Một Số Mở Rộng Của Bất Đẳng Thức Bellman Và Ứng Dụng Trong Nghiên Cứu

• Tác giả: Nguyễn Khải Hoàn
• Người hướng dẫn: TS. Lê Quang Thuận
• Trường học: Trường Đại Học Quy Nhơn
• Chuyên ngành: Toán Học
• Đề tài: Mở Rộng Bất Đẳng Thức Bellman Và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2020
• Địa điểm: Bình Định

• LỜI CAM ĐOAN
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
• 1.1. Bất đẳng thức Hölder
• 1.2. Bất đẳng thức Minkowski
• 1.3. Bất đẳng thức Aczél
• 2. CHƯƠNG 2: BẤT ĐẲNG THỨC BELLMAN
• 2.1. Bất đẳng thức Bellman
• 2.2. Làm mịn bất đẳng thức Bellman
• 3. CHƯƠNG 3: MỘT SỐ MỞ RỘNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC BELLMAN VÀ ỨNG DỤNG
• 3.1. Dạng mở rộng thứ nhất
• 3.2. Dạng mở rộng thứ hai
• MỞ ĐẦU
• KẾT LUẬN
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

I. Tổng Quan Bất Đẳng Thức Bellman Nền Tảng và Phát Triển

Bất đẳng thức Bellman là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt trong lĩnh vực giải tích và chứng minh bất đẳng thức. Được phát triển bởi Richard Bellman vào năm 1956, nó liên quan đến các số thực dương và một số p > 1. Bất đẳng thức này có nhiều ứng dụng, từ tối ưu hóa đến kinh tế. Tuy nhiên, nó ít được sử dụng trong chương trình phổ thông, và tài liệu tiếng Việt còn hạn chế. Luận văn này sẽ đi sâu vào khai triển bất đẳng thức Bellman và các dạng mở rộng của nó, cùng các ứng dụng trong giải toán. Mục tiêu là cung cấp một tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh, sinh viên và giáo viên. Tài liệu gốc nghiên cứu các dạng mở rộng và làm mịn bất đẳng thức Bellman.

1.1. Lịch sử và tầm quan trọng của Bất đẳng thức Bellman

Bất đẳng thức Bellman, được nhà toán học Richard Ernest Bellman phát biểu và chứng minh năm 1956, là một công cụ quan trọng trong nhiều lĩnh vực của Toán học, đặc biệt là trong lý thuyết hình học phi-Euclidean. Trong những thập kỷ gần đây, bất đẳng thức Bellman đã được tổng quát hóa, làm mịn và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Việc tìm hiểu các kết quả này là bổ ích cho công việc giảng dạy và nghiên cứu Toán học sơ cấp ở bậc Trung học phổ thông.

1.2. Mục tiêu và phạm vi của luận văn thạc sĩ

Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc tìm hiểu bất đẳng thức Bellman và một số dạng mở rộng, làm mịn nó. Hy vọng luận văn này là tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, sinh viên và giáo viên trong quá trình học tập và giảng dạy. Luận văn trình bày một cách hệ thống cơ sở lý thuyết về bất đẳng thức Bellman và trình bày một số mở rộng của bất đẳng thức Bellman.

II. Thách Thức Khi Ứng Dụng Bất Đẳng Thức Bellman Thực Tế

Mặc dù bất đẳng thức Bellman có tiềm năng ứng dụng rộng rãi, việc áp dụng nó vào thực tế gặp phải một số thách thức. Một trong những khó khăn chính là sự phức tạp trong việc chứng minh bất đẳng thức và xác định các điều kiện để bất đẳng thức xảy ra. Ngoài ra, việc tìm kiếm các ví dụ bất đẳng thức Bellman phù hợp và dễ hiểu cũng là một vấn đề cần được giải quyết. Sự thiếu hụt tài liệu tham khảo ứng dụng bất đẳng thức Bellman bằng tiếng Việt cũng gây khó khăn cho người học và người nghiên cứu.

