ngắt chuỗi ở số hạng bậc nhất giúp đưa bài toán về dạng tích phân khối trên thể tích của vật thể hữu hạn.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Lý thuyết tổng quan

Chương 1 hệ thống hóa cơ sở lý thuyết về lượng tử hóa trường điện từ và tương tác tán sắc trong môi trường vật chất. Mở đầu bằng mô tả định tính về tương tác Casimir giữa hai tấm phẳng kim loại lý tưởng thông qua sự gián đoạn của mật độ trạng thái photon ảo trong buồng cộng hưởng, và tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử trung hòa điện do sự thăng giáng lưỡng cực tức thời.

Tác giả trình bày chi tiết quy trình lượng tử hóa trường điện từ trong môi trường có tán sắc và hấp thụ tổng quát bằng phương pháp hàm tensor Green. Chương này dẫn xuất đầy đủ các biểu thức nền tảng:

• Biểu thức tốc độ rã tự phát $\Gamma$ và độ dịch chuyển mức năng lượng của nguyên tử hai mức tương tác với trường theo lý thuyết Wigner-Weisskopf.
• Biểu thức tương tác Casimir-Polder cho nguyên tử nhiều mức ở trạng thái kích thích hoặc cơ bản bằng lý thuyết nhiễu loạn bậc hai, phân tách tường minh thế CP thành phần cộng hưởng $U^{res}$ và phần phi cộng hưởng $U^{nres}$.
• Biểu thức thế tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử ở trạng thái cơ bản thông qua lý thuyết nhiễu loạn bậc bốn trong sơ đồ tương tác đa cực, chứng minh sự chuyển đổi tích phân từ trục tần số thực sang trục tần số ảo $\omega = iu$ nhờ định lý tích phân Cauchy.

Chương 2: Nguyên tử kích thích bên trong hệ trụ dài vô hạn

Chương 2 giải quyết bài toán tính toán tốc độ rã tự phát $\Gamma/\Gamma_0$ và thế Casimir-Polder $U$ của một nguyên tử hai mức kích thích đặt tại lớp trong cùng của một hệ trụ nhiều lớp có chiều dài vô hạn. Hệ trụ được thiết kế thỏa mãn điều kiện của gương phản xạ Bragg hình trụ:

$$R_m - R_{m-1} = \frac{\lambda_0}{4 \text{Re}\sqrt{\epsilon_{m+1}(\omega)}}$$

trong đó $\lambda_0$ là bước sóng trung tâm của vùng cấm quang học (band gap), $\epsilon_L = 1$ và $\epsilon_H = 9$ (hoặc thay đổi) là hằng số điện môi của các lớp kế tiếp nhau.

Tác giả phân tích hàm Green tán xạ thành ba thành phần tương ứng với các hướng phân cực của moment lưỡng cực nguyên tử:

• Khi lưỡng cực định hướng dọc theo trục $z$, chỉ có các mode TM đóng góp vào hàm Green tán xạ.
• Khi lưỡng cực định hướng theo phương bán kính $\rho$ hoặc phương góc $\phi$, cả mode TE và TM đều tham gia đóng góp.

Thông số khảo sát	Cấu hình hệ trụ Bragg	Cấu hình phản xạ toàn phần (PRW)
Số lớp ($N$)	$N = 5, 15, 25$	$N = 2$ ($\epsilon_1 \to -\infty$)
Hằng số điện môi	$\epsilon_L = 1, \epsilon_H = 9$ (hoặc thay đổi)	$\epsilon = 1$ bên trong, thành dẫn lý tưởng
Điều kiện lớp	Bề dày quang học mỗi lớp là $\lambda_0/4$	Thành phản xạ tại bán kính $R$
Mode đóng góp khi lưỡng cực hướng $z$	Chỉ có mode TM ($n = 0$ khi trên trục)	Chỉ có mode TM ($p_{nm}$)
Mode đóng góp khi lưỡng cực hướng $\rho, \phi$	Cả mode TM và TE ($n = 1$ khi trên trục)	Cả mode TM ($p_{nm}$) và TE ($q_{nm}$)
Vị trí mode cộng hưởng đầu tiên ($p_{01}$)	$R = 0.3822591759\lambda_0$	Phân kỳ vô hạn tại nghiệm $J_0(p_{01}) = 0$

Các phát hiện chính của Chương 2:

