Luận văn thạc sĩ: Nghiên cứu hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu nghiên cứu xây dựng hệ mật pohlig hellman trên vành đa thức, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực kỹ

• Tác giả: Lê Hoàng Phong
• Người hướng dẫn: TS. Ngô Đức Thiện
• Trường học: Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
• Chuyên ngành: Kỹ thuật Viễn thông
• Đề tài: Nghiên Cứu Hệ Mật Pohlig-Hellman Trên Vành Đa Thức
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Hà Nội

Mục lục chi tiết

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ MẬT MÃ HỌC
• 1.1. LỊCH SỬ RA ĐỜI CỦA MẬT MÃ
• 1.2. CẤU TRÚC TỰA ĐẲNG CẤU CỦA VÀNH ĐA THỨC CÓ HAI LỚP KỀ CYCLIC VỚI TRƯỜNG SỐ
• 1.3. BÀI TOÁN LOGARIT RỜI RẠC TRÊN TRƯỜNG SỐ
• 1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
• 2. CHƯƠNG 2: HỆ MẬT POHLIG-HELLMAN TRÊN VÀNH ĐA THỨC
• 2.1. MÔ TẢ HỆ MẬT
• 2.2. THUẬT TOÁN TÍNH LŨY THỪA ĐA THỨC THEO MODULO
• 2.3. MỘT SỐ ĐÁNH GIÁ VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG CỦA HỆ MẬT
• 2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
• 3. CHƯƠNG 3: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Tổng quan về hệ mật mã

Hệ mật mã là một lĩnh vực quan trọng trong bảo mật thông tin, với hai loại chính là hệ mật mã khóa bí mật và hệ mật mã khóa công khai. Hệ mật mã khóa bí mật sử dụng một khóa duy nhất cho cả mã hóa và giải mã, trong khi hệ mật mã khóa công khai sử dụng một cặp khóa, bao gồm khóa công khai và khóa bí mật. Mật mã khóa công khai đã khắc phục nhiều nhược điểm của hệ mật mã khóa bí mật, đặc biệt trong việc phân phối và quản lý khóa. Đặc biệt, bài toán logarit rời rạc là một trong những bài toán khó mà nhiều hệ mật mã hiện đại dựa vào, bao gồm cả hệ mật Pohlig-Hellman.

1.1 Lịch sử phát triển của mật mã

Mật mã học có một lịch sử lâu dài, bắt đầu từ những phương pháp cổ điển cho đến các hệ thống hiện đại. Sự phát triển của mật mã khóa công khai vào những năm 1970 đã mở ra một kỷ nguyên mới cho bảo mật thông tin. Các hệ mật mã như RSA và ElGamal đã được phát triển dựa trên các bài toán khó như logarit rời rạc và phân tích thừa số. Những hệ mật này không chỉ cung cấp bảo mật cho thông tin mà còn cho phép thực hiện các dịch vụ như xác thực và chữ ký số.

1.2 Các yêu cầu với hệ mật mã hiện đại

Các hệ mật mã hiện đại cần đáp ứng nhiều yêu cầu như bảo mật thông tin, toàn vẹn dữ liệu, xác thực và không thể chối bỏ. Để đạt được những yêu cầu này, các hệ mật mã phải sử dụng các thuật toán mạnh mẽ và các phương pháp bảo vệ thông tin hiệu quả. Hệ mật Pohlig-Hellman là một ví dụ điển hình cho việc áp dụng bài toán logarit rời rạc trong việc xây dựng hệ mật mã an toàn và hiệu quả.

II. Cấu trúc vành đa thức

Vành đa thức là một cấu trúc toán học quan trọng trong lý thuyết số và mật mã học. Cấu trúc này cho phép thực hiện các phép toán như cộng và nhân trên các đa thức, từ đó tạo ra các hệ mật mã mạnh mẽ. Hệ mật Pohlig-Hellman có thể được xây dựng trên vành đa thức, tận dụng độ khó của bài toán logarit rời rạc. Việc nghiên cứu cấu trúc vành đa thức giúp hiểu rõ hơn về các tính chất của các hệ mật mã và khả năng ứng dụng của chúng trong thực tế.

