Mạng nơ-ron thông tin vật lý trong phân tích và tối ưu hóa kết cấu

Trong lĩnh vực cơ học tính toán, mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) đang nổi lên như một phương pháp đầy hứa hẹn để… 108 trang · Sejong University · 2023.

• Tác giả: Mai Tien Hau
• Người hướng dẫn: Professor Jaehong Lee, Major Advisor
• Trường học: Sejong University
• Chuyên ngành: Architectural Engineering
• Đề tài: Mạng Nơ-Ron Thông Tin Vật Lý Trong Phân Tích Và Tối Ưu Hóa Kết Cấu
• Loại tài liệu: dissertation
• Năm xuất bản: 2023
• Địa điểm: Sejong

Mục lục chi tiết

• ABSTRACT
• LIST OF TABLES
• LIST OF FIGURES
• 1. PHYSICS-INFORMED NEURAL NETWORK FOR NON­ LINEAR ANALYSIS OF TRUSS STRUCTURES
• 1.1. PINN for nonlinear analysis
• 1.2. Unsupervised learning-based approach framework
• 1.3. PINN for structural stability analysis
• 1.4. Direct instability-informed neural network framework
• 1.5. Material and geometrical nonlinearities
• 2. BAYESIAN DEEP NEURAL NETWORK-BASED PARAMETERIZATION FRAMEWORK FOR OPTIMUM DESIGN OF NONLINEAR STRUCTURES
• 2.1. Statement of structural optimization problem
• 2.2. BDNN-based parameterization framework
• 2.3. DNN-based parameterization model
• 2.4. 25-bar space truss
• 2.5. 52-bar dome truss
• 2.6. 56-bar space truss
• 2.7. 120-bar dome truss
• 3. PHYSICS-INFORMED NEURAL ENERGY FORCE NETWORK FOR STRUCTURAL OPTIMIZATION
• 3.1. Structural optimization based on energy-force methods
• 3.2. Physics-informed neural energy-force network
• 3.3. Ten-bar truss
• 3.4. 200-bar planar truss
• 3.5. 25-bar space truss
• 3.6. 72-bar space truss
• 3.7. 120-bar dome truss
• 4. CONCLUSIONS AND FUTURE WORK
• LIST OF PUBLICATIONS
• ABSTRACT IN KOREAN

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Mạng Nơ ron Thông Tin Vật Lý PINN Cho Kết Cấu

Trong lĩnh vực cơ học tính toán, mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) đang nổi lên như một phương pháp đầy hứa hẹn để giải quyết các bài toán phức tạp trong phân tích kết cấu và tối ưu hóa kết cấu. Khác với các phương pháp truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), PINN tích hợp trực tiếp các phương trình vi phân riêng phần (PDE) mô tả hành vi vật lý của kết cấu vào quá trình huấn luyện mạng nơ-ron. Điều này cho phép PINN dự đoán chính xác các đặc tính cơ học như ứng suất và biến dạng mà không cần dữ liệu huấn luyện lớn. Theo nghiên cứu của Mai Tien Hau (2023), PINN có khả năng giải quyết các bài toán phi tuyến, ổn định và tối ưu hóa kích thước của kết cấu giàn một cách hiệu quả. Việc sử dụng học sâu (Deep Learning) giúp PINN tự động trích xuất các đặc trưng quan trọng từ dữ liệu và giải quyết các bài toán biên phức tạp.

1.1. Giới Thiệu Về Ứng Dụng PINN Trong Bài Toán Kết Cấu

PINN (Physics-Informed Neural Networks) là một lớp mạng nơ-ron đặc biệt, được thiết kế để giải quyết các bài toán giá trị ban đầu và bài toán biên bằng cách kết hợp thông tin vật lý (được biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân riêng phần - PDE) vào quá trình huấn luyện. Trong lĩnh vực phân tích kết cấu, PINN có thể được sử dụng để dự đoán ứng suất, biến dạng, và các đặc tính cơ học khác của kết cấu dưới tác dụng của tải trọng. Thay vì chỉ dựa vào dữ liệu huấn luyện, PINN sử dụng loss function được xây dựng dựa trên các định luật vật lý và điều kiện biên để huấn luyện mạng nơ-ron.

1.2. Ưu Điểm Của PINN So Với Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn FEM

So với phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), PINN có một số ưu điểm đáng kể. Thứ nhất, PINN có thể giải quyết các bài toán phức tạp với ít dữ liệu huấn luyện hơn. Thứ hai, PINN có thể xử lý các bài toán ngược một cách hiệu quả, tức là xác định các thông số vật liệu hoặc tải trọng dựa trên các quan sát về biến dạng. Thứ ba, PINN có tiềm năng tính toán hiệu năng cao hơn FEM, đặc biệt là trong các bài toán có độ phức tạp cao. Tuy nhiên, PINN cũng có một số hạn chế, chẳng hạn như việc thiết kế loss function phù hợp có thể là một thách thức.

II. Thách Thức Trong Phân Tích Kết Cấu Phi Tuyến Truyền Thống

Phân tích kết cấu phi tuyến là một lĩnh vực phức tạp, đòi hỏi các phương pháp số mạnh mẽ để giải quyết các bài toán có tính phi tuyến về vật liệu và hình học. Các phương pháp truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) thường sử dụng các thuật toán lặp tăng dần để cập nhật ma trận độ cứng và giải hệ phương trình phi tuyến. Theo Mai Tien Hau (2023), việc triển khai các thuật toán này đòi hỏi lượng lớn tính toán số, đặc biệt là đối với các kết cấu phức tạp và các bài toán có tính chất phi tuyến cao. Hơn nữa, việc lựa chọn các thông số điều khiển phù hợp cho các thuật toán lặp có thể ảnh hưởng đáng kể đến độ chính xác và tốc độ hội tụ của giải pháp. Các phương pháp tối ưu hóa dựa trên gradient cũng gặp khó khăn trong việc tính toán đạo hàm của hàm năng lượng đối với chuyển vị.

2.1. Hạn Chế Của Thuật Toán Lặp Tăng Dần Trong FEM

Các thuật toán lặp tăng dần, chẳng hạn như phương pháp Newton-Raphson, được sử dụng rộng rãi trong phân tích kết cấu phi tuyến. Tuy nhiên, các thuật toán này có thể gặp khó khăn trong việc hội tụ, đặc biệt là khi giải quyết các bài toán có tính phi tuyến mạnh hoặc khi gần các điểm kỳ dị. Việc lựa chọn kích thước bước tải phù hợp cũng là một thách thức quan trọng. Nếu bước tải quá lớn, thuật toán có thể không hội tụ. Ngược lại, nếu bước tải quá nhỏ, thời gian tính toán có thể tăng lên đáng kể.

2.2. Khó Khăn Trong Tính Toán Đạo Hàm Của Hàm Năng Lượng

Các phương pháp tối ưu hóa dựa trên gradient yêu cầu tính toán đạo hàm của hàm năng lượng đối với chuyển vị. Tuy nhiên, trong các bài toán phi tuyến, việc tính toán đạo hàm này có thể rất phức tạp và tốn kém về mặt tính toán. Trong một số trường hợp, đạo hàm có thể không tồn tại hoặc không thể tính toán một cách chính xác. Điều này gây khó khăn cho việc áp dụng các thuật toán tối ưu hóa dựa trên gradient để giải quyết các bài toán phân tích kết cấu phi tuyến.

