Hệ Mật RSA và Ứng Dụng Chữ Ký Số Trong Xác Thực Thông Tin

Luận văn thạc sĩ nghiên cứu hệ mật rsa và ứng dụng lược đồ chữ ký số trong xác thực thông tin, đánh giá hiện trạng, phân tích vấn đề, đề xuất biện pháp hoàn thiện trong lĩnh vực .

• Tác giả: Đỗ Thanh Bình
• Người hướng dẫn: PGS.TS Đoàn Văn Ba
• Trường học: Đại Học Công Nghệ - Đại Học Quốc Gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Công Nghệ Thông Tin
• Đề tài: Hệ Mật RSA và Ứng Dụng Chữ Ký Số Trong Xác Thực Thông Tin
• Loại tài liệu: Luận Văn Thạc Sĩ
• Năm xuất bản: 2007
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng Quan Hệ Mật RSA và Ứng Dụng Chữ Ký Số An Toàn

Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin, an toàn thông tin/dữ liệu trong quá trình gửi và nhận thông qua mạng là vô cùng quan trọng. Các công nghệ mã hóa hiện đại không bảo mật công nghệ mã hóa (thuật toán mã hóa công khai), mà chỉ dựa vào bí mật chìa khóa giải mã. Một hệ như vậy đáp ứng đầy đủ các yêu cầu bảo mật thông tin. Năm 1976, ý tưởng về hệ mật khóa công khai đã được Diffie và Hellman đưa ra, sau đó Rivest, Shamir và Adleman đưa ra hệ mật nổi tiếng RSA vào 1977. RSA được liệt vào một trong các giải thuật mã hóa bất đối xứng được dùng thông dụng nhất. Nó được dùng hàng ngày trong các giao dịch thương mại điện tử, dùng cho chữ ký số đảm bảo tính toàn vẹn của các thông điệp khi lưu chuyển trên Internet. Luận văn tập trung nghiên cứu và ứng dụng một trong những phương pháp bảo mật dữ liệu có tính an toàn cao nhất hiện nay.

1.1. Lịch Sử Phát Triển Của Hệ Mật Mã RSA Nổi Tiếng

Hệ mật RSA ra đời năm 1977 tại MIT, được đặt tên theo ba nhà khoa học Ron Rivest, Adi Shamir, và Leonard Adleman. Nó là một trong những thuật toán mã hóa khóa công khai đầu tiên được công bố và vẫn được sử dụng rộng rãi đến ngày nay. RSA dựa trên độ khó của bài toán phân tích một số lớn thành các thừa số nguyên tố. Theo tài liệu gốc, "Trong các hệ mật khoá công khai trên, có hệ mật RSA là hệ mật mã được xây dựng đầu tiên." Sự ra đời của RSA đã mở ra một kỷ nguyên mới cho mật mã học.

1.2. Vai Trò Của Chữ Ký Số Trong Xác Thực Thông Tin Hiện Nay

Chữ ký số đóng vai trò then chốt trong việc xác thực thông tin và đảm bảo tính toàn vẹn dữ liệu. Nó giúp người nhận xác minh được nguồn gốc của thông tin và đảm bảo rằng thông tin không bị thay đổi trong quá trình truyền tải. "Luận văn với đề tài “Hệ mật RSA và ứng dụng lược đồ chữ ký số trong xác thực thông tin” tập trung nghiên cứu và ứng dụng một trong những phương pháp bảo mật dữ liệu có tính an toàn cao nhất hiện nay." Chữ ký số sử dụng hàm băm để tạo ra một giá trị duy nhất cho thông điệp, sau đó mã hóa giá trị này bằng khóa bí mật của người gửi.

II. Giải Mã Thuật Toán RSA Mã Hóa và Giải Mã Chuyên Sâu

Hệ mật RSA hoạt động dựa trên hai khóa: khóa công khai (public key) dùng để mã hóa thông tin và khóa bí mật (private key) dùng để giải mã thông tin. Khóa công khai được công bố rộng rãi, trong khi khóa bí mật được giữ kín bởi người sở hữu. Quá trình mã hóa sử dụng khóa công khai để biến đổi thông tin gốc thành dạng mã hóa. Quá trình giải mã sử dụng khóa bí mật tương ứng để khôi phục lại thông tin gốc. Độ an toàn của RSA phụ thuộc vào độ khó của việc phân tích một số lớn thành các thừa số nguyên tố. Chọn các số nguyên tố đủ lớn là yếu tố quan trọng.