2.1 Các tính chất của vành đa thức

Vành đa thức có nhiều tính chất quan trọng, bao gồm tính giao hoán và tính kết hợp. Những tính chất này cho phép thực hiện các phép toán phức tạp một cách hiệu quả. Trong bối cảnh mật mã, các tính chất này được sử dụng để xây dựng các thuật toán mã hóa và giải mã an toàn. Hệ mật Pohlig-Hellman tận dụng các tính chất này để đảm bảo tính bảo mật và hiệu quả trong việc xử lý thông tin.

2.2 Ứng dụng của vành đa thức trong mật mã

Vành đa thức không chỉ được sử dụng trong lý thuyết số mà còn có nhiều ứng dụng trong mật mã học. Các hệ mật mã như Pohlig-Hellman sử dụng vành đa thức để thực hiện các phép toán mã hóa phức tạp. Việc áp dụng vành đa thức giúp tăng cường tính bảo mật và khả năng chống lại các cuộc tấn công. Nghiên cứu về vành đa thức mở ra nhiều hướng đi mới trong việc phát triển các hệ mật mã hiện đại.

III. Hệ mật Pohlig Hellman trên vành đa thức

Hệ mật Pohlig-Hellman là một trong những hệ mật mã nổi bật dựa trên bài toán logarit rời rạc. Hệ mật này có khả năng mã hóa và giải mã thông tin một cách an toàn, nhờ vào việc sử dụng các đa thức trong vành đa thức. Việc nghiên cứu và phát triển hệ mật này không chỉ giúp nâng cao tính bảo mật mà còn mở rộng khả năng ứng dụng trong các lĩnh vực như thương mại điện tử và bảo mật thông tin.

3.1 Mô tả hệ mật Pohlig Hellman

Hệ mật Pohlig-Hellman hoạt động dựa trên nguyên lý sử dụng bài toán logarit rời rạc để mã hóa thông tin. Hệ mật này cho phép người dùng thực hiện các phép toán mã hóa và giải mã một cách hiệu quả. Đặc biệt, việc sử dụng vành đa thức trong hệ mật này giúp tăng cường tính bảo mật và khả năng chống lại các cuộc tấn công. Hệ mật Pohlig-Hellman đã chứng minh được tính hiệu quả và an toàn trong nhiều ứng dụng thực tế.

3.2 Đánh giá và khả năng ứng dụng

Hệ mật Pohlig-Hellman có nhiều ưu điểm, bao gồm tính bảo mật cao và khả năng xử lý thông tin nhanh chóng. Tuy nhiên, cũng cần lưu ý đến một số nhược điểm như độ phức tạp trong việc triển khai và yêu cầu về tài nguyên tính toán. Việc nghiên cứu và phát triển hệ mật này sẽ góp phần vào việc nâng cao an ninh thông tin trong các ứng dụng hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực thương mại điện tử và bảo mật dữ liệu.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Mật mã học là ngành khoa học có lịch sử phát triển lâu đời, bắt nguồn từ hơn 4000 năm trước và đã trải qua nhiều giai đoạn phát triển quan trọng. Trong bối cảnh hiện đại, mật mã đóng vai trò thiết yếu trong bảo vệ thông tin số, đặc biệt trong các hệ thống viễn thông và thương mại điện tử. Theo ước tính, các hệ mật mã khóa công khai đã trở thành nền tảng cho các dịch vụ bảo mật như xác thực, chữ ký số và trao đổi khóa an toàn. Tuy nhiên, các thuật toán mật mã hiện nay vẫn đối mặt với thách thức về hiệu suất và độ an toàn khi áp dụng trên các cấu trúc đại số phức tạp.

Luận văn tập trung nghiên cứu xây dựng hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức, một cấu trúc đại số có tính chất tựa đẳng cấu với trường số hữu hạn, nhằm tận dụng độ khó của bài toán logarit rời rạc trong môi trường vành đa thức để nâng cao tính bảo mật. Mục tiêu cụ thể là phát triển thuật toán tính lũy thừa đa thức theo modulo, xây dựng hệ mật khóa bí mật dựa trên bài toán logarit rời rạc trên vành đa thức có hai lớp kề cyclic, đồng thời đánh giá khả năng áp dụng của hệ mật này trong thực tế.