III. Phương Pháp PINN Giải Quyết Bài Toán Phân Tích Kết Cấu

Mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) cung cấp một cách tiếp cận mới để giải quyết các bài toán phân tích kết cấu, bằng cách tích hợp các định luật vật lý vào quá trình huấn luyện mạng. Theo Mai Tien Hau (2023), PINN sử dụng mạng nơ-ron để xấp xỉ giải pháp của phương trình vi phân riêng phần (PDE) mô tả hành vi của kết cấu. Loss function được xây dựng dựa trên các định luật vật lý và điều kiện biên, và mạng nơ-ron được huấn luyện để giảm thiểu loss function này. Ưu điểm của phương pháp này là không yêu cầu dữ liệu huấn luyện lớn và có thể xử lý các bài toán phức tạp với độ chính xác cao.

3.1. Xây Dựng Loss Function Dựa Trên Các Định Luật Vật Lý

Việc xây dựng loss function phù hợp là một bước quan trọng trong việc áp dụng PINN (Physics-Informed Neural Networks) để giải quyết các bài toán phân tích kết cấu. Loss function thường bao gồm các thành phần sau: (1) Loss tuân theo phương trình vi phân riêng phần (PDE), đảm bảo rằng giải pháp xấp xỉ thỏa mãn các định luật vật lý; (2) Loss điều kiện biên, đảm bảo rằng giải pháp xấp xỉ thỏa mãn các điều kiện biên của bài toán; (3) Loss dữ liệu (nếu có), đo lường sự phù hợp của giải pháp xấp xỉ với dữ liệu quan sát.

3.2. Quá Trình Huấn Luyện Mạng Nơ ron Với Gradient Descent

Sau khi loss function được xây dựng, mạng nơ-ron được huấn luyện để giảm thiểu loss function này. Quá trình huấn luyện thường sử dụng các thuật toán gradient descent như Adam hoặc L-BFGS. Automatic differentiation được sử dụng để tính toán gradient của loss function đối với các tham số của mạng nơ-ron. Việc lựa chọn kiến trúc mạng nơ-ron phù hợp và các siêu tham số huấn luyện cũng là một yếu tố quan trọng ảnh hưởng đến hiệu quả của PINN.

IV. Ứng Dụng PINN Trong Tối Ưu Hóa Kết Cấu Với Ràng Buộc Phi Tuyến

Ngoài phân tích kết cấu, mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) cũng có thể được sử dụng để tối ưu hóa kết cấu. Trong bài toán tối ưu hóa, mục tiêu là tìm kiếm thiết kế kết cấu tối ưu, thỏa mãn các ràng buộc về ứng suất, biến dạng, và các tiêu chí khác. Theo Mai Tien Hau (2023), PINN có thể được sử dụng để xấp xỉ hàm mục tiêu và các ràng buộc, cho phép giải quyết các bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu và bài toán tối ưu hóa ràng buộc một cách hiệu quả.

4.1. PINN Kết Hợp Thuật Toán Tối Ưu Bayesian BO Cho Bài Toán Kích Thước

Tối ưu hóa kết cấu thường là một quá trình tốn kém về mặt tính toán. PINN (Physics-Informed Neural Networks) có thể được sử dụng để giảm chi phí tính toán bằng cách thay thế các phân tích phần tử hữu hạn tốn kém bằng các đánh giá nhanh chóng của mạng nơ-ron. Thuật toán tối ưu Bayesian (BO) có thể được sử dụng để tìm kiếm các thiết kế tối ưu một cách hiệu quả, đặc biệt là trong các bài toán có hàm mục tiêu không lồi và các ràng buộc phức tạp.

4.2. Tối Ưu Hóa Hình Học Kết Cấu Dựa Trên PINN Và Học Sâu

Ngoài tối ưu hóa kích thước, PINN (Physics-Informed Neural Networks) cũng có thể được sử dụng để tối ưu hóa hình học của kết cấu. Trong bài toán tối ưu hóa hình học, mục tiêu là tìm kiếm hình dạng kết cấu tối ưu, thỏa mãn các ràng buộc về ứng suất, biến dạng, và các tiêu chí khác. Học sâu (Deep Learning) có thể được sử dụng để tham số hóa hình dạng kết cấu và để học các mối quan hệ giữa hình dạng, tải trọng và hiệu suất kết cấu. Các mạng nơ-ron tích chập (CNN) hoặc mạng nơ-ron tái phát (RNN) có thể được sử dụng để xử lý dữ liệu hình ảnh hoặc chuỗi liên quan đến hình dạng kết cấu.

V. Kết Quả Nghiên Cứu Ứng Dụng PINN Trong Thực Tiễn

Các nghiên cứu gần đây đã chứng minh tính hiệu quả của mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) trong việc giải quyết các bài toán phân tích kết cấu và tối ưu hóa kết cấu thực tế. Theo Mai Tien Hau (2023), PINN đã được áp dụng thành công để phân tích và tối ưu hóa các kết cấu giàn, dầm, tấm và vỏ. Kết quả cho thấy PINN có thể đạt được độ chính xác cao với chi phí tính toán thấp hơn so với các phương pháp truyền thống. Việc sử dụng các framework Tensorflow hoặc framework Pytorch giúp việc triển khai PINN trở nên dễ dàng hơn.

5.1. Phân Tích Và Tối Ưu Hóa Kết Cấu Giàn Sử Dụng PINN

PINN (Physics-Informed Neural Networks) đã được sử dụng để phân tích kết cấu và tối ưu hóa kết cấu giàn với các ràng buộc phi tuyến. Các kết quả cho thấy rằng PINN có thể dự đoán chính xác ứng suất và biến dạng trong kết cấu giàn dưới tác dụng của tải trọng, và có thể được sử dụng để tìm kiếm thiết kế tối ưu với trọng lượng tối thiểu hoặc độ cứng tối đa. Nghiên cứu của Mai Tien Hau (2023) đã áp dụng PINN để giải quyết bài toán tối ưu hóa kích thước giàn thành công.

5.2. Mô Phỏng Độ Bền Vật Liệu Với PINN Cho Các Vật Liệu Phức Tạp

PINN có thể được sử dụng để mô hình hóa vật lý và dự đoán hành vi của vật liệu phức tạp, chẳng hạn như vật liệu composite hoặc vật liệu dị hướng. Bằng cách kết hợp các phương trình constitutive phù hợp vào loss function, PINN có thể học các mối quan hệ phức tạp giữa ứng suất, biến dạng, và các biến trạng thái khác. Điều này mở ra khả năng phân tích độ bền vật liệu và thiết kế các cấu trúc tiên tiến sử dụng vật liệu phức tạp.

VI. Triển Vọng Và Hướng Phát Triển Của PINN Trong Kỹ Thuật Xây Dựng

Mạng nơ-ron thông tin vật lý (PINN) là một lĩnh vực nghiên cứu mới nổi, với tiềm năng to lớn trong kỹ thuật xây dựng. Trong tương lai, PINN có thể được sử dụng để giải quyết các bài toán phức tạp hơn, chẳng hạn như phân tích độ tin cậy kết cấu, thiết kế kết cấu chống động đất, và mô phỏng kết cấu trong điều kiện môi trường khắc nghiệt. Việc kết hợp PINN với các phương pháp khác, chẳng hạn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và tối ưu hóa metaheuristic, cũng có thể mang lại kết quả tốt hơn. Các nghiên cứu về mô hình hóa vật lý nâng cao và các thuật toán huấn luyện hiệu quả hơn sẽ tiếp tục thúc đẩy sự phát triển của PINN trong kỹ thuật xây dựng.

