Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Một số định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh phức với mục tiêu di động" được nghiên cứu sinh Nguyễn Văn An thực hiện tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. Sĩ Đức Quang và PGS. Phạm Đức Thoan, thuộc chuyên ngành Hình học và Tôpô (mã số: 9.05 / 9460105), bảo vệ năm 2024.

Tính cấp thiết của đề tài xuất phát từ vị trí trung tâm của Lý thuyết Nevanlinna (Lý thuyết phân bố giá trị) trong Giải tích phức và Hình học phức suốt một thế kỷ qua. Trọng tâm của lý thuyết này xoay quanh hai định lý cốt yếu: Định lí cơ bản thứ nhất và Định lí cơ bản thứ hai. Trong khi Định lí cơ bản thứ nhất biểu diễn hàm đặc trưng bằng tổng của hàm xấp xỉ và hàm đếm (thông qua công thức Jensen), thì Định lí cơ bản thứ hai cung cấp chặn trên của hàm đặc trưng qua tổng các hàm đếm nghịch ảnh của một họ mục tiêu, đóng vai trò công cụ phân tích sự phân bố giá trị, bài toán duy nhất và sự phụ thuộc đại số giữa các ánh xạ.

Khoảng trống nghiên cứu được luận án nhận diện bao gồm ba điểm then chốt:

  1. Đối với hai hàm phân hình trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$, các kết quả mở rộng Định lí bốn điểm của Nevanlinna cho các cặp hàm nhỏ (tiêu biểu là công trình của P. Li và C. C. Yang) đã chỉ ra mối liên hệ tựa Möbius khi hai hàm có chung ảnh ngược của ba cặp hàm nhỏ tính cả bội ($CM^$) và một cặp hàm nhỏ không tính bội ($IM^$). Tuy nhiên, các kết quả này chưa giải quyết được bài toán khi bội đếm được ngắt ở một bậc cụ thể, cũng như chưa xét đến trường hợp bỏ qua các không điểm có bội lớn hơn một mức nhất định.
  2. Đối với ánh xạ phân hình từ không gian phức nhiều chiều $\mathbb{C}^m$ vào không gian xạ ảnh phức $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ giao với họ siêu phẳng di động, các Định lí cơ bản thứ hai trước đó hoặc có bậc chặn bội rất cao, hoặc chỉ xét các hàm đếm với trọng số bằng nhau. Mặc dù S. D. Quang đã đưa ra dạng định lý với hàm đếm có trọng, song kết quả này chưa kết hợp đồng thời hệ số chặn bội tối ưu $k$ và trọng số linh hoạt để thu được đánh giá bao hàm các dạng định lý hiện có. Đồng thời, các tiêu chuẩn về sự phụ thuộc đại số của họ ánh xạ phân hình vẫn đòi hỏi số lượng siêu phẳng di động tham gia tương đối lớn.
  3. Đối với ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic chấp nhận được vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$, việc thiết lập Định lí cơ bản thứ hai gặp rào cản kỹ thuật nghiêm trọng do Bổ đề đạo hàm logarit và khái niệm Wronskian tổng quát rất khó xây dựng trên đa tạp parabolic. Kết quả của Q. Yan tuy tránh được Bổ đề đạo hàm logarit nhưng hệ số đánh giá còn yếu hơn nhiều so với kết quả trên $\mathbb{C}^m$. Do đó, việc thiết lập Định lí cơ bản thứ hai tối ưu trên đa tạp parabolic và ứng dụng vào bài toán phụ thuộc đại số là khoảng trống cần được giải quyết.

Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu của luận án được xác định cụ thể thành ba nhiệm vụ:

  • Nhiệm vụ 1: Tổng quát các kết quả của các định lý về hai hàm phân hình trên $\mathbb{C}$ có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ với bội bị ngắt ở mức cụ thể và trường hợp bỏ qua không điểm bội cao.
  • Nhiệm vụ 2: Cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình từ $\mathbb{C}^m$ vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ với họ siêu phẳng di động và các hàm đếm có trọng được chặn bội; áp dụng kết quả thu được để cải tiến điều kiện về số lượng siêu phẳng trong bài toán sự phụ thuộc đại số.
  • Nhiệm vụ 3: Cải tiến Định lí cơ bản thứ hai cho các ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic chấp nhận được vào không gian xạ ảnh phức $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ với siêu phẳng di động và hàm đếm chặn bội; áp dụng khảo sát sự phụ thuộc đại số của họ ánh xạ phân hình trên đa tạp parabolic.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

  • Đối tượng nghiên cứu: Hàm phân hình trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$, ánh xạ phân hình từ $\mathbb{C}^m$ vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$, và ánh xạ phân hình từ đa tạp parabolic chấp nhận được vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ tương tác với các mục tiêu là hàm nhỏ hoặc siêu phẳng di động.
  • Phạm vi nghiên cứu: Thuộc lĩnh vực Hình học phức và Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna. Dữ liệu nghiên cứu là các văn bản toán học giải tích thuần túy, các công trình học thuật đã công bố trên các tạp chí chuyên ngành quốc tế SCIE.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án hệ thống hóa các hướng nghiên cứu tiền nhiệm từ nền tảng cổ điển đến các phát triển hiện đại:

  1. Lý thuyết Nevanlinna và bài toán tính duy nhất trên mặt phẳng phức: R. Nevanlinna (1925, 1926) xây dựng lý thuyết phân bố giá trị, thiết lập Định lí năm điểm (hai hàm phân hình trùng nhau nếu có chung ảnh ngược $IM$ của năm giá trị phân biệt) và Định lí bốn điểm (hai hàm phân hình sai khác một phép biến đổi Möbius nếu có chung ảnh ngược $CM$ của bốn giá trị phân biệt). G. Gundersen (1983) [7] mở rộng Định lí bốn điểm cho sáu cặp giá trị phân biệt. P. Li và C. C. Yang (1995) [14] chỉ ra phản ví dụ chứng minh kết quả trên không còn đúng nếu giảm xuống năm cặp giá trị. Tiếp đó, các tác giả chuyển sang xét mục tiêu là hàm nhỏ và cặp hàm nhỏ: P. Cao [5], P. Li và C. C. Yang (2003, 2004) [12], [15], S. D. Quang, L. V. Quỳnh [22], [28]. Trong đó, P. Li và C. C. Yang [15] chứng minh rằng hai hàm phân hình khác hằng chung ảnh ngược $CM^$ của ba cặp hàm nhỏ và $IM^$ của một cặp hàm nhỏ thì liên kết với nhau bởi một phép biến đổi tựa Möbius. K. Yamanoi (2004) thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho hàm phân hình với các hàm nhỏ mà hàm đếm được chặn bội 1, chứa đại lượng $\epsilon > 0$ không thể triệt tiêu.

  2. Định lí cơ bản thứ hai nhiều biến và siêu phẳng di động trên $\mathbb{C}^m$: H. Cartan (1933) [6] mở rộng Định lí cơ bản thứ hai cho ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ $\mathbb{C}^m$ vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ với các siêu phẳng cố định ở vị trí tổng quát và hàm đếm chặn bội $n$. E. I. Nochka (1983) [19] đưa ra trọng Nochka để mở rộng cho các siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát. Thập niên 1990, W. Stoll, M. Ru [30] và M. Shirosaki [35], [36] bắt đầu nghiên cứu siêu phẳng di động, nhưng các hàm đếm ban đầu chưa được chặn bội. Đ. Quang (2001) [9] chặn bội được hàm đếm nhưng bậc chặn còn rất lớn. Gần đây, S. D. Quang [24], [25], [26] thiết lập các dạng Định lí cơ bản thứ hai cho siêu phẳng di động với hàm đếm chặn bội đến bậc $n$, đồng thời đưa ra dạng định lý với các hàm đếm có trọng [24].

  3. Định lí cơ bản thứ hai trên đa tạp parabolic: W. Stoll [39] và các nhà toán học phát triển lý thuyết Nevanlinna trên đa tạp parabolic (Hà Huy Khoái [13] cũng xây dựng lý thuyết tương tự cho hàm chỉnh hình p-adic). Kỹ thuật truyền thống dựa trên Wronskian tổng quát và Bổ đề đạo hàm logarit gặp trở ngại lớn trên đa tạp parabolic. Dựa vào kỹ thuật không gian con Schmidt trong xấp xỉ Diophantine của Y. Liu, Q. Yan (2018) [46] thiết lập Định lí cơ bản thứ hai cho mục tiêu di động trên đa tạp parabolic tránh dùng Bổ đề đạo hàm logarit, tổng quát hóa kết quả của Đ. Quang [41], nhưng hệ số đánh giá chưa tối ưu.

  4. Sự phụ thuộc đại số của các ánh xạ phân hình: M. Ru (2001) [30] đưa ra kết quả đầu tiên về sự phụ thuộc đại số của họ $\lambda$ ánh xạ phân hình thông qua nghịch ảnh của họ siêu phẳng di động. S. D. Quang (2012) [43] cải tiến chặn số lượng siêu phẳng khi xét $d=1$. Sau đó, L. Giang và H. Quỳnh (2019) [29] đưa ra các kết quả tổng quát hơn khi xét bội chặn $k_j$ khác nhau.

Hướng nghiên cứu Công trình tiêu biểu trước đó Hạn chế của công trình trước Đóng góp giải quyết của luận án
Hai hàm phân hình có chung ảnh ngược cặp hàm nhỏ P. Li & C. C. Yang (2003, 2004) [12], [15] Yêu cầu 3 cặp $CM^$ (tính cả bội vô hạn) và 1 cặp $IM^$; chưa có bậc chặn cụ thể, chưa xét bỏ qua không điểm bội cao. Giảm điều kiện xuống 3 cặp $CM_4^$ (ngắt bội mức 4) và 1 cặp $IM^$; thiết lập định lý bỏ qua không điểm bội $k > 865$.
Định lí cơ bản thứ hai với hàm đếm có trọng trên $\mathbb{C}^m$ S. D. Quang (2016, 2019) [24], [25], [26] Dạng có trọng số [24] chưa tối ưu hệ số chặn bội; dạng chặn bội tối ưu [25] chỉ xét trọng số bằng nhau. Thiết lập Định lí 2.2 tích hợp trọng số $\lambda_j$ và tham số liên tục $\eta$, tổng quát hóa đồng thời các kết quả của S. D. Quang.
Sự phụ thuộc đại số của ánh xạ trên $\mathbb{C}^m$ M. Ru (2001) [30], S. D. Quang (2012) [43], L. Giang & H. Quỳnh (2019) [29] Bậc suy biến $l$ cố định cho toàn bộ các siêu phẳng, số lượng siêu phẳng yêu cầu lớn. Cho phép bậc suy biến $l_j$ thay đổi theo từng siêu phẳng $A_j$, giảm chặn số lượng siêu phẳng $q$.
Định lí cơ bản thứ hai trên đa tạp parabolic Q. Yan (2018) [46] Tránh được Bổ đề đạo hàm logarit nhưng mẫu số hệ số dẫn đầu là $2n+1$, đánh giá hàm đặc trưng yếu. Thiết lập Định lí 3.2 với mẫu số $n+2$, hệ số dẫn đầu $\frac{q-(n-k)}{n+2}$ và $\frac{q-2(n-k)}{n+2}$, tối ưu hóa đánh giá.
Sự phụ thuộc đại số trên đa tạp parabolic Q. Yan (2018) [46], S. D. Quang [43] Đòi hỏi số lượng siêu phẳng di động tham gia lớn. Đưa ra Định lí 3.3 với chặn $q > \frac{n(n+2)\lambda}{\lambda - l + 1}$, mở rộng và cải tiến kết quả của M. Ru và Q. Yan.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án dựa trên nền tảng giải tích phức và hình học phức hiện đại, sử dụng các khái niệm và công cụ giải tích toán học thuần túy:

  1. Hệ thống khái niệm và công cụ Nevanlinna:
  • Divisor: Trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$, divisor $D$ là hàm nhận giá trị trong $\mathbb{Z}$ với giá $\text{Supp} D$ rời rạc. Trên $\mathbb{C}^m$, divisor $\nu = \sum \mu_\lambda X_\lambda$ là tổng hình thức của các siêu mặt giải tích bất khả quy. Divisor không điểm $\nu_\varphi^0$, cực điểm $\nu_\varphi^\infty$, và divisor ngắt bội $\nu_{\varphi, \le k}^0$, $\nu_{\varphi, > k}^0$.
  • Hàm đếm: Hàm đếm $N(r, \nu)$ và hàm đếm ngắt bội đến mức $k$: $N^{[k]}(r, \nu) = \int_1^r \frac{n^{[k]}(t, \nu)}{t^{2m-1}} dt$.
  • Hàm đặc trưng và hàm xấp xỉ: Hàm xấp xỉ $m(r, \varphi) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \log \max{1, |\varphi(re^{i\theta})|} d\theta$; hàm đặc trưng $T(r, \varphi) = m(r, \varphi) + N(r, \nu_\varphi^\infty)$. Đối với ánh xạ phân hình $f: \mathbb{C}^m \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$, hàm đặc trưng xác định qua tích phân Jensen trên mặt cầu $S(r)$ với dạng vi phân chuẩn tắc $\sigma_m = d^c \log |z|^2 \wedge (dd^c \log |z|^2)^{m-1}$.
  • Đại lượng phần dư và hàm nhỏ: $S(r, f) = o(T_f(r))$ khi $r \to \infty$ ngoài một tập Borel có độ đo hữu hạn. Hàm phân hình $a$ được gọi là hàm nhỏ so với $f$ nếu $T(r, a) = S(r, f)$. Trường các hàm nhỏ ký hiệu là $\mathcal{R}_f$.
  • Khái niệm chung ảnh ngược: Hai hàm $h, g$ có chung ảnh ngược $CM_n^$ của cặp $(a, b)$ nếu $\min{n, \nu_{h-a}^0(z)} = \min{n, \nu_{g-b}^0(z)}$ ngoài một tập rời rạc có hàm đếm bằng $S(r, h) + S(r, g)$; quy ước $n=1$ là $IM^$ và $n=\infty$ là $CM^*$.
  • Biến đổi tựa Möbius: Hàm $h$ là biến đổi tựa Möbius của $g$ nếu tồn tại $a_1, a_2, a_3, a_4 \in \mathcal{R}_g$ với $a_1 a_4 - a_2 a_3 \not\equiv 0$ sao cho $h = \frac{a_1 g + a_2}{a_3 g + a_4}$.
  1. Cấu trúc hình học nguồn và mục tiêu:
  • Siêu phẳng di động: Ánh xạ phân hình $a: \mathbb{C}^m \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})^*$ được gọi là siêu phẳng di động chậm đối với $f$ nếu $| T_a(r) = o(T_f(r))$. Họ ${a_j}_{j=1}^q$ ở vị trí tổng quát nếu bất kỳ $n+1$ siêu phẳng nào cũng độc lập tuyến tính tại hầu hết mọi điểm.
  • Đa tạp parabolic chấp nhận được: Đa tạp phức $M$ số chiều $m$ trang bị hàm vét cạn parabolic $\tau$ thỏa mãn $dd^c \tau \ge 0$, $d d^c \log \tau \ge 0$, $(dd^c \log \tau)^m = 0$ trên $M \setminus \tau^{-1}(0)$, và hàm trội $Y(r)$. Điều kiện hình học đòi hỏi độ cong Ricci và hàm trội tăng trưởng chậm hơn hàm đặc trưng của ánh xạ: $\text{Ric}_\tau = o(T_f(r, s_0))$ và $\log Y(r) = o(T_f(r, s_0))$.
  • Vị trí đặc biệt của họ ánh xạ: Khái niệm họ vector ${v_1, \dots, v_k}$ ở vị trí $p$-đặc biệt khi mọi chọn lựa $p$ vector đều có tích chêm triệt tiêu $v_{i_1} \wedge \dots \wedge v_{i_p} = 0$, dẫn tới bất đẳng thức divisor $\mu_{f_1 \wedge \dots \wedge f_k} \ge (k - p + 1)\nu_A$.
  1. Phương pháp nghiên cứu: Luận án hoàn toàn sử dụng phương pháp toán học giải tích - hình học định tính và lý thuyết:
  • Xây dựng các hàm phụ trợ vi phân (dạng đạo hàm logarit, hàm Wronskian, tỷ số kép).
  • Sử dụng phương pháp ma trận và định thức triệt tiêu để thiết lập các hệ phương trình đại số tuyến tính liên kết các hàm chỉnh hình.
  • Kỹ thuật phân tích xấp xỉ Diophantine theo phương pháp của Y. Liu và Q. Yan nhằm loại bỏ việc sử dụng Bổ đề đạo hàm logarit và Wronskian tổng quát trên đa tạp parabolic.
  • Kỹ thuật chia nhỏ và cân bằng trọng số kết hợp biến tham số tối ưu hóa để làm mịn các bất đẳng thức hàm đặc trưng.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: HAI HÀM PHÂN HÌNH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC CÓ CHUNG ẢNH NGƯỢC CỦA BỐN CẶP HÀM NHỎ

