Hoạch Định Dáng Đi Cho Robot Dạng Người 3D Ứng Dụng UXA90-LIGHT

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu kỹ thuật cơ điện tử hoạch định dáng đi cho robot dạng người ứng dụng cho uxa90 light, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn

• Tác giả: Nguyễn Trí Dũng
• Người hướng dẫn: PGS. Nguyễn Tấn Tiến
• Trường học: Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh
• Chuyên ngành: Kỹ thuật cơ điện tử
• Đề tài: Hoạch Định Dáng Đi Cho Robot Dạng Người 3D Ứng Dụng UXA90-LIGHT
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2017
• Địa điểm: Thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Hoạch Định Dáng Đi Robot Người UXA90 LIGHT

Robot dạng người, hay Humanoid robot, là một lĩnh vực nghiên cứu đầy thách thức. Robot hai chân là một thực thể phức tạp, đòi hỏi giải quyết nhiều vấn đề. Luận văn tập trung vào hoạch định dáng đi robot hình người trên mặt phẳng, ứng dụng vào UXA90-LIGHT robot hình người. Phương án hoạch định dáng đi trong không gian 3D được đúc kết từ các nghiên cứu trước đây, và được kiểm chứng tính khả thi trên phần mềm mô phỏng. Mục tiêu là ứng dụng vào mô hình robot thực tế sẵn có. Đề tài tiếp tục được nghiên cứu và cải thiện để đạt hiệu quả cao hơn. Các nghiên cứu đầu tiên về robot dạng người tập trung vào việc hoạch định quỹ đạo robot hình người ổn định. Bước đi của người được chia thành nhiều pha, với hai pha chính là pha single support và double support. Theo thống kê, pha double support chiếm trong khoảng 25-35% tổng thời gian bước đi.

1.1. Lịch Sử Phát Triển Robot Dạng Người và Ứng Dụng Tiềm Năng

Nhật Bản là quốc gia tiên phong trong phát triển robot dạng người, khởi đầu từ nhân vật truyện tranh Atom. Honda tiếp nối với ASIMO, robot có khả năng giao tiếp, chạy, nhảy. Robot dạng người ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Ví dụ, trong dịch vụ gia đình, robot có thể đi lại trong nhà, lên xuống cầu thang và giúp việc vặt. Trong dịch vụ công cộng, robot có thể làm tuần tra viên, hướng dẫn viên du lịch. Robot cũng tham gia vào lĩnh vực giải trí, ví dụ chơi bóng bàn, đá bóng, nhảy múa. Theo [1], hình ảnh robot giống người đã trở thành một giá trị tinh thần của người Nhật.

1.2. Giới Thiệu Robot UXA90 LIGHT và Mục Tiêu Nghiên Cứu

Luận văn hướng đến việc ứng dụng robot hình người UXA90-LIGHT, một nền tảng robot thực tế. Mục tiêu là cải thiện khả năng di chuyển của robot trên mặt phẳng. Nghiên cứu tập trung vào hoạch định quỹ đạo robot và điều khiển dáng đi cân bằng robot. Việc mô phỏng giúp kiểm tra tính khả thi của các giải thuật. Tuy nhiên, để ứng dụng thực tế, cần tiếp tục nghiên cứu và cải thiện. Các robot dạng người hiện tại ở Việt Nam còn nhiều hạn chế.

II. Thách Thức Trong Hoạch Định Quỹ Đạo Robot Hình Người 3D

Để một robot hình người hai chân có thể di chuyển ổn định, cần đảm bảo các điều kiện cân bằng. Lý thuyết Zero Moment Point (ZMP) được sử dụng rộng rãi. ZMP là điểm trên mặt phẳng di chuyển mà tổng hợp moment và lực tác dụng bằng không. Để robot ổn định, ZMP phải nằm trong mặt phẳng chân đế [8]. Các phương pháp điều khiển như Preview control giúp hoạch định quỹ đạo robot. Tuy nhiên, phương pháp này có thể tiêu tốn nhiều năng lượng và dáng đi không tự nhiên. Ngoài ra, cần quan tâm đến tương tác giữa bàn chân và mặt đất. Một thách thức lớn là làm sao để điều khiển dáng đi cân bằng robot một cách hiệu quả.