Phạm vi nghiên cứu tập trung vào vành đa thức 𝑍₂[𝑥]/(𝑥ⁿ + 1) với các giá trị 𝑛 thỏa mãn điều kiện để cấu trúc này có hai lớp kề cyclic, tương ứng với các số nguyên tố đặc biệt 𝑝 = 2ⁿ − 1. Nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong việc mở rộng ứng dụng mật mã khóa công khai, góp phần phát triển các hệ mật mã mới có hiệu suất và độ an toàn cao hơn, phù hợp với yêu cầu ngày càng tăng của các hệ thống viễn thông và bảo mật thông tin hiện đại.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình sau:

• Lý thuyết vành đa thức và trường số hữu hạn: Nghiên cứu cấu trúc vành đa thức 𝑍₂[𝑥]/(𝑥ⁿ + 1) với điều kiện phân tích đa thức 𝑥ⁿ + 1 thành tích các đa thức bất khả quy, tạo thành vành đa thức có hai lớp kề cyclic. Cấu trúc này được chứng minh tựa đẳng cấu với trường số hữu hạn 𝐺𝐹(𝑝), trong đó 𝑝 = 2ⁿ − 1 là số nguyên tố.

• Bài toán logarit rời rạc: Đây là bài toán một chiều khó, cơ sở cho nhiều hệ mật khóa công khai. Bài toán yêu cầu tìm 𝑥 sao cho 𝑔ˣ = 𝑦 trong nhóm nhân cyclic 𝑍ₚ*, với 𝑝 là số nguyên tố lớn. Độ khó của bài toán phụ thuộc vào cấu trúc nhóm và các thừa số nguyên tố của 𝑝 − 1.

• Hệ mật Pohlig-Hellman: Là hệ mật dựa trên bài toán logarit rời rạc, sử dụng phân tích thừa số của 𝑝 − 1 để giải bài toán logarit rời rạc hiệu quả trong một số trường hợp. Luận văn mở rộng hệ mật này sang vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tận dụng tính chất tựa đẳng cấu để xây dựng hệ mật mới.

Các khái niệm chính bao gồm: vành đa thức, đa thức bất khả quy, nhóm cyclic, phần tử nguyên thủy, hàm Phi-Euler, bài toán logarit rời rạc, vành đa thức có hai lớp kề cyclic, hệ mật khóa bí mật và khóa công khai.

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp tổng hợp kiến thức từ các lĩnh vực mật mã học, lý thuyết số, đại số trừu tượng và số học modulo, kết hợp với mô phỏng và tính toán trên máy tính để kiểm chứng các thuật toán.

• Nguồn dữ liệu: Tài liệu học thuật, các công trình nghiên cứu về mật mã, lý thuyết vành đa thức, bài toán logarit rời rạc và các hệ mật mã liên quan.

• Phương pháp phân tích: Phân tích cấu trúc đại số của vành đa thức, chứng minh tính chất tựa đẳng cấu với trường số, xây dựng thuật toán tính lũy thừa đa thức theo modulo, phát triển hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức, đánh giá độ phức tạp và tính bảo mật của hệ mật.

• Cỡ mẫu và chọn mẫu: Nghiên cứu tập trung vào các giá trị 𝑛 thỏa mãn điều kiện để vành đa thức có hai lớp kề cyclic, với các số nguyên tố 𝑝 = 2ⁿ − 1 được lựa chọn trong phạm vi từ nhỏ đến lớn (ví dụ: 𝑛 = 5, 11, 19, 29, 37,...). Việc lựa chọn này dựa trên thuật toán kiểm tra phân tích đa thức và tính chất của số nguyên tố.

