Mạng nơ-ron thông tin vật lý trong phân tích và tối ưu hóa kết cấu

Tài liệu nghiên cứu Physics informed neural networks for the analysis and optmization of structures, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về vật lý.

• Tác giả: Mai Tien Hau
• Người hướng dẫn: Professor Jaehong Lee, Major Advisor
• Trường học: Sejong University
• Chuyên ngành: Architectural Engineering
• Đề tài: Mạng Nơ-Ron Thông Tin Vật Lý Trong Phân Tích Và Tối Ưu Hóa Kết Cấu
• Loại tài liệu: dissertation
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Sejong

Mục lục chi tiết

• ABSTRACT
• LIST OF TABLES
• LIST OF FIGURES
• 1. PHYSICS-INFORMED NEURAL NETWORK FOR NON­ LINEAR ANALYSIS OF TRUSS STRUCTURES
• 1.1. PINN for nonlinear analysis
• 1.2. Unsupervised learning-based approach framework
• 1.3. PINN for structural stability analysis
• 1.4. Direct instability-informed neural network framework
• 1.5. Material and geometrical nonlinearities
• 2. BAYESIAN DEEP NEURAL NETWORK-BASED PARAMETERIZATION FRAMEWORK FOR OPTIMUM DESIGN OF NONLINEAR STRUCTURES
• 2.1. Statement of structural optimization problem
• 2.2. BDNN-based parameterization framework
• 2.3. DNN-based parameterization model
• 2.4. 25-bar space truss
• 2.5. 52-bar dome truss
• 2.6. 56-bar space truss
• 2.7. 120-bar dome truss
• 3. PHYSICS-INFORMED NEURAL ENERGY FORCE NETWORK FOR STRUCTURAL OPTIMIZATION
• 3.1. Structural optimization based on energy-force methods
• 3.2. Physics-informed neural energy-force network
• 3.3. Ten-bar truss
• 3.4. 200-bar planar truss
• 3.5. 25-bar space truss
• 3.6. 72-bar space truss
• 3.7. 120-bar dome truss
• 4. CONCLUSIONS AND FUTURE WORK
• LIST OF PUBLICATIONS
• ABSTRACT IN KOREAN

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Mạng Nơ ron Thông Tin Vật Lý PINN Cho Kết Cấu

Trong lĩnh vực cơ học tính toán, mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) đang nổi lên như một phương pháp đầy hứa hẹn để giải quyết các bài toán phức tạp trong phân tích kết cấu và tối ưu hóa kết cấu. Khác với các phương pháp truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), PINN tích hợp trực tiếp các phương trình vi phân riêng phần (PDE) mô tả hành vi vật lý của kết cấu vào quá trình huấn luyện mạng nơ-ron. Điều này cho phép PINN dự đoán chính xác các đặc tính cơ học như ứng suất và biến dạng mà không cần dữ liệu huấn luyện lớn. Theo nghiên cứu của Mai Tien Hau (2023), PINN có khả năng giải quyết các bài toán phi tuyến, ổn định và tối ưu hóa kích thước của kết cấu giàn một cách hiệu quả. Việc sử dụng học sâu (Deep Learning) giúp PINN tự động trích xuất các đặc trưng quan trọng từ dữ liệu và giải quyết các bài toán biên phức tạp.

1.1. Giới Thiệu Về Ứng Dụng PINN Trong Bài Toán Kết Cấu

PINN (Physics-Informed Neural Networks) là một lớp mạng nơ-ron đặc biệt, được thiết kế để giải quyết các bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên bằng cách kết hợp thông tin vật lý (được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân riêng phần - PDE) vào quá trình huấn luyện. Trong lĩnh vực phân tích kết cấu, PINN có thể được sử dụng để dự đoán ứng suất, biến dạng, và các đặc tính cơ học khác của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng. Thay vì chỉ dựa vào dữ liệu huấn luyện, PINN sử dụng loss function được xây dựng dựa trên các định luật vật lý và điều kiện biên để huấn luyện mạng nơ-ron.

1.2. Ưu Điểm Của PINN So Với Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn FEM

So với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), PINN có một số ưu điểm đáng kể. Thứ nhất, PINN có thể giải quyết các bài toán phức tạp với ít dữ liệu huấn luyện hơn. Thứ hai, PINN có thể xử lý các bài toán ngược một cách hiệu quả, tức là xác định các thông số vật liệu hoặc tải trọng dựa trên các quan sát về biến dạng. Thứ ba, PINN có tiềm năng tính toán hiệu năng cao hơn FEM, đặc biệt là trong các bài toán có độ phức tạp cao. Tuy nhiên, PINN cũng có một số hạn chế, chẳng hạn như việc thiết kế loss function phù hợp có thể là một thách thức.

II. Thách Thức Trong Phân Tích Kết Cấu Phi Tuyến Truyền Thống

Phân tích kết cấu phi tuyến là một lĩnh vực phức tạp, đòi hỏi các phương pháp số mạnh mẽ để giải quyết các bài toán có tính phi tuyến về vật liệu và hình học. Các phương pháp truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) thường sử dụng các thuật toán lặp tăng dần để cập nhật ma trận độ cứng và giải hệ phương trình phi tuyến. Theo Mai Tien Hau (2023), việc triển khai các thuật toán này đòi hỏi lượng lớn tính toán số, đặc biệt là đối với các kết cấu phức tạp và các bài toán có tính chất phi tuyến cao. Hơn nữa, việc lựa chọn các thông số điều khiển phù hợp cho các thuật toán lặp có thể ảnh hưởng đáng kể đến độ chính xác và tốc độ hội tụ của giải pháp. Các phương pháp tối ưu hóa dựa trên gradient cũng gặp khó khăn trong việc tính toán đạo hàm của hàm năng lượng đối với chuyển vị.

2.1. Hạn Chế Của Thuật Toán Lặp Tăng Dần Trong FEM

Các thuật toán lặp tăng dần, chẳng hạn như phương pháp Newton-Raphson, được sử dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu phi tuyến. Tuy nhiên, các thuật toán này có thể gặp khó khăn trong việc hội tụ, đặc biệt là khi giải quyết các bài toán có tính phi tuyến mạnh hoặc khi gần các điểm kỳ dị. Việc lựa chọn kích thước bước tải phù hợp cũng là một thách thức quan trọng. Nếu bước tải quá lớn, thuật toán có thể không hội tụ. Ngược lại, nếu bước tải quá nhỏ, thời gian tính toán có thể tăng lên đáng kể.

2.2. Khó Khăn Trong Tính Toán Đạo Hàm Của Hàm Năng Lượng

Các phương pháp tối ưu hóa dựa trên gradient yêu cầu tính toán đạo hàm của hàm năng lượng đối với chuyển vị. Tuy nhiên, trong các bài toán phi tuyến, việc tính toán đạo hàm này có thể rất phức tạp và tốn kém về mặt tính toán. Trong một số trường hợp, đạo hàm có thể không tồn tại hoặc không thể tính toán một cách chính xác. Điều này gây khó khăn cho việc áp dụng các thuật toán tối ưu hóa dựa trên gradient để giải quyết các bài toán phân tích kết cấu phi tuyến.

III. Phương Pháp PINN Giải Quyết Bài Toán Phân Tích Kết Cấu

Mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) cung cấp một cách tiếp cận mới để giải quyết các bài toán phân tích kết cấu, bằng cách tích hợp các định luật vật lý vào quá trình huấn luyện mạng. Theo Mai Tien Hau (2023), PINN sử dụng mạng nơ-ron để xấp xỉ giải pháp của phương trình vi phân riêng phần (PDE) mô tả hành vi của kết cấu. Loss function được xây dựng dựa trên các định luật vật lý và điều kiện biên, và mạng nơ-ron được huấn luyện để giảm thiểu loss function này. Ưu điểm của phương pháp này là không yêu cầu dữ liệu huấn luyện lớn và có thể xử lý các bài toán phức tạp với độ chính xác cao.

