Luận Văn Thạc Sĩ: Ứng Dụng Phương Trình Vi Phân Có Chậm Trong Nghiên Cứu Các Bài Toán Về Dân Số

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu toán ứng dụng phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài toán về dân số, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện

• Tác giả: Lê Nguyễn Hạnh Vy
• Người hướng dẫn: Lê Xuân Đại
• Trường học: Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Toán ứng dụng
• Đề tài: Phương trình vi phân có chậm và ứng dụng trong nghiên cứu các bài toán về dân số
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Mục lục chi tiết

• LỜI MỞ ĐẦU
• 1. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM
• 1.1. Giới thiệu một số ứng dụng cơ bản của phương trình vi phân có chậm
• 1.2. Sơ lược về phương trình vi phân có chậm
• 1.3. Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm
• 1.3.1. Tính dao động
• 1.3.2. Nghiệm trong khoảng thời gian ngắn
• 1.4. Sự biến động về dân số
• 1.5. Hệ có chậm Lotka-Volterra kẻ săn mồi - con mồi
• 1.5.1. Mô hình động vật ăn thịt con mồi Lotka-Volterra có chậm đơn
• 1.5.2. Mô hình động vật ăn thịt con mồi Lotka-Volterra có chậm kép
• 1.6. Một số nhận xét quan trọng
• 2. CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM
• 2.1. Một số kiến thức cơ bản, định nghĩa và ký hiệu
• 2.2. Sự tồn tại và tính duy nhất
• 2.3. Hệ động lực học và sự bất biến
• 2.4. Tính ổn định Lyapunov trong phương trình vi phân có chậm
• 2.4.1. Định nghĩa cơ bản về tính ổn định
• 2.4.2. Định nghĩa cơ bản về tính ổn định Lyapunov
• 3. CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM GIẢI CÁC BÀI TOÁN MÔ HÌNH PHÁT TRIỂN ỔN ĐỊNH DÂN SỐ
• 3.1. Giới thiệu sơ lược
• 3.2. Mô hình Lotka-Volterra có chậm
• 3.2.1. Mô hình động vật ăn thịt con mồi Lotka-Volterra có chậm đơn
• 3.2.2. Mô hình động vật ăn thịt con mồi Lotka-Volterra có chậm kép
• KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN
• PHỤ LỤC
• TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tóm tắt

I. Luận văn thạc sĩ

Luận văn thạc sĩ này tập trung vào việc nghiên cứu phương trình vi phân có chậm và ứng dụng của chúng trong bài toán dân số. Tác giả Lê Nguyễn Hạnh Vy đã sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để phân tích tính ổn định của các mô hình toán học liên quan. Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Bách Khoa - Đại học Quốc gia TP. Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Xuân Đại. Nghiên cứu này không chỉ có giá trị lý thuyết mà còn mang tính ứng dụng cao trong các lĩnh vực như sinh thái học, kinh tế học và vật lý.

1.1. Mục tiêu nghiên cứu

Mục tiêu chính của luận văn thạc sĩ là nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân có chậm thông qua phương pháp hàm Lyapunov. Tác giả áp dụng phương pháp này vào mô hình Lotka-Volterra để phân tích sự phát triển ổn định của dân số. Kết quả nghiên cứu bao gồm các tiêu chuẩn ổn định và mô phỏng quỹ đạo nghiệm bằng phần mềm Matlab và Maple.

1.2. Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp chính được sử dụng trong luận văn thạc sĩ là phương pháp hàm Lyapunov, kết hợp với các công cụ tính toán hiện đại như Matlab và Maple. Tác giả đã phân tích tính ổn định của phương trình vi phân có chậm trong mô hình Lotka-Volterra, bao gồm cả mô hình có chậm đơn và chậm kép. Kết quả nghiên cứu được thể hiện qua các biểu đồ pha và quỹ đạo nghiệm.

II. Toán ứng dụng

Toán ứng dụng đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các vấn đề thực tế, đặc biệt là trong bài toán dân số. Luận văn này sử dụng các công cụ toán học để mô hình hóa và phân tích sự phát triển của dân số thông qua phương trình vi phân có chậm. Các mô hình toán học được xây dựng dựa trên lý thuyết phương trình vi phân và hàm Lyapunov, mang lại cái nhìn sâu sắc về sự biến động dân số trong các điều kiện khác nhau.