• Timeline nghiên cứu: Quá trình nghiên cứu kéo dài trong năm 2021, bao gồm giai đoạn tổng quan lý thuyết, phát triển thuật toán, mô phỏng và đánh giá kết quả.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Xác định các giá trị 𝑛 thỏa mãn điều kiện vành đa thức có hai lớp kề cyclic: Qua thuật toán kiểm tra, các giá trị 𝑛 như 5, 11, 19, 29, 37,... được xác định là thỏa mãn điều kiện phân tích đa thức 𝑥ⁿ + 1 thành tích các đa thức bất khả quy, tạo thành vành đa thức có hai lớp kề cyclic. Ví dụ, với 𝑛 = 5, 𝑝 = 31 là số nguyên tố, vành đa thức 𝑍₂[𝑥]/(𝑥⁵ + 1) có cấu trúc tựa đẳng cấu với trường số 𝐺𝐹(31).

2. Phát triển thuật toán tính lũy thừa đa thức theo modulo: Thuật toán được xây dựng dựa trên biểu diễn số mũ và phép nhân đa thức modulo 𝑥ⁿ + 1, cho phép tính toán hiệu quả các lũy thừa đa thức trong vành đa thức. Thời gian xử lý được đánh giá với các bộ tham số khác nhau, cho thấy khả năng áp dụng thực tế.

3. Xây dựng hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức: Hệ mật được thiết kế dựa trên bài toán logarit rời rạc trong vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tận dụng tính chất tựa đẳng cấu với trường số để đảm bảo độ khó tương đương với bài toán logarit rời rạc trên trường số. Điều này giúp nâng cao tính bảo mật so với các hệ mật truyền thống.

4. Đánh giá khả năng áp dụng: Hệ mật mới có ưu điểm về mặt toán học khi sử dụng cấu trúc đại số phức tạp hơn, đồng thời giữ được hiệu quả tính toán tương đương với các hệ mật dựa trên trường số. So sánh với các hệ mật khóa công khai khác như RSA hay ECC, hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức có tiềm năng ứng dụng trong các hệ thống yêu cầu bảo mật cao và hiệu suất tính toán hợp lý.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của các phát hiện trên xuất phát từ việc khai thác cấu trúc đại số đặc biệt của vành đa thức có hai lớp kề cyclic, cho phép ánh xạ một cách hiệu quả sang trường số hữu hạn. Điều này tạo điều kiện thuận lợi để áp dụng bài toán logarit rời rạc vốn đã được nghiên cứu sâu rộng trong mật mã học.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, việc mở rộng hệ mật Pohlig-Hellman sang vành đa thức là một bước tiến mới, góp phần đa dạng hóa các cấu trúc toán học được sử dụng trong mật mã. Kết quả này phù hợp với xu hướng phát triển các hệ mật dựa trên cấu trúc đại số phức tạp nhằm tăng cường độ an toàn và khả năng chống lại các thuật toán giải mã hiện đại.

Dữ liệu có thể được trình bày qua các bảng liệt kê các giá trị 𝑛 thỏa mãn điều kiện, bảng so sánh thời gian xử lý thuật toán tính lũy thừa đa thức với các bộ tham số khác nhau, và biểu đồ minh họa hiệu suất của hệ mật so với các hệ mật truyền thống.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển phần mềm mô phỏng hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức: Tăng cường khả năng kiểm thử và đánh giá hiệu suất thực tế của hệ mật trong các môi trường mạng viễn thông và bảo mật thông tin. Chủ thể thực hiện: các nhóm nghiên cứu mật mã và phát triển phần mềm, thời gian: 6-12 tháng.

2. Nghiên cứu mở rộng ứng dụng hệ mật trong các dịch vụ bảo mật hiện đại: Áp dụng hệ mật vào các dịch vụ như xác thực, chữ ký số, và trao đổi khóa trong các hệ thống thương mại điện tử và viễn thông. Chủ thể thực hiện: các tổ chức nghiên cứu và doanh nghiệp công nghệ, thời gian: 12-18 tháng.

3. Tối ưu hóa thuật toán tính lũy thừa đa thức: Nghiên cứu các phương pháp tối ưu hóa thuật toán để giảm thiểu chi phí tính toán và tăng tốc độ xử lý, phù hợp với các thiết bị có tài nguyên hạn chế. Chủ thể thực hiện: các nhà phát triển thuật toán và kỹ sư phần mềm, thời gian: 6 tháng.