2.1. Phương Pháp Mã Hóa Thông Điệp Bằng Thuật Toán RSA Chi Tiết

Để mã hóa thông điệp M bằng RSA, trước tiên cần chuyển M thành một số nguyên m nhỏ hơn n (n là tích của hai số nguyên tố lớn p và q). Sau đó, tính bản mã c bằng công thức c = m^e mod n, trong đó e là số mũ trong khóa công khai. Số c này là bản mã đã được mã hóa và sẽ được gửi đến người nhận. Theo tài liệu gốc, "Đ ặt R = M = Z và đ ịnh nghĩa : K = {(n, p, q, a, b)} v à ab  1(mod  (n))". Quá trình mã hóa này đảm bảo rằng chỉ người có khóa bí mật tương ứng mới có thể giải mã thông điệp.

2.2. Quy Trình Giải Mã RSA Bí Quyết Khôi Phục Thông Tin Gốc

Để giải mã bản mã c nhận được, người nhận sử dụng khóa bí mật (d, n). Quá trình giải mã được thực hiện bằng công thức m = c^d mod n, trong đó d là số mũ trong khóa bí mật. Kết quả m chính là thông điệp gốc đã được khôi phục. Vì chỉ người sở hữu khóa bí mật mới biết giá trị d, nên chỉ họ mới có thể giải mã thông điệp. Quá trình này đảm bảo tính bảo mật của thông tin. "Với k = (n, p, q, a, b) ta xác đ ịnh đư ợc e (x) = x mod n v à : d (y ) = y mod n".

2.3. Tạo Khóa RSA Hướng Dẫn Chi Tiết và An Toàn Nhất

Để tạo khóa RSA, trước hết cần chọn hai số nguyên tố lớn p và q. Sau đó, tính n = p * q và phi(n) = (p-1) * (q-1). Chọn một số nguyên e sao cho 1 < e < phi(n) và gcd(e, phi(n)) = 1 (e và phi(n) nguyên tố cùng nhau). Tính d là nghịch đảo modulo của e modulo phi(n), tức là d * e ≡ 1 (mod phi(n)). Khóa công khai là (e, n) và khóa bí mật là (d, n). Việc lựa chọn p, q, e cần tuân theo các nguyên tắc an toàn để tránh các cuộc tấn công vào RSA.

III. Chữ Ký Số RSA Phương Pháp Xác Thực Thông Tin Hiệu Quả

Chữ ký số RSA là một ứng dụng quan trọng của hệ mật RSA trong việc xác thực thông tin. Nó cho phép người nhận xác minh được nguồn gốc của thông tin và đảm bảo rằng thông tin không bị thay đổi trong quá trình truyền tải. Chữ ký số sử dụng khóa bí mật của người gửi để tạo ra một chữ ký duy nhất cho thông điệp. Chữ ký này được gửi kèm với thông điệp và được xác minh bằng khóa công khai của người gửi.

3.1. Tạo Chữ Ký Số Với RSA Hướng Dẫn Từng Bước Cụ Thể

Để tạo chữ ký số cho thông điệp M bằng RSA, trước tiên cần tính hàm băm của M, ký hiệu là H(M). Sau đó, tính chữ ký S bằng công thức S = H(M)^d mod n, trong đó d là số mũ trong khóa bí mật. Chữ ký S này sẽ được gửi kèm với thông điệp M. Hàm băm được dùng phổ biến là SHA-256. "Ngoài ra luận văn sẽ trình bày và xây dựng một ứng dụng mã hoá dữ liệu phục vụ truyền tin an toàn."

3.2. Xác Minh Chữ Ký Số RSA Đảm Bảo Tính Toàn Vẹn Dữ Liệu

Để xác minh chữ ký số S cho thông điệp M, người nhận sử dụng khóa công khai (e, n) của người gửi. Tính giá trị V = S^e mod n. Sau đó, tính hàm băm của M, ký hiệu là H(M). Nếu V = H(M), thì chữ ký là hợp lệ và thông điệp được xác minh là đến từ người gửi và không bị thay đổi. Nếu V ≠ H(M), thì chữ ký không hợp lệ. Quá trình này đảm bảo tính xác thực và tính toàn vẹn của thông tin.

3.3. Ưu Điểm và Nhược Điểm Của Chữ Ký Số RSA So Với Các Phương Pháp Khác

Chữ ký số RSA có ưu điểm là tính bảo mật cao, khả năng xác thực nguồn gốc thông tin và đảm bảo tính toàn vẹn dữ liệu. Tuy nhiên, nó cũng có nhược điểm là tốc độ xử lý chậm hơn so với các phương pháp khác, đặc biệt là với các thông điệp lớn. Ngoài ra, RSA cũng dễ bị tấn công nếu độ dài khóa không đủ lớn. Do đó, việc lựa chọn độ dài khóa phù hợp là rất quan trọng.