3.1. Xây Dựng Loss Function Dựa Trên Các Định Luật Vật Lý

Việc xây dựng loss function phù hợp là một bước quan trọng trong việc áp dụng PINN (Physics-Informed Neural Networks) để giải quyết các bài toán phân tích kết cấu. Loss function thường bao gồm các thành phần sau: (1) Loss tuân theo phương trình vi phân riêng phần (PDE), đảm bảo rằng giải pháp xấp xỉ thỏa mãn các định luật vật lý; (2) Loss điều kiện biên, đảm bảo rằng giải pháp xấp xỉ thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán; (3) Loss dữ liệu (nếu có), đo lường sự phù hợp của giải pháp xấp xỉ với dữ liệu quan sát.

3.2. Quá Trình Huấn Luyện Mạng Nơ ron Với Gradient Descent

Sau khi loss function được xây dựng, mạng nơ-ron được huấn luyện để giảm thiểu loss function này. Quá trình huấn luyện thường sử dụng các thuật toán gradient descent như Adam hoặc L-BFGS. Automatic differentiation được sử dụng để tính toán gradient của loss function đối với các tham số của mạng nơ-ron. Việc lựa chọn kiến trúc mạng nơ-ron phù hợp và các siêu tham số huấn luyện cũng là một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến hiệu quả của PINN.

IV. Ứng Dụng PINN Trong Tối Ưu Hóa Kết Cấu Với Ràng Buộc Phi Tuyến

Ngoài phân tích kết cấu, mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) cũng có thể được sử dụng để tối ưu hóa kết cấu. Trong bài toán tối ưu hóa, mục tiêu là tìm kiếm thiết kế kết cấu tối ưu, thỏa mãn các ràng buộc về ứng suất, biến dạng, và các tiêu chí khác. Theo Mai Tien Hau (2023), PINN có thể được sử dụng để xấp xỉ hàm mục tiêu và các ràng buộc, cho phép giải quyết các bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu và bài toán tối ưu hóa ràng buộc một cách hiệu quả.

4.1. PINN Kết Hợp Thuật Toán Tối Ưu Bayesian BO Cho Bài Toán Kích Thước

Tối ưu hóa kết cấu thường là một quá trình tốn kém về mặt tính toán. PINN (Physics-Informed Neural Networks) có thể được sử dụng để giảm chi phí tính toán bằng cách thay thế các phân tích phần tử hữu hạn tốn kém bằng các đánh giá nhanh chóng của mạng nơ-ron. Thuật toán tối ưu Bayesian (BO) có thể được sử dụng để tìm kiếm các thiết kế tối ưu một cách hiệu quả, đặc biệt là trong các bài toán có hàm mục tiêu không lồi và các ràng buộc phức tạp.

4.2. Tối Ưu Hóa Hình Học Kết Cấu Dựa Trên PINN Và Học Sâu

Ngoài tối ưu hóa kích thước, PINN (Physics-Informed Neural Networks) cũng có thể được sử dụng để tối ưu hóa hình học của kết cấu. Trong bài toán tối ưu hóa hình học, mục tiêu là tìm kiếm hình dạng kết cấu tối ưu, thỏa mãn các ràng buộc về ứng suất, biến dạng, và các tiêu chí khác. Học sâu (Deep Learning) có thể được sử dụng để tham số hóa hình dạng kết cấu và để học các mối quan hệ giữa hình dạng, tải trọng và hiệu suất kết cấu. Các mạng nơ-ron tích chập (CNN) hoặc mạng nơ-ron tái phát (RNN) có thể được sử dụng để xử lý dữ liệu hình ảnh hoặc chuỗi liên quan đến hình dạng kết cấu.

V. Kết Quả Nghiên Cứu Ứng Dụng PINN Trong Thực Tiễn

Các nghiên cứu gần đây đã chứng minh tính hiệu quả của mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) trong việc giải quyết các bài toán phân tích kết cấu và tối ưu hóa kết cấu thực tế. Theo Mai Tien Hau (2023), PINN đã được áp dụng thành công để phân tích và tối ưu hóa các kết cấu giàn, dầm, tấm và vỏ. Kết quả cho thấy PINN có thể đạt được độ chính xác cao với chi phí tính toán thấp hơn so với các phương pháp truyền thống. Việc sử dụng các framework Tensorflow hoặc framework Pytorch giúp việc triển khai PINN trở nên dễ dàng hơn.

5.1. Phân Tích Và Tối Ưu Hóa Kết Cấu Giàn Sử Dụng PINN

PINN (Physics-Informed Neural Networks) đã được sử dụng để phân tích kết cấu và tối ưu hóa kết cấu giàn với các ràng buộc phi tuyến. Các kết quả cho thấy rằng PINN có thể dự đoán chính xác ứng suất và biến dạng trong kết cấu giàn dưới tác dụng của tải trọng, và có thể được sử dụng để tìm kiếm thiết kế tối ưu với trọng lượng tối thiểu hoặc độ cứng tối đa. Nghiên cứu của Mai Tien Hau (2023) đã áp dụng PINN để giải quyết bài toán tối ưu hóa kích thước giàn thành công.

5.2. Mô Phỏng Độ Bền Vật Liệu Với PINN Cho Các Vật Liệu Phức Tạp

PINN có thể được sử dụng để mô hình hóa vật lý và dự đoán hành vi của vật liệu phức tạp, chẳng hạn như vật liệu composite hoặc vật liệu dị hướng. Bằng cách kết hợp các phương trình constitutive phù hợp vào loss function, PINN có thể học các mối quan hệ phức tạp giữa ứng suất, biến dạng, và các biến trạng thái khác. Điều này mở ra khả năng phân tích độ bền vật liệu và thiết kế các cấu trúc tiên tiến sử dụng vật liệu phức tạp.

VI. Triển Vọng Và Hướng Phát Triển Của PINN Trong Kỹ Thuật Xây Dựng

Mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) là một lĩnh vực nghiên cứu mới nổi, với tiềm năng to lớn trong kỹ thuật xây dựng. Trong tương lai, PINN có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, chẳng hạn như phân tích độ tin cậy kết cấu, thiết kế kết cấu chống động đất, và mô phỏng kết cấu trong điều kiện môi trường khắc nghiệt. Việc kết hợp PINN với các phương pháp khác, chẳng hạn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và tối ưu hóa metaheuristic, cũng có thể mang lại kết quả tốt hơn. Các nghiên cứu về mô hình hóa vật lý nâng cao và các thuật toán huấn luyện hiệu quả hơn sẽ tiếp tục thúc đẩy sự phát triển của PINN trong kỹ thuật xây dựng.

6.1. Tích Hợp PINN Với Các Phương Pháp Truyền Thống Để Nâng Cao Độ Chính Xác

Để tận dụng ưu điểm của cả PINN (Physics-Informed Neural Networks) và các phương pháp truyền thống, chẳng hạn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), có thể tích hợp hai phương pháp này với nhau. Ví dụ, FEM có thể được sử dụng để tạo ra dữ liệu huấn luyện cho PINN, hoặc PINN có thể được sử dụng để cải thiện độ chính xác của các phân tích FEM thô. Việc tích hợp này có thể giúp giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả hơn.