4. Đào tạo và phổ biến kiến thức về hệ mật mới: Tổ chức các khóa đào tạo, hội thảo chuyên sâu về lý thuyết và ứng dụng của hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức nhằm nâng cao nhận thức và năng lực chuyên môn cho cán bộ kỹ thuật và nghiên cứu. Chủ thể thực hiện: các cơ sở đào tạo và viện nghiên cứu, thời gian: liên tục.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Nhà nghiên cứu mật mã học: Luận văn cung cấp kiến thức sâu về cấu trúc đại số và ứng dụng bài toán logarit rời rạc trong hệ mật mới, hỗ trợ phát triển các nghiên cứu tiếp theo về mật mã khóa công khai.

2. Kỹ sư phát triển phần mềm bảo mật: Các kỹ sư có thể áp dụng thuật toán và hệ mật được xây dựng để phát triển các giải pháp bảo mật mới, nâng cao hiệu quả và độ an toàn cho sản phẩm.

3. Giảng viên và sinh viên ngành kỹ thuật viễn thông, an toàn thông tin: Tài liệu là nguồn tham khảo quý giá cho việc giảng dạy và học tập về mật mã học hiện đại, đặc biệt là các cấu trúc đại số ứng dụng trong mật mã.

4. Doanh nghiệp và tổ chức triển khai hệ thống bảo mật: Các tổ chức có nhu cầu nâng cao bảo mật thông tin có thể nghiên cứu áp dụng hệ mật mới để cải thiện an toàn dữ liệu trong các hệ thống viễn thông và thương mại điện tử.

Câu hỏi thường gặp

1. Hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức có ưu điểm gì so với hệ mật truyền thống?
   Hệ mật tận dụng cấu trúc đại số phức tạp của vành đa thức có hai lớp kề cyclic, giúp tăng độ khó của bài toán logarit rời rạc, từ đó nâng cao tính bảo mật mà vẫn giữ hiệu suất tính toán hợp lý.

2. Phương pháp tính lũy thừa đa thức theo modulo được thực hiện như thế nào?
   Thuật toán sử dụng biểu diễn số mũ và phép nhân đa thức modulo 𝑥ⁿ + 1, cho phép tính nhanh các lũy thừa đa thức trong vành đa thức, hỗ trợ hiệu quả cho việc mã hóa và giải mã.

3. Làm thế nào để xác định các giá trị 𝑛 phù hợp cho vành đa thức có hai lớp kề cyclic?
   Sử dụng thuật toán phân tích đa thức 𝑥ⁿ + 1 thành tích các đa thức bất khả quy và kiểm tra điều kiện số nguyên tố 𝑝 = 2ⁿ − 1, các giá trị 𝑛 thỏa mãn được liệt kê và kiểm chứng.

4. Hệ mật này có thể áp dụng trong những lĩnh vực nào?
   Phù hợp với các hệ thống viễn thông, thương mại điện tử, dịch vụ xác thực và chữ ký số, nơi yêu cầu bảo mật cao và hiệu suất xử lý tốt.

5. Có những thách thức nào khi triển khai hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức?
   Thách thức chính là tối ưu hóa thuật toán để phù hợp với các thiết bị có tài nguyên hạn chế và đảm bảo tính ổn định trong môi trường thực tế, đồng thời cần nghiên cứu sâu hơn về khả năng chống lại các phương pháp tấn công mới.

Kết luận

• Luận văn đã nghiên cứu và xác định các giá trị 𝑛 phù hợp để xây dựng vành đa thức có hai lớp kề cyclic, tạo nền tảng cho hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức.
• Thuật toán tính lũy thừa đa thức theo modulo được phát triển hiệu quả, hỗ trợ cho việc mã hóa và giải mã trong hệ mật mới.
• Hệ mật Pohlig-Hellman trên vành đa thức tận dụng độ khó của bài toán logarit rời rạc trong cấu trúc đại số phức tạp, nâng cao tính bảo mật so với các hệ mật truyền thống.
• Kết quả nghiên cứu mở ra hướng phát triển mới cho mật mã khóa công khai, phù hợp với yêu cầu bảo mật ngày càng cao trong viễn thông và thương mại điện tử.
• Đề xuất các bước tiếp theo bao gồm phát triển phần mềm mô phỏng, tối ưu thuật toán, mở rộng ứng dụng và đào tạo chuyên sâu nhằm thúc đẩy ứng dụng thực tiễn của hệ mật.