2.1. Vấn Đề Cân Bằng và Ứng Dụng Lý Thuyết Zero Moment Point ZMP

Lý thuyết ZMP đóng vai trò quan trọng trong việc đảm bảo sự ổn định của robot. Theo [7], ZMP là điểm mà tại đó tổng hợp moment và lực tác dụng bằng không. Để robot không bị ngã, ZMP phải nằm trong giới hạn của bàn chân. Việc tính toán và điều khiển ZMP là một thách thức lớn trong hoạch định quỹ đạo robot hình người. Việc duy trì sự cân bằng động khi robot di chuyển đòi hỏi sự phối hợp nhịp nhàng giữa các khớp và hệ thống cảm biến.

2.2. Khó Khăn Trong Việc Tạo Dáng Đi Tự Nhiên và Tiết Kiệm Năng Lượng

Các phương pháp hoạch định dáng đi hiện tại thường tập trung vào việc duy trì ZMP trong giới hạn cho phép. Tuy nhiên, việc tạo ra dáng đi tự nhiên và tiết kiệm năng lượng vẫn là một thách thức. Điều này đòi hỏi phải quan tâm đến động học và động lực học của robot, cũng như tương tác giữa bàn chân và mặt đất. Các thuật toán tối ưu hóa có thể được sử dụng để tìm ra quỹ đạo di chuyển tối ưu. Tối ưu hóa quỹ đạo robot là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng.

III. Phương Pháp Hoạch Định Dáng Đi 3D Cho UXA90 LIGHT Robot

Luận văn trình bày phương pháp hoạch định dáng đi robot hình người 3D. Phương pháp này dựa trên các nghiên cứu trước đây về hoạch định quỹ đạo robot hình người. Tính khả thi của phương pháp được kiểm chứng bằng phần mềm mô phỏng. Mô hình robot được xây dựng trong không gian 3D. Các thông số hình học và động học của robot được sử dụng để tính toán quỹ đạo robot hình người mong muốn. Mục tiêu là tạo ra dáng đi ổn định và tự nhiên cho UXA90-LIGHT robot hình người.

3.1. Mô Hình Hóa Robot UXA90 LIGHT Trong Không Gian 3D

Việc xây dựng mô hình chính xác của robot trong không gian 3D là bước quan trọng đầu tiên. Mô hình này bao gồm các thông số về kích thước, khối lượng, vị trí các khớp và giới hạn chuyển động. Phần mềm CAD được sử dụng để tạo ra mô hình 3D của UXA90-LIGHT robot hình người. Mô hình hóa robot hình người cần đảm bảo độ chính xác cao để kết quả mô phỏng có giá trị.

3.2. Tính Toán Quỹ Đạo Di Chuyển Dựa Trên Động Học và Động Lực Học

Sau khi có mô hình robot, cần tính toán quỹ đạo di chuyển cho các khớp. Quỹ đạo này phải đảm bảo rằng ZMP nằm trong giới hạn cho phép và robot di chuyển một cách ổn định. Các phương trình động học và động lực học được sử dụng để tính toán quỹ đạo. Các thuật toán tối ưu hóa có thể được sử dụng để tìm ra quỹ đạo tối ưu. Tính toán quỹ đạo robot là một quá trình phức tạp đòi hỏi kiến thức sâu về robot học.

IV. Ứng Dụng và Mô Phỏng Hoạch Định Dáng Đi UXA90 LIGHT 3D

Phương pháp hoạch định dáng đi được ứng dụng vào mô hình robot hình người UXA90-LIGHT. Phần mềm mô phỏng được sử dụng để kiểm tra tính khả thi của phương pháp. Kết quả mô phỏng cho thấy robot có thể di chuyển một cách ổn định trên mặt phẳng. Quỹ đạo di chuyển của robot được hiển thị trực quan trên phần mềm. Các thông số như vị trí ZMP, góc khớp và vận tốc được theo dõi trong quá trình mô phỏng. Mục tiêu là mô phỏng robot hình người 3D một cách chính xác.