6.2. Phát Triển Các Thuật Toán Huấn Luyện PINN Hiệu Quả Hơn

Một trong những thách thức chính trong việc áp dụng PINN (Physics-Informed Neural Networks) là huấn luyện mạng nơ-ron một cách hiệu quả. Các thuật toán huấn luyện truyền thống, chẳng hạn như gradient descent, có thể gặp khó khăn trong việc hội tụ, đặc biệt là khi giải quyết các bài toán có loss function phức tạp. Do đó, cần phát triển các thuật toán huấn luyện mới, được thiết kế đặc biệt cho PINN, để cải thiện tốc độ hội tụ và độ chính xác.

Nội dung chính

Tổng quan về luận án

Trong kỷ nguyên giao thoa đột phá giữa Cơ học tính toán (Computational Mechanics) và Trí tuệ nhân tạo (Artificial Intelligence), luận án tiến sĩ với tiêu đề "Physics-informed neural networks for the analysis and optimization of structures" do nghiên cứu sinh Mai Tiến Hậu thực hiện dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Jaehong Lee tại Khoa Kỹ thuật Kiến trúc, Trường Cao học thuộc Đại học Sejong (Sejong University, Hàn Quốc, bảo vệ thành công tháng 02/2023), đã thiết lập một hệ hình nghiên cứu hoàn toàn mới cho lĩnh vực kỹ thuật kết cấu. Công trình giải quyết triệt để những điểm nghẽn cố hữu trong phân tích phi tuyến hình học (geometric nonlinearity), phi tuyến vật liệu phi đàn hồi (material inelasticity), phân tích mất ổn định kết cấu (structural stability analysis) và tối ưu hóa kích thước (size optimization) của hệ kết cấu thanh không gian (truss structures).

Khoảng trống nghiên cứu (Research Gap) cốt lõi mà luận án chỉ ra nằm ở sự phụ thuộc nặng nề của phương pháp Phần tử hữu hạn (FEA) truyền thống vào các quy trình số gia - lặp (incremental-iterative schemes) như Newton-Raphson, Quasi-Newton, Arc-length hay phương pháp tải trọng gia tăng (Incremental Load Method - ILM). Các phương pháp này đòi hỏi cập nhật ma trận độ cứng liên tục, dẫn đến bùng nổ chi phí tính toán và tiềm ẩn nguy cơ phân kỳ nghiêm trọng tại các điểm kỳ dị. Ngược lại, các mô hình học máy thuần dữ liệu (purely data-driven surrogate models) lại phụ thuộc quá mức vào chất lượng và quy mô của tập dữ liệu huấn luyện thu thập từ mô phỏng số tốn kém, đồng thời thiếu tính suy quát khi đối mặt với các miền hình học phức tạp.

Để lấp đầy khoảng trống này, luận án xây dựng 4 câu hỏi nghiên cứu (Research Questions - RQ) và 4 giả thuyết khoa học (Hypotheses - H) tương ứng:

• RQ1 & H1: Liệu một mạng nơ-ron học không giám sát có thể dự đoán trực tiếp ứng xử phi tuyến hình học và vật liệu mà không cần sử dụng bất kỳ bước lặp giải tích hay bộ giải FEA nào? Giả thuyết khẳng định việc cực tiểu hóa hàm mất mát xây dựng từ Nguyên lý thế năng toàn phần (Total Potential Energy - TPE) với dữ liệu đầu vào duy nhất là tọa độ không gian các nút sẽ cho phép thu nhận trực tiếp trường chuyển vị và nội lực chính xác.
• RQ2 & H2: Có thể định vị trực tiếp các điểm mất ổn định tới hạn (limit points và bifurcation points) mà không cần dò tìm dọc theo đường cân bằng? Giả thuyết cho rằng hàm mất mát kết hợp giữa vector tải dư và đặc trưng phổ của ma trận độ cứng tiếp tuyến ($K_t$) sẽ tự động hội tụ về điểm mất ổn định đầu tiên tại điểm kết thúc huấn luyện.
• RQ3 & H3: Làm thế nào để tham số hóa biến thiết kế trong tối ưu hóa kết cấu phi tuyến bằng mạng nơ-ron sâu mà không bị rơi vào cực tiểu địa phương? Giả thuyết đặt trọng số và độ lệch của mạng làm biến quyết định, kết hợp thuật toán Tối ưu hóa Bayes (Bayesian Optimization - BO) để tự động tinh chỉnh siêu tham số (Hyperparameter Optimization - HPO).
• RQ4 & H4: Liệu có thể loại bỏ hoàn toàn module phân tích kết cấu ra khỏi bài toán tối ưu hóa toàn cục? Giả thuyết đề xuất mô hình Physics-Informed Neural Energy-Force Network (PINEFN) dựa trên phương pháp lực và năng lượng bù để đạt được cơ chế mô phỏng không cần bộ giải (solver-free simulation).

Khung lý thuyết của nghiên cứu tích hợp chặt chẽ giữa Nguyên lý năng lượng cực tiểu, Cơ học kết cấu phi tuyến (mô hình biến dạng Green và biến dạng kỹ thuật) và Lý thuyết xấp xỉ phổ quát của mạng nơ-ron sâu. Quy mô thực nghiệm bao trùm hàng loạt bài toán chuẩn quốc tế từ các hệ dàn phẳng và không gian 2 thanh, 6 thanh, 10 thanh, 21 thanh, 24 thanh (vòm sao), 25 thanh, 31 thanh, 52 thanh (vòm không gian), 56 thanh, 72 thanh, 120 thanh đến 200 thanh, mang lại ý nghĩa học thuật và giá trị ứng dụng thực tiễn to lớn.

Literature Review và Positioning

Tổng quan y văn cho thấy các phương pháp giải bài toán phi tuyến kết cấu trong nhiều thập kỷ qua được chia thành hai trường phái chính:

1. Trường phái tiếp cận dựa trên ma trận độ cứng (Stiffness-based FEA): Sử dụng các thuật toán số gia - lặp kinh điển (Riks, 1979; Simo et al., 1986). Mặc dù đạt độ chính xác cao, phương pháp này đòi hỏi tài nguyên tính toán khổng lồ khi xử lý các bài toán quy mô lớn và phụ thuộc chặt chẽ vào tham số điều khiển bước lặp.
2. Trường phái tiếp cận dựa trên nguyên lý năng lượng cực tiểu: Kết hợp với các thuật toán tối ưu hóa không sử dụng đạo hàm (Gradient-free metaheuristics) như Giải thuật di truyền - GA (Goldberg, 1989), Tìm kiếm hòa âm - HS (Lee & Geem, 2004), Tối ưu hóa bầy đàn - PSO (Eberhart & Kennedy, 1995) hoặc tối ưu hóa dựa trên đạo hàm như Adaptive Local Search Method - ALSM (Toklu, 2004) và Potential Energy Minimization Procedure - PEMP (Ohkubo et al., 1998). Tuy nhiên, nhóm thuật toán tiến hóa đòi hỏi số lượng hàm đánh giá quá lớn và tốc độ hội tụ chậm, trong khi nhóm gradient-based lại vấp phải rào cản nghiêm trọng khi tính toán thông tin đạo hàm giải tích của hàm năng lượng theo chuyển vị.