6.1. Tích Hợp PINN Với Các Phương Pháp Truyền Thống Để Nâng Cao Độ Chính Xác

Để tận dụng ưu điểm của cả PINN (Physics-Informed Neural Networks) và các phương pháp truyền thống, chẳng hạn như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), có thể tích hợp hai phương pháp này với nhau. Ví dụ, FEM có thể được sử dụng để tạo ra dữ liệu huấn luyện cho PINN, hoặc PINN có thể được sử dụng để cải thiện độ chính xác của các phân tích FEM thô. Việc tích hợp này có thể giúp giải quyết các bài toán phức tạp một cách hiệu quả hơn.

6.2. Phát Triển Các Thuật Toán Huấn Luyện PINN Hiệu Quả Hơn

Một trong những thách thức chính trong việc áp dụng PINN (Physics-Informed Neural Networks) là huấn luyện mạng nơ-ron một cách hiệu quả. Các thuật toán huấn luyện truyền thống, chẳng hạn như gradient descent, có thể gặp khó khăn trong việc hội tụ, đặc biệt là khi giải quyết các bài toán có loss function phức tạp. Do đó, cần phát triển các thuật toán huấn luyện mới, được thiết kế đặc biệt cho PINN, để cải thiện tốc độ hội tụ và độ chính xác.

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Phân tích phi tuyến hình học, phi tuyến vật lý và ổn định kết cấu đóng vai trò then chốt trong kỹ thuật công trình nhằm xác định chính xác ứng xử cơ học của kết cấu chịu tải trọng lớn. Trong các phương pháp truyền thống, phương pháp phần tử hữu hạn (FEA) kết hợp các quy trình gia số - lặp như phương pháp tải trọng gia số (Incremental Load Method - ILM), Newton-Raphson, Quasi-Newton hay phương pháp chiều dài cung (Arc-length) đòi hỏi khối lượng tính toán lớn và phụ thuộc nhiều vào các tham số điều khiển bước lặp. Ở chiều ngược lại, các phương pháp học máy thuần túy dựa trên dữ liệu (data-driven surrogate models) đòi hỏi chi phí mô phỏng số rất lớn để thu thập tập dữ liệu mẫu huấn luyện, khó xác định quy mô dữ liệu tối ưu và phụ thuộc chặt chẽ vào số lượng cũng như chất lượng dữ liệu.

Nhằm giải quyết những hạn chế trên, luận án của tác giả Mai Tiến Hậu (MAI TIEN HAU), thực hiện tại Khoa Kỹ thuật Kiến trúc, Trường Cao học thuộc Đại học Sejong (Hàn Quốc) dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Jaehong Lee, đã nghiên cứu phát triển các mô hình mạng nơ-ron tích hợp tri thức vật lý (Physics-Informed Neural Networks - PINN) phục vụ phân tích phi tuyến, phân tích ổn định và tối ưu hóa kích thước kết cấu giàn.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án được xác định gồm 4 nội dung cụ thể:

1. Đề xuất một khung mạng PINN học không giám sát (unsupervised learning) để thực hiện phân tích phi tuyến hình học của kết cấu giàn phi đàn hồi, trực tiếp ước tính phản ứng cơ học thông qua việc cực tiểu hóa tổng thế năng có xét đến điều kiện biên mà không cần sử dụng các thuật toán gia số - lặp.
2. Phát triển mô hình mạng nơ-ron thông tin mất ổn định trực tiếp (Direct Instability-Informed Neural Network - DIINN) để xác định vị trí các điểm tới hạn (điểm lật snap-through và điểm rẽ nhánh bifurcation) trong phân tích ổn định kết cấu giàn bằng cách cực tiểu hóa hàm mất mát xây dựng từ vector lực dư và tính chất suy biến của ma trận độ cứng tiếp tuyến.
3. Xây dựng khung tham số hóa dựa trên mạng nơ-ron sâu kết hợp tối ưu hóa Bayesian (Bayesian Deep Neural Network - BDNN) để giải quyết bài toán thiết kế tối ưu kích thước kết cấu giàn phi tuyến hình học, trong đó các siêu tham số của mạng được tự động điều chỉnh bằng tối ưu hóa Bayesian.
4. Thiết lập khung mạng năng lượng - lực nơ-ron tích hợp tri thức vật lý (Physics-Informed Neural Energy-Force Network - PINEFN) để giải quyết bài toán tối ưu hóa kết cấu giàn mà không cần sử dụng bất kỳ bộ giải phân tích kết cấu phụ trợ nào trong quá trình tối ưu hóa toàn cục.

Đối tượng nghiên cứu của luận án là kết cấu giàn phẳng (planar trusses) và giàn không gian (space trusses). Phạm vi nghiên cứu bao gồm các bài toán phân tích phi tuyến hình học (biến dạng lớn, chuyển vị lớn), phi tuyến vật lý (xét 7 mô hình quan hệ ứng suất - biến dạng khác nhau), phân tích mất ổn định đàn hồi (tìm điểm tới hạn đầu tiên), và tối ưu hóa kích thước tiết diện thanh giàn chịu các ràng buộc về ứng suất và chuyển vị. Luận án được hoàn thành và bảo vệ vào tháng 02 năm 2023.

---

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Trong chương tổng quan, tác giả đã hệ thống hóa các hướng nghiên cứu chính trong phân tích phi tuyến, phân tích ổn định và tối ưu hóa kết cấu:

• Phân tích phi tuyến kết cấu: Các phương pháp dựa trên ma trận độ cứng của FEA sử dụng kỹ thuật gia số - lặp (ILM, Newton-Raphson, Arc-length) đã được ứng dụng rộng rãi nhưng đòi hỏi chi phí tính toán cao. Để khắc phục, hướng tiếp cận dựa trên nguyên lý cực tiểu năng lượng kết hợp thuật toán tối ưu hóa không dùng đạo hàm (metaheuristic) như giải thuật di truyền (Genetic Algorithm - GA [10]), tìm kiếm hòa âm (Harmony Search - HS [11]), tối ưu hóa bầy đàn (Particle Swarm Optimization - PSO [12]) đã được phát triển, song tốc độ hội tụ còn chậm và đòi hỏi số lần đánh giá hàm lớn. Các phương pháp dựa trên gradient như phương pháp của Ohkubo và cộng sự [13] hay phương pháp tìm kiếm cục bộ thích ứng (Adaptive Local Search Method - ALSM) của Toklu [14] tuy có tốc độ hội tụ nhanh hơn nhưng bắt buộc phải tính đạo hàm của hàm năng lượng theo chuyển vị, điều này gây nhiều trở ngại trong thực tế.

• Phân tích ổn định kết cấu: Các phương pháp xác định điểm tới hạn được chia thành hai nhóm. Nhóm phương pháp gián tiếp sử dụng hàm kiểm tra (test function) kết hợp phương pháp chia đôi dọc theo đường cân bằng (Riks [21], Simo và cộng sự [22], Shi và Crisfield [23], Chan [24], cùng các tác giả [25-27]) thường tốn chi phí cho các bước tính toán trung gian và phụ thuộc tham số gia số. Nhóm phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình phi tuyến gồm phương trình cân bằng và hàm kiểm tra suy biến (Wriggers và cộng sự [32,33], Oñate và Matias [34], Battini và cộng sự [35]) giúp xác định điểm tới hạn nhanh hơn, nhưng theo Shi [17], phương pháp này đòi hỏi véc-tơ khởi tạo phải rất gần điểm kỳ dị và cần tính toán ma trận đạo hàm phức tạp.