Các nhà nghiên cứu và kỹ sư bảo mật nên tiếp tục triển khai và thử nghiệm hệ mật này trong các môi trường thực tế để đánh giá toàn diện hiệu quả và tính ứng dụng.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 sẽ giới thiệu tổng quan về lịch sử ra đời và quá trình phát triển của các hệ mật mã. Nghiên cứu một số hệ mật mã, và một số yêu cầu đối với các hệ mật mã hiện đại. LỊCH SỬ RA ĐỜI CỦA MẬT MÃ Mật mã học là một ngành có lịch sử từ hàng nghìn năm nay. Trong phần lớn thời gian phát triển của mình (ngoại trừ vài thập kỷ trở lại đây), lịch sử mật mã học chính là lịch sử của những phương pháp mật mã học cổ điển - các phương pháp mật mã hóa với bút và giấy, đôi khi có hỗ trợ từ những dụng cụ cơ khí đơn giản.

Vào đầu thế kỷ 20, sự xuất hiện của các cơ cấu cơ khí và điện cơ, chẳng hạn như máy Enigma, đã đưa ra những cơ chế phức tạp và hiệu quả hơn cho việc mật mã hóa. Sự ra đời và phát triển mạnh mẽ của ngành điện tử và máy tính trong những thập kỷ gần đây đã tạo điều kiện để mật mã học phát triển nhảy vọt lên một tầm cao mới. Sự phát triển của mật mã học luôn luôn đi kèm với sự phát triển của các kỹ thuật phá mã (hay thám mã). Các phát hiện và ứng dụng của các kỹ thuật phá mã trong một số trường hợp đã có ảnh hưởng đáng kể đến các sự kiện lịch sử.

Một vài sự kiện đáng ghi nhớ bao gồm việc phát hiện ra bức điện Zimmermann khiến Hoa Kỳ tham gia Thế chiến I và việc phá mã thành công hệ thống mật mã của Đức Quốc xã góp phần làm đẩy nhanh thời điểm kết thúc thế chiến II. Cho tới đầu thập kỷ 1970, các kỹ thuật liên quan tới mật mã học hầu như chỉ nằm trong tay các chính phủ. Hai sự kiện đã khiến cho mật mã học trở nên thích hợp cho mọi người, đó là: sự xuất hiện của tiêu chuẩn mật mã hóa DES và sự ra đời của các kỹ thuật mật mã hóa khóa công khai. * Mật mã học cổ điển: Những bằng chứng sớm nhất về sử dụng mật mã học là các chữ tượng hình không tiêu chuẩn tìm thấy trên các bức tượng Ai Cập cổ đại (cách đây khoảng 4500).

Những ký hiệu tỏ ra không phải để phục vụ mục đích truyền thông Luan van 8 tin bí mật mà có vẻ như là nhằm mục đích gợi nên những điều thần bí, trí tò mò hoặc thậm chí để tạo sự thích thú cho người xem. Ngoài ra còn rất nhiều ví dụ khác về những ứng dụng của mật mã học hoặc là những điều tương tự. Mật mã học từ lâu đã được sử dụng trong các tác phẩm tôn giáo để che giấu thông tin với chính quyền hoặc nền văn hóa thống trị. Người Hy Lạp cổ đại cũng được biết đến là đã sử dụng các kỹ thuật mật mã (chẳng hạn như gậy mật mã).

Cũng có những bằng chứng rõ ràng chứng tỏ người La Mã nắm được các kỹ thuật mật mã (mật mã Caesar và các biến thể). Thậm chí đã có những đề cập đến một cuốn sách nói về mật mã trong quân đội La Mã; tuy nhiên cuốn sách này đã thất truyền. Tại Ấn Độ, mật mã học cũng khá nổi tiếng. Trong cuốn sách Kama Sutra, mật mã học được xem là cách những người yêu nhau trao đổi thông tin mà không bị phát hiện.