• Sự hình thành vùng cấm (Band gap): Khi nguyên tử đặt trên trục có lưỡng cực hướng theo trục $z$, vùng cấm bức xạ ($\Gamma/\Gamma_0 \ll 1$) xuất hiện rõ rệt ngay từ $N = 5$ lớp và biên dạng vùng cấm đạt trạng thái ổn định khi tăng lên $N = 15$ và $N = 25$. Khi tăng giá trị hằng số điện môi $\epsilon_H$, vùng cấm mở rộng cả về bề rộng tần số và độ suy giảm sâu của tốc độ rã.
• Cấu trúc mode cộng hưởng: Khi cố định tần số nguyên tử $\omega_A = \omega_0$ và thay đổi bán kính lớp trong cùng $R$, các mode cộng hưởng xuất hiện với số lượng tăng dần khi bán kính tăng. Mode cộng hưởng đầu tiên $p_{01}$ xuất hiện tại giá trị bán kính chuẩn hóa $R = 0.3822591759\lambda_0$, tương ứng bề dày quang học của lớp trong cùng lớn hơn $\lambda_0/2$. Vị trí các đỉnh cộng hưởng của hệ Bragg hoàn toàn tương đồng với các vị trí phân kỳ của hệ phản xạ toàn phần (PRW), được xác định bởi điều kiện mẫu số hàm Green bằng không ($k_V = 0$ và $k_H = 0$).
• Thế giam nhốt Casimir-Polder: Tại các tần số ứng với mode cộng hưởng, thế CP tạo thành giếng thế năng giam nhốt nguyên tử xung quanh trục của khối trụ. Luận án cũng mở rộng tính toán với vật liệu thực có tán sắc là Silicon ($\epsilon_{\mathrm{Si}} = 12.25$) và $\mathrm{SiO_2}$ ($\epsilon_{\mathrm{SiO_2}} = 2.25$).

Chương 3: Tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử ở mức cơ bản bên trong hệ trụ dài vô hạn

Chương 3 khảo sát tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử ở mức cơ bản bên trong hệ trụ dài vô hạn, sử dụng biểu thức tích phân hàm Green trên trục tần số ảo $\omega = iu$.

Nội dung tập trung vào hai cấu hình hình học cụ thể:

1. Cấu hình 1: Hai nguyên tử đặt dọc theo trục đối xứng $z$ của hệ trụ Bragg ($N = 9, \epsilon_L = 1, \epsilon_H = \epsilon$) và hệ trụ hai lớp. Khảo sát được thực hiện với các giá trị $\epsilon = 9$ và $\epsilon = 25$, so sánh trực tiếp với trường hợp hệ phản xạ lý tưởng ($\epsilon \to -\infty$). Kết quả chỉ ra rằng thế vdW giảm theo quy luật hàm mũ theo khoảng cách giữa hai nguyên tử dọc theo trục.
2. Cấu hình 2: Hai nguyên tử có bước sóng chuyển mức $\lambda_A = 780,\text{nm}$ ($\Omega/c = 2\pi/780,\text{nm}$) đặt đối diện nhau trên cùng một đường kính bên trong hệ trụ hai lớp, cách đều tâm và tiến sát biên bề mặt với các khoảng cách $\Delta$ khác nhau.

Các phát hiện chính của Chương 3:

• Tác giả phát hiện sự tăng cường và ức chế mạnh mẽ của lực tán sắc vdW. Trong cấu hình hai nguyên tử đặt đối diện trên đường kính gần biên, độ lớn của lực tương tác vdW có thể tăng lên đến bốn bậc độ lớn ($10^4$ lần) so với tương tác trong không gian tự do.
• Ảnh hưởng của vật liệu thực: Khảo sát đối với thành trụ bằng Vàng ($\mathrm{Au}$) và Silicon ($\mathrm{Si}$) cho thấy sự sai khác đáng kể so với mô hình phản xạ toàn phần. Khi bề rộng vạch hấp thụ (linewidth) của vật liệu thực tăng lên, biên độ tương tác vdW giảm do tiêu tán năng lượng trong môi trường. Đối với hệ trụ Bragg, khi hằng số điện môi tĩnh $\epsilon_0$ của Silicon tăng từ $11.87$ lên $16$ và $25$, thế tương tác vdW tiệm cận dần về kết quả của hệ phản xạ lý tưởng.

Chương 4: Tương tác Casimir-Polder của nguyên tử gần một đầu của hệ trụ dài hữu hạn

Chương 4 khảo sát ảnh hưởng của tính hữu hạn về chiều dài của khối trụ lên tốc độ rã tự phát và tương tác Casimir-Polder, giải quyết giới hạn của các mô hình trụ dài vô hạn. Hệ vật lý được khảo sát có bán kính chuẩn hóa $R/\lambda_A = 1$, chiều dài hữu hạn $H/\lambda_A = 10$, và hằng số điện môi $\epsilon(\omega_A) = 1$.