• Tối ưu hóa kích thước kết cấu giàn: Các phương pháp dựa trên tiêu chuẩn tối ưu (Optimality Criterion - OC) của Khot và cộng sự [36], Rizzi [37], Saka và Ulker [39], kết hợp phương pháp Arc-length của Hrinda và cộng sự [38], quy hoạch tuyến tính tuần tự của Schmit và Farshi [40] đòi hỏi thông tin gradient. Các thuật toán không dùng gradient như thuật toán đom đóm (FA [41]), HS [42,43], GA [44], PSO [45], thuật toán sói đồng cỏ hỗn loạn [46], Big Bang-Big Crunch [47], TLBO [48], DE-SOS lai [49], AHEFA [50], ESOS [51] cần số lượng đánh giá hàm rất lớn đối với các bài toán quy mô lớn.

• Mô hình học máy và PINN: Các mô hình học sâu thay thế (surrogate models) dựa trên dữ liệu thuần túy (Li và cộng sự [52], cùng các nghiên cứu [53-58]) gặp hạn chế lớn về chi phí tạo dữ liệu huấn luyện thông qua FEA. Mạng nơ-ron tích hợp tri thức vật lý (PINN) do Raissi và cộng sự [59] khởi xướng đã giải quyết phương trình đạo hàm riêng và ứng dụng trong cơ học chất lỏng [60], cơ học kết cấu [61].

Khoảng trống nghiên cứu mà luận án lựa chọn giải quyết là: xây dựng khung mạng PINN học không giám sát để giải bài toán phân tích phi tuyến hình học và vật lý của kết cấu giàn mà không cần bước giải gia số - lặp; phát triển mạng DIINN định vị trực tiếp điểm tới hạn mà không cần đường cân bằng gia số; thiết lập khung BDNN tự động tinh chỉnh siêu tham số cho tối ưu phi tuyến; và đề xuất mô hình PINEFN tối ưu hóa kết cấu giàn hoàn toàn không cần bộ giải phân tích kết cấu (solver-free).

---

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng các nền tảng lý thuyết cơ học kết cấu và học sâu sau:

• Nguyên lý cực tiểu tổng thế năng (Total Potential Energy - TPE): Tổng thế năng $\Pi_p$ của hệ thanh giàn gồm $n$ phần tử và $m$ nút được biểu diễn qua thế năng biến dạng $U$ và công của ngoại lực $W$: $$\Pi_p = U + W = \sum_{k=1}^{n} \left( \int_{0}^{L_k} A_k \mathcal{E}_k(\varepsilon_k) ds_k \right) - \mathbf{u}^T \mathbf{p}$$ trong đó $L_k, A_k, \mathcal{E}_k, \varepsilon_k$ lần lượt là chiều dài ban đầu, diện tích mặt cắt ngang, mật độ thế năng biến dạng và biến dạng của phần tử thứ $k$; $\mathbf{u}$ là véc-tơ chuyển vị nút; $\mathbf{p}$ là véc-tơ tải trọng ngoài.

• Mô hình biến dạng và quan hệ ứng suất - biến dạng: Hai mô hình biến dạng được áp dụng cho bài toán chuyển vị lớn và biến dạng nhỏ là biến dạng kỹ thuật (Engineering strain: $\varepsilon_e = \frac{L_c - L_0}{L_0}$) và biến dạng Green (Green strain: $\varepsilon_G = \frac{L_c^2 - L_0^2}{2 L_0^2}$), với $L_0$ và $L_c$ là chiều dài phần tử ở cấu hình ban đầu và cấu hình biến dạng. Tác giả khảo sát 7 loại vật liệu:

  • Nhóm 1 (MAT1 đến MAT4): Quan hệ ứng suất - biến dạng tuyến tính từng đoạn (piecewise linear curves M1 đến M4).
  • Nhóm 2 (MATA, MATB, MATC): Mô hình đàn dẻo, trong đó MATC là phi tuyến liên tục biểu diễn bởi phương trình $\varepsilon = 6 \times 10^{-10}\sigma^2 + 9 \times 10^{-7}\sigma$.
  • Nhóm 3 (MAT5, MAT6): Đàn hồi tuyến tính dùng cho phân tích phi tuyến hình học và mất ổn định.

• Khung mạng PINN phân tích phi tuyến: Mô hình học sâu không giám sát gồm 3 lớp liên kết đầy đủ (Fully Connected Neural Network). Đầu vào là tọa độ không gian các nút $(x, y, z)$ (kích thước $m \times 2$ cho giàn phẳng hoặc $m \times 3$ cho giàn không gian). Lớp ẩn gồm $m_h$ nơ-ron sử dụng các hàm kích hoạt (Linear, ReLU, LeakyReLU, Sigmoid, Softmax, Tanh). Lớp ra gồm 2 hoặc 3 nơ-ron tương ứng với các chuyển vị dự báo $(\tilde{u}, \tilde{v}, \tilde{w})$. Hàm mất mát chính là tổng thế năng $\mathcal{L}(\theta) = U(\tilde{\mathbf{u}}(\theta)) + W(\tilde{\mathbf{u}}(\theta))$. Trọng số và độ lệch $\theta$ được tối ưu hóa qua thuật toán lan truyền ngược (Back-propagation) và bộ tối ưu hóa Adam.

• Khung mạng DIINN phân tích ổn định: Đầu ra của mạng dự báo chuyển vị $\tilde{\mathbf{u}}$ và hệ số tải $\tilde{\lambda}$. Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử $\mathbf{K}_e = E A L_0 \mathbf{B}^T \mathbf{B} + \dots$ được tập hợp thành ma trận độ cứng tiếp tuyến toàn cục $\mathbf{K}_t$. Thông qua phép phân tích giá trị suy biến (Singular Value Decomposition) $\mathbf{K}_t = \mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^T$, phần tử nhỏ nhất trên đường chéo chính của $\mathbf{D}$ được sử dụng làm hàm kiểm tra. Hàm mất mát được thiết lập: $$\mathcal{L}(\theta) = |\mathbf{g}(\tilde{\mathbf{u}}, \tilde{\lambda})|^2 + \min{\text{diag}(\mathbf{D})^2}$$ với véc-tơ lực dư $\mathbf{g}(\tilde{\mathbf{u}}, \tilde{\lambda}) = \mathbf{f}(\tilde{\mathbf{u}}) - \tilde{\lambda}\mathbf{q}$, trong đó $\mathbf{f}$ là véc-tơ nội lực và $\mathbf{q}$ là véc-tơ tải trọng tham chiếu.

• Phương pháp tối ưu hóa kết cấu BDNN và PINEFN: BDNN tham số hóa diện tích mặt cắt bằng tham số mạng sâu kết hợp quá trình Gaussian trong Bayesian Optimization (hàm thu thập Expected Improvement - EI) để tối ưu hóa siêu tham số. PINEFN sử dụng phương pháp lực và nguyên lý năng lượng bù (Complementary Energy), lấy tọa độ phần tử làm đầu vào và dự báo trực tiếp diện tích $A$ cùng các lực thừa mà không cần giải hệ phương trình kết cấu.