4.1. Sử Dụng Phần Mềm Mô Phỏng Để Kiểm Tra Tính Khả Thi

Phần mềm mô phỏng là công cụ quan trọng để kiểm tra tính khả thi của các giải thuật điều khiển robot hình người 3D. Phần mềm cho phép mô phỏng các điều kiện khác nhau và đánh giá hiệu suất của robot. Các thông số của robot có thể được điều chỉnh để tối ưu hóa hiệu suất. Phần mềm mô phỏng robot hình người cần có khả năng mô phỏng chính xác các yếu tố vật lý.

4.2. Đánh Giá Kết Quả Mô Phỏng và Tinh Chỉnh Thuật Toán Điều Khiển

Kết quả mô phỏng được sử dụng để đánh giá hiệu suất của thuật toán điều khiển robot. Các thông số như độ ổn định, tốc độ di chuyển và mức tiêu thụ năng lượng được phân tích. Nếu kết quả không đạt yêu cầu, thuật toán điều khiển sẽ được tinh chỉnh để cải thiện hiệu suất. Điều khiển phản hồi robot đóng vai trò quan trọng trong việc duy trì sự ổn định.

V. Kết Luận và Hướng Phát Triển Hoạch Định Dáng Đi Robot

Luận văn đã trình bày phương pháp hoạch định dáng đi cho robot hình người UXA90-LIGHT. Phương pháp này được kiểm chứng bằng phần mềm mô phỏng. Kết quả cho thấy robot có thể di chuyển một cách ổn định trên mặt phẳng. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều vấn đề cần giải quyết. Trong tương lai, cần nghiên cứu các phương pháp điều khiển robot tiên tiến hơn. Cần quan tâm đến tương tác giữa robot và môi trường. Mục tiêu là tạo ra những robot hình người có khả năng di chuyển linh hoạt và hiệu quả hơn.

5.1. Tổng Kết Những Kết Quả Đạt Được và Hạn Chế Cần Khắc Phục

Luận văn đã đạt được một số kết quả nhất định trong việc hoạch định dáng đi. Tuy nhiên, vẫn còn nhiều hạn chế cần khắc phục. Ví dụ, phương pháp hiện tại chỉ áp dụng cho di chuyển trên mặt phẳng. Trong tương lai, cần mở rộng phương pháp để áp dụng cho di chuyển trên địa hình phức tạp. Điều khiển thích nghi robot là một lĩnh vực cần được nghiên cứu.

5.2. Hướng Nghiên Cứu và Phát Triển Trong Tương Lai

Trong tương lai, cần tập trung vào việc cải thiện khả năng điều khiển dáng đi cân bằng robot. Cần nghiên cứu các thuật toán điều khiển mới dựa trên trí tuệ nhân tạo. Cần tích hợp các cảm biến tiên tiến để robot có thể nhận biết môi trường xung quanh. Mục tiêu là tạo ra những robot hình người có khả năng tương tác với con người một cách tự nhiên và an toàn. Các ứng dụng robot hình người trong y tế và công nghiệp sẽ ngày càng trở nên phổ biến.

Trích đoạn nội dung tài liệu

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN nhiên và không bị “sượng” đòi hỏi người hoạch định phải có kinh nghiệm, tốn nhiều thời gian cho việc thử - sai. Goswamivà các đồng nghiệp [13] đề xuất một lí thuyết khác gọi là điểm FRI, là một lý thuyết mở rộng của điểm ZMP. Khác với ZMP, điểm FRI có thể nằm bên trong lẫn bên ngoài mặt chân đế. Trong thực tế, vị trí của điểm FRI nằm bên ngoài mặt chân đế có liên hệ với hướng và độ lớn của moment tổng hợp đang tác dụng lên bàn chân robot.

Trên thực tế, điểm FRI không khác nhiều so với điểm ZMP, ZMP là điểm đặt mà thực tế hiện tại tổng hợp của phản lực mặt đất đang tác dụng, trong khi FRI là điểm theo tính toán và là điểm cần đạt được nếu muốn robot cân bằng. Do đó, mục tiêu của việc điều khiển torque tại cổ chân là để triệt tiêu sai lệch giữa hai điểm này. Có nhiều cách để hoạch định ra dáng đi của robot, Preview control chỉ là một trong những cách đó. Westervelt và các đồng nghiệp.