2.1. Mô hình toán học

Luận văn tập trung vào mô hình Lotka-Volterra, một mô hình toán học quan trọng trong sinh thái học. Tác giả đã mở rộng mô hình này bằng cách thêm yếu tố chậm trễ để phản ánh sự phụ thuộc của dân số vào các yếu tố trong quá khứ. Kết quả nghiên cứu cho thấy sự ảnh hưởng của chậm trễ đến tính ổn định của hệ thống.

2.2. Phân tích dữ liệu

Phần phân tích dữ liệu trong luận văn được thực hiện thông qua các công cụ tính toán như Matlab và Maple. Tác giả đã mô phỏng các quỹ đạo nghiệm và biểu đồ pha để minh họa sự biến động của dân số trong các điều kiện khác nhau. Kết quả cho thấy rõ sự ảnh hưởng của chậm trễ đến sự tăng trưởng dân số.

III. Phương trình vi phân có chậm

Phương trình vi phân có chậm là công cụ toán học quan trọng được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng thực tế, đặc biệt là trong bài toán dân số. Luận văn này tập trung vào việc nghiên cứu tính ổn định của các phương trình vi phân có chậm thông qua phương pháp hàm Lyapunov. Kết quả nghiên cứu cho thấy sự ảnh hưởng của chậm trễ đến sự phát triển ổn định của dân số.

3.1. Tính ổn định

Tính ổn định của phương trình vi phân có chậm được nghiên cứu thông qua phương pháp hàm Lyapunov. Tác giả đã đưa ra các tiêu chuẩn ổn định và áp dụng chúng vào mô hình Lotka-Volterra. Kết quả cho thấy rằng chậm trễ có thể làm thay đổi đáng kể tính ổn định của hệ thống.

3.2. Ứng dụng trong bài toán dân số

Phương trình vi phân có chậm được áp dụng để nghiên cứu sự biến động của dân số. Tác giả đã sử dụng mô hình Lotka-Volterra để phân tích sự tăng trưởng dân số trong các điều kiện khác nhau. Kết quả nghiên cứu cho thấy rằng chậm trễ có thể dẫn đến sự dao động và bất ổn định trong hệ thống dân số.

IV. Nghiên cứu bài toán dân số

Nghiên cứu bài toán dân số là một trong những ứng dụng quan trọng của phương trình vi phân có chậm. Luận văn này tập trung vào việc phân tích sự biến động dân số thông qua các mô hình toán học. Tác giả đã sử dụng phương pháp hàm Lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các mô hình này, từ đó đưa ra các kết luận quan trọng về sự phát triển dân số.

4.1. Mô hình Lotka Volterra

Mô hình Lotka-Volterra được sử dụng để nghiên cứu sự tương tác giữa các loài trong hệ sinh thái. Tác giả đã mở rộng mô hình này bằng cách thêm yếu tố chậm trễ để phản ánh sự phụ thuộc của dân số vào các yếu tố trong quá khứ. Kết quả nghiên cứu cho thấy sự ảnh hưởng của chậm trễ đến tính ổn định của hệ thống.

4.2. Tính toán dân số

Phần tính toán dân số trong luận văn được thực hiện thông qua các công cụ tính toán như Matlab và Maple. Tác giả đã mô phỏng các quỹ đạo nghiệm và biểu đồ pha để minh họa sự biến động của dân số trong các điều kiện khác nhau. Kết quả cho thấy rõ sự ảnh hưởng của chậm trễ đến sự tăng trưởng dân số.

Nội dung chính

Tổng quan nghiên cứu

Phương trình vi phân có chậm là một công cụ toán học quan trọng trong mô hình hóa các hiện tượng thực tế như vật lý, sinh học, y học và kinh tế học. Theo ước tính, việc sử dụng phương trình vi phân có chậm giúp mô tả chính xác hơn các hệ thống có sự phụ thuộc vào trạng thái quá khứ, đặc biệt trong các bài toán về biến động dân số. Luận văn tập trung nghiên cứu tính ổn định của phương pháp hàm Lyapunov đối với phương trình vi phân có chậm, ứng dụng vào mô hình Lotka-Volterra trong bài toán dân số. Mục tiêu chính là xây dựng tiêu chuẩn ổn định, khảo sát tính ổn định tiệm cận và ổn định tiệm cận toàn cục của các mô hình dân số có chậm, đồng thời mô phỏng quỹ đạo nghiệm và biểu đồ phase để minh họa sự biến động dân số theo thời gian có chậm.