---

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Giới thiệu tổng quan (Introduction)

Chương 1 trình bày bối cảnh nghiên cứu về phân tích phi tuyến kết cấu, bài toán mất ổn định và bài toán tối ưu hóa kích thước kết cấu giàn. Tác giả phân tích các ưu điểm và hạn chế của các phương pháp số hiện hành (FEA, thuật toán gia số - lặp, các giải thuật metaheuristic) cũng như các mô hình học máy thay thế (surrogate models). Trên cơ sở đó, chương làm rõ nguyên lý của mạng nơ-ron tích hợp tri thức vật lý (PINN), xác định 4 mục tiêu nghiên cứu và trình bày cấu trúc tổng thể của luận án.

Chương 2: Mạng nơ-ron tích hợp tri thức vật lý cho phân tích phi tuyến kết cấu giàn (Physics-informed neural network for nonlinear analysis of truss structures)

Chương 2 trình bày chi tiết cơ sở toán học và thuật toán của hai khung mạng: PINN học không giám sát cho phân tích phi tuyến và DIINN cho phân tích ổn định.

Cấu hình mạng và số epoch huấn luyện cho các bài toán phân tích phi tuyến được tác giả thiết lập như sau:

Bài toán kiểm chứng	Loại vật liệu	Cấu trúc mạng (Input - Hidden - Output)	Số epoch huấn luyện
Giàn phẳng 6 thanh	MAT1, MAT2	2 - 10 - 2	500
Giàn phẳng 6 thanh	MAT3, MAT4	2 - 100 - 2	1000
Giàn phẳng 31 thanh	MATA, MATB, MATC	2 - 50 - 2	2000
Giàn không gian 25 thanh	MAT5	3 - 50 - 3	1000
Giàn vòm 52 thanh	MAT6	3 - 50 - 3	1000
Giàn phẳng 10 thanh	MATA, MATB, MATC	2 - 10 - 2	500
Giàn 2 nhịp 21 thanh	MATA, MATB, MATC	2 - 10 - 2	500

Các kết quả phân tích số quan trọng trong chương bao gồm:

• Giàn phẳng 6 thanh: So sánh với phương pháp ALSM của Toklu [14], chuyển vị ngang tại nút 4 ($u_4$) tăng lần lượt 10, 138 và 159 lần khi xét vật liệu MAT2, MAT3 và MAT4 so với phân tích tuyến tính. Nội lực các thanh 1 đến 4 đạt giới hạn chảy đối với MAT3 và MAT4.
• Giàn phẳng 31 thanh: Với vật liệu phi tuyến liên tục MATC, năng lượng cực tiểu đạt được từ PINN là $-107.x$, tốt hơn giá trị $-104.x$ thu được từ ALSM [14] và tương đương với ILM [13].
• Giàn không gian 25 thanh: Khảo sát với 3 trường hợp tải trọng:

Nút	Trường hợp 1: Fx, Fy, Fz (kN)	Trường hợp 2: Fx, Fy, Fz (kN)	Trường hợp 3: Fx, Fy, Fz (kN)
1	0, 80, -20	800, 0, -200	800, 800, -200
2	0, -80, -20	-800, 0, -200	0, 0, 0

So sánh sai số tương đối và số lần đánh giá hàm giữa PINN và các phương pháp metaheuristic:

Phương pháp	Sai số cực đại so với FEM (%)	Số lần đánh giá hàm / Epochs (TH 1, TH 2, TH 3)
Harmony Search (HS) [11]	Lên đến 6,0%	100.000 / 100.000 / 100.000
Particle Swarm Optimization (PSO) [12]	Lên đến 6,0%	1.000 / 20.000 / 50.000
Khung mạng PINN (Đề xuất)	Dưới 0,5%	1.000 / 1.000 / 1.000

• Phân tích ổn định kết cấu: Khung DIINN xác định chính xác điểm lật đầu tiên (snap-through) của giàn phẳng 2 thanh khi độ cứng lò xo $K_u = 0$ và khi thay đổi $K_u$; xác định điểm rẽ nhánh (bifurcation point) của giàn vòm tam giác; và xác định điểm tới hạn đầu tiên của giàn vòm sao 24 thanh trong 3 trường hợp tải trọng mà không cần vẽ toàn bộ đường cong tải trọng - chuyển vị.

Chương 3: Khung tham số hóa dựa trên mạng nơ-ron sâu Bayesian cho thiết kế tối ưu kết cấu phi tuyến (Bayesian deep neural network-based parameterization framework for optimum design of nonlinear structures)

Chương 3 trình bày phương pháp tối ưu hóa kích thước kết cấu giàn phi tuyến hình học thông qua tham số hóa bằng mạng sâu DNN kết hợp tối ưu hóa siêu tham số Bayesian (BDNN).

• Biến thiết kế (diện tích mặt cắt ngang $A$) được tham số hóa thông qua trọng số và độ lệch của mạng.
• Tối ưu hóa Bayesian (BO) tự động tìm kiếm không gian siêu tham số tối ưu (số nơ-ron, hàm kích hoạt, tốc độ học), giúp quá trình huấn luyện tránh rơi vào cực tiểu địa phương.
• Quá trình kiểm tra ràng buộc ứng suất và chuyển vị được hỗ trợ bởi FEA và thuật toán Arc-length.
• Mô hình được kiểm chứng qua 4 kết cấu: giàn không gian 25 thanh, giàn vòm 52 thanh, giàn không gian 56 thanh và giàn vòm 120 thanh. Kết quả khối lượng kết cấu tối ưu thu được từ BDNN hội tụ ổn định và vượt trội hơn so với thuật toán Sequential Quadratic Programming (SQP) và phương pháp vi phân tiến hóa kết hợp phần tử hữu hạn (FEA-DE).

Chương 4: Mạng năng lượng - lực nơ-ron tích hợp tri thức vật lý cho tối ưu hóa kết cấu (Physics-informed neural energy force network for structural optimization)

Chương 4 phát triển khung mạng PINEFN nhằm loại bỏ hoàn toàn các bước phân tích kết cấu trong bài toán tối ưu hóa toàn cục.

• Mô hình tích hợp phương pháp lực và nguyên lý năng lượng bù vào hàm mất mát của mạng nơ-ron.
• Đầu vào chỉ là tọa độ không gian của các phần tử thanh giàn, đầu ra là diện tích mặt cắt và các lực thừa chưa biết.
• Mô hình được đánh giá qua 5 bài toán chuẩn: giàn phẳng 10 thanh (2 trường hợp tải), giàn phẳng 200 thanh, giàn không gian 25 thanh, giàn không gian 72 thanh (Case 01 và Case 02), và giàn vòm 120 thanh.
• Kết quả kiểm chứng cho thấy PINEFN thỏa mãn chặt chẽ các ràng buộc ứng suất và chuyển vị, đồng thời giảm thiểu đáng kể chi phí tính toán và tăng tốc độ hội tụ so với thuật toán Differential Evolution (DE) và các công trình đã công bố.

Chương 5: Kết luận và hướng nghiên cứu tương lai (Conclusions and future work)

Chương 5 tổng kết các kết luận quan trọng từ việc triển khai các khung mạng PINN, DIINN, BDNN và PINEFN. Chương đồng thời đưa ra các đề xuất về hướng phát triển nghiên cứu trong tương lai để mở rộng phạm vi ứng dụng của phương pháp.