Chương này gồm 3 mục (từ trang 20 đến trang 37), giải quyết trọn vẹn Vấn đề 1 bằng cách thiết lập hai định lý nền tảng về quan hệ tựa Möbius giữa hai hàm phân hình khác hằng $f$ và $g$ trên $\mathbb{C}$.

Trong Mục 1.1 và 1.2, tác giả hệ thống hóa các định nghĩa, Bổ đề đạo hàm logarit $m(r, f'/f) = S(r, f)$, Định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai của K. Yamanoi và Đ. Quang. Mục 1.3 phát triển chuỗi bổ đề kỹ thuật:

  • Bổ đề 1.1 và 1.2: Thiết lập đánh giá hàm đếm ngắt bội mức 1 qua hàm đặc trưng: $$N^{[1]}(r, \nu_{f-a}^0) \le \frac{k}{k+1} N_{\le k}^{[1]}(r, \nu_{f-a}^0) + \frac{1}{k+1} T(r, f) + S(r, f)$$
  • Bổ đề 1.3 và 1.4: Chứng minh tính tương đương tiệm cận $S(r, f) = S(r, g)$. Nếu $f$ là biến đổi tựa Möbius của $g$ và $k \ge 3$ thì tồn tại hoán vị $(i_1, i_2, i_3, i_4)$ bảo toàn tỷ số kép.
  • Mệnh đề 1.5: Thiết lập hàm phụ trợ $H := \frac{F'}{F} - \frac{G'}{G} = \frac{(F/G)'}{F/G} \not\equiv 0$ khi giả sử $F$ không là biến đổi tựa Möbius của $G$. Từ việc phân tích cực điểm đơn của $H$ và không điểm chung của $F-1, G-1$, dẫn tới bất đẳng thức divisor: $$N(r, \nu) \le N^{[1]}(r, |\nu_{F-A_1}^0 - \nu_{G-B_1}^0|) + N^{[1]}(r, |\nu_{F-A_2}^0 - \nu_{G-B_2}^0|) + S(r)$$

Dựa trên các bổ đề trên, tác giả chứng minh hai kết quả trọng tâm của chương:

  • Định lí 1.6: Cho $f, g$ là hai hàm phân hình khác hằng và $a_i, b_i$ ($1 \le i \le 4$) là các cặp hàm nhỏ. Nếu $f, g$ có chung ảnh ngược $IM^$ của cặp $(a_1, b_1)$ và chung ảnh ngược $CM_4^$ của ba cặp $(a_i, b_i)$ ($i=2, 3, 4$), thì $f$ là một biến đổi tựa Möbius của $g$. Hơn nữa, tồn tại hoán vị $(i_1, i_2, i_3, i_4)$ của ${1, 2, 3, 4}$ sao cho: $$\frac{f - a_{i_1}}{f - a_{i_2}} \cdot \frac{a_{i_3} - a_{i_2}}{a_{i_3} - a_{i_1}} = \frac{g - b_{i_1}}{g - b_{i_2}} \cdot \frac{b_{i_3} - b_{i_2}}{b_{i_3} - b_{i_1}} \quad \text{hoặc} \quad \frac{f - a_{i_1}}{f - a_{i_2}} \cdot \frac{a_{i_3} - a_{i_2}}{a_{i_3} - a_{i_1}} = \frac{g - b_{i_1}}{g - b_{i_2}} \cdot \frac{b_{i_4} - b_{i_2}}{b_{i_4} - b_{i_1}}$$ Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng: thiết lập các bất đẳng thức đếm cho thấy các không điểm bội lớn hơn 1 của $f-a_i$ có hàm đếm bị triệt tiêu về $S(r, f)$, đưa về trường hợp $CM^*$ để áp dụng định lý của P. Li và C. C. Yang.

  • Định lí 1.7: Xét trường hợp bỏ qua toàn bộ các không điểm có bội $k > 865$: Giả sử $\min{\nu_{f-a_i, \le k}^0(z), 4} = \min{\nu_{g-b_i, \le k}^0(z), 4}$ ($1 \le i \le 4$) ngoài tập rời rạc $S$. Nếu $k > 865$, thì $f$ là biến đổi tựa Möbius của $g$ và thỏa mãn công thức tỷ số kép như trên. Chứng minh được tiến hành bằng cách xây dựng hệ phương trình ma trận định thức triệt tiêu $\sum_{1 \le i < j \le 4} h_{{i, j}} = 0$. Thiết lập đường cong chỉnh hình $h = (dh_{I_1} : \dots : dh_{I_\ell}): \mathbb{C} \to \mathbb{P}^{\ell-1}(\mathbb{C})$. Áp dụng Định lí cơ bản thứ hai của Yamanoi cho các hàm hữu tỷ $L_j(Y)$, dẫn đến bất đẳng thức giới hạn $2 \le \frac{4 \cdot 865}{k + 865}$, suy ra $k \le 865$, mâu thuẫn trực tiếp với giả thiết $k > 865$.