Phạm vi nghiên cứu được giới hạn trong các mô hình Lotka-Volterra có chậm đơn và chậm kép, với dữ liệu và mô phỏng thực hiện trong khoảng thời gian dài, sử dụng phần mềm Matlab và Maple. Ý nghĩa của nghiên cứu thể hiện qua việc cung cấp công cụ phân tích ổn định cho các mô hình dân số phức tạp, giúp dự báo và quản lý sự phát triển dân số trong các hệ sinh thái, đồng thời mở rộng ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác như sinh thái học và điều khiển tối ưu.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Khung lý thuyết áp dụng

Luận văn dựa trên hai lý thuyết chính: lý thuyết phương trình vi phân có chậm và phương pháp hàm Lyapunov. Phương trình vi phân có chậm (Delay Differential Equations - DDEs) mở rộng phương trình vi phân thường bằng cách đưa vào các biến trạng thái phụ thuộc vào giá trị quá khứ, thể hiện qua các tham số chậm trễ. Lý thuyết này được phát triển bởi các nhà toán học như Bellman, Cooke, Hale và Verduyn Lunel, với các tính chất đặc trưng như tính dao động, tính ổn định và nghiệm trong khoảng thời gian ngắn.

Phương pháp hàm Lyapunov là công cụ định tính để khảo sát tính ổn định của nghiệm phương trình vi phân có chậm. Hàm Lyapunov được xây dựng sao cho thỏa mãn các điều kiện liên tục, dương xác định và đạo hàm theo thời gian âm xác định, từ đó chứng minh được tính ổn định, ổn định tiệm cận và ổn định tiệm cận toàn cục của hệ thống. Các khái niệm chính bao gồm: tính ổn định Lyapunov, tính ổn định tiệm cận, tính ổn định toàn cục, hệ động lực học và điểm cân bằng.

Ngoài ra, mô hình Lotka-Volterra có chậm được sử dụng làm ví dụ điển hình, mô tả sự tương tác giữa kẻ săn mồi và con mồi trong hệ sinh thái, với các tham số chậm trễ thể hiện sự trì hoãn trong phản hồi sinh học.

Phương pháp nghiên cứu

Nguồn dữ liệu nghiên cứu chủ yếu là các mô hình toán học và các bài báo khoa học liên quan đến phương trình vi phân có chậm và mô hình Lotka-Volterra. Phương pháp phân tích bao gồm xây dựng hàm Lyapunov phù hợp cho từng mô hình, chứng minh các định lý về tính ổn định dựa trên các điều kiện của hàm Lyapunov, và sử dụng phần mềm Maple để tính toán các tham số mô hình.

Tiếp theo, các tham số được nhập vào phần mềm Matlab để mô phỏng quỹ đạo nghiệm và biểu đồ phase, giúp trực quan hóa sự biến động dân số theo thời gian có chậm. Cỡ mẫu nghiên cứu là các nghiệm số học được tính toán trên không gian hàm liên tục với chuẩn tối đa, lựa chọn phương pháp phân tích định tính nhằm đảm bảo tính tổng quát và khả năng ứng dụng rộng rãi.

Timeline nghiên cứu kéo dài từ tháng 8 đến tháng 12 năm 2016, bao gồm các bước: tổng hợp tài liệu, xây dựng lý thuyết, tính toán tham số, mô phỏng và hoàn thiện luận văn.

Kết quả nghiên cứu và thảo luận

Những phát hiện chính

1. Tiêu chuẩn ổn định của phương trình vi phân có chậm qua hàm Lyapunov: Luận văn đã xây dựng thành công hàm Lyapunov phù hợp cho các mô hình Lotka-Volterra có chậm đơn và chậm kép, chứng minh được tính ổn định tiệm cận toàn cục khi thời gian chậm trễ nhỏ hơn một ngưỡng xác định. Cụ thể, tồn tại giá trị cực đại của thời gian chậm trễ $\tau^$ sao cho nếu $\tau < \tau^$, điểm cân bằng dương là ổn định tiệm cận toàn cục.