---

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án đã đạt được các đóng góp mới về lý luận và thực tiễn như sau:

• Đóng góp về mặt lý luận:

  1. Xây dựng mô hình học sâu không giám sát dựa trên nguyên lý cực tiểu tổng thế năng để giải quyết bài toán phân tích phi tuyến hình học và vật lý của kết cấu giàn mà không cần sử dụng các thuật toán gia số - lặp truyền thống.
  2. Thiết lập khung toán học DIINN định vị trực tiếp điểm tới hạn (limit point và bifurcation point) trong phân tích ổn định kết cấu giàn thông qua cực tiểu hóa hàm mất mát chứa lực dư và ma trận suy biến, không cần các bước dò tìm trung gian dọc theo đường cân bằng.
  3. Đề xuất phương pháp tham số hóa biến thiết kế kết cấu bằng trọng số và độ lệch của mạng nơ-ron sâu kết hợp tối ưu hóa siêu tham số Bayesian (BDNN), cung cấp cơ chế tránh các cực tiểu địa phương trong bài toán tối ưu hóa phi tuyến.
  4. Thiết lập khung mạng PINEFN dựa trên phương pháp lực và năng lượng bù, hình thành hướng tiếp cận tối ưu hóa kết cấu không cần bộ giải phân tích kết cấu phụ trợ (solver-free structural optimization).

• Đóng góp về mặt thực tiễn và giải pháp kỹ thuật:

  1. Giảm thiểu chi phí tính toán: Dữ liệu huấn luyện chỉ cần tập hợp tọa độ các nút hoặc các thanh giàn từ thông tin hình học ban đầu, độc lập hoàn toàn với các kỹ thuật lấy mẫu phức tạp và không tốn chi phí mô phỏng số tạo dữ liệu như các mạng học có giám sát.
  2. Nâng cao tốc độ hội tụ và độ chính xác: Trong bài toán giàn không gian 25 thanh, mạng PINN đạt sai số dưới 0,5% so với FEM chỉ với 1.000 epoch, trong khi các thuật toán metaheuristic như HS cần tới 100.000 lần đánh giá hàm và sai số lên đến 6%.

---

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Theo nội dung trình bày trong luận án, các hạn chế và hướng nghiên cứu mở rộng được ghi nhận bao gồm:

• Hạn chế của nghiên cứu:

  • Đối tượng kết cấu nghiên cứu trong luận án chỉ giới hạn ở kết cấu giàn (giàn phẳng và giàn không gian), chưa áp dụng cho các hệ kết cấu chịu uốn như dầm, khung, tấm, vỏ hoặc môi trường liên tục 2D/3D.
  • Phân tích mất ổn định kết cấu trong khung DIINN mới chỉ xem xét ảnh hưởng của phi tuyến hình học, chưa kết hợp đồng thời với phi tuyến vật lý phức tạp.
  • Mô hình BDNN ở Chương 3 vẫn phụ thuộc vào FEA và phương pháp Arc-length để đánh giá các hàm ràng buộc trong quá trình tối ưu hóa.

• Hướng nghiên cứu tiếp theo:

  • Mở rộng các mô hình PINN và PINEFN cho các dạng kết cấu phức tạp hơn bao gồm dầm, khung, tấm và vỏ.
  • Tích hợp bài toán phân tích động lực học phi tuyến và xét đến các điều kiện tải trọng động theo thời gian.
  • Mở rộng khung mạng để giải quyết bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu và tối ưu hóa đồng thời hình học, kích thước và topo kết cấu.

---

Giá trị tham khảo

Luận án cung cấp tài liệu tham khảo có giá trị chuyên môn cao cho:

• Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên: Thuộc các chuyên ngành Kỹ thuật Xây dựng, Kỹ thuật Công trình, Cơ học tính toán và Khoa học Dữ liệu ứng dụng; cung cấp phương pháp luận chi tiết về việc kết hợp các quy luật vật lý và nguyên lý biến phân cơ học vào kiến trúc mạng nơ-ron.
• Kỹ sư kết cấu và các nhà phát triển phần mềm mô phỏng: Tham khảo các thuật toán tối ưu hóa không cần bộ giải (solver-free) và kỹ thuật định vị trực tiếp điểm tới hạn để phát triển các công cụ phân tích kết cấu thế hệ mới.
• Các nội dung đáng tham khảo nhất:
  • Quy trình xây dựng hàm mất mát từ nguyên lý tổng thế năng và nguyên lý năng lượng bù (Chương 2, Chương 4).
  • Thuật toán phân tích SVD ma trận độ cứng tiếp tuyến để xác định điểm mất ổn định trong DIINN (Chương 2).
  • Quy trình tối ưu hóa siêu tham số bằng Bayesian Optimization cho mạng sâu trong tối ưu hóa kết cấu (Chương 3).

---

Câu hỏi thường gặp

1. Khung mạng PINN trong Chương 2 sử dụng dạng dữ liệu đầu vào nào và hàm mất mát được thiết lập ra sao?
Dữ liệu đầu vào của mạng chỉ gồm tập hợp các tọa độ không gian của các nút kết cấu $(x, y, z)$ với kích thước $m \times 2$ (cho giàn phẳng) hoặc $m \times 3$ (cho giàn không gian), hoàn toàn không cần dữ liệu nhãn đầu ra. Hàm mất mát $\mathcal{L}(\theta)$ được xây dựng trực tiếp từ nguyên lý cực tiểu tổng thế năng: $\mathcal{L}(\theta) = U(\tilde{\mathbf{u}}(\theta)) + W(\tilde{\mathbf{u}}(\theta))$, trong đó $U$ là thế năng biến dạng tích phân từ quan hệ ứng suất - biến dạng và $W$ là công của ngoại lực.

2. Khung mạng DIINN định vị điểm mất ổn định (limit point và bifurcation point) bằng cách nào mà không cần phương pháp gia số - lặp?
DIINN dự báo đồng thời véc-tơ chuyển vị $\tilde{\mathbf{u}}$ và hệ số tải trọng $\tilde{\lambda}$. Hàm mất mát được thiết lập bằng tổng bình phương chuẩn của véc-tơ lực dư $\mathbf{g}(\tilde{\mathbf{u}}, \tilde{\lambda}) = \mathbf{f}(\tilde{\mathbf{u}}) - \tilde{\lambda}\mathbf{q}$ và bình phương giá trị nhỏ nhất trên đường chéo chính của ma trận $\mathbf{D}$ thu được từ phân tích SVD ma trận độ cứng tiếp tuyến $\mathbf{K}_t = \mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{L}^T$. Khi hàm mất mát đạt cực tiểu ở cuối quá trình huấn luyện, vị trí điểm tới hạn đầu tiên được xác định trực tiếp.

3. Vai trò của tối ưu hóa Bayesian (BO) trong khung tham số hóa BDNN ở Chương 3 là gì?
Trong mô hình BDNN, các biến thiết kế diện tích mặt cắt được thay thế bằng trọng số và độ lệch của mạng nơ-ron sâu. Tối ưu hóa Bayesian sử dụng mô hình quá trình Gaussian và hàm thu thập cải thiện kỳ vọng (Expected Improvement - EI) để tự động điều chỉnh các siêu tham số của mạng (như tốc độ học, số nơ-ron ẩn, hàm kích hoạt), giúp quá trình huấn luyện thoát khỏi các cực tiểu địa phương và đạt nghiệm tối ưu khối lượng chính xác.