Mật mã học từ 1800 tới Thế chiến II. Tuy mật mã học có một lịch sử dài và phức tạp, mãi cho đến thế kỷ 19 nó mới được phát triển một cách có hệ thống, không chỉ còn là những tiếp cận nhất thời, vô tổ chức. Trong thời gian trước và tới thời điểm của Thế chiến II, nhiều phương pháp toán học đã hình thành (đáng chú ý là ứng dụng của William F. Friedman dùng kỹ thuật thống kê để phân tích và tổng hợp mật mã, và thành công bước đầu của Marian Rejewski trong việc bẻ gãy mật mã của hệ thống Enigma của Quân đội Đức).

Sau Thế chiến II trở đi, cả hai ngành, mật mã học và phân tích mã, ngày càng sử dụng nhiều các cơ sở toán học. Tuy thế, chỉ đến khi máy tính và các phương tiện truyền thông Internet trở nên phổ biến, người ta mới có thể mang tính hữu dụng của mật mã học vào trong những thói quen sử dụng hằng ngày của mọi người, thay vì chỉ được dùng bởi các chính quyền quốc gia hay các hoạt động kinh doanh lớn trước đó. Mật mã học trong Thế chiến II: Máy Enigma được Phát Xít Đức sử dụng rộng rãi; việc phá vỡ hệ thống này đã mang lại cho quân Đồng Minh những tin tức tình báo cực kỳ quan trọng Luan van 9 Trong thế chiến II, các hệ thống mật mã cơ khí và cơ điện tử được sử dụng rộng rãi mặc dù các hệ thống thủ công vẫn được dùng tại những nơi không đủ điều kiện. Các kỹ thuật phân tích mật mã đã có những đột phá trong thời kỳ này, tất cả đều diễn ra trong bí mật.

Cho đến gần đây, các thông tin này mới dần được tiết lộ do thời kỳ giữ bí mật 50 năm của chính phủ Anh đã kết thúc, các bản lưu của Hoa Kỳ dần được công bố cùng với sự xuất hiện của các bài báo và hồi ký có liên quan. Mật mã học hiện đại: Nhiều người cho rằng kỷ nguyên của mật mã học hiện đại được bắt đầu với Claude Shannon, người được coi là cha đẻ của mật mã toán học. Năm 1949 ông đã công bố bài Lý thuyết về truyền thông trong các hệ thống bảo mật (Communication Theory of Secrecy Systems) trên tập san Bell System Technical Journal - Tập san kỹ thuật của hệ thống Bell - và một thời gian ngắn sau đó, trong cuốn Mathematical Theory of Communication - Lý thuyết toán học trong truyền thông - cùng với tác giả Warren Weaver. Những công trình này, cùng với những công trình nghiên cứu khác của ông về lý thuyết về thông tin và truyền thông (information and communication theory), đã thiết lập một nền tảng lý thuyết cơ bản cho mật mã học và thám mã học.

Với ảnh hưởng đó, mật mã học hầu như bị thâu tóm bởi các cơ quan truyền thông mật của chính phủ, chẳng hạn như NSA, và biến mất khỏi tầm hiểu biết của công chúng. Rất ít các công trình được tiếp tục công bố, cho đến thời kỳ giữa thập niên 1970 mới được thay đổi. Thời kỳ giữa thập niên kỷ 1970 được chứng kiến hai tiến bộ chính lớn (đó là công khai hệ mật DES và hệ mật khóa công khai). Đầu tiên là sự công bố đề xuất Tiêu chuẩn mật mã hóa dữ liệu – DES (Data Encryption Standard) trong "Công báo Liên bang" (Federal Register) ở nước Mỹ vào ngày 17 tháng 3 năm 1975.

