Mở đầu Điều kiện tối ưu không trơn nằm ở vị trí trung tâm trong lý thuyết tối ưu. Nó không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết, mà còn là cơ sở cho thuật toán tìm các nghiệm tối ưu. Các nghiên cứu về điều kiện cấp một và hai chiếm phần lớn trong các tài liệu khoa học, trong khi có rất ít kết quả về các điều kiện tối ưu cấp cao nhưng lại cung cấp thêm những thông tin cần thiết. Một trong những lý do là rất ít khái niệm đạo hàm suy rộng có thể mở rộng sang trường hợp cấp cao hơn hai.
Động lực đó thúc đẩy chúng tôi đề xuất một đạo hàm cấp cao phù hợp và nghiên cứu các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị. Về đóng góp riêng, chúng tôi thiết lập các quy tắc nhân tử Karush-Kuhn-Tucker với độ lệch bù cấp cao và các giả thiết dưới chính quy Hélder. Những quy tắc này có dạng phi cổ điển, cụ thể là về phải là supremum (thay vì là 0 như dạng cổ điển). Phạm vi nghiên cứu của chúng tôi là bài toán tối ưu đa trị và bài toán tối ưu vectơ.
Chúng tôi quan tâm đến các loại nghiệm tiêu biểu như: nghiệm yếu, nghiệm Henig, nghiệm dương, và nghiệm Borwein. Dé đạt được điều đó, chúng tôi dé xuất và áp dụng khái niệm đạo ham tựa tiếp liên với chỉ số y € [0,œ], đồng thời chọn lựa các hướng tới hạn phù hợp. Nhờ các điều kiện định tính ràng buộc dạng Mangasarian-Fromovitz và Kurcyusz-Robinson-Zowe, chúng tôi có được nhân tử ứng với ánh xạ mục tiêu không bị triệt tiêu. Các kết quả trên hoàn toàn mới hoặc cải tiến đáng kể nhiều kết quả gần đây.
Chúng tôi phân tích chỉ tiết các kết quả này trong các nhận xét và qua các ví dụ minh họa. Ngoài ra, một chủ dé khác là phân tích độ nhạy không chỉ thú vị về mặt lý thuyết mà còn quan trọng về mặt thực tiễn trong lĩnh vực tối ưu, và tính ứng dụng của nó đã hấp dẫn rất nhiều nhà khoa học. Phân tích độ nhạy cung cấp thông tin về ổn định định lượng của ánh xạ nghiệm bài toán tối ưu vectơ có tham số. Hướng nghiên cứu này rất có ý nghĩa về mặt khoa học cũng như tính ứng dụng của nó.
Chúng tôi dé xuất khái niệm đạo hàm theo hướng cấp cao theo nghĩa của Hadamard cho ánh xạ đa trị. Đây là một sự mở rộng tự nhiên của đạo hàm theo hướng cổ điển. Một số phép toán thông dụng như phép hợp, giao, tích, tổng, và phép xích cho các ánh xạ được xây dựng với các giả thiết dưới chính quy metric. Sự khả vi Hadamard và công thức tính đạo hàm Hadamard của ánh xạ giá trị hữu hiệu cũng được thiết lập.
Sau đó, chúng tôi dùng các đạo hàm này để nghiên cứu một dạng của định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị, đồng thời áp dụng vào phân tích độ nhạy cấp cao cho ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng vectơ có tham số. Độ nhạy cho nghiệm của phương trình suy rộng có tham số cũng được nghiên cứu. Một số ví dụ được đưa ra để phân tích và minh họa cho các kết quả thu được. Chương 2 Giới thiệu tổng quan về hướng nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi chủ yếu quan tâm đến hai chủ dé là điều kiện tối ưu và phân tích độ nhạy.
Điều kiện tối ưu đóng vai trò quan trọng trong lĩnh vực tối ưu cả về lý thuyết và ứng dụng. Các điều kiện cấp một và cấp hai đã được phát triển mạnh mẽ, xem và các trích dẫn trong đó. Các đóng góp cho điều kiện cấp cao hiện tại còn ít, nhưng chúng lại cung cấp thêm những thông tin rất quan trọng. Đối với tối ưu đa trị, chúng ta có thể đề cập đến các công trình [49|6164].