Do hàm Green cho hệ trụ hữu hạn không có nghiệm giải tích dạng đóng, tác giả áp dụng phương pháp khai triển Born bậc nhất. Luận án mở rộng việc thiết lập công thức khai triển Born cho cả hai trường hợp:

• Nguyên tử đặt bên ngoài khối trụ hữu hạn.
• Nguyên tử đặt bên trong khối trụ hữu hạn.

Các kết quả khảo sát chi tiết:

• Tốc độ rã tự phát: Được khảo sát tại vị trí rất gần một đầu của khối trụ ($z_A/\lambda_A = 4.96$, trong khi đầu trụ tại $z = H/2\lambda_A = 5.0$). So sánh giữa khối trụ hữu hạn và khối trụ vô hạn cùng bán kính cho thấy hiệu ứng biên làm biến đổi đáng kể tốc độ rã tự phát khi nguyên tử dịch chuyển qua mặt phân cách bán kính $\rho_A/\lambda_A = 1$.
• Thế Casimir-Polder lên nguyên tử kích thích: Thế chuẩn hóa $\bar{U} = U \cdot 8\pi\epsilon_0 / (\mu_0 p^2 \omega_A^3)$ được tính toán theo tọa độ bán kính $\rho_A$ và tọa độ trục $z_A$. Kết quả chỉ ra sự biến thiên sâu sắc của thế năng tại vùng không gian chuyển tiếp giữa bên trong và bên ngoài đầu mút khối trụ.
• Thế Casimir-Polder lên nguyên tử ở mức cơ bản: Luận án phân tích chi tiết thế CP của nguyên tử mức cơ bản trên trục $z$ trong vùng lân cận đầu mút khối trụ. Tác giả khảo sát độc lập các trường hợp moment lưỡng cực định hướng vuông góc với bề mặt đầu trụ (phương $z$), song song với bề mặt (phương $\rho$ và $\phi$), và giá trị trung bình cho định hướng ngẫu nhiên.
• Sự hình thành bẫy nguyên tử ba chiều: Kết quả tính toán thế CP chuẩn hóa theo các tọa độ không gian ($x_A, y_A, z_A$) chỉ ra rằng tại vùng không gian bên ngoài nằm ngay trên trục đối xứng gần đầu mút của khối trụ, xuất hiện một cấu trúc giếng thế thế năng Casimir-Polder ba chiều. Cấu trúc thế này có khả năng bẫy và giam giữ nguyên tử trong không gian mà không cần trường ngoài bổ trợ.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các đóng góp mới về mặt khoa học lý thuyết và giá trị ứng dụng thực tiễn:

1. Về mặt lý luận và phương pháp học thuật:

   • Xây dựng hoàn chỉnh mô hình lý thuyết ba chiều mô tả tốc độ rã tự phát và tương tác Casimir-Polder của nguyên tử hai mức bên trong hệ trụ phản xạ Bragg đa lớp dựa trên kỹ thuật hàm tensor Green, khắc phục hoàn toàn hạn chế của các mô hình dòng hai chiều trước đó.
   • Phát triển giải pháp kết hợp tính toán giải tích và giải số để xử lý hàm Green tán xạ trên trục tần số ảo $\omega = iu$, giải quyết triệt để sự phân kỳ toán học tại cận vô cùng của tích phân, tạo ra công cụ tính toán tin cậy cho bài toán tương tác van der Waals giữa các nguyên tử trong ống dẫn sóng.
   • Mở rộng phương pháp khai triển Born bậc nhất cho hệ trụ có chiều dài hữu hạn để tính toán cho mọi hướng phân cực của moment lưỡng cực nguyên tử (phương trục $z$, phương bán kính $\rho$, phương góc $\phi$ và trung bình đẳng hướng), vượt qua giới hạn của các công trình tiền nhiệm vốn chỉ khảo sát được phương dọc trục.