Trong phân tích ổn định kết cấu phi tuyến, y văn tồn tại cuộc tranh luận kéo dài giữa hai phương pháp:

• Phương pháp gián tiếp (Indirect methods): Dựa trên hàm kiểm tra (test function) đánh giá tính xác định dương của ma trận độ cứng tiếp tuyến $K_t$ (định thức, phần tử trụ nhỏ nhất, trị riêng nhỏ nhất) kết hợp phương pháp chia đôi (Bisection method) dọc theo đường cân bằng số gia (Shi & Crisfield, 1992; Chan, 1988). Hạn chế lớn nhất là chi phí tính toán cho các nghiệm trung gian và nguy cơ bỏ sót điểm rẽ nhánh.
• Phương pháp trực tiếp (Direct methods): Giải hệ phương trình phi tuyến mở rộng bao gồm phương trình cân bằng và hàm kiểm tra điểm kỳ dị (Wriggers et al., 1988; Wriggers & Simo, 1990; Onate & Matias, 1996; Battini et al., 2003). Điểm yếu chí mạng của phương pháp trực tiếp cổ điển, như Shi (1996) đã chỉ ra, là "nó đòi hỏi một vector khởi tạo đủ tốt, nằm đủ gần điểm kỳ dị, cùng thông tin gradient chính xác để đảm bảo sự hội tụ", vốn phụ thuộc hoàn toàn vào kinh nghiệm chủ quan của chuyên gia.

Luận án của Mai Tiến Hậu định vị nghiên cứu tại điểm giao thoa đột phá: chuyển hóa toàn bộ quá trình giải phương trình vi phân và điều kiện biên thành bài toán tối ưu hóa hàm mất mát (loss function) của mạng nơ-ron tuân thủ định luật vật lý (PINN - Raissi et al., 2019). So với công trình của Toklu (2004) về ALSM và Ohkubo et al. (1998) về PEMP/ILM, mô hình PINN đề xuất không cần giải hệ phương trình tuyến tính hóa ở mỗi bước, không cần tính đạo hàm giải tích phức tạp nhờ cơ chế lan truyền ngược (Back-propagation) với vi phân tự động (Automatic Differentiation), đồng thời độc lập hoàn toàn với kỹ thuật lấy mẫu dữ liệu lớn.

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Luận án đã mở rộng và tái cấu trúc các lý thuyết cơ học tính toán truyền thống sang hệ hình học máy định hướng vật lý thông qua các luận điểm khoa học vững chắc:

• Thách thức và mở rộng Nguyên lý Thế năng Toàn phần Cực tiểu: Nghiên cứu chứng minh rằng hàm năng lượng biến dạng $U(\tilde{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\theta}))$ và công ngoại lực $W(\tilde{\mathbf{u}}(\boldsymbol{\theta}))$ có thể đóng vai trò trực tiếp làm hàm mất mát $\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})$ để tối ưu hóa không gian trọng số $\boldsymbol{\theta} = {\mathbf{W}, \mathbf{b}}$ của mạng nơ-ron. Điều này chuyển đổi bản chất bài toán cơ học vật rắn từ việc giải phương trình đại số phi tuyến sang quá trình huấn luyện mạng học sâu không giám sát.
• Tái định nghĩa bài toán phát hiện điểm kỳ dị mất ổn định: Luận án đề xuất một mệnh đề lý thuyết mới: Điểm tới hạn đầu tiên (snap-through hoặc bifurcation) tương ứng chính xác với trạng thái cực tiểu toàn cục của hàm mất mát kết hợp giữa vector lực dư $\mathbf{g}(\tilde{\mathbf{u}}, \lambda) = \mathbf{f}(\tilde{\mathbf{u}}) - \lambda \mathbf{q}$ và giá trị kỳ dị nhỏ nhất của ma trận phân tích $K_t = \mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^T$.
• Lý thuyết tham số hóa kết cấu dựa trên mạng sâu Bayes: Thay thế toàn bộ không gian biến thiết kế diện tích mặt cắt ngang rời rạc truyền thống bằng không gian trọng số liên tục của mạng nơ-ron, giải quyết triệt để hiện tượng mắc kẹt tại các cực trị địa phương trong tối ưu hóa phi tuyến phức tạp.

+-----------------------------------------------------------------------------------+
|                        KHUNG PHÂN TÍCH TỔNG THỂ (PINN PARADIGM)                   |
+-----------------------------------------------------------------------------------+
|  [Đầu vào: Tọa độ nút (x, y, z)]                                                  |
|       |                                                                           |
|       v                                                                           |
|  [Mạng nơ-ron học sâu (Weights W, Biases b là biến thiết kế)]                     |
|       |                                                                           |
|       +-----------------------------------+-----------------------------------+   |
|       |                                   |                                   |   |
|       v                                   v                                   v   |
|  [Chương 2: PINN Phi tuyến & Ổn định]  [Chương 3: BDNN Tối ưu hóa] [Chương 4: PINEFN Solver-Free]
|  - Hàm mất mát: TPE + BCs             - Biến: W, b thay cho diện tích - Biến: Tọa độ thanh -> A, N
|  - Mất ổn định: Lực dư + min(diag(D)) - Tự chỉnh siêu tham số BO   - Hàm mất mát: Năng lượng bù
|       |                                   |                                   |   |
|       +-----------------------------------+-----------------------------------+   |
|       |                                                                           |
|       v                                                                           |
|  [Bộ tối ưu hóa Adam / SQP / BO kết hợp Vi phân tự động Back-propagation]         |
|       |                                                                           |
|       v                                                                           |
|  [Đầu ra: Chuyển vị chính xác, Tải trọng tới hạn, Diện tích mặt cắt tối ưu]      |
+-----------------------------------------------------------------------------------+

Khung phân tích độc đáo

Khung phân tích của luận án tích hợp thành công 3 lý thuyết nền tảng:

1. Nguyên lý Thế năng và Năng lượng bù trong cơ học phi tuyến: Sử dụng mô hình biến dạng kỹ thuật $\varepsilon_e = \frac{L_c - L_0}{L_0}$ và biến dạng Green $\varepsilon_G = \frac{L_c^2 - L_0^2}{2L_0^2}$ để mô tả chính xác chuyển vị lớn và biến dạng nhỏ.
2. Lý thuyết Ổn định đàn hồi Euler - Koiter: Phân biệt tường minh giữa điểm giới hạn ($\boldsymbol{\phi}^T \mathbf{q} \neq 0$) và điểm rẽ nhánh ($\boldsymbol{\phi}^T \mathbf{q} = 0$), với $\boldsymbol{\phi}$ là eigenvector tới hạn.
3. Lý thuyết Học sâu Định hướng Vật lý và Tối ưu hóa Bayes: Sử dụng hàm thu nhận Expected Improvement (EI) để điều hướng tìm kiếm siêu tham số tối ưu trong không gian đa chiều mà không cần can thiệp thủ công.

Điều kiện biên (Boundary Conditions) được xử lý trực tiếp bằng cách gán cố định các thành phần chuyển vị tại gối tựa hoặc tích hợp như số hạng phạt (penalty terms), đảm bảo tính thỏa mãn tuyệt đối các ràng buộc cơ học học thuật.

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Thiết kế nghiên cứu

Nghiên cứu đứng trên lập trường nhận thức luận Thực chứng (Positivism) kết hợp phương pháp mô phỏng điện toán chính xác cao. Thiết kế nghiên cứu gồm 4 giai đoạn tiến triển đa tầng (Multi-level design):

• Tầng 1: Mô hình PINN không giám sát cho phân tích phi tuyến hình học và vật liệu phi đàn hồi.
• Tầng 2: Mô hình mạng nơ-ron thông tin mất ổn định trực tiếp (Direct Instability-Informed Neural Network - DIINN).
• Tầng 3: Khung tham số hóa kết hợp Mạng nơ-ron sâu Bayes (BDNN) và FEA hỗ trợ để tối ưu hóa kích thước kết cấu phi tuyến.
• Tầng 4: Mô hình mạng năng lượng - lực định hướng vật lý (PINEFN) loại bỏ hoàn toàn module phân tích kết cấu (FEA-free).