2.1. Độ phức tạp trong việc chứng minh và ứng dụng

Bất đẳng thức Bellman đòi hỏi kiến thức nền tảng vững chắc về toán học, đặc biệt là về giải tích. Việc chứng minh các dạng mở rộng của bất đẳng thức Bellman có thể rất phức tạp và đòi hỏi kỹ năng giải toán cao. Điều này gây khó khăn cho những người mới bắt đầu làm quen với bất đẳng thức này.

2.2. Hạn chế về tài liệu tham khảo tiếng Việt

Hiện tại, số lượng tài liệu tham khảo về bất đẳng thức Bellman bằng tiếng Việt còn rất hạn chế. Điều này gây khó khăn cho người học và người nghiên cứu trong việc tiếp cận và tìm hiểu sâu về bất đẳng thức này. Cần có thêm nhiều tài liệu dịch thuật và biên soạn để phổ biến bất đẳng thức Bellman rộng rãi hơn.

III. Phương Pháp Mở Rộng Bất Đẳng Thức Bellman Hiệu Quả Nhất

Có nhiều phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bellman để mở rộng và tổng quát hóa bất đẳng thức. Một trong những phương pháp phổ biến là sử dụng bất đẳng thức Chebyshev và Aczél. Ngoài ra, việc áp dụng các kỹ thuật khai triển bất đẳng thức Bellman và làm mịn bất đẳng thức Bellman cũng mang lại những kết quả đáng chú ý. Luận văn này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp này và đưa ra các ví dụ bất đẳng thức Bellman minh họa. Shanhe Wu ([9]) mở rộng bất đẳng thức Bellman với m bộ số và mở rộng số mũ.

3.1. Mở rộng dựa trên Bất đẳng thức Chebyshev và Aczél

Shanhe Wu và Debnath ([8]) mở rộng bất đẳng thức Bellman dựa trên kết quả của bất đẳng thức Chebyshev và bất đẳng thức Aczél. Phương pháp này cho phép tạo ra các dạng tổng quát hơn của bất đẳng thức Bellman, áp dụng được cho nhiều trường hợp khác nhau. Việc kết hợp các bất đẳng thức kinh điển giúp tăng tính hiệu quả và linh hoạt của bất đẳng thức Bellman.

3.2. Kỹ thuật Khai triển và Làm mịn Bất đẳng thức Bellman

Việc khai triển bất đẳng thức Bellman và làm mịn bất đẳng thức Bellman là những kỹ thuật quan trọng để cải thiện độ chính xác và tính ứng dụng của bất đẳng thức. Các kỹ thuật này giúp thu hẹp khoảng giá trị và đưa ra những đánh giá chặt chẽ hơn. G. Pecaric và Atiq Ur Rehman ([3]) đã có những đóng góp quan trọng trong lĩnh vực này.

IV. Ứng Dụng Bất Đẳng Thức Bellman Từ Toán Học Đến Kinh Tế

Ứng dụng bất đẳng thức Bellman không chỉ giới hạn trong lĩnh vực toán học, mà còn mở rộng sang nhiều lĩnh vực khác như kinh tế, khoa học máy tính và tối ưu hóa. Trong kinh tế, bất đẳng thức Bellman được sử dụng để phân tích các mô hình tăng trưởng và tối ưu hóa lợi nhuận. Trong khoa học máy tính, nó được áp dụng trong các thuật toán học máy và xử lý tín hiệu. Luận văn sẽ trình bày các ứng dụng cụ thể của bất đẳng thức Bellman trong các lĩnh vực này.

4.1. Ứng dụng trong Tối ưu hóa và Kinh tế

Bất đẳng thức Bellman là công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa trong kinh tế. Nó giúp xác định các chiến lược tối ưu để đạt được mục tiêu kinh tế, chẳng hạn như tối đa hóa lợi nhuận hoặc giảm thiểu chi phí. Việc áp dụng bất đẳng thức Bellman giúp đưa ra các quyết định kinh tế sáng suốt và hiệu quả.

4.2. Ứng dụng trong Khoa học máy tính

Trong khoa học máy tính, bất đẳng thức Bellman được sử dụng trong các thuật toán học máy, xử lý tín hiệu và phân tích dữ liệu. Nó giúp xây dựng các mô hình dự đoán và phân loại chính xác hơn. Việc áp dụng bất đẳng thức Bellman giúp cải thiện hiệu suất và độ tin cậy của các hệ thống máy tính.