IV. Ứng Dụng Thực Tế Của RSA Trong Thương Mại Điện Tử

RSA được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, đặc biệt là trong thương mại điện tử để bảo vệ thông tin cá nhân, thông tin tài chính và đảm bảo an toàn cho các giao dịch trực tuyến. Chứng chỉ số sử dụng RSA để mã hóa khóa công khai và xác thực danh tính của các trang web và người dùng. RSA cũng được sử dụng trong các giao thức bảo mật như SSL/TLS để thiết lập các kết nối an toàn giữa trình duyệt web và máy chủ.

4.1. Chứng Thực Website Với RSA Tạo Niềm Tin Cho Khách Hàng

Chứng chỉ số sử dụng RSA để xác thực danh tính của các trang web, giúp người dùng yên tâm rằng họ đang truy cập đúng trang web mà họ muốn và thông tin của họ được bảo vệ. Khi một trang web có chứng chỉ số hợp lệ, trình duyệt web sẽ hiển thị một biểu tượng ổ khóa hoặc một dấu hiệu khác để cho biết rằng kết nối giữa trình duyệt và trang web là an toàn. Điều này giúp tạo niềm tin cho khách hàng khi giao dịch trực tuyến.

4.2. Bảo Vệ Giao Dịch Trực Tuyến RSA và SSL TLS Hoạt Động Thế Nào

RSA được sử dụng trong các giao thức bảo mật như SSL/TLS để thiết lập các kết nối an toàn giữa trình duyệt web và máy chủ. Khi một kết nối SSL/TLS được thiết lập, RSA được sử dụng để trao đổi khóa giữa trình duyệt và máy chủ. Sau đó, các khóa này được sử dụng để mã hóa tất cả các thông tin được truyền tải giữa trình duyệt và máy chủ, đảm bảo rằng thông tin này không thể bị đánh cắp bởi kẻ tấn công.

4.3. Xác Thực Người Dùng RSA và Bảo Mật Tài Khoản Trực Tuyến

RSA có thể được sử dụng để xác thực người dùng và bảo vệ tài khoản trực tuyến. Khi người dùng đăng nhập vào một tài khoản trực tuyến, họ có thể được yêu cầu cung cấp khóa bí mật của họ (hoặc một phần của khóa) để chứng minh rằng họ là chủ sở hữu hợp lệ của tài khoản. Phương pháp này có độ bảo mật cao hơn so với việc chỉ sử dụng mật khẩu, vì mật khẩu có thể bị đánh cắp hoặc đoán được.

V. An Toàn RSA Các Phương Pháp Tấn Công và Biện Pháp Phòng Ngừa

Mặc dù RSA là một hệ mật mạnh mẽ, nhưng nó vẫn có thể bị tấn công nếu không được triển khai và sử dụng đúng cách. Các cuộc tấn công vào RSA thường nhắm vào việc tìm ra khóa bí mật từ khóa công khai. Các biện pháp phòng ngừa bao gồm sử dụng độ dài khóa đủ lớn, chọn các số nguyên tố p và q một cách cẩn thận và sử dụng các kỹ thuật padding để tăng cường tính bảo mật.

5.1. Các Dạng Tấn Công RSA Phổ Biến Phân Tích và Cách Đối Phó

Một số dạng tấn công RSA phổ biến bao gồm: Tấn công phân tích thừa số, tấn công Wiener, tấn công Bleichenbacher. Để đối phó với các cuộc tấn công này, cần sử dụng độ dài khóa đủ lớn (tối thiểu 2048 bit), chọn các số nguyên tố p và q một cách cẩn thận và sử dụng các kỹ thuật padding như OAEP để tăng cường tính bảo mật.

5.2. Tối Ưu Hóa RSA Nâng Cao Hiệu Năng và Tính Bảo Mật Đồng Thời

Để tối ưu hóa RSA, có thể sử dụng các kỹ thuật như: Số mũ bình phương và nhân, CRT (Chinese Remainder Theorem). Các kỹ thuật này giúp tăng tốc độ mã hóa và giải mã, đồng thời vẫn đảm bảo tính bảo mật. Ngoài ra, việc sử dụng phần cứng chuyên dụng để thực hiện các phép tính toán RSA cũng có thể cải thiện đáng kể hiệu năng.

VI. Tương Lai RSA Xu Hướng Phát Triển và Ứng Dụng Mới Nhất

Trong tương lai, RSA vẫn sẽ đóng vai trò quan trọng trong việc bảo vệ thông tin và đảm bảo an toàn cho các giao dịch trực tuyến. Tuy nhiên, với sự phát triển của máy tính lượng tử, RSA có thể bị đe dọa bởi các thuật toán lượng tử như thuật toán Shor. Do đó, các nhà nghiên cứu đang tích cực phát triển các thuật toán mật mã hậu lượng tử để thay thế RSA trong tương lai.