Đặc biệt, thời gian gần đây, tận dụng các đạo hàm tiếp liên, tiệm cận, và Studniarski cấp cao, quy tắc nhân tử Karush-Kuhn-Tucker (KKT) cấp cao cho nghiệm yếu và chặt của bài toán đa trị với ràng buộc bao hàm thức được nghiên cứu ở [5ó]. Đây là lần đầu tiên thu được độ lệch bù cấp cao cho ánh xạ mục tiêu. Một lợi thé khác của bài báo đó là việc sử dụng giả thiết dưới chính quy metric Hölder, một điều kiện chính quy phi tuyến quan trọng. Tuy nhiên, các kết quả ở đó được chia thành hai loại khác nhau: thứ nhất là điều kiện nhân tử với giả thiết dưới chính quy metric Hölder cùng độ lệch bù cấp một, thứ hai là với giả thuyết dưới chính quy metric tuyến tính cùng độ lệch bù cấp cao.
Hạn chế đáng chú ý này tạo động lực cho chúng tôi tìm đến kết quả có được cả hai đặc tính tốt như trên. Trong luận án này, chúng tôi đạt được mục tiêu đó bằng cách đưa ra khái niệm đạo hàm tựa tiếp liên và chọn lọc các hướng tới hạn phù hợp. Chúng tôi sẽ giải thích ngắn gọn hai phương pháp để đạt được điều này. « Đầu tiên, một số đạo hàm suy rộng được giới thiệu với nhiều ứng dụng phong phú.
Trong số đó, đạo hàm tiếp liên (71, dao ham Studniarski 9|. đạo hàm tiếp liên trên đồ thị [42], va tap bién phan có liên quan rat gần đạo ham ma chúng tôi dé xuất va sử dung trong luận án. Người doc cũng có thể tham khảo các sách chuyên khảo cho đạo hàm suy rộng. « Tiếp theo, mỗi điều kiện cần cấp cao cung cấp thông tin để kiểm tra các ứng viên có thể là điểm tối ưu/ nghiệm khi chúng đã thỏa mãn các điều kiện ở cấp thấp hơn ở mức tới hạn.
Do đó, các hướng tới hạn càng được chọn chính xác thì điều kiện cần sẽ càng mạnh hơn. Tuy nhiên, trong các điều kiện cấp cao đã có, các hướng tới hạn chưa thật sự được quan tâm nên chỉ xuất hiện độ lệch bù cấp một. Về mô hình ứng dụng, chúng tôi chọn lớp bài toán đa trị tổng quát để đồng bộ với các đóng góp khoa học gần đây. Đối với tối ưu vectơ, chúng tôi khảo sát các khái niệm điển hình sau: nghiệm yếu và các nghiệm chính thường Henig, nghiệm dương và Borwein; bởi lẽ nghiệm yếu là phổ biến nhất và các nghiệm chính thường thì quan trọng.
Cu thể, để loại bỏ các điểm di thường khi khảo sát nghiệm yếu va Pareto, rat nhiều các khái niệm về nghiệm chính thường hữu hiệu đã được giới thiệu, chẳng hạn như theo nghĩa của Benson [9], Borwein [11], Geoffrion [25], Henig [33], hay chính thường dương (46], v. Chúng tôi quan sát rằng hau hết các điều kiện tối ưu đã có là cho nghiệm yếu và rất ít những đóng góp có liên quan đến các nghiệm chính thường. Hơn nữa, trong một số bài báo, chẳng hạn như [49|61||64)|65/88||§9|. điều kiện cấp 4 cao đều được cho ở dạng quy tắc nhân tử Fritz John, trong khi quy tắc nhân tử KKT lại hữu dụng hơn, vì nó rõ ràng chứa thông tin của ánh xạ mục tiêu, ngay cả khi quy tắc này gặp tính chất tới hạn của ràng buộc (khi nhân tử ứng với ánh xạ mục tiêu biến mất).