2. Ảnh hưởng của thời gian chậm đến tính ổn định: Kết quả mô phỏng cho thấy khi thời gian chậm trễ tăng vượt ngưỡng $\tau^$, hệ thống mất ổn định, xuất hiện dao động tuần hoàn hoặc nghiệm chu kỳ. Ví dụ, với mô hình Lotka-Volterra có chậm đơn, khi $\tau > \tau^$, nghiệm không còn hội tụ về điểm cân bằng mà dao động quanh nó.

3. Mô phỏng quỹ đạo nghiệm và biểu đồ phase: Qua phần mềm Matlab, các biểu đồ phase minh họa rõ ràng sự biến động mật độ dân số của kẻ săn mồi và con mồi theo thời gian có chậm. Mức độ tăng trưởng dân số phụ thuộc vào giá trị chậm trễ, với các quỹ đạo nghiệm thể hiện sự ổn định hoặc dao động tùy thuộc vào tham số chậm.

4. Tính ổn định địa phương và toàn cục của mô hình Lotka-Volterra có chậm kép: Nghiên cứu chỉ ra rằng với hai thời gian chậm rời rạc, tính ổn định của điểm cân bằng dương phụ thuộc vào tổng hợp các tham số và thời gian chậm. Khi các điều kiện về tham số thỏa mãn, điểm cân bằng dương ổn định tiệm cận địa phương; ngược lại, hệ có thể mất ổn định và xuất hiện dao động phức tạp.

Thảo luận kết quả

Nguyên nhân của các hiện tượng trên bắt nguồn từ bản chất của phương trình vi phân có chậm, trong đó trạng thái hiện tại phụ thuộc vào trạng thái quá khứ, tạo ra hiệu ứng phản hồi trễ. Điều này làm tăng tính phức tạp của hệ, dẫn đến các dao động hoặc mất ổn định khi thời gian chậm vượt quá ngưỡng cho phép.

So sánh với các nghiên cứu trước đây, kết quả phù hợp với lý thuyết của Yang Kuang và các cộng sự về tính ổn định của hệ thống có chậm, đồng thời mở rộng thêm các điều kiện ổn định toàn cục cho mô hình Lotka-Volterra có chậm kép. Việc sử dụng hàm Lyapunov và mô phỏng bằng Matlab, Maple giúp minh họa trực quan và chính xác hơn các kết quả lý thuyết.

Ý nghĩa của kết quả nằm ở khả năng dự báo và kiểm soát sự biến động dân số trong các hệ sinh thái thực tế, đặc biệt khi các yếu tố môi trường hoặc sinh học gây ra sự trì hoãn trong phản hồi. Ngoài ra, phương pháp nghiên cứu có thể áp dụng cho các lĩnh vực khác như kỹ thuật điều khiển, kinh tế học và y học.

Đề xuất và khuyến nghị

1. Phát triển các hàm Lyapunov phù hợp cho mô hình phức tạp hơn: Nghiên cứu nên mở rộng xây dựng hàm Lyapunov cho các hệ đa loài với nhiều thời gian chậm khác nhau, nhằm nâng cao khả năng phân tích ổn định toàn cục. Thời gian thực hiện dự kiến 1-2 năm, do các nhóm nghiên cứu toán ứng dụng đảm nhiệm.

2. Ứng dụng mô hình vào dự báo dân số thực tế tại các địa phương: Sử dụng mô hình Lotka-Volterra có chậm để phân tích dữ liệu dân số tại các vùng sinh thái cụ thể, giúp chính quyền địa phương đưa ra các chính sách quản lý phù hợp. Thời gian triển khai 6-12 tháng, phối hợp giữa các viện nghiên cứu và cơ quan quản lý.

3. Phát triển phần mềm mô phỏng tích hợp: Tạo ra công cụ phần mềm tích hợp Matlab và Maple với giao diện thân thiện, hỗ trợ các nhà nghiên cứu và sinh viên trong việc mô phỏng và phân tích các mô hình vi phân có chậm. Thời gian phát triển khoảng 1 năm, do các nhóm công nghệ thông tin và toán học ứng dụng thực hiện.

4. Đào tạo và phổ biến kiến thức về phương trình vi phân có chậm: Tổ chức các khóa học, hội thảo chuyên sâu về lý thuyết và ứng dụng phương trình vi phân có chậm, nhằm nâng cao nhận thức và kỹ năng cho sinh viên, nhà nghiên cứu và chuyên gia trong các lĩnh vực liên quan. Thời gian thực hiện liên tục, do các trường đại học và viện nghiên cứu đảm nhận.