2. Về mặt thực tiễn và phát hiện vật lý:

   • Xác lập định lượng điều kiện hình thành và độ ổn định của vùng cấm quang học (band gap) đối với tốc độ rã tự phát trong hệ trụ Bragg ($N \ge 5$). Chứng minh sự tương đồng về vị trí mode cộng hưởng giữa hệ trụ Bragg và hệ phản xạ toàn phần (PRW), xác định mode cộng hưởng cơ bản $p_{01}$ xuất hiện tại bán kính $R = 0.3822591759\lambda_0$.
   • Chứng minh tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử đặt đối diện trên đường kính gần biên trong hệ trụ hai lớp có thể được tăng cường vượt bậc lên tới bốn bậc độ lớn ($10^4$ lần) so với không gian tự do, hoặc bị ức chế tùy thuộc vào cấu hình hình học và hướng phân cực.
   • Phát hiện sự tồn tại của hệ thế năng Casimir-Polder ba chiều xuất hiện tại vùng không gian trên trục bên ngoài một đầu của khối trụ hữu hạn, cung cấp luận cứ vật lý cho việc thiết kế bẫy nguyên tử quang học.

3. Kiến nghị và đề xuất giải pháp:

   • Luận án khuyến nghị sử dụng mô hình hệ trụ phản xạ toàn phần (PRW) như một công cụ giải tích thuận tiện để định vị nhanh các mode cộng hưởng của cấu trúc Bragg đa lớp, do tính chất trùng khớp của vị trí các đỉnh phổ.
   • Đề xuất ứng dụng cấu trúc trụ Bragg đa lớp trong việc kiểm soát bức xạ tự phát để chế tạo nguồn phát đơn photon (single-photon sources) và ứng dụng cấu trúc đầu mút sợi quang nano trong kỹ thuật bẫy nguyên tử trung hòa cho công nghệ thông tin lượng tử.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Các hạn chế được văn bản luận án thừa nhận:

• Các mô hình hình học trong luận án chủ yếu tập trung vào hệ trụ tròn đối xứng lý tưởng, chưa bao quát các dạng tiết diện phức tạp khác hoặc bề mặt có độ nhám thực tế.
• Đối với hệ trụ có chiều dài hữu hạn ở Chương 4, phương pháp khai triển Born mới chỉ được áp dụng ở phép gần đúng bậc nhất (first-order Born approximation) và ngắt chuỗi số hạng đầu; điều này giới hạn độ chính xác khi độ chênh lệch hằng số điện môi của khối trụ so với môi trường xung quanh trở nên lớn.
• Mặc dù khung lý thuyết tổng quát ở Chương 1 thiết lập cho môi trường có cả tính chất từ ($\mu \neq 1$), toàn bộ các tính toán giải số và ứng dụng cụ thể trong hệ trụ ở các chương sau đều bỏ qua tính chất từ ($\mu = 1$).
• Các tính toán số chi tiết đều giả định nhiệt độ bằng không tuyệt đối ($T = 0$), chưa tính đến sự đóng góp của các photon nhiệt ở nhiệt độ phòng.

Các hướng nghiên cứu tiếp theo được tác giả đề xuất:

• Mở rộng phương pháp khai triển Born lên các số hạng bậc cao hơn nhằm nâng cao độ chính xác khi mô tả các hệ trụ hữu hạn có hằng số điện môi lớn.
• Phát triển bài toán tương tác tán sắc và bức xạ tự phát trong hệ trụ ở điều kiện nhiệt độ hữu hạn ($T > 0$) để đánh giá đầy đủ tác động của hiệu ứng nhiệt Lifshitz.
• Nghiên cứu tương tác tán sắc trong các môi trường vật liệu dị hướng, vật liệu biến hóa (metamaterials) hoặc vật liệu thuận tay trái (left-handed materials) có độ từ thẩm phức tạp.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên sâu có giá trị đối với:

• Nghiên cứu sinh và học viên cao học ngành Vật lý: Cung cấp tài liệu hoàn chỉnh về kỹ thuật lượng tử hóa trường điện từ trong môi trường điện môi vĩ mô có tán sắc và hấp thụ, cùng phương pháp toán học xử lý hàm tensor Green trong hệ tọa độ trụ.
• Giảng viên và nhà nghiên cứu Quang học lượng tử, Cavity QED: Cung cấp cơ sở lý thuyết chuẩn xác về mối liên hệ giữa hàm Green tán xạ với tốc độ rã tự phát, độ dịch chuyển Lamb và thế tương tác tán sắc.
• Các nhóm nghiên cứu công nghệ nano và quang lượng tử thực nghiệm: Cung cấp các thông số định lượng (vị trí mode cộng hưởng, kích thước bước sóng, khoảng cách biên) giúp định hướng thiết kế buồng cộng hưởng sợi quang, linh kiện quang tử nano, nguồn phát photon đơn và cấu hình bẫy nguyên tử gần đầu sợi quang.