4. Điểm khác biệt cốt lõi giữa mô hình PINEFN ở Chương 4 và các phương pháp tối ưu hóa kết cấu thông thường là gì?
Các phương pháp tối ưu hóa thông thường (như GA, PSO, DE) đòi hỏi phải liên tục gọi bộ giải phân tích kết cấu (FEA) ở mỗi vòng lặp để đánh giá ứng suất và chuyển vị. PINEFN tích hợp phương pháp lực và nguyên lý năng lượng bù vào hàm mất mát của mạng nơ-ron, lấy tọa độ các phần tử thanh làm đầu vào và dự báo trực tiếp diện tích mặt cắt cùng các lực thừa, thực hiện tối ưu hóa toàn cục mà không cần bất kỳ bộ giải phân tích kết cấu phụ trợ nào.

5. Trong bài toán kiểm chứng giàn không gian 25 thanh ở Chương 2, hiệu quả tính toán của PINN vượt trội hơn các thuật toán metaheuristic như thế nào?
Mạng PINN đạt độ chính xác cao với sai số cực đại so với lời giải FEM dưới 0,5% và chỉ cần 1.000 epoch huấn luyện cho cả 3 trường hợp tải trọng. Trong khi đó, thuật toán Harmony Search (HS) cần tới 100.000 lần đánh giá hàm và thuật toán Particle Swarm Optimization (PSO) cần từ 1.000 đến 50.000 lần đánh giá hàm, nhưng sai số của cả hai phương pháp này lên tới 6,0%.

---

Kết luận

Luận án của tác giả Mai Tiến Hậu đã xây dựng thành công hệ thống các mô hình học sâu tích hợp tri thức vật lý (PINN, DIINN, BDNN, PINEFN) ứng dụng trong phân tích phi tuyến, phân tích ổn định và tối ưu hóa kích thước kết cấu giàn. Các kết quả kiểm chứng số trên nhiều hệ giàn phẳng và giàn không gian chứng minh phương pháp đề xuất có khả năng loại bỏ các bước giải gia số - lặp truyền thống và giảm thiểu sự phụ thuộc vào dữ liệu mô phỏng số ngoại tuyến. Công trình là tài liệu khoa học hữu ích, cung cấp cơ sở lý thuyết và thuật toán hoàn chỉnh cho việc ứng dụng trí tuệ nhân tạo trong cơ học tính toán và thiết kế kết cấu công trình.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Physics-informed neural networks for the analysis and optimization of structures MAI TIEN HAU February 2023 Department of Architectural Engineering The Graduate School Sejong University Physics-informed neural networks for the analysis and optimization of structures MAI TIEN HAU A dissertation submitted to Faculty of Sejong University in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy in Architectural Engineering February 2023 Approved by Professor Jaehong Lee Major Advisor Physics-informed neural networks for the analysis and optimization of structures by MAI TIEN HAU Approved------------------------------------------------------------------------- Professor Kihak Lee, Chair of the committee Approved------------------------------------------------------------------------- Professor Dongkyu Lee, Member of dissertation committee Approved------------------------------------------------------------------------- Professor Seunghye Lee, Member of dissertation committee Approved------------------------------------------------------------------------- Professor JongJae Lee, Member of dissertation committee Approved------------------------------------------------------------------------- Professor Jaehong Lee, Advisor ABSTRACT This thesis is concerned with nonlinear, stability analyses, and size optimization of truss structures based on physics-informed neural networks (PINNs). For non­ linear analysis one, a robust and simple unsupervised neural network framework is proposed to perform the geometrically nonlinear analysis of inelastic truss struc­ tures. To guide the training process, the loss function built via the total potential energy principle under boundary conditions (BCs) is minimized in the suggested NN model whose weights and biases are considered as design variables. And the training data only contain the spatial coordinates of joints.

In each training iter­ ation, feedforward, physical laws, and back-propagation are applied for adjusting the parameters of the network to minimize the loss function. Once the network is properly trained, the mechanical responses of inelastic structures can be eas­ ily obtained without using any structural analysis as well as incremental-iterative algorithms. Several benchmark examples regarding geometrical and material non­ linear analysis of truss structures are examined to demonstrate the effectiveness and reliability of the proposed paradigm. Subsequently, the proposed model is first to analyze the stability of truss structures.

Different from most existing work, neural network (NN) is designed to directly locate the critical point by minimizing the loss function involving the residual load and property of the stiff­ i ness matrix which they are established based on the outputs, loads, and BCs. It is also significant because the first critical point will be located at the training end corresponding to the minimum loss function without utilizing any incremental- iterative methods. Additionally, this dissertation also develops a Bayesian deep neural network-based parameterization framework to directly solve the optimum design for geometrically nonlinear trusses for the first time. In this approach, the parameters of the network are regarded as decision variables of the structural op­ timization problem, instead of the member’s cross-sectional areas.

Therein, the loss function is constructed with the aim of minimizing the total structure weight so that all constraints of the optimization problem obtained by supporting fi­ nite element analysis (FEA) and arc-length method are satisfied. Furthermore, Bayesian optimization (BO) is applied to automatically tune the hyperparame­ ters of the network. The effectiveness of this model is demonstrated through a series of numerical examples for geometrically nonlinear space trusses. And the obtained results demonstrate that our framework can overcome the drawbacks of applications of machine learning in computational mechanics.

Finally, a physics- informed neural energy-force network (PINEFN) framework is first constructed to directly solve the optimum design of truss structures that structural analy­ sis is completely removed from the implementation of the global optimization in this thesis. Herein, the loss function is designed based on the output values and physics laws to guide the training. Now only NN is used in our scheme to minimize the loss function wherein weights and biases of the network are con­ sidered as design variables. In this model, spatial coordinates of truss members are examined as input data, while corresponding cross-sectional areas and re­ dundant forces unknown to the network are taken account of output.

Obtained outcomes indicated that it not only reduces the computational cost dramatically ii but also yields higher accuracy and faster convergence speed compared with re­ cent literature. With the above outstanding features, it is promising to offer a unified solver-free numerical simulation for solving complex issues in structural optimization. Keywords: Physics-informed, Geometric nonlinear, Structural stabil­ ity, Hyperparameter optimization, Force method, Critical points, Com­ plementary energy, Bayesian optimization, Truss optimization iii CONTENTS ABSTRACT. i LIST OF TABLES.

vii LIST OF FIGURES.3 Physics-informed neural networks. 9 2 PHYSICS-INFORMED NEURAL NETWORK FOR NON­ LIN EAR ANALYSIS OF TRUSS STRUCTURES.2 PINN for nonlinear analysis.2 Unsupervised learning-basedapproachframework.3 PINN for structural stability analysis.2 Direct instability-informed neuralnetworkframework .1 Material and geometrical nonlinearities. 56 3 BAYESIAN DEEP NEUARL NETWORK-BASED PARAM­ ETERIZATION FRAMEWORK FOR OPTIMUM DESIGN OF NONLINEAR STRUCTURES.2 Statement of structuraloptimizationproblem.3 BDNN-based parameterizationframework.1 DNN-based parameterization model.1 25-bar space truss.2 52-bar dome truss.3 56-bar space truss.4 120-bar dome truss. 89 4 PHYSICS-INFORMED NEURAL ENERGY FORCE NET­ WOR K FOR STRUCTURAL OPTIMIZATION.2 Structural optimization basedon energy-force methods.3 Physics-informed neuralenergy-force network.1 Ten-bar truss.2 200-bar planar truss.3 25-bar space truss.4 72-bar space truss.5 120-bar dome truss.

