Chương 1. Kiến thúc chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở về giải tích hàm, không gian Sobolev, các định lý, bất đẳng thức cơ bản và nhắc lại lí thuyết tập hút toàn cục, số chiều fractal của tập hút, để phục vụ cho chứng minh ở các chương sau. Sự tồn tại uà dưy nhất nghiệm tuếu của hệ g-Bénard.
Chương này sử dụng phương pháp compact của J. Lions chúng tôi chứng minh bài toán biên ban đầu tồn tại duy nhất nghiệm yếu. Sự tồn tại uà số chiều fractal của tập hút toàn cục. Chương này chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi bài toán với hệ g-Bénard.
11 CHUONG 1 KIEN THUC CHUAN BI 1.1 Một số khái niệm và không gian hàm cơ bản Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả liên quan đến không gian Sobolev, lí thuyết về tập hút toàn cục cũng như số chiều fractal của tập hút toàn cục cũng được nhắc lại ở cuối chương. Nội dung của chương này được chúng tôi tham khảo trong [21] [25].1 Đạo hàm yếu Định nghĩa 1. Giả sử u,ò € Lj„(O) và một đa chỉ số œ. Ta nói rằng là đạo hàm suy rộng cấp œ của nếu f uD% pdx = (—U)!° ƒ u¿dz+ đúng với mọi hàm thử Q Q p € CH (MQ).,An); lal = a1 tag +.
- Ham u(x) c6 dao ham thông thường liên tục cấp œ thì nó cũng có đạo hàm yếu cấp a. - Mét ham u(x) có đạo hàm yếu có thể không có đạo hàm theo nghĩa thông thường. - Nếu hàm có đạo hàm yếu cấp œ nhưng chưa chắc đã có đạo hàm cấp bé hơn hoặc bằng a. - Ham u(x) c6 đạo hàm yếu cấp a thi dao ham đó là duy nhất.
- Một hàm có đạo hàm yếu cấp œ trong miền © thì nó cũng có đạo hàm yếu cấp œ trong miền QC ©. Tuy 12 nhiên, hàm này không có đạo hàm thường tại z = 0.2 Không gian Sobolev Cố định 1 < p < œ và cho k là một số nguyên không âm. Bây giờ chúng ta định nghĩa các không gian hàm mà thành phần của nó có đạo hàm yếu nằm trong không gian 1. Không gian Sobolev we (Q) 1A khong gian bao gồm tất cả những hàm khả tổng địa phương wu: U > IR sao cho với mỗi đa chỉ số œ, œ < k dao ham yếu D*u tồn tại và thuộc /# (9).
ta định nghĩa chuẩn của nó là D ( = flora) , 1lsps+o, Ill wea) = ja|<kQ >> ess sup |D°ul, p=cœ.) la khong gian Hilbert, va H°(Q) = L? (Q). a) Cho {tm}>_), u € Wy (Q). Ta noi rang um hoi tu dén u =0. b) Ta nói Um — u trong Wh toc (Q) Um —> u trong wy (0) véi OCC Q.
Bao đóng của Cf°(Q) trong Ws (Q) dude kí hiệu là WE(Q), Ham we WE(Q) nếu và chỉ nếu tồn tại các hàm ư„„ € Cp°(Q) sao cho un — u trong W2 (Q). Ta coi u € WA(Q) nhu 1a tap hgp nhitng ham Ws (Q) sao cho D°u = 0 trên 09, Vial <k-1. - Ký hiệu Hệ (9) Định lý 1. Không gian H}!(Q), Hệ (Q) là không gian khả lụ.
- Do L? (Q) la khong gian phan xa nén HÌ (Q) cũng là không gian phản zạ. va 1 < p< +00, khong gian Sobolev wi (Q) la một không gian Banach.3 Các không gian hàm phụ thuộc vào thời gian Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || - ||. Không gian (0,7; X), 1 < p < +œ, gồm tất cả các hàm đo được ó : [0,7] + X với chuẩn ; Up. O<t<T Khi đó L?(0,T; X) 1& mot khong gian Banach, va no lA phan xa néu 1 < p < +00.