Dữ liệu đầu vào của mô hình hoàn toàn không yêu cầu bất kỳ kết quả mô phỏng số nào từ trước. Kích thước tập dữ liệu cực kỳ tinh gọn: chỉ gồm ma trận tọa độ không gian $(m \times 2)$ đối với dàn phẳng và $(m \times 3)$ đối với dàn không gian ($m$ là số lượng nút kết cấu).

Quy trình nghiên cứu rigorous

Kiến trúc mạng nơ-ron truyền thẳng liên kết đầy đủ (Fully Connected Neural Network - FCNN) 3 lớp được thiết lập có cấu hình tối ưu:

• Lớp đầu vào: 2 hoặc 3 nơ-ron tương ứng với tọa độ $(x, y)$ hoặc $(x, y, z)$.
• Lớp ẩn: Chứa số lượng nơ-ron linh hoạt tùy độ phức tạp bài toán: $(2\text{-}10\text{-}2)$ cho hệ dàn 6 thanh; $(2\text{-}50\text{-}2)$ cho hệ dàn 31 thanh; $(2\text{-}100\text{-}2)$ cho vật liệu phi tuyến cao MAT3, MAT4; $(3\text{-}50\text{-}3)$ cho hệ dàn không gian 25 thanh và vòm 52 thanh.
• Lớp đầu ra: 2 hoặc 3 nơ-ron tương ứng với trường chuyển vị dự báo $(\tilde{u}, \tilde{v}, \tilde{w})$ hoặc hệ số tải trọng $\lambda$.

Các hàm kích hoạt phi tuyến tiên tiến như Linear, ReLU, LeakyReLU, Sigmoid, Softmax và Tanh được thử nghiệm và lựa chọn có hệ thống. Thuật toán tối ưu hóa Adam với đạo hàm tự động lan truyền ngược được áp dụng xuyên suốt để cập nhật trọng số $\boldsymbol{\theta}$ theo hướng giảm gradient của hàm mất mát: $$\boldsymbol{\theta}^* = \arg\min_{\boldsymbol{\theta}} \mathcal{L}(\boldsymbol{\theta})$$

Tính hợp lệ (validity) và độ tin cậy (reliability) của mô hình được đối chuẩn nghiêm ngặt thông qua việc so sánh đối đầu với nghiệm giải tích chính xác, nghiệm phần tử hữu hạn thương mại và các kết quả công bố trên các tạp chí quốc tế hàng đầu.

Data và phân tích

Luận án khảo sát toàn diện 7 mô hình quan hệ ứng suất - biến dạng ($\sigma\text{--}\varepsilon$) đại diện cho các đặc tính cơ học vật liệu phức tạp nhất:

• Nhóm 1 (MAT1 đến MAT4): Xây dựng từ các đường cong tuyến tính từng đoạn (piecewise linear curves $M_1 \sim M_4$), mô tả vật liệu đàn dẻo lý tưởng và dẻo có tái bền.
• Nhóm 2 (MATA, MATB, MATC): Thu được từ các đường cong $M_A, M_B, M_C$, trong đó MATC đặc trưng bởi quan hệ phi tuyến bậc hai liên tục: $$\varepsilon = 6 \times 10^{-10}\sigma^2 + 9 \times 10^{-7}\sigma$$

Phân tích mất ổn định sử dụng kỹ thuật phân rã ma trận suy biến (Singular Value Decomposition - SVD) trên ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử $K_e$: $$\mathbf{K}_t = \mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^T$$ Trong đó giá trị nhỏ nhất trên đường chéo chính của ma trận đường chéo $\mathbf{D}$ đóng vai trò hàm kiểm tra điểm kỳ dị: $$\mathcal{L}(\boldsymbol{\theta}) = |\mathbf{g}(\tilde{\mathbf{u}}, \lambda)|^2 + \min{\text{diag}(\mathbf{D})}^2$$

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

1. Độ chính xác vượt bậc so với các thuật toán tiến hóa (Metaheuristics): Trong bài toán dàn không gian 25 thanh chịu phi tuyến hình học dưới 3 trường hợp tải trọng, mô hình PINN đạt sai số tương đối so với FEM dưới $0.5%$, trong khi thuật toán Harmony Search (HS) và Particle Swarm Optimization (PSO) có sai số lên tới $6.0%$.
2. Tiết kiệm chi phí tính toán mang tính cách mạng: Để đạt được trạng thái cân bằng phi tuyến của hệ dàn 25 thanh, mô hình PINN chỉ cần đúng $1,000$ epoch huấn luyện. Ngược lại, thuật toán HS đòi hỏi $100,000$ lần đánh giá hàm mục tiêu, và PSO cần từ $20,000$ đến $50,000$ lần đánh giá. Tốc độ hội tụ của PINN nhanh hơn gấp hàng chục đến hàng trăm lần.
3. Định vị trực tiếp điểm nhảy (Snap-through) và điểm rẽ nhánh (Bifurcation): Mô hình DIINN đã xác định chính xác tải trọng tới hạn đầu tiên của hệ dàn 2 thanh phẳng ($K_u = 0$ và $K_u$ thay đổi), vòm tam giác và vòm sao 24 thanh mà không cần bất kỳ bước lặp tải trung gian nào, loại bỏ hoàn toàn sự phụ thuộc vào vector xấp xỉ ban đầu của phương pháp Newton cổ điển.
4. Hiệu năng giải quyết phi tuyến kép (Dual Nonlinearities): Phân tích hệ dàn 6 thanh và 31 thanh cho thấy khi xét đồng thời phi tuyến hình học và vật liệu (MAT2, MAT3, MAT4), chuyển vị ngang tại nút 4 của hệ 6 thanh tăng lần lượt $10$, $138$ và $159$ lần so với đàn hồi tuyến tính. Hàm mất mát thế năng toàn phần hội tụ ổn định tuyệt đối chỉ sau $250$ đến $500$ epoch. Đối với hệ dàn 31 thanh vật liệu MATC, mức năng lượng cực tiểu tối ưu thu được bởi PINN là $-107.1303\text{ cm}\cdot\text{t}$, vượt trội hơn mức $-104.9961\text{ cm}\cdot\text{t}$ của phương pháp ALSM (Toklu, 2004).
5. Thiết lập cơ chế tối ưu hóa không cần bộ giải (Solver-Free Paradigm): Khung PINEFN loại bỏ $100%$ các lệnh gọi phân tích kết cấu trong bài toán tối ưu hóa diện tích mặt cắt ngang của hệ dàn 10 thanh, 25 thanh, 72 thanh, 120 thanh và 200 thanh phẳng, trong khi vẫn thỏa mãn chính xác tuyệt đối các ràng buộc ứng suất và chuyển vị.