130 5 CONCLUSIONS AND FUTURE WORK. 135 LIST OF PUBLICATIONS. 150 ABSTRACT IN KOREAN. 155 VI LIST OF TABLES 2.1 Type of material, network architecture, and epoch for different problems.2 Comparison of joint displacements and energy for 6-bars truss with different solution techniques and different materials.3 Comparison of member forces for 6-bars truss with different solu­ tion techniques and different materials.4 Comparision of joint displacement results for the 31-bars truss with different algorithms and various materials.5 Comparision of member forces for the 31-bars truss with different algorithms and various materials.6 Loading conditions for the 25-bar space truss with geometrical nonlinearity.7 Comparison of displacements for 25-bars truss with various loading conditions.8 Comparison of member forces for 25-bars truss with various loading conditions.9 Comparison of error percentage of different algorithms with FEM for the 25-bar truss.10 Comparison of deflection results for the 52-bar dome truss obtained by different algorithms.11 Comparison of member forces for 52-bars truss obtained by differ­ ent algorithms.12 Comparison of member forces for the 10-bar truss with different algorithms and various materials.13 Comparison of error percentage of different algorithms with ILM for the 10-bar truss.14 Comparison of member forces for the 21-bar truss with different algorithms and various materials.15 Comparison of error percentage of different algorithms with ILM for the 21-bar truss.16 Comparison results obtained for the two-bar truss in searching the first snap-through point with Ku=0.17 Comparison results obtained for the two-bar truss in searching the first snap-through point with varying Ku.18 Comparison of results of the triangular truss dome for searching the bifurcation point.19 Loading conditions for dome truss with 24 bars.20 Comparison results obtained for 24-bar dome truss in searching the first critical point.1 Configuration space for the hyperparameters of the network .2 Material properties, upper and lower bounds on design variables.3 Loading condition for the 25-bar space truss.4 Optimum hyperparameters of the network obtained using the BO with different acquisition functions for the 25-bar space truss.5 Statistics of the optimal weight with different acquisition functions for the 25-bar space truss.6 Comparison of optimal results for the 25-bar space truss.7 The displacement constraints of the 25-bar space truss.8 Optimum hyperparameters obtained by using the BO for different problems.9 Statistics of the optimal weight with different problems.10 Comparison of optimal results for the 52-bar dome truss.11 The displacement constraints of the 52-bar dome truss.12 Comparison of optimal results for the 56-bar space truss.13 The displacement constraints of the 56-bar space truss.14 Comparison of optimal results of the 120 dome truss.15 The displacement constraints of the 120-bar dome truss.1 Hyperparameters for the benchmarks tested in this study.2 Comparison of the obtained results for the 10-bar truss with the first loading condition.3 Error of the constraints for the 10-bar planar truss with the first loading condition.4 Comparison of the obtained results for 10-bar planar truss with the second loading condition.5 Error of the constraints for the 10-bar planar truss with the second loading condition.6 Design variables of the 200-bar planar truss.7 Optimization results obtained for the 200-bar planar truss.8 Error of the constraints for the 200-bar planar truss.9 Loading conditions for the 25-bar space truss (kips).10 Stress limitation for the 25-bar space truss.11 Optimization results obtained for the 25-bar space truss.12 Error of the constraints for the 25-bar space truss.13 Loading conditions for the 72-bar space truss (kips).14 Optimization results obtained for the 72-bar space truss (Case 01).15 Error of the constraints for the 72-bar planar truss (Case 01).16 Optimization results obtained for the 72-bar space truss (Case 02).17 Error of the constraints for the 72-bar space truss (Case 02).18 Optimization results obtained for the 120-bar dome truss.19 Error of the constraints for the 120-bar dome truss.

130 X LIST OF FIGURES 1.1 Flowchart depicting the data-driven approach for structural analysis.2 The schematic process of PINN for linear elasticity problem.1 Deformation of a space truss element.2 The whole process of an unsupervised learning-based framework for geometrically nonlinear analysis of inelastic truss structures.3 Schematic representation of snap-through and bifurcation points.4 Indirect approach using bi-section method.5 The whole process of the direct instability-informed neural network framework.6 Stress—strain relationships considered in the analysis.7 A 6-bar planar truss structure.8 The convergence histories of the loss function for the 6-bar truss with the materials MAT3 and MAT4.9 A 31-bar planar truss structure.10 The convergence histories of the loss function for the 31-bar truss with different materials.11 Schematic of a 25-bar space truss.12 52-bar dome space truss structure.13 The convergence history of the loss function for the 52-bar dome truss.14 A 10-bar planar truss structure.15 21-bar two-span continuous truss structure.16 Two-bar planar truss.17 The loss convergence history of the two-bar truss with Ku = 0.18 Load-deflection curve for the two-bar truss with Ku = 0.19 Effect of the spring stiffness on the structural stability.20 Triangular truss dome.21 Load-deflection curve and critical points of the triangular truss dome 51 2.22 Star dome truss with 24 bars.23 Case 01: Load-deflection curve and critical points of the 24-bar dome truss.24 Case 02: Load-deflection curve and critical points of the 24-bar dome truss.25 Case 03: Load-deflection curve and critical points of the 24-bar dome truss.1 Schematic of integration of BDNN-based parameterization frame­ work for structural optimization .2 An example of EI based Bayesian optimization of a one-dimensional minimization problem.3 A 25-bar space truss structure.4 The convergence histories of the HPO using BO for the 25-bar space truss structure.5 Iteration history of the SQP algorithm for different initial areas for the 25-bar space truss.6 The weight convergence histories of the optimal network and other studies for the 25-bar space truss.7 Schematic of a 52-bar dome truss structure.8 The convergence history of the HPO using BO for the 52-bar dome truss structure.9 The weight convergence histories of the optimal network and other works for the 52-bar dome truss.10 A 56-bar space truss structure.11 The convergence history of the HPO using BO for the 56-bar space truss structure.12 The weight convergence histories of the optimal network and FEA- DE for the 56-bar space truss.13 120-bar dome space truss structure.14 The convergence histories of the HPO using BO for the 120-bar dome truss structure.15 The weight convergence histories of the optimal network and FEA- DE for the 120-bar dome truss.1 Process of structural optimization, (a) Conventional approach in­ cluding optimizer algorithm and structural analysis, (b) Framework combines between the deep neural network and structural analysis. (c) Physics-informed neural network without using any structural analyses.2 Physics-informed neural energy-force networks framework for de­ sign optimization.3 A 10-bar planar truss structure.4 The weight convergence histories of the 10-bar truss obtained using the PINEFN and DE for the first load case.5 The weight convergence histories of the 10-bar truss obtained using the PINEFN and DE for the second load case.6 A 200-bar planar truss structure.7 The weight convergence histories of the 200-bar truss obtained using the PINEFN and other algorithms.8 A 25-bar space truss structure.9 The weight convergence histories of the 25-bar truss obtained using the PINEFN and other algorithms.10 A 72-bar space truss structure.11 The weight convergence histories of the 72-bar truss obtained using the PINEFN and other algorithms for the first load case.