Chương 2: ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN Cm GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VỚI HÀM ĐẾM CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG

Chương 2 gồm 3 mục (từ trang 38 đến trang 51), giải quyết Vấn đề 2 trong không gian $\mathbb{C}^m$.

Mục 2.1 trình bày Lý thuyết Nevanlinna nhiều biến, công thức Jensen vi phân trên quả cầu $B(r)$ và mặt cầu $S(r)$, định nghĩa siêu phẳng di động chậm $a: \mathbb{C}^m \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})^*$, hàm xấp xỉ $m_{f, a}(r)$, và bất đẳng thức vị trí $p$-đặc biệt của W. Stoll.

Mục 2.2 chứng minh Định lí cơ bản thứ hai với hàm đếm có trọng:

  • Định lí 2.2: Cho $f: \mathbb{C}^m \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ là ánh xạ phân hình. Cho ${a_j}{j=1}^q$ ($q \ge 2n - k + 2$) là các siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát sao cho $(f, a_j) \not\equiv 0$, trong đó $\text{rank}{\mathcal{R}{a_j}}(f) = k + 1$. Cho $\lambda_1, \dots, \lambda_q$ là các số dương thỏa mãn $(2n - k + 2)\max_{1 \le j \le q} \lambda_j \le \sum_{j=1}^q \lambda_j$. Khi đó, với mọi số dương $\eta \in [\max_{1 \le j \le q} \lambda_j, \frac{\sum_{j=1}^q \lambda_j}{2n - k + 2}]$, ta có: $$\frac{\sum_{j=1}^q \lambda_j - (n-k)\eta}{n+2} T_f(r) \le \sum_{j=1}^q \lambda_j N_{(f, a_j)}^{[k]}(r) + o(T_f(r)) + O(\max_{1 \le j \le q} T_{a_j}(r))$$ Ý nghĩa toán học của Định lí 2.2 thể hiện ở tính bao hàm:
  1. Khi chọn $\lambda_1 = \dots = \lambda_q = 1$ và $\eta = 1$, định lý rút về khẳng định (a) của Định lý D (S. D. Quang [25]): $$\frac{q - (n-k)}{n+2} T_f(r) \le \sum_{j=1}^q N_{(f, a_j)}^{[k]}(r) + o(T_f(r)) + O(\max_{1 \le j \le q} T_{a_j}(r))$$
  2. Khi chọn $\eta = \frac{\sum_{j=1}^q \lambda_j}{2n - k + 2}$, định lý khôi phục lại Định lý E (S. D. Quang [24]): $$\frac{\sum_{j=1}^q \lambda_j}{2n - k + 2} T_f(r) \le \sum_{j=1}^q \lambda_j N_{(f, a_j)}^{[k]}(r) + o(T_f(r)) + O(\max_{1 \le j \le q} T_{a_j}(r))$$

Mục 2.3 ứng dụng Định lí 2.2 vào bài toán sự phụ thuộc đại số:

  • Xét $\lambda$ ánh xạ phân hình khác hằng $f_t: \mathbb{C}^m \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ ($1 \le t \le \lambda, \lambda \ge 2$) có chung ảnh ngược của $q$ siêu phẳng di động chậm $a_j$: $A_j = (f_1, a_j)^{-1}{0} = \dots = (f_\lambda, a_j)^{-1}{0}$.
  • Hằng số $d$ đặc trưng cho số lượng giao điểm của các thành phần giải tích $A_j$: $d = \lim_{r \to \infty} \rho(r)$ (với $\dim(A_i \cap A_j) \le n-2$ thì $d=1$).
  • Giả thiết tồn tại các số nguyên $l_j$ ($2 \le l_j \le \lambda$) sao cho trên mỗi $A_j$, mọi tích chêm $l_j$ ánh xạ đều triệt tiêu: $f_{i_1}(z) \wedge \dots \wedge f_{i_{l_j}}(z) = 0$.
  • Định lí 2.3: Nếu số lượng siêu phẳng di động $q$ thỏa mãn: $$q > \frac{d\lambda k(2n - k + 2) - d\lambda(k-1) + \sum_{j=1}^q l_j}{\lambda + 1}$$ thì $f_1 \wedge \dots \wedge f_\lambda \equiv 0$ trên $\mathbb{C}^m$ (tức là $f_1, \dots, f_\lambda$ phụ thuộc đại số trên $\mathbb{C}$).
  • Trong trường hợp riêng $\lambda = l = 2, k = n, d = 1$, điều kiện rút gọn thành $q > 2n^2 + 2n + 2$, khôi phục kết quả của L. Giang - H. Quỳnh [29] và cải tiến kết quả của P. Li.

Chương 3: ĐỊNH LÍ CƠ BẢN THỨ HAI CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TRÊN ĐA TẠP PARABOLIC GIAO VỚI CÁC SIÊU PHẲNG DI ĐỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Chương 3 gồm 3 mục (từ trang 52 đến trang 75), mở rộng lý thuyết lên đa tạp nguồn tổng quát là đa tạp parabolic chấp nhận được $M$.

Mục 3.1 thiết lập hệ thống giải tích trên đa tạp parabolic chấp nhận được $M$ số chiều $m$, trang bị hàm vét cạn $\tau$, hàm trội $Y(r)$, giả thiết $\text{Ric}_\tau = o(T_f(r, s_0))$ và $\log Y(r) = o(T_f(r, s_0))$.