Đối tượng nên tham khảo luận văn

1. Sinh viên và nghiên cứu sinh ngành Toán ứng dụng: Luận văn cung cấp kiến thức nền tảng và phương pháp phân tích hiện đại về phương trình vi phân có chậm, giúp nâng cao kỹ năng nghiên cứu và ứng dụng trong các bài toán thực tế.

2. Nhà nghiên cứu và giảng viên trong lĩnh vực toán học và sinh thái học: Tài liệu chi tiết về lý thuyết hàm Lyapunov và mô hình Lotka-Volterra có chậm hỗ trợ nghiên cứu sâu hơn về tính ổn định và biến động dân số.

3. Chuyên gia quản lý tài nguyên và môi trường: Các kết quả mô hình giúp dự báo sự phát triển dân số và tương tác sinh thái, hỗ trợ hoạch định chính sách bảo vệ môi trường và phát triển bền vững.

4. Lập trình viên và nhà phát triển phần mềm khoa học: Phần mô phỏng sử dụng Matlab và Maple cung cấp ví dụ thực tiễn về cách tích hợp các công cụ tính toán trong nghiên cứu khoa học, hỗ trợ phát triển các ứng dụng mô phỏng tương tự.

Câu hỏi thường gặp

1. Phương trình vi phân có chậm là gì và tại sao nó quan trọng?
   Phương trình vi phân có chậm là loại phương trình mà biến trạng thái tại thời điểm hiện tại phụ thuộc vào giá trị của nó tại các thời điểm trước đó. Điều này phản ánh các hiện tượng có phản hồi trễ trong thực tế, giúp mô hình hóa chính xác hơn các hệ thống sinh học, kỹ thuật và kinh tế.

2. Hàm Lyapunov được sử dụng như thế nào để đánh giá tính ổn định?
   Hàm Lyapunov là một hàm vô hướng được xây dựng sao cho giá trị của nó dương xác định và đạo hàm theo thời gian âm xác định dọc theo nghiệm của hệ. Nếu tồn tại hàm như vậy, nghiệm cân bằng được chứng minh là ổn định hoặc ổn định tiệm cận.

3. Mô hình Lotka-Volterra có chậm khác gì so với mô hình truyền thống?
   Mô hình có chậm bổ sung các tham số thời gian chậm trễ vào các phương trình, thể hiện sự trì hoãn trong tương tác giữa kẻ săn mồi và con mồi, từ đó mô tả chính xác hơn các dao động và biến động dân số thực tế.

4. Thời gian chậm trễ ảnh hưởng thế nào đến tính ổn định của hệ?
   Khi thời gian chậm trễ nhỏ hơn một ngưỡng nhất định, hệ thống ổn định tiệm cận về điểm cân bằng. Nếu vượt quá ngưỡng này, hệ có thể mất ổn định, xuất hiện dao động tuần hoàn hoặc nghiệm chu kỳ, làm biến động dân số phức tạp hơn.

5. Làm thế nào để áp dụng kết quả nghiên cứu vào thực tế?
   Kết quả có thể được sử dụng để dự báo sự phát triển dân số trong các hệ sinh thái, hỗ trợ quản lý tài nguyên và bảo tồn môi trường. Ngoài ra, phương pháp và mô hình cũng có thể áp dụng trong các lĩnh vực như y học, kỹ thuật điều khiển và kinh tế học.

Kết luận

• Đã xây dựng và chứng minh tiêu chuẩn ổn định cho phương trình vi phân có chậm dựa trên hàm Lyapunov, áp dụng thành công cho mô hình Lotka-Volterra có chậm đơn và chậm kép.
• Xác định ngưỡng thời gian chậm trễ tối đa đảm bảo tính ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng dương trong mô hình dân số.
• Mô phỏng quỹ đạo nghiệm và biểu đồ phase minh họa rõ ràng ảnh hưởng của thời gian chậm đến sự biến động dân số.
• Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa thực tiễn trong dự báo và quản lý dân số, đồng thời mở rộng ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học khác.
• Đề xuất phát triển các hàm Lyapunov cho mô hình phức tạp hơn, ứng dụng mô hình vào dự báo thực tế và phát triển phần mềm mô phỏng tích hợp.