[14] đề xuất một cách khác, dùng đa thức Bézier [15] [16] làm quỹ đạo của các khớp của robot trong cả hai trường hợp: có và không có bàn chân. Tính ổn định của quỹ đạo được xác nhận thông qua lí thuyết PoinCaré map [17] [18]. Vị trí của điểm FRI trong hệ tọa độ gắn với cổ chân được xem xét, đồng thời được điều khiển thông qua moment tại cổ chân. Các hệ số của đa thức Bézier được chọn dựa trên kết quả phân tích tương tác giữa bàn chân và mặt đất.

Do đó, quỹ đạo di chuyển được tạo bởi đa thức Bézier có hiệu suất năng lượng cao hơn. Việc đánh giá tính khả thi của quỹ đạo được dựa trên việc bảo toàn năng lượng: tổng năng lượng cung cấp phải đủ để robot vượt qua điểm cực đại thế năng. Mô hình được E. Westervelt sử dụng là mô hình robot không có bàn chân và chỉ di chuyển trong mặt phẳng.

Chính vì không có bàn chân nên torque tại cổ chân luôn bằng không. Và cũng chính vì torque tại cổ chân bằng không nên đòi hỏi ràng buộc vận tốc tại thời điểm bắt đầu mỗi bước phải đạt một giá trị đủ lớn (cung cấp động năng ban đầu). Như vậy là không khả thi trong trường hợp robot bắt đầu di chuyển từ trạng thái đứng thẳng. Tuy nhiên, đối với robot có bàn chân hoàn toàn có thể bắt đầu bước đi từ trạng thái đứng yên thông qua việc điều khiển torque tại cổ chân.

Trong phương diện phương pháp tiếp cận, hầu hết các nghiên cứu thuộc về ba nhóm chính [19]. Nhóm thứ nhất, mô hình robot được rút gọn và sử dụng mô hình đơn giản khác như Inverted Pendulum Model, Table with Cart Model, Center of Mass and Center of Pressure, Linear Actuator Pendulum Model, Multi Joint Pendulum Model, Ankle 8 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN Pendulum Model. Nhóm thứ hai sử dụng mô hình rất chính xác của cả robot lẫn môi trường, yêu cầu nắm rõ các đặc tính động lực học của hệ thống bao gồm: vị trí trọng tâm, quán tính của từng khâu,… do đó quỹ đạo tạo ra theo hướng thứ hai có độ tin cậy cao hơn hướng thứ nhất, nhưng đồng thời cũng kèm theo khối lượng tính toán rất lớn. Nhóm thứ ba sử dụng giải thuật theo hướng tự nhiên hóa, dựa trên các bộ điều khiển thông minh: fuzzy, neural network hay các giải thuật di truyền.

Với những ưu và nhược điểm của các phương pháp trên, trong nghiên cứu này, tác giả đề nghị phương pháp mới đơn giản hơn nhằm tạo ra quỹ đạo di chuyển cho robot dạng người. Việc di chuyển trong không gian 3D có thể chia thành hai chuyển động độc lập: chuyển động trong mặt phẳng sagittal và chuyển động trong mặt phẳng frontal. Trong mặt phẳng sagittal, tác giả sử dụng lí thuyết đề xuất trong [14] để xây dựng quỹ đạo cho robot không có bàn chân nhằm mục tiêu tiết kiệm năng lượng và có dáng đi đẹp [20]. Sau đó, quỹ đạo được mở rộng cho robot có bàn chân bằng cách thêm vào các ràng buộc một cách hợp lý.

Trong mặt phẳng frontal, chuyển động trong mặt phẳng này đơn giản hơn rất nhiều, tác giả sử dụng lí thuyết ZMP cùng với mô hình rút gọn để hoạch định quỹ đạo trong mặt phẳng này.3 Nội dung thực hiện  Mô hình hóa và hoạch định dáng đi cho robot dạng người theo phương án đã đề xuất ở trên.  Mô phỏng kiểm chứng tính khả thi phương án đề ra. 9 CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA ROBOT CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA ROBOT 2.1 Mô hình robot không có bàn chân trong mặt phẳng đứng dọc Quá trình bước đi (walking) của robot là sự luân phiên của hai pha: pha hỗ trợ đơn (single support) hay còn gọi là pha vung chân và pha hỗ trợ đôi (double support). Pha hỗ trợ đơn là pha mà trong đó chỉ có một chân chạm đất.