Mục 3.2 chứng minh Định lí cơ bản thứ hai trên đa tạp parabolic: Tác giả khắc phục rào cản không thể áp dụng Bổ đề đạo hàm logarit bằng cách tích hợp kỹ thuật Diophantine của Q. Yan [46] với phương pháp phân tích hàm đặc trưng của S. D. Quang [26].

  • Định lí 3.2: Cho $f: M \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ là ánh xạ phân hình khác hằng, ${g_j}{j=1}^q$ là họ siêu phẳng di động ở vị trí tổng quát. Giả thiết $(f, g_j) \not\equiv 0$ và $\dim(\text{Supp} \nu{(f, g_i)}^0 \cap \text{Supp} \nu_{(f, g_j)}^0) \le m - 2$ với mọi $1 \le i < j \le q$. Khi đó: $$\text{(a)} \quad \frac{q - (n-k)}{n+2} T_f(r, s_0) \le \sum_{i=1}^q N_{(f, g_i)}^{[k]}(r, s_0) + o(T_f(r, s_0)) + O(\max_{1 \le i \le q} T_{g_i}(r, s_0))$$ $$\text{(b)} \quad \frac{q - 2(n-k)}{n+2} T_f(r, s_0) \le \sum_{i=1}^q N_{(f, g_i)}^{[1]}(r, s_0) + o(T_f(r, s_0)) + O(\max_{1 \le i \le q} T_{g_i}(r, s_0))$$ So sánh định lượng với kết quả trước đó của Q. Yan (Định lí G, năm 2018): Định lí G chỉ đưa ra đánh giá dạng $\frac{q}{2n+1} T_f(r, s_0) \le \sum_{j=1}^q N_{f, g_j}^{[n]}(r, s_0) + \dots$. Định lí 3.2(a) của luận án đã thay mẫu số $2n+1$ bằng mẫu số $n+2$, nâng hệ số chặn của hàm đặc trưng lên mức tối ưu tương đương như trên $\mathbb{C}^m$.

Mục 3.3 ứng dụng Định lí 3.2 vào sự phụ thuộc đại số trên đa tạp parabolic:

  • Định lí 3.3: Cho $M$ là đa tạp parabolic chấp nhận được $m$-chiều. Cho $f_1, \dots, f_\lambda: M \to \mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ là các ánh xạ phân hình khác hằng. Cho ${g_j}{j=1}^q$ là các siêu phẳng di động chậm ở vị trí tổng quát thỏa mãn $A_j = (f_1, g_j)^{-1}(0) = \dots = (f\lambda, g_j)^{-1}(0)$ và $\dim(A_i \cap A_j) \le m - 2$ ($i \ne j$). Giả sử $f_1, \dots, f_\lambda$ ở vị trí $l$-đặc biệt trên $A = \bigcup_{j=1}^q A_j$ ($2 \le l \le \lambda$). Khi đó, nếu: $$q > \frac{n(n+2)\lambda}{\lambda - l + 1}$$ thì $f_1 \wedge \dots \wedge f_\lambda \equiv 0$ trên $M$ (tức là $f_1, \dots, f_\lambda$ ở vị trí đặc biệt trên toàn bộ $M$). Kết quả này mở rộng Định lí 2 của M. Ru [30] (tương ứng trường hợp $d=1$), cải tiến Định lí 1 của S. D. Quang [43], và tổng quát hóa kết quả của Q. Yan [46] sang một chặn số lượng siêu phẳng sắc bén hơn.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đạt được 5 kết quả đóng góp mới về mặt lý luận giải tích và hình học phức:

  1. Mở rộng Định lí bốn điểm Nevanlinna cho các cặp hàm nhỏ với bội ngắt cụ thể: Chứng minh hai hàm phân hình liên kết qua phép biến đổi tựa Möbius và bảo toàn tỷ số kép khi có chung ảnh ngược $IM^$ của một cặp hàm nhỏ và $CM_4^$ của ba cặp hàm nhỏ (Định lí 1.6). Đây là bước làm mịn kết quả của P. Li và C. C. Yang khi ngắt bội ở mức 4 thay vì tính bội đến vô hạn.
  2. Xác lập ngưỡng chặn bội khi bỏ qua không điểm bội cao: Thiết lập Định lí 1.7 khẳng định hai hàm phân hình là biến đổi tựa Möbius của nhau khi bỏ qua toàn bộ các không điểm có bội $k > 865$.
  3. Xây dựng Định lí cơ bản thứ hai tổng quát có trọng trên $\mathbb{C}^m$: Thiết lập Định lí 2.2 với hàm đếm có trọng và bội ngắt bậc $k$. Định lý đưa vào tham số liên tục $\eta$, dung hòa và bao hàm khẳng định (a) của Định lí D (S. D. Quang [25]) và Định lí E (S. D. Quang [24]).
  4. Cải tiến tiêu chuẩn phụ thuộc đại số trên $\mathbb{C}^m$: Thiết lập Định lí 2.3 cho phép số nguyên suy biến $l_j$ phụ thuộc cục bộ vào từng siêu phẳng $A_j$, thu được chặn số lượng siêu phẳng $q > \frac{d\lambda k(2n-k+2) - d\lambda(k-1) + \sum l_j}{\lambda + 1}$.
  5. Thiết lập Định lí cơ bản thứ hai tối ưu và bài toán phụ thuộc đại số trên đa tạp parabolic: Chứng minh Định lí 3.2 trên đa tạp parabolic chấp nhận được với hệ số mẫu số $n+2$ thay vì $2n+1$ của Q. Yan [46] mà hoàn toàn không cần dùng Bổ đề đạo hàm logarit. Từ đó, chứng minh Định lí 3.3 giảm ngưỡng số lượng siêu phẳng di động cần thiết để họ ánh xạ phụ thuộc đại số xuống $q > \frac{n(n+2)\lambda}{\lambda - l + 1}$.