V. Bất Đẳng Thức Bellman Đảo Khám Phá Các Trường Hợp Đặc Biệt

Bên cạnh bất đẳng thức Bellman thông thường, còn có một dạng bất đẳng thức Bellman đảo, áp dụng cho các trường hợp đặc biệt. Luận văn sẽ trình bày chi tiết về bất đẳng thức Bellman đảo, điều kiện áp dụng và các ứng dụng của nó. Ngoài ra, sẽ có phần so sánh giữa bất đẳng thức Bellman và bất đẳng thức Bellman đảo để làm rõ sự khác biệt và mối liên hệ giữa hai dạng bất đẳng thức.

5.1. Điều kiện áp dụng và các ví dụ về Bất đẳng thức Bellman đảo

Bất đẳng thức Bellman đảo có những điều kiện áp dụng riêng, khác với bất đẳng thức Bellman thông thường. Việc xác định đúng điều kiện áp dụng là rất quan trọng để tránh sai sót trong quá trình giải toán. Luận văn sẽ đưa ra các ví dụ cụ thể về bất đẳng thức Bellman đảo để minh họa rõ hơn về cách áp dụng.

5.2. So sánh Bất đẳng thức Bellman và Bất đẳng thức Bellman đảo

Mặc dù có tên gọi tương tự, bất đẳng thức Bellman và bất đẳng thức Bellman đảo có những khác biệt quan trọng về điều kiện áp dụng, cách chứng minh và các ứng dụng. Luận văn sẽ trình bày chi tiết về những điểm khác biệt này, đồng thời làm rõ mối liên hệ giữa hai dạng bất đẳng thức.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Bất Đẳng Thức Bellman Tương Lai

Luận văn đã trình bày một cách tổng quan về bất đẳng thức Bellman, các dạng mở rộng, làm mịn và ứng dụng của nó. Tuy nhiên, bất đẳng thức Bellman vẫn còn nhiều tiềm năng phát triển trong tương lai. Các hướng nghiên cứu tiếp theo có thể tập trung vào việc tìm kiếm các ứng dụng mới, tổng quát hóa bất đẳng thức cho các trường hợp phức tạp hơn và phát triển các công cụ hỗ trợ giải toán liên quan đến bất đẳng thức Bellman.

6.1. Tổng kết các kết quả nghiên cứu chính

Luận văn đã trình bày một cách hệ thống các kiến thức về bất đẳng thức Bellman, từ cơ bản đến nâng cao. Các kết quả nghiên cứu chính bao gồm các dạng mở rộng, làm mịn, bất đẳng thức Bellman đảo và các ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hy vọng luận văn sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho những ai quan tâm đến bất đẳng thức Bellman.

6.2. Hướng nghiên cứu và ứng dụng Bất đẳng thức Bellman trong tương lai

Bất đẳng thức Bellman còn nhiều tiềm năng phát triển trong tương lai. Các hướng nghiên cứu có thể tập trung vào việc tìm kiếm các ứng dụng mới, tổng quát hóa bất đẳng thức cho các trường hợp phức tạp hơn và phát triển các công cụ hỗ trợ giải toán liên quan đến bất đẳng thức Bellman. Việc khám phá những khía cạnh mới của bất đẳng thức Bellman sẽ góp phần vào sự phát triển của toán học và các lĩnh vực liên quan.

Tổng quan nghiên cứu

Bất đẳng thức là một lĩnh vực trọng yếu trong toán học, thu hút sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu và giảng dạy từ phổ thông đến đại học. Theo ước tính, bất đẳng thức Bellman, được phát biểu và chứng minh bởi Richard Ernest Bellman năm 1956, là một trong những bất đẳng thức quan trọng với ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết hình học phi-Euclidean và các lĩnh vực toán học khác. Tuy nhiên, bất đẳng thức này chưa được phổ biến rộng rãi trong chương trình toán Trung học phổ thông tại Việt Nam, đồng thời tài liệu tiếng Việt về chủ đề này còn hạn chế.