Next steps: Tiếp tục mở rộng nghiên cứu cho các mô hình đa loài với nhiều thời gian chậm, triển khai ứng dụng thực tế tại các địa phương và phát triển công cụ hỗ trợ mô phỏng.

Các nhà nghiên cứu và chuyên gia trong lĩnh vực toán ứng dụng và sinh thái học nên tham khảo và áp dụng các kết quả này để nâng cao hiệu quả nghiên cứu và quản lý hệ sinh thái.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Chương 1 Kién thức cơ bản về phương trình vi phan có cham 1.1 Giới thiệu một số ứng dung cơ ban của phương trình vi phân có chậm 1.2 Sơ lược về phương trình vi phân có chậm Hiện nay, để phù hợp với mô hình thực tế trong vật lý, kĩ thuật, sinh học, y hoc ,. đôi khi ta cần thay đổi phương trình vi phân thường bằng phương trình vi phân có chậm để thể hiện sự phụ thuộc # vào các giá trị trong quá khứ của biến trạng thái x(t). Khi đó, phương trình vi phân thường (PTVPT) sẽ được chuyển thành phương trình vi phân có chậm (PTVPCC) như sau: #(†) = ƒŒ,x(£ — m),.,#(f — T„)), t> to, với 7; > 0, Vt > to,2 = 1,.,n được gọi là các chậm Dạng tổng quát nhất của các mô hình còn được thể hiện qua PTVPCC như sau: % = f(t, x), (1.1) trong đó, x, = «(t+ 0), 6 € [—r,0], là một hàm thuộc không gian các hàm liên tục từ [—r, 0| vào IR”. Ký hiệu: C = Co(|—r, 0], R”) ƒ: — R” là hàm cho trước, với QC Rx C.

10 Luận văn cao học Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm: Khi đó, bài toán giá trị ban đầu là : x(t) = f(t,a,), t > to, #ọ = #(fo + 8) = ð2(0) trong đó, (0) € C biểu diễn trang thái ban đầu hoặc trang thái dữ liệu gốc.3 Một số tính chất của phương trình vi phân có chậm Nghiệm PTVPCC không được xác định bởi trạng thái ban đầu của nó tại một thời điểm nào đó, mà trạng thái ban đầu được xác định là một hàm số liên tục trên đoạn [—7, 0]. Và cách tốt nhất dé biết được là ta đi xét PTVP tuyến tính bậc 1. Ta xét bài toán giá trị ban đầu bậc 1 như sau: = =kz, «(0)=1 (1.4) Theo quy luật thi việc xét tại x(0) = 1 cho phép ta có thé dự toán ở bất kỳ thời điểm t nào. Tuy nhiên, đối với PTVPCC, ta có thể xét như sau: ni” he — 7); a(t)=1 kh —7r<t<0 (1.5) Phương trình trên phụ thuộc vào z tại thời điểm t—7.

Trong đó, 7 là sự chậm trễ hay thời gian có chậm. Mặc khác, trạng thái ban đầu được thay thế bởi hàm ban đầu xác định trên khoảng hữu hạn.31 Tinh dao động: Ngược với dạng mũ của nghiệm (1.4) thì nghiệm phương trình (1.5) có tính dao động [2]. Điều này có thể được tìm trong dạng nghiệm đặc biệt sau: x(t) = Asin(wt) (1.5), ta được: wAcos(wt) = kAsin(wt — wr) = kAlsin(wt) cos(wr) — sin(wr) cos(wt)] (1.7) Can bằng 0 hệ số của cos(wt) và sin(wt), ta tim được 2 điều kiện: cos(wT) =0 và œ= —Èksin(w7) HV: Lê Nguyễn Hạnh Vy 11 GVHD: TS. Lê Xuân Dai Luận văn cao học Sự biến động về dân số Điều kiện đầu thổa nếu wr = § hay wr = 'Ÿ với điều kiện thứ 2, ta có được: WT = 5 và kr= > ĐT ~ OT WT = > và k7 = > Đối với giá trị đặc biệt của kr, PTVPCC (1.5) nhận nghiệm tuần hoàn (1.2 Nghiệm trong khoảng thời gian ngắn: Su khác biệt giữa phương trình vi phân thường và phương trình vi phân có chậm là điều kiện ban đầu.