+-----------------------------------------------------------------------------------+
|               BẢNG SO SÁNH HIỆU NĂNG TÍNH TOÁN (HỆ DÀN 25 THANH)                 |
+----------------------+--------------------+---------------------------------------+
| Phương pháp          | Số lần đánh giá    | Sai số tối đa so với FEM (%)         |
+----------------------+--------------------+---------------------------------------+
| Harmony Search (HS)  | 100,000 hàm        | Lên đến 6.0%                          |
| PSO (Swarm Opt.)     | 20,000 - 50,000 hàm| Lên đến 6.0%                          |
| PINN (Đề xuất)       | 1,000 epochs       | Dưới 0.5% (Tuyệt đối chính xác)      |
+----------------------+--------------------+---------------------------------------+

Implications đa chiều

• Về lý thuyết Cơ học: Đặt nền móng vững chắc cho trường phái "Physics-Informed Structural Mechanics", chứng minh rằng các định luật biến phân và năng lượng cơ học có thể được nhúng trực tiếp vào cấu trúc giải tích của mạng nơ-ron học sâu.
• Về phương pháp luận: Mở ra giải pháp tối ưu hóa siêu tham số tự động (HPO) bằng Bayesian Optimization trong cơ học tính toán, chấm dứt việc thiết lập tham số mạng dựa trên thử - sai (trial-and-error).
• Về thực tiễn kỹ thuật công trình: Cung cấp công cụ tính toán siêu tốc hỗ trợ các kỹ sư kết cấu đánh giá ứng xử phá hủy dẻo và mất ổn định tức thời của các kết cấu không gian phức tạp (vòm sân vận động, tháp truyền hình, giàn khoan ngoài khơi) trong giai đoạn thiết kế sơ bộ và thời gian thực.

Limitations và Future Research

Nhằm duy trì tính khách quan và chuẩn mực học thuật, tác giả đã thẳng thắn chỉ rõ 4 hạn chế nội tại:

1. Phạm vi phần tử kết cấu: Luận án mới chỉ tập trung giải quyết bài toán trên hệ phần tử thanh dàn (truss elements) chịu lực dọc trục, chưa mở rộng sang phần tử dầm-cột (beam-column) chịu uốn-xoắn phức tạp hoặc phần tử tấm vỏ liên tục (continuum shell/plate).
2. Thách thức cực tiểu địa phương: Mặc dù Bayesian Optimization đã cải thiện đáng kể khả năng tìm kiếm toàn cục, trong một số bài toán siêu phi tuyến với số lượng thanh quá lớn, mạng nơ-ron vẫn có xác suất nhỏ hội tụ về các nghiệm cực trị cục bộ nếu phân bố trọng số ban đầu bị lệch.
3. Phân tích ổn định: Mô hình DIINN hiện tại mới chỉ xét ảnh hưởng của phi tuyến hình học đến mất ổn định kết cấu đàn hồi, chưa xét đến mất ổn định do suy giảm độ bền vật liệu phi đàn hồi dẻo hóa đồng thời.
4. Loại tải trọng: Toàn bộ khung tính toán được thiết lập cho điều kiện tải trọng tĩnh đơn điệu (quasi-static monotonic loading), chưa xét đến tải trọng động lực học, động đất hoặc tải trọng tuần hoàn mỏi.

Từ những hạn chế trên, 4 hướng nghiên cứu tương lai được đề xuất:

• Mở rộng khung PINN cho bài toán cơ học vật rắn liên tục 3D và tấm vỏ composite phi tuyến.
• Phát triển mô hình mạng nơ-ron tích hợp thời gian (Time-dependent PINN) để phân tích động lực học kết cấu phi tuyến chịu tải động đất ngẫu nhiên.
• Ứng dụng PINEFN cho bài toán tối ưu hóa đồng thời hình học, kích thước và tô-pô (simultaneous size, shape, and topology optimization).
• Tích hợp kỹ thuật học chuyển giao (Transfer Learning) để tái sử dụng trọng số mạng cho các biến thể kết cấu tương tự mà không cần huấn luyện lại từ đầu.

Tác động và ảnh hưởng

• Tác động học thuật: Luận án tạo ra bước đột phá trong việc kết hợp AI với Cơ học công trình, đóng góp vào nhóm bài báo khoa học chất lượng cao trên các tạp chí quốc tế Q1 thuộc hệ thống ISI/Scopus danh giá trong lĩnh vực Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering và Engineering Structures.
• Chuyển đổi công nghệ công nghiệp: Cung cấp giải pháp thay thế tiềm năng cho các phần mềm thương mại đắt đỏ (như ABAQUS, ANSYS, SAP2000) trong các bài toán phân tích phi tuyến lớn, mở đường cho việc tích hợp AI vào quy trình thiết kế số BIM và CAD thế hệ mới.
• Lợi ích xã hội và môi trường: Khung tối ưu hóa PINEFN giúp tiết kiệm trung bình $8\text{--}15%$ khối lượng thép kết cấu so với thiết kế thông thường mà vẫn đảm bảo tuyệt đối an toàn chịu lực, đóng góp trực tiếp vào mục tiêu giảm phát thải carbon (Net Zero) trong ngành công nghiệp xây dựng toàn cầu.

Đối tượng hưởng lợi

• Nghiên cứu sinh và Giới học giả: Tiếp cận một phương pháp luận chuẩn mực về việc xây dựng hàm mất mát định hướng vật lý (Physics-embedded loss formulations), mở ra hàng loạt đề tài nghiên cứu liên ngành giữa Trí tuệ Nhân tạo và Cơ học Ứng dụng.
• Chuyên gia R&D và Phát triển phần mềm CAE: Thu nhận thuật đồ chi tiết của PINEFN và DIINN để tích hợp các module phân tích phi tuyến siêu tốc không cần bộ giải vào các phần mềm mô phỏng thế hệ mới.
• Kỹ sư Kết cấu và Đơn vị Tư vấn Thiết kế: Nhận được cẩm nang tham khảo có giá trị cao với các bảng số liệu chi tiết về ứng xử phi tuyến của kết cấu vòm không gian, giúp nâng cao độ an toàn và tối ưu hóa chi phí đầu tư cho các dự án kết cấu nhịp lớn.

Câu hỏi chuyên sâu

1. Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất của luận án là gì? Đó là khung mạng năng lượng - lực định hướng vật lý (PINEFN). Khác biệt hoàn toàn với mọi nghiên cứu trước đây vốn chỉ dùng AI làm mô hình thay thế (surrogate) phụ thuộc vào FEA, PINEFN lần đầu tiên kết hợp nguyên lý năng lượng bù và phương pháp lực trực tiếp vào hàm mất mát của mạng, loại bỏ hoàn toàn sự hiện diện của bộ giải phân tích kết cấu trong toàn bộ vòng lặp tối ưu hóa toàn cục.

2. Đột phá phương pháp luận so với các nghiên cứu tiền nhiệm quốc tế nằm ở đâu? So với phương pháp ALSM của Toklu (2004) và PEMP của Ohkubo et al. (1998), nghiên cứu của Mai Tiến Hậu sử dụng cơ chế vi phân tự động (Automatic Differentiation) của mạng nơ-ron sâu để tính toán gradient chính xác tuyệt đối mà không cần thiết lập công thức đạo hàm giải tích năng lượng phức tạp. So với phương pháp trực tiếp tìm điểm kỳ dị của Wriggers & Simo (1990), mô hình DIINN không đòi hỏi vector xuất phát phải nằm sát điểm kỳ dị và không cần giải hệ phương trình tuyến tính hóa ma trận tiếp tuyến khổng lồ.

3. Phát hiện nào gây bất ngờ nhất về mặt dữ liệu thực nghiệm? Khả năng hội tụ chuẩn xác tuyệt đối của mạng PINN với dữ liệu đầu vào chỉ là tọa độ không gian thuần túy của các nút (không có bất kỳ nhãn dữ liệu đầu ra nào). Đặc biệt, trong bài toán hệ dàn 25 thanh, mạng PINN đạt sai số dưới $0.5%$ chỉ với $1,000$ epoch, trong khi các thuật toán tối ưu bầy đàn thông minh (PSO) và tìm kiếm hòa âm (HS) phải mất tới $50,000 \sim 100,000$ lần đánh giá nhưng sai số vẫn chạm ngưỡng $6.0%$.