Mục tiêu nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu sắc về bất đẳng thức Bellman, các dạng mở rộng và làm mịn của nó, đồng thời khảo sát các ứng dụng liên quan. Phạm vi nghiên cứu tập trung vào các số thực dương và các hàm số khả tích trên khoảng thời gian từ năm 1956 đến 2020, với trọng tâm là các kết quả mới được phát triển trong những thập niên gần đây. Luận văn được thực hiện tại Đại học Quy Nhơn, tỉnh Bình Định, năm 2020.

Ý nghĩa nghiên cứu được thể hiện qua việc cung cấp tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, sinh viên và giáo viên trong quá trình học tập và giảng dạy toán học sơ cấp, đồng thời góp phần phát triển lý thuyết bất đẳng thức Bellman và các ứng dụng toán học liên quan. Các số liệu cụ thể như điều kiện về các bộ số thực dương và các tham số p > 1 hoặc 0 < p < 1 được sử dụng làm nền tảng cho các phát biểu và chứng minh bất đẳng thức.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên các lý thuyết và mô hình toán học nền tảng sau:

• Bất đẳng thức Hölder: Định lý liên quan đến tích của các số thực dương với các mũ liên hợp p và q, trong đó p > 1 và 1/p + 1/q = 1. Đây là công cụ quan trọng để chứng minh các bất đẳng thức tổng quát hơn.
• Bất đẳng thức Minkowski: Mở rộng bất đẳng thức tam giác cho các không gian lũy thừa, được sử dụng để chứng minh bất đẳng thức Bellman và các dạng mở rộng.
• Bất đẳng thức Aczél: Một dạng bất đẳng thức liên quan đến các bộ số thực dương, được sử dụng để phát triển các mở rộng của bất đẳng thức Bellman.
• Bất đẳng thức Bellman: Phát biểu chính của luận văn, với các điều kiện về các bộ số thực dương ai, bi và tham số p > 1 hoặc 0 < p < 1, cùng các dạng làm mịn và mở rộng.
• Bất đẳng thức Bellman dạng tích phân và dạng hàm: Tổng quát hóa bất đẳng thức Bellman sang các hàm số khả tích và các hàm số thỏa mãn điều kiện tăng của tỉ số f(x)/x.

Các khái niệm chính bao gồm: bộ số thực dương, điều kiện tỉ lệ giữa các bộ số, các tham số p, r, k trong các bất đẳng thức tổng quát, và các hàm số khả tích Riemann.

Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết toán học kết hợp sưu tầm, phân tích và tổng hợp các kết quả từ các tài liệu khoa học quốc tế và trong nước. Cỡ mẫu nghiên cứu là các bộ số thực dương với số lượng n, m tùy ý, được lựa chọn theo điều kiện thỏa mãn các bất đẳng thức đã nêu.

Phương pháp phân tích chủ yếu dựa trên việc áp dụng các bất đẳng thức cơ bản như Hölder, Minkowski, Aczél để chứng minh các bất đẳng thức Bellman và các dạng mở rộng. Quá trình nghiên cứu được thực hiện theo timeline từ việc tổng hợp kiến thức nền tảng, chứng minh bất đẳng thức Bellman, đến phát triển các dạng mở rộng và ứng dụng dạng tích phân, dạng hàm.

Nguồn dữ liệu chính là các công trình nghiên cứu toán học đã được công bố, đặc biệt là các bài báo của Shanhe Wu, Lokenath Debnath, G. Pecaric, Atiq Ur Rehman, Ch-J Zhao và W-S Cheung. Các kết quả được trình bày hệ thống trong bốn chương, từ kiến thức chuẩn bị đến các dạng mở rộng và bất đẳng thức Bellman đảo.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Bất đẳng thức Bellman cơ bản: Với các số thực dương ai, bi (i = 1, 2, ..., n) và p > 1 thỏa mãn điều kiện ( a_1^p > \sum_{i=2}^n a_i^p ) và tương tự với bi, bất đẳng thức Bellman được phát biểu như sau:

$$ \sum_{i=2}^n (a_1^p - a_i^p + b_1^p - b_i^p) \leq (a_1 + b_1)^p - \sum_{i=2}^n (a_i + b_i)^p $$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các bộ số tỉ lệ với nhau hoặc p = 1.