Không gian liên hợp cia L?(0,T; X) la L4(0,T; X’) voi 1/p+ 1/q = 1. Khong gian C([0, T]; X) gdm tat ca cdc ham lién tục ở : |0, 7] — X với chuẩn llleqozix := 2x |lo(Đ)|< Khi đó C({0,7]; X) là một không gian Banach.2 Một số bất đẳng thức và định lý cơ bản 1.1 Một số bất đẳng thức thường dùng Dưới đây chúng tôi nhắc lại một số bất đẳng thức sơ cấp nhưng rất quan trọng và thường xuyên được sử dụng: 14 Bất đẳng thức Cauchy với ‹: 3 b 4b < ca” + T—, (c> 0). 2 a2 1 1 Bât đăng thức Young: Cho 1 < p,q < œ, - +— = 1. P qd Bat đẳng thức Young với ‹: ab < ea? + C(e)b', (œ,b,e> 0), với C(c) = (ep)-1q~1, 2.
1 1 Z Bat dang thitc Holder : Gia thict 1 < p,q < o, —-+— = 1. Khi do néu we LQ), v € L4(Q) thì ta có: 3 2 | juvlde < Julleoopllollencay Q Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) 1A mot hàm liên tục tuyệt đối trên [0:7] và thỏa mãn d ` Z a < g(t)e+h(t), voi hau khap ¢, trong do g(t) va A(t) 1a céc ham kha tich trén [0; 7]. Khi do t a(t) < z(0)e#0 +f cŒ)~€)h(s)ds, 0 với 0<#< 7T, ở đó Nói riêng, nếu a và b là các hằng số và Wr ae tb —— ax dự — , thi 15 e Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho £(/) là một hàm khả tích, không âm trên [0, 7] và thỏa mãn với hầu khắp £ bất đẳng thức tích phân t &(t) < a | €(s)ds + Co, 0 vdi C1, Cy 1A cdc hang s6 khong am. Khi dé E(t) < Co(1 + Cite"), với hầu khắp t,0<t<T.
e Bất đẳng thức Poincaré. Giả sử Q = {ze BR: a, <aj<b;,i=I1,n}.2 Một số định nghĩa và định lý Định nghĩa 1. Ta nói rằng không gian Banach ⁄ được nhúng liên tục vào không gian Banach #' nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục từ # vào F. Giá sứ © là miền bị chặn trong R” va 1 <p <n.
Khi đó không 0 Tà; gian W, (Q) duoc nhting én tuc vao khong gian Le (9). Hơn nữa, uới mọi hàm 0 u € W2 (Q) ta có bắt đẳng thúc lu; 2; vo) < C|\Vull,»¿). Ở = C (n,p) - hang số chỉ phụ thuộc 0uào n 0ầ p. Một không gian Banach # được nhúng compact vào không gian Banach #' (kí hiệu: ⁄ œ Ƒ') nếu tồn tại toán tử tuyến tính đơn trị từ # vào Ƒ, biến một tập bị chặn trong # thành một tập tién compact trong F.
Giá sử © là miền bị chặn trong R". Khi do khong gian we (Q) nhúng compact 0ào a) không gian L4(Q) nếu q < np/ (n — p),p<n; Ùb) không gian C (Q) néup>n. ([16| Chuong 1]) Cho Xo,X va X, la ba khong gian Banach uới Xu 0à Xị là không gian phản xa. Gia sti Xo nhting compact trong 16 X 0à X nhúng liên tục trong ẤX\ị.
Với Ì < p,q < +oo, ta đặt: W = {ue L?(0,T; Xo) |Qu € L*(0,T; X))}. Khi d6 W nhting compact trong L?(0,T; X). Ta nhắc lại một điều kiện đủ cho sự hội tụ yếu trong L? (9). Giá sử OQ là một miền bị chặn trong R” xR, va mot day {gn} cho trudc, In € L1(Q),1 <q < co.