Pha hỗ trợ đôi là pha mà cả hai chân của robot cùng chạm đất. Tại giai đoạn đầu của pha hỗ trợ đôi, tương tác giữa chân vung và mặt đất tạo nên xung lực trong khoảng thời gian rất ngắn. Trong phần còn lại của luận văn, ta gọi pha hỗ trợ đơn là pha vung chân (swing phase), pha hỗ trợ đôi là pha tác động xung (impact phase). Nội dung chương mô hình hóa và hoạch định quỹ đạo cho chuyển động trong mặt phẳng đứng dọc được tham khảo từ tài liệu [14].

Để tiến hành việc mô hình hóa cho robot trong các pha trên, ta thừa nhận các giả thiết sau: 2.1 Giả thiết về bước đi của robot không bàn chân trong mặt phẳng đứng dọc Quá trình bước đi là sự luân phiên giữa pha vung chân và pha tác động xung. Trong suốt pha vung chân, điểm cổ chân của chân đứng tác dụng như một trục quay lí tưởng. Tại đây, thành phần thẳng đứng của phản lực luôn dương và tỉ số giữa thành phần nằm ngang và thành phần thẳng đứng luôn nhỏ hơn hệ số ma sát tĩnh. Pha tác động xung diễn ra tức thời trong khoảng thời gian rất nhỏ, tại thời điểm này có xung lực tác dụng lên chân robot.

Điều này có nghĩa là ngay tại thời điểm chân vung vừa chạm đất, chân đứng cũng rời khỏi mặt đất. Tại thời điểm xảy ra va chạm giữa chân vung và mặt đất, chân vung không trượt và cũng không bị tâng, trong khi chân đứng sẽ rời khỏi mặt đất mà không có lực tương tác. Trong giai đoạn ổn định, chuyển động của hai chân là hoàn toàn đối xứng. Ở mỗi bước chân, chân vung luôn bắt đầu từ phía sau chân đứng và di chuyển lên đặt phía trước chân đứng.

Pha vung chân sẽ kết thúc tại thời điểm chân vung chạm mặt đất. 10 CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA ROBOT 2.2 Mô hình pha vung chân (swing phase) q5 q1 q2 q3 𝑝2 q4 𝑝1 Hình 2.1 Mô hình robot 5 DoFs trong mặt phẳng đứng dọc Với sơ đồ trên, sử dụng phương pháp Lagrange ta hoàn toàn xác định được phương trình động lực học của robot dưới dạng: 𝐷𝑠 (𝑞𝑠 )𝑞̈ 𝑠 + 𝐶𝑠 (𝑞𝑠 , 𝑞̇ 𝑠 )𝑞̇ 𝑠 + 𝐺𝑠 (𝑞𝑠 ) = 𝐵𝑠 (𝑞𝑠 )𝑢 (2. Các ma trận 𝐷𝑠 , 𝐶𝑠 , 𝐺𝑠 lần lượt là ma trận quán tính, ma trận Coriolis và ma trận gia tốc trọng trường. 𝐵𝑠 là ma trận tương ứng giữa moment 𝑢 tại các khớp và biến suy rộng 𝑞𝑠.