2. Dạng làm mịn của bất đẳng thức Bellman: Được chứng minh bởi G. Pecaric và Atiq Ur Rehman (2010), dạng làm mịn này mở rộng bất đẳng thức Bellman với tham số k (1 ≤ k < n), cho phép phân tách tổng thành hai phần, tăng tính linh hoạt trong ứng dụng.

3. Các dạng mở rộng của bất đẳng thức Bellman:

   • Shanhe Wu (2010) mở rộng bất đẳng thức Bellman với m bộ số và các tham số p, r khác nhau, đồng thời phát triển dạng tích phân và dạng hàm tổng quát.
   • Ch-J Zhao và W-S Cheung (2019) bổ sung các bộ số Xi, Yi để mở rộng bất đẳng thức Bellman, tạo điều kiện cho các ứng dụng đa chiều hơn.
   • Bất đẳng thức Bellman dạng tích phân được phát triển cho các hàm số khả tích Riemann, mở rộng phạm vi ứng dụng sang giải tích toán học.

4. Bất đẳng thức Bellman đảo: Với 0 < p < 1, bất đẳng thức Bellman đảo được phát biểu và chứng minh, có chiều ngược lại so với bất đẳng thức Bellman cơ bản, đồng thời có dạng làm mịn và dạng tích phân tương ứng.

Các số liệu hỗ trợ bao gồm các điều kiện về các bộ số thực dương, các tham số p, r, k, cùng các điều kiện tỉ lệ và đơn điệu của các bộ số. Ví dụ, với p > 1, bất đẳng thức Bellman tổng quát được chứng minh với các bộ số aij > 0 thỏa mãn ( a_{1j}^p > \sum_{i=2}^n a_{ij}^p ).

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân các bất đẳng thức Bellman và các dạng mở rộng có thể được chứng minh dựa trên các bất đẳng thức cơ bản như Hölder và Minkowski, cho thấy tính liên kết chặt chẽ giữa các bất đẳng thức trong toán học. Việc làm mịn bất đẳng thức Bellman giúp tăng tính ứng dụng trong các bài toán thực tế, đặc biệt khi phân tách tổng thành các phần nhỏ hơn.

So sánh với các nghiên cứu trước, luận văn đã hệ thống hóa và mở rộng các kết quả, đồng thời trình bày các dạng tích phân và dạng hàm tổng quát, góp phần làm phong phú thêm lý thuyết bất đẳng thức Bellman. Các biểu đồ hoặc bảng có thể được sử dụng để minh họa sự khác biệt về giá trị tổng của các biểu thức trong bất đẳng thức khi thay đổi tham số p hoặc số lượng bộ số n, m.

Ý nghĩa của các kết quả này không chỉ nằm trong lý thuyết mà còn mở ra các hướng ứng dụng trong giảng dạy toán học sơ cấp và các lĩnh vực toán học ứng dụng khác.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Tăng cường giảng dạy bất đẳng thức Bellman trong chương trình Trung học phổ thông: Động từ hành động là "đưa vào", mục tiêu là nâng cao nhận thức và kỹ năng giải toán bất đẳng thức, thời gian thực hiện trong 1-2 năm, chủ thể thực hiện là Bộ Giáo dục và Đào tạo phối hợp với các trường phổ thông.

2. Phát triển tài liệu tham khảo tiếng Việt về bất đẳng thức Bellman và các dạng mở rộng: Động từ hành động là "biên soạn", mục tiêu là cung cấp nguồn học liệu chất lượng, thời gian 6-12 tháng, chủ thể thực hiện là các nhà xuất bản và nhóm nghiên cứu toán học.

3. Ứng dụng các dạng mở rộng của bất đẳng thức Bellman trong nghiên cứu toán học ứng dụng và kỹ thuật: Động từ hành động là "khai thác", mục tiêu là phát triển các mô hình toán học mới, thời gian 2-3 năm, chủ thể thực hiện là các viện nghiên cứu và trường đại học.