Toàn bộ các kết quả trên đã được công bố trong 03 bài báo khoa học trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục SCIE (nhóm Q3):

  1. Bulletin of the Korean Mathematical Society (công trình liên quan đến Chương 1).
  2. Indian Journal of Pure and Applied Mathematics (công trình liên quan đến Chương 2).
  3. Kyushu Journal of Mathematics (công trình liên quan đến Chương 3).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án gắn liền với phạm vi hình học và giả thiết kỹ thuật:

  • Về đối tượng mục tiêu: Luận án mới chỉ khảo sát họ mục tiêu là các siêu phẳng di động (đa thức thuần nhất bậc 1), chưa mở rộng cho các siêu mặt đại số di động bậc cao ($d \ge 2$) trong không gian xạ ảnh.
  • Về vị trí của mục tiêu: Các định lý trên đa tạp parabolic mới xét họ siêu phẳng ở vị trí tổng quát; chưa thiết lập được Định lí cơ bản thứ hai cho họ siêu phẳng ở vị trí dưới tổng quát (sử dụng hệ trọng số Nochka) trên đa tạp parabolic.
  • Về tốc độ di động của mục tiêu: Luận án đòi hỏi các siêu phẳng di động phải thỏa mãn điều kiện di động chậm ($T_a(r) = o(T_f(r))$).
  • Về hằng số chặn bội: Ngưỡng chặn bội $k > 865$ trong Chương 1 thu được thông qua việc giải bất đẳng thức giải tích của Yamanoi, chưa khẳng định được đây đã là hằng số nguyên tối ưu nhỏ nhất.

Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo (trình bày tại trang 77 của luận án):

  1. Tiếp tục cải tiến phương pháp giải tích để giảm hằng số chặn $k = 865$ trong bài toán hai hàm phân hình có chung ảnh ngược của bốn cặp hàm nhỏ.
  2. Mở rộng Định lí cơ bản thứ hai và bài toán phụ thuộc đại số cho ánh xạ phân hình từ $\mathbb{C}^m$ hoặc đa tạp parabolic vào $\mathbb{P}^n(\mathbb{C})$ giao với họ các siêu mặt di động bậc cao (thay vì chỉ giới hạn ở siêu phẳng).
  3. Nghiên cứu Định lí cơ bản thứ hai trên đa tạp parabolic cho họ siêu phẳng di động ở vị trí dưới tổng quát kết hợp kỹ thuật trọng số Nochka.

Giá trị tham khảo

Luận án là tài liệu tham khảo chuyên khảo dành cho:

  • Nghiên cứu sinh, học viên cao học và sinh viên ngành Toán học: Đặc biệt thuộc các chuyên ngành Hình học và Tôpô, Giải tích phức, Hình học vi phân và Hình học đại số, muốn tiếp cận Lý thuyết phân bố giá trị Nevanlinna hiện đại.
  • Giảng viên và các nhà nghiên cứu: Có thể tham khảo trực tiếp các kỹ thuật giải tích chuyên sâu:
    • Kỹ thuật khử không điểm thông qua hệ phương trình định thức ma trận hàm chỉnh hình tại Chương 1.
    • Kỹ thuật tham số hóa liên tục $\eta$ kết hợp phân bổ trọng số trong Chương 2 để xử lý các bất đẳng thức hàm đặc trưng phức tạp.
    • Kỹ thuật xấp xỉ Diophantine tránh Bổ đề đạo hàm logarit và Wronskian tổng quát trên đa tạp parabolic trong Chương 3.

Câu hỏi thường gặp

1. Khái niệm chung ảnh ngược $IM^$ và $CM_n^$ khác nhau như thế nào so với khái niệm $IM$ và $CM$ cổ điển của Nevanlinna?

Trong lý thuyết Nevanlinna cổ điển, hai hàm $h, g$ có chung ảnh ngược $IM$ (hoặc $CM$) của giá trị $a$ khi tập nghịch ảnh $h^{-1}(a)$ và $g^{-1}(a)$ hoàn toàn trùng nhau không kể bội (hoặc có cùng số bội tại mọi điểm). Trong luận án, điều kiện này được mở rộng thành $IM^$ và $CM_n^$ theo hai khía cạnh: thứ nhất, mục tiêu được thay bằng cặp hàm nhỏ $(a, b)$; thứ hai, tính trùng nhau của các không điểm chỉ cần thỏa mãn ngoài một tập rời rạc $S$ có hàm đếm thuộc bậc vô cùng bé tiệm cận $S(r, h) + S(r, g)$. Hơn nữa, $CM_n^$ ngắt việc so sánh bội tại mức nguyên $n$: $\min{n, \nu_{h-a}^0(z)} = \min{n, \nu_{g-b}^0(z)}$. Khi $n=1$, ta thu được khái niệm $IM^$; khi $n=\infty$, ta có khái niệm $CM^*$.