Phương trình trên được biểu diễn ở dạng phương trình trạng thái như sau: 𝑞̇ 𝑠 𝑥̇ = [ −1 ( )[ ] 𝐷𝑠 𝑞𝑠 −𝐶𝑠 (𝑞𝑠 , 𝑞̇ 𝑠 )𝑞̇ 𝑠 − 𝐺𝑠 (𝑞𝑠 ) + 𝐵𝑠 (𝑞𝑠 )𝑢] 𝑞̇ 𝑠 0 (2.3 Mô hình pha tác động xung (impact phase, double support phase) (1) Giả thiết về tác động xung Tác động xung xảy ra khi có tương tác giữa chân vung và mặt đất, được mô hình hóa bởi tương tác giữa hai vật tuyệt đối cứng. Tác động xung xảy ra tức thời trong thời gian rất ngắn, do đó ngoại lực xuất hiện được đại diện bởi xung lực. Xung lực gây nên sự thay đổi tức thời của vận tốc nhưng không làm thay đổi vị trí. (2) Mô hình hóa pha tác động xung Trong impact phase, robot được mô hình hóa bởi mô hình 7 bậc tự do, bao gồm 5 bậc như trong mô hình pha vung chân, cộng thêm 2 bậc tự do qui định vị trí điểm cuối của chân đứng.3a) Sử dụng phương pháp Lagrange, ta xác định được phương trình đông lực học của robot dưới dạng: 𝐷𝑒 (𝑞𝑒 )𝑞̈ 𝑒 + 𝐶𝑒 (𝑞𝑒 , 𝑞̇ 𝑒 )𝑞̇ 𝑒 + 𝐺𝑒 (𝑞𝑒 ) = 𝐵𝑒 (𝑞𝑒 )𝑢 + 𝛿𝐹𝑒𝑥𝑡 (2.3) Trong đó 𝛿𝐹𝑒𝑥𝑡 là vector biểu thị ngoại lực tác dụng lên robot, kí hiệu 𝛿 để chỉ ra rằng lực này là xung lực, chỉ tác dụng tức thời tại thời điểm tương tác.

Theo định lý về sự biến thiên động lượng.4) Dấu “−“ và “+” biểu thị thời điểm ngay trước và sau tương tác. Theo giả thiết phía trên, xung lực chỉ làm thay đổi 𝑞̇ 𝑒 mà không làm ảnh hưởng đến 𝑞𝑒. Mặt khác, theo [10] ta lại có: 𝐹𝑒𝑥𝑡 = 𝐸2 (𝑞𝑒− )𝐹2 (2.5) Trong đó: 12 CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA ROBOT 𝜕 𝜕 𝐸2 (𝑞𝑒 ) = 𝑝2 (𝑞𝑒 ) = (𝑝 (𝑞 ) + Υ2 (𝑞𝑠 )) (2.6) 𝜕𝑞𝑒 𝜕𝑞𝑒 𝑒 𝑒 𝐹2 = (𝐹2𝑇 , 𝐹2𝑁 ) là vector lực tác dụng lên điểm cuối của chân vung tại thời điểm va chạm. Từ phương trình biến thiên động lượng, chuyển vế ta được: 𝐷 (𝑞𝑒− )𝑞̇ 𝑒+ − 𝐸2 (𝑞𝑒− )𝐹2 = 𝐷𝑒 (𝑞𝑒− )𝑞̇ 𝑒− (2.7) Ta thừa nhận chân vung không bị trượt và không bị tâng tại thời điểm va chạm, hay có thể biểu diễn bởi vận tốc của điểm cuối chân vung bằng không.8) Kết hợp hai phương trình trên ta được: 𝐷 (𝑞− ) −𝐸2 (𝑞𝑒− )𝑇 𝑞̇ 𝑒+ 𝐷 (𝑞− )𝑞−̇ [ 𝑒 𝑒− ][ ] = [ 𝑒 𝑒 𝑒 ] (2.9a) 𝐹2 𝐸2 (𝑞𝑒 ) 0 0 Do sự hoán đổi vai trò của hai chân trong quá trình di chuyển nên sau khi kết thúc mỗi bước có sự hoán đổi kí hiệu của các biến.4 Mô hình kết hợp của pha vung chân và pha tác động xung Quá trình bước đi bao gồm sự luân phiên của hai pha: pha vung chân và pha tác động xung.

Pha tác động xung xảy ra tại thời điểm mỗi khi chân vung chạm đất, các 13 CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH HÓA ROBOT thời điểm còn lại thuộc về pha vung chân. Do đó, ta định nghĩa mô hình kết hợp của bước đi như sau: 𝑥̇ = 𝑓 (𝑥) + 𝑔𝑠 (𝑥)𝑢, 𝑥 − ∉ 𝒮 ∑: { + 𝑠 (2.12) 𝑥 = ∆ (𝑥 − ) , 𝑥− ∈ 𝒮 Phương trình thứ nhất mô hình hóa robot đang trong pha vung chân, phương trình thứ hai là sự hoán đổi kí hiệu các biến tại thời điểm xảy ra va chạm.