mở đầu: Nêu xuất xứ của van dé và đặt bai toán nghiên cứu. Chương |: Giới thiệu các khái niệm cơ ban về đại số Lie, nhóm Lie và lớp các MD-nhóm, MD-đại số. Phần này chỉ trình bày những kiến thức cần thiết liên quan đến bài toán đang xét, Chương 2: Giới thiệu một thuật toán được các nhà toán học Vyacheslav Boyko, Jiri Patera và Roman Popovych nghiên cứu dé tính toán các bat biến của các đại số Lie. Chương 3: Áp dụng thuật toán trên dé tính các bất biến của một lớp con các đại sé Lie giải được 5 chiều.
Phân kết luận: Đưa ra những nhận xét và những van đề mở cân phải tiếp tục nghiên cứu. Các nghiên cứu đạt được dựa trên các tính toán thuần túy đại SỐ Với sự trợ giúp của máy tính. Nhiều kết quả nêu ra nhưng không chứng minh vì phương pháp chứng minh đã được trình bày trong các tài liệu trích dan. Các ký hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu (xem Danh mục các ký hiệu).
Dé trích dan một ket quả, chúng tôi dùng cách trích dan quen thuộc. Chang hạn, xem [So-Vi, Theorem 4] nghĩa là xem định lý 4 trong tai liệu [So-Vi]. ĐẠI SO LIE VÀ NHÓM LIE Chương này chủ yếu đưa những cơ sở lý thuyết cho các kết quả nghiên cứu ở các chương sau, trong đó giới thiệu đối tượng nghiên cứu là lớp các MD- nhóm và lớp các MD-đại số ma chúng ta quan tâm. Trước hết, ta sẽ nhắc lại các khái niệm và những tính chất cơ bản vẻ đại số Lie (thực) và nhóm Lie.
Nhiều mệnh dé được phát biêu nhưng không chứng minh. Độc giả nào quan tâm đến các chứng minh hoặc muốn tìm hiểu sâu vẻ các khái niệm xin xem các tài liệu [Ha-Sch], [Ki]. Đại số Lie 1. Định nghĩa đại số Cho IK là trường và ‹27 là một không gian vectơ trên trường IK.
Ta bao <°í là một dai số trên IK hay là |K-dai số néu trên “i đã cho một phép nhân cad x cuÍ —> cb (x, y) >x+ (Tích của x và y) sao cho các tiên dé sau thỏa mãn = (M,) Phép nhân là một toán tử song tuyến tính. Tức là Vx, y, zee, VA, welK ta có: (Ax + sy)z = A(xz) + ¿(1Z); x(Ay + uz) = A(xy) + (xz). ® (M;) Phép nhân kết hợp. Tức là (xy)z = x(yz), YX, y, ZEN, Nhận xét (i) Đôi khi (M2) không được đòi hỏi thì <+f gọi là đại số không kết hợp.
(ii) Mỗi IK-dai số đều là một vành. Ví dụ: Đại số các ma trận vuông cấp ø trên IK. kgeon * 3 ‹ö (IK-dai số) = Ta bao ;Z là đại số con nếu % đóng kín đối với phép nhân. s Tabao 4 là Ideal néu bac %, abe 2i, Vaeci, Vbe 2.
Ta được dai số thuong cl „= {a =a+ Bia = cat „ Gy = địa; +B. Dinh nghia dai sé Lie Cho IK là trường và G là không gian vecto trên IK. Ta bao G là một đại số Lie trên IK hay lK-đại so Lie nêu trên G đã cho một phép nhân mà gọi là móc Lie [. 1: GxGog (x, y) >[x, y] (Tích Lie hay móc Lie của x và y) sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn * (L,) Móc Lie là toán tử song tuyến tính.
y]+ ¿{x,z Vx, y,zœc @, VÀ, welK. * (L›) Móc Lie phản xứng. Tức là [x, x] = 0, Vxe đ. * (L;) Móc Lie thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi.