2. Ngưỡng số nguyên $k > 865$ trong Định lí 1.7 xuất phát từ đâu?

Ngưỡng $k > 865$ được suy ra trực tiếp từ việc thiết lập mâu thuẫn giải tích ở cuối chứng minh Định lí 1.7 (trang 35-36). Khi giả sử $f$ không là biến đổi tựa Möbius của $g$, tác giả xây dựng đường cong chỉnh hình $h = (dh_{I_1} : \dots : dh_{I_\ell}): \mathbb{C} \to \mathbb{P}^{\ell-1}(\mathbb{C})$ từ hệ định thức triệt tiêu. Áp dụng Định lí cơ bản thứ hai của K. Yamanoi cho các hàm hữu tỷ $L_j$, tác giả thu được bất đẳng thức chặn: $$2 - \epsilon \le \frac{4 \cdot 865}{k + 865}$$ với mọi $\epsilon > 0$. Cho $\epsilon \to 0$, bất đẳng thức dẫn tới $2 \le \frac{3460}{k + 865} \iff 2k + 1730 \le 3460 \iff 2k \le 1730 \iff k \le 865$. Do đó, điều kiện $k > 865$ bảo đảm loại trừ khả năng này, buộc $f$ phải là biến đổi tựa Möbius của $g$.

3. Tham số $\eta$ trong Định lí cơ bản thứ hai (Định lí 2.2) có vai trò gì?

Tham số $\eta$ là một số thực dương biến thiên trong đoạn $[\max_{1 \le j \le q} \lambda_j, \frac{\sum_{j=1}^q \lambda_j}{2n - k + 2}]$. Việc đưa thêm tham số tự do $\eta$ cho phép nội suy và liên kết các dạng Định lí cơ bản thứ hai khác nhau:

  • Khi chọn $\eta$ ở cận trên $\frac{\sum \lambda_j}{2n-k+2}$, định lý chuyển hóa về dạng bất đẳng thức có trọng số của S. D. Quang (2016).
  • Khi tất cả trọng số $\lambda_j = 1$ và chọn $\eta = 1$, định lý khôi phục lại dạng bất đẳng thức chặn bội tối ưu $k$ của S. D. Quang (2019). Do đó, $\eta$ đóng vai trò biến điều hòa giúp Định lí 2.2 trở thành một kết quả bao hàm tổng quát.

4. Tại sao Định lí cơ bản thứ hai trên đa tạp parabolic (Chương 3) phải tránh dùng Bổ đề đạo hàm logarit?

Trên mặt phẳng phức $\mathbb{C}$ hoặc không gian $\mathbb{C}^m$, Bổ đề đạo hàm logarit $m(r, f'/f) = S(r, f)$ và khái niệm Wronskian tổng quát là công cụ cơ bản để kiểm soát các đạo hàm và hàm xấp xỉ. Tuy nhiên, trên một đa tạp parabolic trừu tượng $M$, cấu trúc vi phân toàn cục và độ cong Ricci không cho phép thiết lập Bổ đề đạo hàm logarit cũng như Wronskian một cách thuận lợi. Để vượt qua trở ngại này, tác giả đã tích hợp phương pháp xấp xỉ Diophantine của Y. Liu và Q. Yan, sử dụng các hàm phụ trợ đánh giá trực tiếp trên các nhát cắt vet cạn parabolic mà không cần lấy vi phân logarit.

5. Khái niệm họ ánh xạ ở vị trí $l$-đặc biệt trong Chương 2 và Chương 3 có ý nghĩa gì đối với bài toán phụ thuộc đại số?

Họ ánh xạ phân hình ${f_1, \dots, f_\lambda}$ được gọi là ở vị trí $l$-đặc biệt trên tập $A$ ($2 \le l \le \lambda$) nếu tại mỗi điểm $z \in A$, mọi nhóm gồm $l$ vector bất kỳ đều có tích chêm triệt tiêu: $f_{i_1}(z) \wedge \dots \wedge f_{i_l}(z) = 0$. Về mặt hình học, điều này phản ánh ảnh của $l$ ánh xạ tại các điểm giao với siêu phẳng bị suy biến tuyến tính rơi vào một không gian con thực sự. Khi số lượng siêu phẳng di động $q$ đủ lớn, tính chất suy biến cục bộ trên tập giao điểm $A$ sẽ lan tỏa ra toàn bộ không gian nguồn $M$ (hoặc $\mathbb{C}^m$), dẫn tới khẳng định toàn cục $f_1 \wedge \dots \wedge f_\lambda \equiv 0$, nghĩa là các ánh xạ phụ thuộc đại số trên toàn miền xác định.

Kết luận

Luận án của nghiên cứu sinh Nguyễn Văn An là một công trình khoa học chuyên sâu thuộc chuyên ngành Hình học và Tôpô, giải quyết trọn vẹn ba bài toán mở về Định lí cơ bản thứ hai và sự phụ thuộc đại số của ánh xạ phân hình với mục tiêu di động. Luận án đã mở rộng Định lí bốn điểm Nevanlinna cho các cặp hàm nhỏ với bội ngắt $CM_4^*$ và ngưỡng loại trừ không điểm bội $k > 865$; xây dựng thành công Định lí cơ bản thứ hai có trọng trên $\mathbb{C}^m$; đồng thời thiết lập hệ số đánh giá tối ưu cho Định lí cơ bản thứ hai trên đa tạp parabolic chấp nhận được mà không cần sử dụng Bổ đề đạo hàm logarit. Các kết quả lý thuyết này trực tiếp cải tiến các tiêu chuẩn về sự phụ thuộc đại số của họ ánh xạ phân hình và đã được công bố trên 03 tạp chí toán học quốc tế uy tín trong danh mục SCIE.