Các phần nội dung đáng tham khảo nhất trong văn bản:

• Mục 1.2 đến 1.5: Hệ thống công thức giải tích chuẩn xác từ toán tử Hamilton đến các đại lượng vật lý quan sát được.
• Mục 2.2: Kỹ thuật xây dựng ma trận truyền $2 \times 2$ để xác định các hệ số tán xạ của sóng TE và TM trong cấu trúc trụ đa lớp.
• Mục 3.2: Quy trình toán học kết hợp giải tích và số học để xử lý tích phân hàm Green trên trục tần số ảo.
• Mục 4.1 và 4.2: Phương pháp triển khai gần đúng Born bậc nhất cho cấu trúc trụ hữu hạn áp dụng cho các hướng lưỡng cực khác nhau.

Câu hỏi thường gặp

1. Vùng cấm quang học (band gap) đối với tốc độ rã tự phát trong hệ trụ Bragg xuất hiện từ số lớp bao nhiêu và biến đổi như thế nào khi thay đổi thông số cấu trúc? Theo kết quả giải số tại Hình 2.2 của luận án, vùng cấm quang học (nơi tốc độ rã tự phát chuẩn hóa $\Gamma/\Gamma_0 \ll 1$) xuất hiện rõ rệt ngay từ khi hệ có $N = 5$ lớp. Hình dáng của vùng cấm trở nên ổn định khi tăng số lớp lên $N = 15$ và $N = 25$. Khi giữ nguyên số lớp $N = 15$ và tăng giá trị hằng số điện môi cao $\epsilon_H$ (với $\epsilon_L = 1$), vùng cấm mở rộng ra về dải tần số đồng thời độ suy giảm của tốc độ rã tự phát trở nên sâu hơn.

2. Mode cộng hưởng đầu tiên trong hệ trụ Bragg xuất hiện tại giá trị bán kính nào và có đặc điểm gì so với hệ phản xạ toàn phần? Khi khảo sát nguyên tử trên trục có tần số chuyển mức trùng với tần số trung tâm $\omega_A = \omega_0$ trong hệ trụ 15 lớp ($\epsilon_L = 1, \epsilon_H = 9$), mode cộng hưởng cơ bản đầu tiên $p_{01}$ xuất hiện tại bán kính lớp trong cùng $R = 0.3822591759\lambda_0$. Giá trị này ứng với bề dày quang học của lớp trong cùng lớn hơn $\lambda_0/2$. Vị trí của đỉnh cộng hưởng này gần như trùng khớp hoàn toàn với vị trí phân kỳ của hệ phản xạ toàn phần (PRW), cho phép dùng hệ PRW để định vị mode cộng hưởng của hệ Bragg.

3. Sự định hướng của moment lưỡng cực nguyên tử quyết định những mode sóng nào đóng góp vào hàm Green tán xạ trong hệ trụ? Theo các biểu thức giải tích từ (2.21) đến (2.23) trong luận án:

• Khi moment lưỡng cực của nguyên tử định hướng dọc theo trục đối xứng $z$, chỉ duy nhất các mode sóng từ ngang TM đóng góp vào hàm Green tán xạ.
• Khi moment lưỡng cực định hướng theo phương bán kính $\rho$ hoặc phương góc $\phi$, cả hai loại mode sóng điện ngang TE và từ ngang TM đều đồng thời tham gia đóng góp.

4. Tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử bên trong hệ trụ có thể tăng cường tối đa bao nhiêu lần so với không gian tự do? Trong cấu hình hai nguyên tử mức cơ bản đặt đối diện nhau trên cùng một đường kính gần biên của hệ trụ hai lớp, kết quả tính toán tại Chương 3 chỉ ra rằng thế tương tác và độ lớn của lực van der Waals có thể được tăng cường vượt bậc lên đến bốn bậc độ lớn ($10^4$ lần) so với tương tác giữa hai nguyên tử tương tự trong không gian tự do.