Gia st ring Il gull zac) < C, vdi C là hằng số dương, In > 9 (n> 0) hau khap noi trong ©Q va g € L4(Q). Cho X là không gian Banach thực. Ta nói dãy {ug}, C X hội tụ yếu đến ¡ nếu (u*,uy) —> (u”,u) với mọi phiếm hàm tuyến tính bị chặn u* € X”. Một dãy {ƒ„} trong X* gọi là hội tụ + - yếu tới ƒ€ X” nếu với mọi w € X ta có (u, ƒạ — ƒ) — 0 khi ø — œ.
Do với không gian phản xạ X ta có X = (X*)* nên sự hội tụ * - yếu trùng với sự hội tụ yếu. Sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm trong không gian Banach Trong mục này, để thuận tiện cho việc theo đõi các chương sau, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về lí thuyết tập hút toàn cục của nửa nhóm trong không gian Banach. Khái niệm tập hút toàn cục được đề xuất đầu tiên bởi J.1 Định nghĩa tập hút toàn cục Giả sử X là một không gian Banach Định nghĩa 1. Một nửa nhóm (liên tục) trên X là một họ các ánh xạ S() : X > X,t>0, thoa man (i) S(0) =I, I 1a phép dong nhất, 17 (it) S(t)S(s) = S(s)S(t) = S(t +s), (iii) S(t)uo lién tue déi véi (t, uo) € [0;-+00) x X.
Gia stt {S(¢) }is0 14 na nhom liên tục trên X. Ta nói {5(f)};>o là liên tục đều theo # nếu với bất kỳ e > 0 và mọi tập bị chặn Ö trong X, tồn tại ổ >0 thỏa mãn ||S(£)z— z||x <e với mọi œ€ Ö,0<£< ô. Giả sử B C_X, tập œ-giới hạn của tập Ö là tập bao gồm tất cả các điểm tới hạn của quỹ đạo của Ö, w(B) = {w: dtr > 00, wn € B théa man S(tr)wn > wh. Tập œ-giới hạn của tập Ö có thể mô tả như sau w(B) =(\JS(s)B.
t>0 s>t Một tập 8 C X được gọi là tập hấp thụ đối với nửa nhóm {$(t)}i>0 néu B hat tất các các tập bị chặn của X, tức là, với mọi B C X 1A tap bị chặn, tồn tại thời gian 7 = 7(Đ) > 0 thỏa mãn S(t)B C B véi moi t > T. Một tập con khác rỗng .4 của X gọi là một tập hút toàn cục đối với nửa nhóm {S(#)},>o nếu: 1. 44 là một tập đóng và bị chặn; 2. 4 là bất biến, tức là 5(/).
A hit moi tập con bị chặn Ö của X, tức là im dist(S(t)B,A) =0, ở đó dist(E, F) = sup, ¢ infyer ||" —y||x 1a ntta khoảng cach Hausdorff gitta hai tập con # và của X. Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định nghĩa. Giả sử {S(f)}¿>o có tập hút toàn cục. Nếu B là một tập con bị chặn bắt biến của X thì B C.
Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì AC B (tính cực tiểu); 3.A là duy nhất.2 Cấu trúc của tập hút toàn cục Các kết quả sau đây trình bày cấu trúc của tập hút toàn cục. Gid sử núa nhớm {S(Đ)}¿>ọ có tập hút toàn cục. Khi đó mợi quỹ dao day di. bi chăn (nói riêng là các điểm đừng uà các quỹ dạo tuần hoàn, nếu có) đều nằm trên.
Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên .A là hợp của tất cả các quỹ đạo đầu đủ bị chặn. Giá sử nửa nhóm {S(f)}:>o có tập hút toàn cục A. Cho trước một qug dao u(t) = S(t)uo, mét sai sd € > 0 à một khoảng thời gian T > 0. Kh¿ đó ton tai mot thoi diém rt = T(e,T) va mét diém vp € A sao cho \|u(7 + t) — S(t)vol| < € vdi moi 0 <t<T.