Đối với phương trình vi phân có chậm, ta không chỉ cung cấp giá trị ban đầu, mà nghiệm z(t) tại những thời điểm trước điểm ban đầu. Xét trường hợp k = —1 và 7 = x = 1. ta giải phương trình (1.5) trên đoạn hữu han [0,7].1: Phuong phấp từng bước cho việc giải x’ = —z(f — 1) với x = 1 trên đoạn hữu han [-I, 0]. Nó cung cấp nghiệm x(t) = 1 - t trên |0, 1] và x(t) = —(— 1) + $(£— 1)? trên [1, 2].

Khi x dần đến 1, ta xét trên đoạn hữu hạn [1, 2] thì phương trình (1. +) = = =1) + sự = 1) , VỚI l<‡<2 HV: Lê Nguyễn Hạnh Vy 12 GVHD: TS. Lê Xuân Dai Luận văn cao học Hệ có chậm Lotka-Volterra ké sin mồi - con môi 1.4 Sự biến động về dân số Năm 1925, Lotka đã phát triển phương trình Verhulst được tái phát hiện bởi Pearl and Reed (1920), đó gọi là "luật phát triển dân số" và nhà sinh vật học Nga Gause (1934) đã chứng minh giá tri của nó trong các thí nghiệm của mình. Phương trình logic liên tục được cho bởi: dt; ( x) dN N oe rN (Lee Trong đó, r va K được xác định là tỉ lệ tăng trưởng va sức chứa dan số.

Nghiệm của phương trình trên có thé được xác định bởi phương pháp tách biến. Nó là một đường xicmoit dạng hàm mũ từ (0) < và bão hòa tại N = K NsPoipuzlaetn Paramecium aurelia 10 12 14 16 Days Hình 1.2: Sự phát triển của Paramecium aurelia trong ống nghiệm chứa Osterhaut trong môi trường nuôi cấy vi khuẩn làm thực phẩm, mỗi ống chứa 0. Phương trình logic giả định tỷ lệ sinh hoặc tử phản ứng với những thay đổi trong dân số. Tuy nhiên, có một số sinh vật biểu hiện sinh sản với sự chậm trễ.

Sự chậm trễ xảy ra là do dinh dưỡng, hoặc từ điều kiện môi trường. Hutchinson là một trong những nhà toán học đầu tiên đưa ra sự chậm trễ trong phương trình logic. Ong chỉ ra rằng việc quan sát các dao động có thể được giải thích bởi thời gian có chậm hữu hạn. Cụ thể, ông đã nghiên cứu phương trình sau: dt; yn {pe ( Tb K ) Yt Phương trình này có thể được viết lại dạng không thứ nguyên nếu ta đặt: y=N/K và t=tiƒr Khi đó phương trình trở thành: dụ — TS AwH — wt) trong đó, À =r77 HV: Lê Nguyễn Hạnh Vy 13 GVAD: TS.

Lê Xuân Dai Luận văn cao học Hệ có chậm Lotka-Volterra ké sin mồi - con môi 0.3: Với \ = 1, nghiêm dao động của phương trình vi phân có chậm ở trạng thái ổn định là y = 1 0 20 40 60 | 80 100 Hình 1.8, dao động chậm va được duy trì 1.5 Hệ có cham Lotka-Volterra kẻ săn môi - con môi Khi nghiên cứu mô hình kẻ săn mồi-con môi, Volterra (1928) đã nghiên cứu hệ sau: #(#) = x(t) (« — ba(t) — / F,(0)y(t + 6) —T 0 y(t) = y(t) (-a + ca(t) + / F2(0)z(t + 049) —T Trong đó: z,1 là mật độ con môi và ké săn môi Đối với sự tương tác qua lại lẫn nhau, Wangersky và Cunningham (1957) cũng sử dụng phương trình sau cho mô hình kẻ săn môi - con mồi. +t) = ac) | | = betute m — x(t) y(t) = —By(t) + ca(t — r)y(t —r) Một cách tổng quát, mô hình có chậm của kẻ săn môi - con mồi có dạng: u(t) = x(t) F(t, a0): y(t) = 0ữ)G(,#¡, 9i): HV: Lê Nguyễn Hanh Vy 14 GVHD: TS. Lê Xuân Dai Luận văn cao học Hệ có chậm Lotka-Volterra ké sin mồi - con môi trong đó, z/(Ø) = c(t +6), (9) = y(t +6) void <S0;PF., G thỏa mãn điều kiện : OF /0x, < 0, Ô0F/0u, <0, 0G/0z, <0, 0G/Ø, < 0.6 Một số nhận xét quan trong: - Minorsky (1942) đã chỉ ra tầm quan trọng về việc xem xét tính chậm trễ trong cơ chế phản hồi, đây chính là tiền đề cho sự phát triển lý thuyết phương trình vi phân phụ thuộc vào trạng thái trước đó. - Một số ứng dụng trong kỹ thuật của phương trình vi phân có chậm được nghiên cứu bởi Kolmanovskii và Nosov (1986) - Năm 1920, ứng dụng phương trình vi phân vào biến động dân số đã được nghiên cứu lại, mãi đến năm 1927, Volterra đã nghiên cứu mô hình ké săn mồi - con môi, nhưng không được chấp nhận.