5. Cơ chế nào cho phép tạo bẫy nguyên tử ba chiều tại đầu mút của khối trụ hữu hạn? Tại Chương 4, việc khảo sát thế Casimir-Polder chuẩn hóa của nguyên tử đặt trên trục đối xứng $z$ ở vùng không gian bên ngoài gần sát đầu mút khối trụ hữu hạn ($H/\lambda_A = 10, R/\lambda_A = 1$) cho thấy năng lượng tương tác tạo thành một cực tiểu thế năng theo cả ba chiều không gian ($x_A, y_A, z_A$). Giếng thế năng cục bộ này xuất hiện do sự gián đoạn hình học tại mép biên khối trụ, tạo ra lực hút/đẩy cân bằng có khả năng giam giữ nguyên tử.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Nguyễn Dũng Chỉnh đã nghiên cứu toàn diện tương tác tán sắc (Casimir-Polder và van der Waals) cùng tốc độ rã tự phát của nguyên tử gần các cấu trúc trụ vĩ mô bằng phương pháp hàm tensor Green trong điện động lực học lượng tử ba chiều. Công trình đã làm sáng tỏ cấu trúc mode cộng hưởng và vùng cấm quang học trong hệ trụ phản xạ Bragg đa lớp, chứng minh khả năng tăng cường tương tác van der Waals lên đến bốn bậc độ lớn trong cấu hình nguyên tử đối diện gần biên, đồng thời phát hiện cấu trúc giếng thế Casimir-Polder ba chiều tại đầu mút khối trụ hữu hạn bằng gần đúng Born. Các kết quả giải tích và giải số của luận án cung cấp cơ sở vật lý chuẩn xác cho việc kiểm soát tương tác nguyên tử - trường điện từ, định hướng ứng dụng trong chế tạo nguồn phát đơn photon và bẫy nguyên tử quang học.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu 1 Lý thuyết tổng quan 1.1 Mô tả định tính tương tác tan sắc.2 Lượng tử hóa trường điện td). eeee 12 13 Tốc độ rã tựphất.4 Tương tác Casimir-Polder .5 Tương tac van der Waals. ee 24 2 Nguyên tử kích thích bên trong hệ tru dài vô han 31 2.1 Công thức cho tương tác Casimir-Polder và tốc độ rã tự phát .2 Hàm Green tấn xạ .1 Tốc doratu phat.2 Tương tác Casimir-Polder .3 Hằng số điện môi thựctẾ. ee 43 3 Tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử ở mức cơ bản bên trong hệ tru dài võ han 3.1 Hàm Green cho tần số a0.2 Kỹ thuật giải số hàm Green tán xa tần số ảo.1 Tương tác van der Waals giữa hai nguyên tử gần biên.2 Ảnh hưởng của vật liệu thực và tường phản xạ Bragg.

Q Q Q Q Q Q Q Q v v v va 4 Tương tác Casimir-Polder của nguyên tử gần một đầu của hệ trụ dai hữu han 4.1 Khai triển Born.2 Khai triển Born cho tốc độ rã tự phát va tương tác Casimir-Polder 4.1 Nguyên tử bên ngoài khối trụ.2 Nguyên tử bên trong khối trụ. 43 Két qua LH Hi.2 Tương tác Casimir-Polder lên một nguyên tử kích thich.3 Tương tác Casimir-Polder lên một nguyên tử ở mức cơ ban. cvee Kết luận và hướng phát triển 72 Danh mục các công trình đã công bố 74 Tài liệu tham khảo 75 1V Danh mục các kí hiệu r4 Gradient Gradient tác động bên trái Tích vô hướng x Tích hữu hướng &®@ Tích tensor * Liên hợp phức † hoặc H. Hermitian cojugate Re Phan thuc Im Phần ảo Thanh phan song song |_—= Thanh phần vuông góc Ổ;; Delta-Kronecker (x) Ham delta Dirac ỗ Delta tensor T Tensor đơn vi ' Toán tử Đạo hàm theo thời gian Ej Ki hiéu Levi-Civita Danh mục các chữ viết tắt vdW van der Waals CP Casimir-Polder PRW Perfectly Reflecting Wall - tường phản xa toàn phần hoặc tường phan xạ lý tưởng TE Tranverse Electric - Điện trường ngang TM Tranverse Magnetic - Tw trường ngang vl Danh mục các hình vẽ, đồ thị Hình 1.1 Lực hút Casimir giữa hai tấm phẳng kim loại.2 Lực hút van der Waals giữa hai hạt trung hòa điện với nhiễu loạn mật độ điện tích và lưỡng cực điện tức thời.1 Mặt cắt của hệ trụ N lớp với nguyên tử ở lớp trong cùng được biểu diễn bởi mũi tên hai đầu.