Tức là [Lx. Số chiếu của đại so Lie G chính là so chiêu của không gian vecto Ở. Tâm Z(G) của đại số Lie G là một không gian con của Z chứa các phần tử xeŒ sao cho [x, y] = 0, với mọi ye G. Tức là Z(G) = {xe G/ [x, y]=0, Vy eG}.
(ii) Mỗi đại số Lie đều là một đại số (không kết hợp) nhưng ngược lại, mỗi đại số nói chung không chắc là đại số Lie.] = 0 tức là [x, y] = 0, Vx, ye G thì ta bảo móc Lie tam thường va G là đại số Lie giao hoán. Như vậy, mỗi không gian vectơ luôn có thé xem là đại số Lie giao hoán. Cho G là một không gian hữu hạn chiều trên trường IK. Giả sử số chiều của G là n.
Cau trúc đại số Lie trên G có thẻ được cho bởi móc Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở {ey. ¢,} đã chọn trước trên @ như sau: nh [e¡. e;]= Dek, Isi<jsn. k=l Các hệ sô cụ, I<1< J<n, được gọi là các hang so câu trúc của đại sô Lie G.
Khi trường IK là trường số thực — thì G được gọi là đại số Lie thực. Nội dung của luận văn chỉ đề cập và nghiên cứu các đại số Lie thực nên nêu không sợ nham lẫn thì ta vẫn dùng thuật ngữ đại số Lie dé chi đại số Lie thực. Ví dụ Ví dụ 1: ( ara Pee | =0) đại số Lie thực giao hoán n—chiéu. ˆ Vi dụ 2: Không gian 3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie thực 3-chiéu.
Vi du 3: Xét cod là một |K-đại số (không nhất thiết kết hợp). Ta định nghĩa móc Lie trên =°/ như sau: [.]) trở thành một IK-dai sé Lie. Nhan xét (i) Moi đại số đều trở thành dai số Lie với móc Lie định nghĩa nhờ hoán từ. (ii) Hoan tử đồng nhất bằng không khi và chỉ khi c*/ giao hoán.
Vi du 4: Đại số các toán từ tuyến tính End(V) trên lK-không gian vecto là đại số Lie với móc Lie [f, g] = fog — gof. Vi du 5: Cho ‹zí là một IK-dai số (không nhất thiết kết hợp). Toán tử tuyến tinh f: <of => cof được gọi là toán tử vi phân trên <+/ nếu: f(xy) = Í{x). Kí hiệu Der(-*) là tập hợp tất cả các toán tử vi phân trên <⁄⁄.
Khi đó Der(z⁄/) trở thành một đại số kết hợp trên IK. Der(<+/) sẽ trở thành một đại số Lie trên IK với móc Lie được định nghĩa là: [ft, f›] = ftef› — fof}. Đại số Lie con và Ideal Cho G là một IK-dai số Lie, & là tập con của G. * f gọi là dai số Lie con của G nếu & ôn định đối với móc Lie.
* 6 gọi là ideal của G nếu [kG] ch, trong đó [#, @]= Í[x. Tức là [x, y]}<&: Vx eh, Vy €G. Ki hiệu: AaG. Đại số Lie thương Cho là một lK- đại số Lie, & là một ideal của G.
Đặt gy là |K-khéng gian vecto thương. Trên Gy ta định nghĩa móc Lie như sau: iy x h ” uy, 3/,9 G (gì +h, 2 +A) [g) +A, gạ +A) := [ẽì, ga] + &. Kiểm tra được định nghĩa trên là hợp ly và thỏa mãn (L;)). Ta nhận được đại số Lie # mà gọi là đại số Lie thương của G theo ideal A.
Đồng cấu đại số Lie Cho G và @› là hai lK-đại số Lie và ø: @¡—> G, là một ánh xạ. Ta bao fla một dong cau đại số Lie nêu: (i) g là ánh xạ lK-tuyên tính. (ii) @ bảo toàn móc Lie. Tức là @({x, y]) =[@(x), @(y)], Vx, y cớt.