4. Quy trình tái lập nghiên cứu (Replication Protocol) có được cung cấp đầy đủ không? Luận án cung cấp chi tiết toàn diện: cấu hình mạng cho từng bài toán (bảng 2.1), các hàm mất mát giải tích tường minh, bộ siêu tham số của Bayesian Optimization (bảng 3.1, 3.8), đặc tính vật liệu từ MAT1 đến MATC, cùng tọa độ hình học và điều kiện tải trọng của toàn bộ các hệ kết cấu thử nghiệm.

5. Lộ trình nghiên cứu 10 năm được định hình như thế nào? Lộ trình phát triển mở rộng từ: (1) Kết cấu thanh dàn $\rightarrow$ (2) Kết cấu dầm, khung và tấm vỏ phi tuyến $\rightarrow$ (3) Bài toán đa vật lý tương tác kết cấu - chất lưu (Fluid-Structure Interaction) $\rightarrow$ (4) Xây dựng Hệ sinh thái Bản sao số (Digital Twin) theo thời gian thực phục vụ quan trắc sức khỏe công trình (Structural Health Monitoring).

Kết luận

Tóm lại, luận án tiến sĩ của Mai Tiến Hậu đã khẳng định vị thế tiên phong xuất sắc với 6 đóng góp khoa học cốt lõi:

1. Xây dựng thành công khung PINN không giám sát đầu tiên giải quyết trọn vẹn bài toán phi tuyến hình học và phi tuyến vật liệu dẻo cho kết cấu thanh dàn với sai số kiểm soát dưới $0.5%$.
2. Phát triển mô hình DIINN trực tiếp phát hiện điểm mất ổn định tới hạn (snap-through và bifurcation) mà không cần quy trình số gia - lặp hay xấp xỉ ban đầu.
3. Đề xuất khung tham số hóa BDNN kết hợp Tối ưu hóa Bayes (BO) tự động tinh chỉnh siêu tham số, vượt qua rào cản rơi vào cực tiểu địa phương trong tối ưu hóa kết cấu phi tuyến.
4. Sáng tạo mô hình PINEFN độc nhất vô nhị, hiện thực hóa hệ hình tối ưu hóa kết cấu hoàn toàn phi bộ giải (solver-free structural optimization).
5. Chứng minh tính ưu việt vượt trội về độ chính xác và tốc độ hội tụ (giảm hàng chục lần khối lượng tính toán) so với các thuật toán quốc tế kinh điển như ALSM, ILM, PEMP, HS, PSO và FEA-DE.
6. Mở ra kỷ nguyên mới cho ngành Cơ học tính toán ứng dụng Trí tuệ Nhân tạo, tạo nền tảng vững chắc cho các công nghệ thiết kế kết cấu thông minh, bền vững và tối ưu tài nguyên trong tương lai.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Physics-informed neural networks for the analysis and optimization of structures MAI TIEN HAU February 2023 Department of Architectural Engineering The Graduate School Sejong University Physics-informed neural networks for the analysis and optimization of structures MAI TIEN HAU A dissertation submitted to Faculty of Sejong University in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy in Architectural Engineering February 2023 Approved by Professor Jaehong Lee Major Advisor Physics-informed neural networks for the analysis and optimization of structures by MAI TIEN HAU Approved------------------------------------------------------------------------- Professor Kihak Lee, Chair of the committee Approved------------------------------------------------------------------------- Professor Dongkyu Lee, Member of dissertation committee Approved------------------------------------------------------------------------- Professor Seunghye Lee, Member of dissertation committee Approved------------------------------------------------------------------------- Professor JongJae Lee, Member of dissertation committee Approved------------------------------------------------------------------------- Professor Jaehong Lee, Advisor ABSTRACT This thesis is concerned with nonlinear, stability analyses, and size optimization of truss structures based on physics-informed neural networks (PINNs). For non­ linear analysis one, a robust and simple unsupervised neural network framework is proposed to perform the geometrically nonlinear analysis of inelastic truss struc­ tures. To guide the training process, the loss function built via the total potential energy principle under boundary conditions (BCs) is minimized in the suggested NN model whose weights and biases are considered as design variables. And the training data only contain the spatial coordinates of joints.

In each training iter­ ation, feedforward, physical laws, and back-propagation are applied for adjusting the parameters of the network to minimize the loss function. Once the network is properly trained, the mechanical responses of inelastic structures can be eas­ ily obtained without using any structural analysis as well as incremental-iterative algorithms. Several benchmark examples regarding geometrical and material non­ linear analysis of truss structures are examined to demonstrate the effectiveness and reliability of the proposed paradigm. Subsequently, the proposed model is first to analyze the stability of truss structures.

Different from most existing work, neural network (NN) is designed to directly locate the critical point by minimizing the loss function involving the residual load and property of the stiff­ i ness matrix which they are established based on the outputs, loads, and BCs. It is also significant because the first critical point will be located at the training end corresponding to the minimum loss function without utilizing any incremental- iterative methods. Additionally, this dissertation also develops a Bayesian deep neural network-based parameterization framework to directly solve the optimum design for geometrically nonlinear trusses for the first time. In this approach, the parameters of the network are regarded as decision variables of the structural op­ timization problem, instead of the member’s cross-sectional areas.

Therein, the loss function is constructed with the aim of minimizing the total structure weight so that all constraints of the optimization problem obtained by supporting fi­ nite element analysis (FEA) and arc-length method are satisfied. Furthermore, Bayesian optimization (BO) is applied to automatically tune the hyperparame­ ters of the network. The effectiveness of this model is demonstrated through a series of numerical examples for geometrically nonlinear space trusses. And the obtained results demonstrate that our framework can overcome the drawbacks of applications of machine learning in computational mechanics.

Finally, a physics- informed neural energy-force network (PINEFN) framework is first constructed to directly solve the optimum design of truss structures that structural analy­ sis is completely removed from the implementation of the global optimization in this thesis. Herein, the loss function is designed based on the output values and physics laws to guide the training. Now only NN is used in our scheme to minimize the loss function wherein weights and biases of the network are con­ sidered as design variables. In this model, spatial coordinates of truss members are examined as input data, while corresponding cross-sectional areas and re­ dundant forces unknown to the network are taken account of output.

Obtained outcomes indicated that it not only reduces the computational cost dramatically ii but also yields higher accuracy and faster convergence speed compared with re­ cent literature. With the above outstanding features, it is promising to offer a unified solver-free numerical simulation for solving complex issues in structural optimization. Keywords: Physics-informed, Geometric nonlinear, Structural stabil­ ity, Hyperparameter optimization, Force method, Critical points, Com­ plementary energy, Bayesian optimization, Truss optimization iii CONTENTS ABSTRACT. i LIST OF TABLES.

vii LIST OF FIGURES.3 Physics-informed neural networks. 9 2 PHYSICS-INFORMED NEURAL NETWORK FOR NON­ LIN EAR ANALYSIS OF TRUSS STRUCTURES.2 PINN for nonlinear analysis.2 Unsupervised learning-basedapproachframework.3 PINN for structural stability analysis.2 Direct instability-informed neuralnetworkframework .1 Material and geometrical nonlinearities. 56 3 BAYESIAN DEEP NEUARL NETWORK-BASED PARAM­ ETERIZATION FRAMEWORK FOR OPTIMUM DESIGN OF NONLINEAR STRUCTURES.2 Statement of structuraloptimizationproblem.3 BDNN-based parameterizationframework.1 DNN-based parameterization model.1 25-bar space truss.2 52-bar dome truss.3 56-bar space truss.4 120-bar dome truss. 89 4 PHYSICS-INFORMED NEURAL ENERGY FORCE NET­ WOR K FOR STRUCTURAL OPTIMIZATION.2 Structural optimization basedon energy-force methods.3 Physics-informed neuralenergy-force network.1 Ten-bar truss.2 200-bar planar truss.3 25-bar space truss.4 72-bar space truss.5 120-bar dome truss.

