Chương 1 Hệ tiên đề Hilbert và Hệ tiên đề Wayne cho Hình học Euclid 1.1 Tổng quan về lịch sử Hình học 1.1 Tác phẩm "Elements" của Euclid Hình học xuất phát như một phần của khoa học thực nghiệm và được phát triển đặc biệt bởi người Ai Cập. Những người áp dụng hình học vào đo đạc thổ nhưỡng cũng như những công trình tưới tiêu. Trong thiên niên kỷ đầu tiên trước công nguyên, kiến thức hình học của người Ai Cập được bắt nguồn từ người Hy Lạp và nhờ đó tạo ra một kỷ nguyên mới. Các nhà hình học Hy Lạp từ thế kỷ thứ bảy đến thế kỷ thứ ba trước công nguyên không chỉ làm khoa học phong phú hơn bằng các kiến thức mới, mà họ còn tiến những bước quan trọng trong việc thiết lập các dãy suy luận logic chặt chẽ.
Các thành quả vun đắp qua nhiều thế kỷ đã được tổng kết và hệ thống hóa bởi Euclid (từ những năm 330 - 275 trước công nguyên) trong tác phẩm "Elements" nổi tiếng của mình. Lần đầu tiên trong lịch sử, Euclid đã giới thiệu một bản tường thuật logic chặt chẽ về hình học. Xét trong thời đại đó, cách giải quyết và mô tả về hình học này hoàn toàn không có khuyết điểm, đến mức ngay cả 2000 năm sau khi tác phẩm "Elements" xuất hiện, cuốn sách vẫn là cuốn sổ tay hình học độc nhất vô nhị. Quyển I - IV và VI trong tổng số 13 cuốn sách đã trình bày các chương về mặt phẳng và đóng góp cho sự hoàn thiện của hình học, cũng như Quyển XI - XIII đã bao gồm hình học không gian.
Các chương khác nêu ứng dụng của số học trong việc xử lý hình học. Mỗi quyển sách đều được bắt đầu bằng các khái niệm mới, (ví dụ: Quyển 1 bao gồm 23 định nghĩa). Đặc biệt là ba định nghĩa dưới đây: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 6 Định nghĩa 1. Điểm là thứ không thể chia nhỏ.
Đường là một độ dài không có chiều rộng. Đường thẳng là một đường trải đều trên các điểm của nó. Những định nghĩa trên được khẳng định bởi các định đề và tiên đề (các khái niệm chung). Chẳng hạn: Định đề 1.
Ta luôn dựng được một đường thẳng nối hai điểm bất kỳ. Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành hai góc trong cùng phía có tổng bé hơn hai góc vuông thì khi kéo dài vô hạn hai đường thẳng này, chúng sẽ cắt nhau về phía hai góc đó. Những vật cùng bằng với một vật khác thì bằng nhau. Nếu các vật bằng nhau cùng được cộng với các vật bằng nhau khác thì các kết quả cũng sẽ bằng nhau.
Cả hai định đề và tiên đề đều là các giả định không được chứng minh. Cho đến nay, vẫn không ai biết được dựa trên nguyên lý nào mà có những điều được phân làm định đề và những điều khác lại trở thành tiên đề. Tiên đề được hỗ trợ bởi một chuỗi định lý và bài toán dựng hình nghiêm ngặt mang tên Mệnh đề. Do đó, sự chứng minh hoặc giải pháp cho mỗi phát biểu sau sẽ dựa trên các phát biểu đi trước.
Sau đây là một trong số đó: Nếu hai tam giác có hai cặp cạnh bên lần lượt bằng nhau và hai góc tạo bởi mỗi cặp cạnh bên cũng bằng nhau, thì hai cạnh đáy cũng bằng nhau, hai tam giác bằng nhau và các góc còn lại (các góc đối của các cạnh bên) của một tam giác cũng lần lượt bằng với các góc tương đương của tam giác kia. Mặc dù "Elements" đã trở thành mẫu mực trong một thời gian rất dài, chúng vẫn hoàn toàn không thể sánh được với sự chính xác trong kiến thức hiện đại. Các định nghĩa và vật hình học trong quyển thứ nhất được đưa ra theo cách mô tả và hoàn toàn không thể hoàn hảo. Ví dụ: Định nghĩa số 4 về đường thẳng không hề khiến nó khác biệt so với đường tròn, trong khi Định nghĩa số 2 về đường số học đã mô tả chiều dài và chiều rộng - những thứ mà bản thân chúng cũng cần được định nghĩa.
Tuy nhiên, chúng ta không được nghĩ rằng tất cả các định nghĩa tồn tại trước khi quyển sách đầu tiên được viết là có khiếm khuyết. Ngược lại, một phần trong số đó, bao gồm chu vi (đường tròn), tam giác, góc vuông, góc nhọn và góc tù, đều hoặc đã hoàn thiện hoặc vẫn mơ hồ một cách vô nghĩa và có thể dễ dàng bị chỉnh lý. Trong khi đó, nếu chúng ta nhớ rằng các tính chất của vật hình học được mô tả bởi các định nghĩa không chính xác sẽ không bao giờ được sử dụng trong phép chứng minh, LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 7 thì chúng sẽ bị bỏ qua mà không gây ra bất kỳ tổn hại nào cho việc tính toán. Về định đề và tiên đề, các cách trình bày này đều không thể chê được, là bản chất của các phát biểu và tạo nền tảng cơ bản cho các phép chứng minh sau này.
