I. Mở đầu
Mô hình Ising là một mô hình toán học đơn giản mô tả các hiện tượng chuyển pha trong vật lý thống kê. Mục đích ban đầu của mô hình này là giải thích cấu trúc và tính chất của các chất sắt từ. Mô hình Ising đã trở nên phổ biến trong nhiều lĩnh vực, từ vật lý đến khoa học xã hội, nhờ khả năng mô hình hóa sự đồng thuận trong quần thể. Các nhà nghiên cứu đã áp dụng mô hình này để phân tích các hiện tượng phức tạp trong mạng lưới xã hội, kinh tế và sinh học. Mô hình Ising trên đồ thị ngẫu nhiên đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới, đặc biệt trong việc hiểu rõ hơn về sự tương tác giữa các thành phần trong hệ thống phức tạp.
II. Kiến thức chuẩn bị
Chương này tổng hợp các khái niệm cơ bản về đồ thị, graphon và mô hình Ising. Đồ thị được định nghĩa là một tập hợp các đỉnh và cạnh, trong đó mỗi cạnh kết nối hai đỉnh. Graphon là một khái niệm tổng quát hóa đồ thị, cho phép nghiên cứu các dãy đồ thị hội tụ. Mô hình Ising được áp dụng trên đồ thị ngẫu nhiên, trong đó mỗi đỉnh được gán một spin có giá trị +1 hoặc -1. Năng lượng của hệ thống được tính toán dựa trên tương tác giữa các spin và ảnh hưởng của từ trường ngoài. Các khái niệm này là nền tảng cho việc nghiên cứu sâu hơn về mô hình Ising trong các chương tiếp theo.
2.1 Đồ thị và đồ thị có trọng
Đồ thị G = (V, E) bao gồm tập hợp các đỉnh V và cạnh E. Mỗi đỉnh có thể kết nối với một hoặc nhiều đỉnh khác thông qua các cạnh. Đồ thị có trọng là đồ thị mà các đỉnh và cạnh được gán trọng số, cho phép phân tích sâu hơn về cấu trúc và tính chất của đồ thị. Mật độ đồng cấu là một khái niệm quan trọng trong việc so sánh các đồ thị, cho phép xác định mức độ tương đồng giữa chúng. Các khái niệm này sẽ được áp dụng trong việc nghiên cứu mô hình Ising trên đồ thị ngẫu nhiên.
III. Mô hình Ising trên đồ thị ngẫu nhiên
Mô hình Ising trên đồ thị ngẫu nhiên được giới thiệu như một công cụ mạnh mẽ để nghiên cứu các hiện tượng tương tác trong các hệ thống phức tạp. Mỗi đỉnh của đồ thị được gán một spin, và năng lượng của hệ thống được tính toán dựa trên tương tác giữa các spin và ảnh hưởng của từ trường ngoài. Sự chuyển pha trong mô hình Ising là một hiện tượng thú vị, cho thấy cách mà các hệ thống có thể thay đổi trạng thái một cách đột ngột khi điều kiện bên ngoài thay đổi. Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng mô hình này có thể được áp dụng để mô tả các hiện tượng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, từ sinh học đến kinh tế, mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới.
3.1 Giới thiệu mô hình Ising
Mô hình Ising được đặt theo tên của Ernst Ising, mô tả sự tương tác giữa các nguyên tử trong vật liệu từ. Mỗi nguyên tử có thể ở một trong hai trạng thái, và sự tương tác giữa chúng được điều chỉnh bởi các tham số như nhiệt độ và từ trường. Mô hình này không chỉ giúp hiểu rõ hơn về các hiện tượng vật lý mà còn có thể áp dụng trong các lĩnh vực khác như khoa học xã hội và kinh tế. Sự chuyển pha trong mô hình Ising cho thấy cách mà các hệ thống có thể thay đổi trạng thái một cách đột ngột, điều này rất quan trọng trong việc phân tích các hiện tượng phức tạp trong thực tế.