Nếu ø còn là một song ánh thì ø gọi là đăng cau dai số Lie. *Tính chất Nếu @ là một đồng cau đại số Lie thì: (i) kerg 4 G;; eS (ii) Img C @;; son (iii) "`. Nhận xét (i) Ta nhận được phạm trù các lK-đại số Lie, trong đó: Ob: các IK-dai số Lie. G2) = {@: G, > G/ @ là đồng cấu đại số Lie}.
(ii) Pham trù các lK-không gian vectơ là phạm trù con của phạm trù các IK-đại số Lic. Mỗi đồng cau đại số Lie @: Œ¡—> Œ: còn được gọi là biểu điển của Ở) trong 2. Nói riêng, nêu G = End(V) là đại số Lie các toán tử tuyến tính trên không gian vecto V thì đồng cau đại số Lie g: Ở¡ —> End(V) được gọi là biểu diễn tuyển tính cua G, trong không gian vecto V. Dé đơn giản thì đôi khi người ta dùng thuật ngữ “biểu điền” thay cho thuật ngữ “biểu diễn tuyển tinh”.
Khi ø là một đơn cau thì @ được gọi là biểu điền khớp.1 (định by Ado) Moi đại so Lie hữu han chiêu đêu có it nhát mot biêu dién tuyên tính khớp hữu hạn chiếu. Định lý quan trọng này nói lên rằng, có thé quy tất cả các phép chứng minh của đại số Lie về trường hợp đại số Lie ma trận. Biểu dién chính quy của đại số Lie Cho là đại sô Lie. Với mỗi x € G, kí hiệu ad, là toán tử trong G được xác định bởi: adÁy) = [x, y]: Vy €@.
Khi đó ad, là một ánh xạ tuyến tính từ G vào và ta thu được biểu diễn tuyến tính của trong chính G như sau: ad: @ => End(G) X ad, Biểu diễn này được gọi là biểu điển chính quy của G. Hạt nhân của biéu diễn này là Ker(ad) = {xeỞ / ad, =0} chính là tâm của G. Ví dụ: Xét đại số Lie G = Ÿ với móc Lie là tích có hướng thông thường. Khi đó biéu điển chính quy của được cho bởi ma trận sau: 0 c —=b ad=|-c 0 a b -a 0 Dễ thay rằng, tâm G là tam thường.
do đó biéu diễn ad ở đây là khớp. Nói 3 cách khác, dai số Lie G = với móc Lie là tích có hướng thông thường dang cau với đại sô Lie các ma trận thực phản xứng cap 3. Đại số Lie giải được và đại số Lie lũy linh Cho G là một IK-dai số Lie. Vine vàn > 2, đặt: G =(G.G), F =1G GE), P= EP); Gi =[đ.
Gy là các ideal của G, ke đ'¬đ'—¬đ'¬. ` e (iti) Néudim G@< +0 thì 7ne — sao cho: kh ợ =g"' =.= 9", kh Gn = Gai =-. Dai số Lie G được gọi là giải được nêu G” = 10}, G được gọi là lity linh nếu @„= {0}. Chi số n nhỏ nhất dé các đăng thức xảy ra được gọi là hang của đại số Lie giải được (tương ứng, lũy linh) G.
Tín, IK) = {A = (aj)eMat(n, IK) / ay = 0, 1S j<i<n} (đại số các ma tran tam giác trên) là một đại số Lie giải được. To(n, IK) = {A = (aj) Mat(n, IK) / a; = 0, 1< jsisn} (đại số các ma trận tam giác trên mà các phân tử trên đường chéo chính bằng 0) là một đại số Lie lũy linh. Nhận xét: Ở lũy linh > G giải được. = Định lý 1,3 (Định ly Lie) Cho @ là biểu điển tuyển tính hữu hạn chiều của đại số Lie giải được @ trong không gian vectơ V trên trường dong đại số IK.
Khi đó @ tương đương với biéu dién tam giác trên, tức là @(x) = Tín, IK), Vxeđ.