Năm 2001, DES đã chính thức được thay thế bởi AES (Advanced Encryption Standard - Tiêu chuẩn mã hóa tiên tiến) khi NIST công bố phiên bản FIPS 197. Sau một cuộc thi tổ chức công khai, NIST đã chọn Rijndael, do hai nhà mật mã người Bỉ đệ trình, và nó trở thành AES. Hiện nay DES và một số biến thể của nó (như DES Luan van 10 bội ba (triple DES)) vẫn còn được sử dụng, do trước đây nó đã được gắn liền với nhiều tiêu chuẩn của quốc gia và của các tổ chức. Với chiều dài khoá chỉ là 56-bit, nó đã được chứng minh là đến thời điểm bây giờ không đủ sức chống lại những tấn công kiểu vét cạn (brute force attack - tấn công dùng bạo lực).

Công khai thứ hai (công bố hệ mật khóa công khai:) vào năm 1976 đã thay đổi nền tảng cơ bản trong cách làm việc của các hệ thống mật mã hóa. Đó chính là công bố của bài viết "Phương hướng mới trong mật mã học" (New Directions in Cryptography) của Whitfield Diffie và Martin Hellman. Bài viết giới thiệu một phương pháp hoàn toàn mới về cách thức phân phối các khóa mật mã. Đây là một bước tiến khá xa trong việc giải quyết một vấn đề cơ bản trong mật mã học, vấn đề phân phối khóa, và nó được gọi là trao đổi khóa Diffie-Hellman (Diffie-Hellman key exchange).

Bài viết còn kích thích sự phát triển gần như tức thời của một lớp các thuật toán mật mã hóa mới, các thuật toán mã hóa khóa bất đối xứng (asymmetric key algorithms) hay còn biết đến là mã hóa khóa công khai. Trước thời kỳ này, hầu hết các thuật toán mật mã hóa hiện đại đều là những thuật toán khóa đối xứng (symmetric key algorithms), trong đó cả người gửi và người nhận phải dùng chung một khóa, (khóa dùng trong thuật toán mật mã) và cả hai người đều phải giữ bí mật về khóa này. Nhược điểm của các thuật toán mã hóa đối xứng là phải có kênh an toàn để truyền khóa, và khi số lượng người tăng thì việc phân phối khóa rất phức tạp. Hệ thống trao đổi khóa Diffie-Hellman (cùng những phiên bản được nâng cấp kế tiếp hay các biến thể của nó) tạo điều kiện cho các hoạt động trao đổi khóa trong các hệ thống trở nên dễ dàng hơn rất nhiều, đồng thời cũng an toàn hơn so với tất cả những gì có thể làm trước đây.

Kể từ thập kỷ 1970, đã có rất nhiều thuật toán mã hóa, tạo chữ ký số, thỏa thuận khóa… được phát triển. Các thuật toán như ElGamal (mật mã do Netscape phát triển) hay DSA do NSA và NIST cũng dựa trên các bài toán logarit rời rạc, hay như RSA. Vào giữa thập kỷ 1980, Neal Koblitz bắt đầu cho một dòng thuật toán mới: mật mã Luan van 11 đường cong elliptic và cũng tạo ra nhiều thuật toán tương tự. Mặc dù cơ sở toán học của dòng thuật toán này phức tạp hơn nhưng lại giúp làm giảm khối lượng tính toán đặc biệt khi khóa có độ dài lớn.

HỆ MẬT KHÓA BÍ MẬT 1. Sơ đồ khối chức năng Hình 1. Sơ đồ khối của hệ mật khóa bí mật Mô hình của hệ mã khóa bí mật như mô tả trong hình 1. Theo sơ đồ này, bên phát và bên thu sẽ sử dụng một khóa để mã hóa và giải mã (vì lý do đó hệ mật này còn được gọi là hệ mật khóa đối xứng).

Khóa này sẽ phải được giữ bí mật cho cả hai bên phát và thu, và do đó khóa từ nguồn tạo khóa (bên phát) sẽ phải truyền qua một kênh an toàn, hoặc bằng cách nào đấy hai bên liên lạc phải thống nhất trước với nhau khóa bí mật này. Một hệ mật mã được định nghĩa bao gồm bộ 5 tham số (P, C, K, E, D), trong đó: + 𝑃 (Plaintext) là tập hữu hạn các bản rõ có thể (không gian bản rõ).