Hình 22 Tốc độ rã tự phát, chuẩn hóa với đại lượng trong chân không, của nguyên tử có moment lưỡng cực định hướng theo phương z được vẽ phụ thuộc vào tần số nguyên tử. Nguyên tử được đặt trên trục z. Các hằng số điện môi của các lớp là ea;+¡ = £ụ = 1, €2; = En, ở đó j =0,1,. Các đường khác nhau là (a) thay đổi số lớp N và (b) thay đổi giá trị hằng số điện môi en.3 Tóc độ rã tự phát được khảo sát theo bán kính của lớp trong cùng R= RA_i (N = lỗ, ey = 1, en = 9, wa = wo).

Nguyên tử ở trên trục, có moment lưỡng cực điện định hướng (a) doc theo trục z và (b) vuông góc với trục z. Trong các hình nhỏ, các đường cho cấu trúc tru Bragg (nét liền) và cho hệ phan xạ toàn phần (nét đứt) được phóng đại cho các giá trị nhỏ ctaT/Tp.4 Tốc độ rã tự phát của nguyên tử định hướng theo phương z phụ thuộc vào vị trí nguyên tử được vẽ theo các giá trị khác nhau của ew (e, = 1, N=15) cho các trường hợp (a) mode cộng hưởng po; và (b) mode po2 trong hình 2. Q Q Q Q HQ ko Hình 2.5 Thế CP được vẽ phụ thuộc vào vi trí nguyên tử được định hướng theo phương z với các giá trị khác nhau của ey (e„, = 1, N = 15). Hình (a) và (b) tương ứng với các mode po) va poz trong hình 2.

41 Hình 26 Tốc độ rã tự phát được vẽ phụ thuộc vào bước sóng chuyển mức nguyên tử. Đường nét liền cho hằng số điện môi ey = £s¡ = 12.25 và EL = €si0, = 2.25, đường nét chấm gach cho hằng số điện môi phụ thuộc tần số ey = €g; được cho bởi phương trình (2.38) và ce, = £s¡io, 6 các phương trình (2. Các thông số khác như hình 2.1 Hai nguyên tử ở trong (a) hệ trụ hai lớp và (b) hệ trụ nhiều lớp.2 Thế tương tác vdW (bên trái) và độ lớn của luc tán sắc (bên phải) giữa hai nguyên tử (Q/c = 2z/780nm), được đặt đối diện trên cùng một đường kính bên trong hệ trụ hai lớp, được vẽ phụ thuộc vào bán kính khối trụ. Các đường khác nhau cho các khoảng cách nguyên tử-bề mặt A khác nhau.

Tường của hệ trụ là phan xạ toàn phần trong hình (a) và (d), vàng trong hình (b) và (e), silicon trong hình (c) và (f). Các moment lưỡng cực nguyên tử được định hướng theo phươngz.3 Thế tương tác vdW được vẽ phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai nguyên tử (Q/c = 2z/780nm) ở trên trục của khối trụ hai lớp (e¡ = €, es = 1, đường nét chấm) và khối trụ phan xạ Bragg (N = 9, ey = €, €y = 1, đường nét liền). Hai trường hợp được so sánh theo cặp cho e = 9 và e = 25. Sự định hướng của moment lưỡng cực nguyên tử là (a) vuông góc và (b) song song với trục.

Để so sánh, trường hợp hệ trụ phan xa lý tưởng (e¡ + —œ) được vẽ bởi đường gach chấm. Tất cả các khối trụ ở đây có bán kính y_¡ =0.4 Thế tương tác vdW được vẽ phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai nguyên tử (Q/c = 2z/780nm) ở trên trục của hệ trụ có bán kính trong cùng „_¡ = 0. Bề rộng vạch (linewidth) sau đó được tăng lên để xem xét ảnh hưởng của sự hấp thụ của vật liệu. Trong hình (b), hệ trụ có tường phan xa Bragg (N = 9), tường là silicon (En = £s¿, eo = 11.87, e„ = 1, đường nét gạch).

eo được tăng lên giá trị 16 (đường nét chấm) và 25 (đường gạch chấm). Dé so sánh, đường kết quả cho tường phản xạ lý tưởng là đường nét liền. moment lưỡng cực nguyên tử có hướng vuông góc với trục.1 Tốc độ rã tự phát chuẩn hóa với đại lượng trong chân không được vẽ phụ thuộc vào vị trí nguyên tử. Khối trụ có bán kính R/A, = 1, chiều dai H/A, = 10, và hằng số điện môi e(wa) = 1.