Một quan sát khác là trong vài đóng góp đã được dé cập, quy tắc nhân tử đều ở dạng cổ điển, tức ở về phải bằng 0, không phải là biểu diễn supremum (trường hợp tổng quát hơn), nó thậm chí có thể âm như đã được chỉ rõ hơn trong luận án này (xem Ví dụ 4. Chúng tôi chia nghiên cứu thành hai trường hợp với nón thứ tự D của ánh xạ ràng buộc là đặc hoặc không đặc. Kĩ thuật được dùng cho mỗi trường hợp là khác nhau. Cụ thể, điều kiện định tính ràng buộc được áp dụng cho trường hợp intD 4 Ø là kiểu của Mangasarian-Fromovitz (xem Định lý 4.5) va cho trường hợp intD = 0 là kiểu của Kurcyusz-Robinson-Zowe (xem Dinh lý l4.
Tập hợp các hướng tới hạn cũng được thay đổi phù hợp. Bên cạnh những điểm mạnh trên, có thể thấy quy tắc nhân tử thu được là hoàn toàn mới hoặc cải tiến các kết quả đã có bởi vì, trong điều kiện tối ưu dạng gốc dẫn đến quy tắc nhân tử, chúng tôi chứng minh được sự phân tách (xem đẳng thức và (4.9)) là mạnh hơn kết quả thông thường đã có. Điều này là nhờ đạo hàm của ánh xạ mục tiêu và ràng buộc được tính toán độc lập, trong khi ở rất nhiều kết quả như [49|l611/65||88||89]. đạo hàm của các ánh xạ này lại được tính theo một cặp.
Đặc biệt, cấp của đạo hàm tựa tiếp liên của ánh xạ mục tiêu và ràng buộc là khác nhau và không phụ thuộc lẫn nhau. Phân tích độ nhạy không chỉ thú vị về mặt lý thuyết mà còn quan trọng về mặt thực tế trong tối ưu hóa và tính ứng dụng của nó đã hấp dẫn rất nhiều nhà khoa học, chẳng hạn như và các trích dẫn trong đó. Phân tích độ nhạy cung cấp thông tin định lượng về ánh xạ nghiệm của bài toán tối uu vectơ có tham số. Khi ánh xạ nhiễu là không trơn, một lượng lớn các đạo hàm theo hướng và đối đạo hàm được sử dụng trong phân tích độ nhạy.
Với hướng tiếp cận trong không gian đối ngẫu (xem [67]|68]), nhiều tác giả đã sử dụng dưới vi phân/ đối đạo hàm trong tối ưu có tham số. Một trong những công trình đầu tiên là đóng góp của Levy và Mordukhovich [59]. Ở đó các tác giả đã khảo sát họ tham số của các bài toán có ràng buộc và đưa ra phân tích độ nhạy địa phương cho ánh xạ đa trị nghiệm. Cùng ý tưởng với chủ đề này là nghiên cứu của Huy và các đồng tác giả B7].
với công thức ước lượng và tính toán đối đạo hàm thông thường và hỗn hợp cho ánh xa giá trị tối ưu và nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu có tham số. Yao và Yên áp dụng đối đạo hàm cho một số tính toán liên quan đến bất phương trình biến phân affine có tham số. Nam cung cấp chính xác công thức cho biểu diễn tường minh của đối đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến và tính toán đối đạo hàm cho ánh xạ nghiệm của bất phương trình biến phân có tham số. Chương cho công thức để tính toán/ ước lượng đạo hàm của ánh xạ đa trị hữu hiệu trong tối ưu vectơ có tham số.
Gần đây, Cánovas cùng các đồng tác giả đã nghiên cứu tính ổn định Lipschitz mạnh cho tập chấp nhận được và ánh xạ giá trị Pareto bằng cách tính dưới vi phân của các ánh xạ đa trị cho bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính. Những nghiên cứu này chỉ xử lý cho phân tích độ nhạy cấp một.