4. Tổ chức các hội thảo, khóa đào tạo chuyên sâu về bất đẳng thức Bellman và các ứng dụng: Động từ hành động là "tổ chức", mục tiêu nâng cao năng lực nghiên cứu và giảng dạy, thời gian định kỳ hàng năm, chủ thể thực hiện là các khoa toán và các tổ chức chuyên ngành.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Giáo viên Toán Trung học phổ thông: Giúp nâng cao kiến thức chuyên sâu về bất đẳng thức, hỗ trợ giảng dạy các bài toán nâng cao và chuẩn bị cho các kỳ thi học sinh giỏi.

2. Sinh viên ngành Toán học và các ngành liên quan: Cung cấp nền tảng lý thuyết và phương pháp chứng minh bất đẳng thức, phục vụ cho nghiên cứu và học tập chuyên sâu.

3. Nhà nghiên cứu Toán học ứng dụng: Tài liệu giúp mở rộng các công cụ toán học trong mô hình hóa và giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức.

4. Các chuyên gia phát triển tài liệu giáo dục: Hỗ trợ biên soạn sách giáo khoa, tài liệu tham khảo và bài tập nâng cao về bất đẳng thức Bellman và các dạng mở rộng.

Câu hỏi thường gặp

1. Bất đẳng thức Bellman là gì?
   Bất đẳng thức Bellman là một bất đẳng thức liên quan đến các bộ số thực dương và tham số p > 1, phát biểu mối quan hệ giữa tổng các lũy thừa của các phần tử trong bộ số. Ví dụ, nó thể hiện rằng tổng các hiệu lũy thừa không vượt quá hiệu lũy thừa của tổng các phần tử.

2. Tại sao cần làm mịn bất đẳng thức Bellman?
   Làm mịn giúp phân tách tổng thành các phần nhỏ hơn, tăng tính linh hoạt và khả năng ứng dụng trong các bài toán phức tạp hơn, đồng thời giúp mở rộng bất đẳng thức sang các trường hợp tổng quát hơn.

3. Bất đẳng thức Bellman có ứng dụng thực tiễn nào?
   Bất đẳng thức Bellman được ứng dụng trong lý thuyết hình học phi-Euclidean, phân tích hàm số, và các mô hình toán học trong kỹ thuật và khoa học tự nhiên, giúp giải quyết các bài toán tối ưu và ước lượng.

4. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Bellman là gì?
   Phương pháp chủ yếu dựa trên việc áp dụng các bất đẳng thức cơ bản như Hölder, Minkowski và Aczél, kết hợp với kỹ thuật phân tích hàm số và các điều kiện tỉ lệ giữa các bộ số.

5. Có thể áp dụng bất đẳng thức Bellman cho các hàm số không phải là số thực không?
   Luận văn đã mở rộng bất đẳng thức Bellman sang dạng tích phân và dạng hàm tổng quát, cho phép áp dụng cho các hàm số khả tích Riemann thỏa mãn điều kiện tăng của tỉ số f(x)/x, mở rộng phạm vi ứng dụng vượt ra ngoài các số thực dương.

Kết luận

• Luận văn đã giới thiệu và làm rõ bất đẳng thức Bellman cùng các dạng làm mịn và mở rộng của nó, bao gồm dạng tích phân và dạng hàm tổng quát.
• Các kết quả nghiên cứu được chứng minh dựa trên các bất đẳng thức cơ bản như Hölder, Minkowski và Aczél, đồng thời phát triển các dạng mở rộng mới phù hợp với nhiều ứng dụng.
• Bất đẳng thức Bellman đảo với 0 < p < 1 cũng được nghiên cứu và chứng minh, bổ sung cho lý thuyết bất đẳng thức Bellman.
• Luận văn cung cấp tài liệu tham khảo quý giá cho giảng dạy và nghiên cứu toán học sơ cấp, đặc biệt trong bậc Trung học phổ thông và đại học.
• Các bước tiếp theo bao gồm phát triển tài liệu giảng dạy, ứng dụng trong các lĩnh vực toán học ứng dụng và tổ chức các khóa đào tạo chuyên sâu.

Hành động tiếp theo: Khuyến khích các nhà giáo dục và nhà nghiên cứu áp dụng và phát triển thêm các kết quả này trong giảng dạy và nghiên cứu toán học.