Cuối cùng, chúng ta có thể xác định chúng một cách chắc chắn. Theo như những điều tác giả của "Elements" đã trình bày, các cách chứng minh của tất cả các mệnh đề phải cùng được dựa trên các tính chất của vật hình học. Các tính chất này phải được quyết định dựa trên định đề và tiên đề. Tuy nhiên, ngay cả những thứ nhìn qua có vẻ quen thuộc với các cách chứng minh của Euclid đã thể hiện rằng một số lượng không nhỏ các tính chất và mối quan hệ giữa các vật hình học không thể được làm rõ bằng định đề hay tiên đề.
Ví dụ, khi chứng minh tính đồng dư của tam giác bằng mệnh đề nói trên, Euclid đã sử dụng đến khái niệm chuyển động và liên hệ những thứ khác với các tính chất về sự sắp đặt tương hỗ của các điểm trên đường thẳng và thể hiện bằng khái niệm “ở giữa”. Theo lẽ tự nhiên, nhiều câu hỏi sẽ được đặt ra nếu chúng ta có thể loại bỏ khuyết điểm trong các cách chứng minh của Euclid bằng cách thay thế chúng với những cách chứng minh khác chỉ dựa hoàn toàn trên định đề và tiên đề. Chúng ta đã thu được câu trả lời cho vấn đề như vậy cách đây không lâu. Kết quả là các chứng minh này có thể được thực hiện chỉ bằng cách hoàn thiện các định đề và tiên đề Euclid một cách phù hợp.2 Nỗ lực chứng minh Định đề 5 Một vài khuyết điểm đã được chỉ ra ở trên của "Elements" đã được người Hy Lạp cổ nhận ra.
Tùy thuộc vào vấn đề họ lựa chọn vào nỗ lực và cải thiện cách tiếp cận mà họ mong muốn xử lý các kết luận trong hình học. Mục đích chính là người Hy Lạp làm là việc tinh giản hệ thống định đề và tiên đề của Euclid. Một cách tự nhiên, để giải quyết vấn đề tinh giản các định đề và tiên đề là việc suy luận ra một vài định đề và tiên đề từ các định đề và tiên đề khác. Bằng cách này, "Elements" mới chỉ chứng minh được Định đề 4 (mọi góc vuông đều bằng nhau).
Tuy nhiên, mọi nỗ lực nhằm loại bỏ Định đề 5 đều không mang lại kết quả, mặc dù các nhà hình học đã nỗ lực làm điều này trong hơn 2000 năm. Sai lầm đặc trưng của phần lớn các chứng minh là việc sử dụng một cách cố ý hoặc vô ý của vài hoặc các phát biểu khác không được bao hàm một cách rõ ràng trong các định đề, tiên đề còn lại và không được suy ra từ chúng. Ví dụ sau đây là cách chứng minh của Proclus: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Chứng minh rằng, đường thẳng g 0 và g” giao nhau tại một điểm C.
Bài giải: Qua điểm A vẽ đường thẳng g song song với đường thẳng g 0. Chọn điểm B thuộc g” và kẻ qua B một đường vuông góc với đường thẳng g. Vì khoảng cách đến g tăng liên tục và không bị giới hạn khi khoảng cách giữa B và A tăng, trong khi đó khoảng cách giữa g 0 và g không thay đổi, nên tồn tại một điểm C thuộc g” và g 0 sao cho đây chính là điểm giao nhau của g 0 và g”. Tính chất của đường thẳng song song mà chúng ta đã sử dụng trong chứng minh trên không hề được biết một cách rõ ràng trong các định đề và tiên đề khác.
Hơn nữa, nó còn không thể suy ra được từ các định đề và tiên đề đã có. Định đề 5 còn có thể được chứng minh dựa vào rất nhiều phát biểu khác nữa, chẳng hạn: (1) Tất cả các đường trực giao nằm cùng một phía của một góc nhọn đều cắt cạnh còn lại của nó. (2) Tồn tại những tam giác giống nhau nhưng không đồng đẳng. (3) Tồn tại tam giác với diện tích lớn tùy ý.
(4) Tồn tại tam giác có tổng các góc bằng tổng hai góc vuông. (5) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng đã cho có thể kẻ được không nhiều hơn một đường thẳng song song với chính nó. Mặc dù các nỗ lực chứng minh Định đề 5 không đưa đến kết quả như mong đợi. Nhưng chúng hiển nhiên cũng đã đóng vai trò hữu ích trong sự phát triển của Hình học.
Chúng cũng đã làm phong phú thêm cho Hình học với các kết quả mới, mà việc chứng minh các kết quả đó không dựa trên Định đề 5. Một trong số chúng đã được chứng minh bởi nhà toán A. Legendre về tổng các góc của một tam giác tùy ý đều không lớn hơn tổng hai góc vuông. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.3 Phát hiện Hình học khác Hình học Euclid Một trong số những phương pháp mà các nhà hình học thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19 sử dụng với hy vọng chứng minh Định đề 5 bao gồm việc thay thế nó bằng sự phủ định hoặc các phát biểu khác tương đương.
Tất cả các mệnh đề (mà bị thay đổi) được suy luận một các logic từ hệ thống các định đề và tiên đề đó, sau đó đều được chứng minh bằng phương pháp giống với trong "Elements". Nếu trên thực tế, Định đề 5 được suy ra từ các định đề và tiên đề khác, thì hệ thống định đề và tiên đề đã được hình thành sẽ trở nên tự mâu thuẫn. Do đó, sớm muộn gì chúng ta cũng đi đến hai kết luận riêng biệt đối nghịch nhau, nhờ đó chứng minh Định đề 5. Legendre đã cố gắng chứng minh chúng theo cách này.
Cách đầu tiên sử dụng một hình chữ nhật với hai góc đáy vuông và hai cạnh đối bằng nhau. Có ba giả thuyết về hai góc còn lại và các giả thuyết này có giá trị tương đương, là chúng là góc vuông, tù hoặc nhọn.