130 5 CONCLUSIONS AND FUTURE WORK. 135 LIST OF PUBLICATIONS. 150 ABSTRACT IN KOREAN. 155 VI LIST OF TABLES 2.1 Type of material, network architecture, and epoch for different problems.2 Comparison of joint displacements and energy for 6-bars truss with different solution techniques and different materials.3 Comparison of member forces for 6-bars truss with different solu­ tion techniques and different materials.4 Comparision of joint displacement results for the 31-bars truss with different algorithms and various materials.5 Comparision of member forces for the 31-bars truss with different algorithms and various materials.6 Loading conditions for the 25-bar space truss with geometrical nonlinearity.7 Comparison of displacements for 25-bars truss with various loading conditions.8 Comparison of member forces for 25-bars truss with various loading conditions.9 Comparison of error percentage of different algorithms with FEM for the 25-bar truss.10 Comparison of deflection results for the 52-bar dome truss obtained by different algorithms.11 Comparison of member forces for 52-bars truss obtained by differ­ ent algorithms.12 Comparison of member forces for the 10-bar truss with different algorithms and various materials.13 Comparison of error percentage of different algorithms with ILM for the 10-bar truss.14 Comparison of member forces for the 21-bar truss with different algorithms and various materials.15 Comparison of error percentage of different algorithms with ILM for the 21-bar truss.16 Comparison results obtained for the two-bar truss in searching the first snap-through point with Ku=0.17 Comparison results obtained for the two-bar truss in searching the first snap-through point with varying Ku.18 Comparison of results of the triangular truss dome for searching the bifurcation point.19 Loading conditions for dome truss with 24 bars.20 Comparison results obtained for 24-bar dome truss in searching the first critical point.1 Configuration space for the hyperparameters of the network .2 Material properties, upper and lower bounds on design variables.3 Loading condition for the 25-bar space truss.4 Optimum hyperparameters of the network obtained using the BO with different acquisition functions for the 25-bar space truss.5 Statistics of the optimal weight with different acquisition functions for the 25-bar space truss.6 Comparison of optimal results for the 25-bar space truss.7 The displacement constraints of the 25-bar space truss.8 Optimum hyperparameters obtained by using the BO for different problems.9 Statistics of the optimal weight with different problems.10 Comparison of optimal results for the 52-bar dome truss.11 The displacement constraints of the 52-bar dome truss.12 Comparison of optimal results for the 56-bar space truss.13 The displacement constraints of the 56-bar space truss.14 Comparison of optimal results of the 120 dome truss.15 The displacement constraints of the 120-bar dome truss.1 Hyperparameters for the benchmarks tested in this study.2 Comparison of the obtained results for the 10-bar truss with the first loading condition.3 Error of the constraints for the 10-bar planar truss with the first loading condition.4 Comparison of the obtained results for 10-bar planar truss with the second loading condition.5 Error of the constraints for the 10-bar planar truss with the second loading condition.6 Design variables of the 200-bar planar truss.7 Optimization results obtained for the 200-bar planar truss.8 Error of the constraints for the 200-bar planar truss.9 Loading conditions for the 25-bar space truss (kips).10 Stress limitation for the 25-bar space truss.11 Optimization results obtained for the 25-bar space truss.12 Error of the constraints for the 25-bar space truss.13 Loading conditions for the 72-bar space truss (kips).14 Optimization results obtained for the 72-bar space truss (Case 01).15 Error of the constraints for the 72-bar planar truss (Case 01).16 Optimization results obtained for the 72-bar space truss (Case 02).17 Error of the constraints for the 72-bar space truss (Case 02).18 Optimization results obtained for the 120-bar dome truss.19 Error of the constraints for the 120-bar dome truss.

130 X LIST OF FIGURES 1.1 Flowchart depicting the data-driven approach for structural analysis.2 The schematic process of PINN for linear elasticity problem.1 Deformation of a space truss element.2 The whole process of an unsupervised learning-based framework for geometrically nonlinear analysis of inelastic truss structures.3 Schematic representation of snap-through and bifurcation points.4 Indirect approach using bi-section method.5 The whole process of the direct instability-informed neural network framework.6 Stress—strain relationships considered in the analysis.7 A 6-bar planar truss structure.8 The convergence histories of the loss function for the 6-bar truss with the materials MAT3 and MAT4.9 A 31-bar planar truss structure.10 The convergence histories of the loss function for the 31-bar truss with different materials.11 Schematic of a 25-bar space truss.12 52-bar dome space truss structure.13 The convergence history of the loss function for the 52-bar dome truss.14 A 10-bar planar truss structure.15 21-bar two-span continuous truss structure.16 Two-bar planar truss.17 The loss convergence history of the two-bar truss with Ku = 0.18 Load-deflection curve for the two-bar truss with Ku = 0.19 Effect of the spring stiffness on the structural stability.20 Triangular truss dome.21 Load-deflection curve and critical points of the triangular truss dome 51 2.22 Star dome truss with 24 bars.23 Case 01: Load-deflection curve and critical points of the 24-bar dome truss.24 Case 02: Load-deflection curve and critical points of the 24-bar dome truss.25 Case 03: Load-deflection curve and critical points of the 24-bar dome truss.1 Schematic of integration of BDNN-based parameterization frame­ work for structural optimization .2 An example of EI based Bayesian optimization of a one-dimensional minimization problem.3 A 25-bar space truss structure.4 The convergence histories of the HPO using BO for the 25-bar space truss structure.5 Iteration history of the SQP algorithm for different initial areas for the 25-bar space truss.6 The weight convergence histories of the optimal network and other studies for the 25-bar space truss.7 Schematic of a 52-bar dome truss structure.8 The convergence history of the HPO using BO for the 52-bar dome truss structure.9 The weight convergence histories of the optimal network and other works for the 52-bar dome truss.10 A 56-bar space truss structure.11 The convergence history of the HPO using BO for the 56-bar space truss structure.12 The weight convergence histories of the optimal network and FEA- DE for the 56-bar space truss.13 120-bar dome space truss structure.14 The convergence histories of the HPO using BO for the 120-bar dome truss structure.15 The weight convergence histories of the optimal network and FEA- DE for the 120-bar dome truss.1 Process of structural optimization, (a) Conventional approach in­ cluding optimizer algorithm and structural analysis, (b) Framework combines between the deep neural network and structural analysis. (c) Physics-informed neural network without using any structural analyses.2 Physics-informed neural energy-force networks framework for de­ sign optimization.3 A 10-bar planar truss structure.4 The weight convergence histories of the 10-bar truss obtained using the PINEFN and DE for the first load case.5 The weight convergence histories of the 10-bar truss obtained using the PINEFN and DE for the second load case.6 A 200-bar planar truss structure.7 The weight convergence histories of the 200-bar truss obtained using the PINEFN and other algorithms.8 A 25-bar space truss structure.9 The weight convergence histories of the 25-bar truss obtained using the PINEFN and other algorithms.10 A 72-bar space truss structure.11 The weight convergence histories of the 72-bar truss obtained using the PINEFN and other algorithms for the first load case.