Các vị trí bên trái (phải) của øA/^Àa = 1 là các vị trí nguyên tử bên trong (ngoài) của khối trụ. Nguyên tử ở z4/Aq = 4.96, tức là rất gần một đầu của khối trụ. Các đường được ngắt cách biên 0. Kết quả cho khối trụ dài vô hạn có cùng bán kính và hằng số điện môi được vẽ để so sánh (đường nét ditt) 2.

ee vill Hình 4.2 Thế CP U = U8ze/(uoj3đ3) tác dụng lên một nguyên tử kích thích được vẽ phụ thuộc vào vị trí nguyên tử. Các vị trí bên trái (phải) của øA/^ÀaA = 1 là bên trong (bên ngoài) của khối trụ. Nguyên tử ở rất gần một đầu của khối trụ, zA/Àa = 4. Các kết qua cho khối trụ có chiều dài vô hạn cùng bán kính và hệ số điện môi được vẽ để so sánh (đường nét đứt) Các hình nhỏ khuếch đại thế CP bên trong khối trụ hữu hạn.

Các thông số khác như hình 4. 67 Hình 43 Thé CP U = U8re/(pipw di) tác dụng lên một nguyên tử kích thích được vẽ phụ thuộc vào vị trí nguyên tử trên trục z. Nguyên tử ở trên trục, trong vùng gần một đầu của khối trụ, dau của khối trụ có tọa độ (H/AÀA)/2 = 5. Các đường chấm và đường nét đứt vẽ cho lưỡng cực định hướng vuông góc (phương z) và song song (p và ¿) với bề mặt.

Các đường nét liền biểu diễn kết quả trung bình, cho định hướng bất kì của moment lưỡng cực. Các thông số khác như hình 4.4 Thế CP U = U8re/(jipwdi) 6 trên một đầu của khối trụ hữu han (a) được vẽ phụ thuộc vào các tọa độ theo phương bán kính và z và (b) phụ thuộc vào các tọa độ ra và ya cho moment lưỡng cực theo phương y. Các thông số khác như hình 4.- 69 Hình 45 Thế CP U = U§zc/(nus¿Ä4đ3) tác dụng lên một nguyên tử ở mức cơ bản được vẽ phụ thuộc vào vị trí nguyên tử. Nguyên tử ở trên trục của khối trụ, trong vùng gần một đầu của khối trụ, (H/ÀA)/2 = 5.

Các đường chấm và nét đứt biểu diễn cho lưỡng cực theo hướng song song và vuông góc với bề mặt, đường nét liền cho giá trị trung bình. các thông số khác như hình 4. 70 1X Mo dau Tương tác tán sắc là các loại tương tác giữa các vật thể trung hòa điện thông qua trường điện từ trong trạng thái chân không [1]. Các vật thể này có thể là vi mô như nguyên tử hoặc phân tử, có thể là vĩ mô như các tấm, khối có dạng hình học khác nhau được mô tả qua hằng số điện môi phụ thuộc không gian và tần số.

Trong trường hợp các vật thể nằm ở trạng thái cơ bản, là các trường hợp được xem xét sớm nhất, tương tác tán sắc bao gồm sự đóng góp gần như tương đương từ mọi tần số. Ta thường chia tương tác tán sắc thành ba loại: Tương tác van der Waals (vdW) là tương tác giữa các nguyên tử, tương tác Casimir-Polder (CP) là tương tác giữa nguyên tử và vật thể vĩ mô và tương tác Casimir là tương tác giữa các vật thể vĩ mô [1]. Lực vdW gây ra do các nhiễu loạn lượng tử của phân bồ điện tử quanh hạt nhân tạo thành các lưỡng cực điện tức thời, còn lực Casimir thường được giải thích qua các nhiễu loạn lượng tử của trường điện từ chân không phát sinh các photon ảo [1]. Trường hợp trung gian — tương tác CP - có thể giải thích như giải thích tương tác vdW, với hạt thứ hai là ảnh của hạt thứ nhất bên trong vật thể vĩ mô.

Các tương tác tán sắc là các tương tác yêu nhất trong tương tác điện từ [1]. Tuy nhiên, nó có mặt khắp nơi và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học, bao gồm vật lý phân tử, vật lý bề mặt, khoa học kết dính, sinh học và thiên văn học. Vi dụ các lực vdW đóng góp vào sự liên kết của các nguyên tử để hình thành phân tử, tương tác giữa hai nguyên tử ở khoảng cách r có thể được mô tả bởi thế Lennard-Jones [1] gồm thành phan hút tỉ lệ với r~® và thành phần day tỉ lệ với r~!?. Lực hút CP là cơ chế cơ bản cho sự hấp phụ của các nguyên tử hoặc phân tử với các bề mặt [2].