- Năm 1963, việc nghiên cứu này đã được quan tâm trở lại trong bối cảnh biến động dân số và toán sinh học. - Cuốn sách của Hale (1977) day mạnh quá trình nghiên cứu mô hình này, ngoài ra Pielou (1977), May(1974), J.Smith (1974) đã cung cấp phần lớn động cơ sinh học cần thiết cho mô hình hóa và phân tích lý thuyết về các vấn đề biến động dân số trong phương trình vì phân có chậm. HV: Lê Nguyễn Hạnh Vy 15 GVAD: TS. Lê Xuân Dai Chương 2 Phương pháp Lyapunov đôi với phương trình vi phần có cham 2.1 Một số kién thức cơ bản, định nghĩa và ký hiệu Với mỗi x thuộc không gian tuyến tính R”, ký hiệu ||z|| là chuẩn của x trên R”.

Với b > a, ta xác định C({a, bỊ, R”) là không gian hàm liên tục từ|a, b| vào R”. Gia sử 2 là tập con của R x C, hàm ƒ : Q —> R”, khi đó ta gọi : u(t) = f(t, x1), (2.1) là phương trình vi phân có chậm. x được gọi là nghiệm của (2.1) trên [o — r,o + A] nếu œ€ C(lơ—r,ơ+ A),R"), (f,z¿) € Q va x thỏa (2. Với ơ € R, ¿€ C thì z(ơ,ø) là nghiệm của (2.1) với giá trị ban đầu ó tại o.

Nếu nghiệm đó là duy nhất thì với mỗi t < 0, ta xác định: Tự): —> (Ø, 9) Rõ ràng, T(t) là ánh xạ đi từ C —> C.,p và ta xây dựng được phương trình tích phân sau: 0 v(t) = [ slt:8,z(f + 6) 2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất Xét phương trình tích phân sau: x(t) = 60) + f° Fls,0s)ds, t>o tg = , trong đó, ơ € R,@ € C, (ơ,ø) € (R,C). Với a > 0 va những ham z trên [o — r,o — al liên tục và trùng với ở trên [ở —z,ð|. Trị số của những hàm xét trên |ø,ø + a] và thỏa mãn | x(t) — ó0) |< ổ Dinh lý 2. (Sự ton tai) Gia sử OQ là tập mở vaQ CRXC, va ƒ liên tục trên Q.

Nếu (0,¢) € O, thi ton tại nghiệm của (2.1) thông qua (a, ¢) Dinh nghĩa 2. Ta nới f(t,¢) là ham Lipschitz theo biến @ trong tập compact K của R x C nếu ton tai hằng số k > 0 sao cho với bat ki (t,@;) € K, ¡ = 1,2, | F(t, 01) — F(t, G2) |S & lớn — 2 |) Dinh ly 2. (Tinh duy nhat) Gia sử Q là một tập mở trong R x C, f : Q —> R” liên tục, va f(t, 6) la Lipschitz theo @. Nếu (o,¢) € Q thi tồn tại nghiệm duy nhất của (2.3 Hệ động lực học và sự bất bién Định nghĩa 2.

Giá sử X là không gian Banach, Rt = |0,oo), u: Rx X x Rt — X là một ánh xa, va định nghĩa U(ơ,t): X —> X, uớiơz ER, t € R® bởi U(o,t)x = u(ơ,+,t). Một quá trình trên X là ánh cau: Rx X x Rt —> X thủa mãn : (i) u liên tục, HV: Lê Nguyễn Hạnh Vy 17 GVAD: TS.