6.1. Mã Hóa Hậu Lượng Tử Thay Thế RSA Trong Tương Lai

Mã hóa hậu lượng tử là một lĩnh vực nghiên cứu mới nhằm phát triển các thuật toán mật mã có khả năng chống lại các cuộc tấn công từ máy tính lượng tử. Một số thuật toán mã hóa hậu lượng tử tiềm năng bao gồm: Mật mã dựa trên mạng lưới, mật mã dựa trên mã sửa sai, mật mã dựa trên đa thức nhiều biến. Các thuật toán này có thể thay thế RSA trong tương lai để đảm bảo tính bảo mật của thông tin.

6.2. Các Ứng Dụng Mới Của RSA Blockchain và IoT Internet of Things

RSA vẫn có thể được sử dụng trong các ứng dụng mới như blockchain và IoT (Internet of Things). Trong blockchain, RSA có thể được sử dụng để xác thực các giao dịch và đảm bảo tính toàn vẹn của dữ liệu. Trong IoT, RSA có thể được sử dụng để mã hóa thông tin được truyền tải giữa các thiết bị và đảm bảo tính bảo mật của hệ thống.

Trích đoạn nội dung tài liệu

mở đầu một cách tiếp cận mới để mã hoá và thực sự thách thức các nhà lập mã nghiên cứu các thuật toán mã hoá đáp ứng yêu cầu hệ mật khoá công khai. Bằng cách sử dụng khoá lập mã và khoá giải mã khác nhau, hệ mật mã khoá công khai đã cung cấp đồng thời cơ chế truyền các thông báo bí mật không cần trao đổi trước khoá bí mật và sự áp dụng chữ ký điện tử. Một trong số kết quả đầu tiên trả lời thách thức đó là nhóm tác giả Ron Rivest, Adi Shamir và Len Adleman công bố vào năm 1978. Nhóm tác giả đó đã giới thiệu phương pháp đầu tiên thực hiện hệ mật khoá công khai, hệ mật đó gọi là RSA - dựa trên cơ sở tính luỹ thừa trong số học modulo.

Tính mật của hệ dựa trên độ khó của phân tích ra thừa số nguyên tố các số nguyên lớn. Sau này nhiều hệ mật mã công khai đã phát triển, nhưng hệ mật RSA vẫn được người sử dụng tin dùng và có nhiều ưu điểm nổi bật nhất. Thuật toán RSA ([6], [8], [10], [11], [12], [13]) có hai khoá: khóa công khai và khoá riêng. Mỗi khoá là một số cố định sử dụng trong quá trình mã hoá và giải mã.

Khoá công khai được công bố rộng rãi cho mọi người dùng để mã hoá. Những thông tin được mã hoá bằng khoá công khai chỉ có thể được giải mã bằng khoá riêng tương ứng. Nói cách khác, mọi người đều có thể mã hoá nhưng chỉ có người biết khoá riêng mới có thể giải mã được. Bài toán: A muốn gửi cho B một thông tin mật mà A muốn duy nhất B có thể đọc được.

Để làm được điều này, B gửi cho A một chiếc hộp có khoá đã mở và giữ lại chìa khoá. A nhận chiếc hộp, cho vào đó một tờ giấy viết thư bình thường và khoá lại (lúc này ngay cả A cũng không thể đọc lại hay sửa thông tin trong thư được nữa). Sau đó A gửi chiếc hộp lại cho B. B mở hộp với chìa khoá của mình và đọc thông tin trong thư.

Trong ví dụ này, chiếc hộp với khoá mở đóng vai trò khoá công khai, chiếc chìa khoá chính là khoá riêng. Độ mật của RSA được dựa trên cơ sở là hầu như không có khả năng khôi phục hai số nguyên tố p và q từ tích n = p.q của chúng ít nhất là theo với các thuật toán phân tích ra thừa số hiện đã biết. Mặt khác, các số nguyên tố lớn ngẫu nhiên có thể được tạo sinh nhanh chóng Hệ mật RSA ngày nay được sử dụng trong rất nhiều sản phẩm phần mềm, có thể dùng trao đổi khoá, chữ ký điện tử, mã hoá các khối nhỏ số liệu. Hệ mật RSA sử dụng các tính toán trong Zn.

Hệ RSA sử dụng khối dữ liệu mã hoá kích thước thay đổi và khoá kích thước thay đổi. Cặp khoá được lấy từ số nguyên rất lớn n = pq là tích của hai số nguyên tố q và q được chọn. Các số nguyên tố p và q có thể dài tới trên 100 chữ số. RSA là mã khối, trong đó bản rõ, bản mã là các số nguyên từ 0 đến n – 1.tin TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Đỗ Thanh Bình 22 Luận văn Thạc sĩ Khoá lập mã công khai dựa trên n, trong khi sự giải mã đòi hỏi biết p và q.

Ta sẽ chỉ ra rằng giải mã là dễ dàng, nếu ta có được thông tin cửa sập bí mật. Có nghĩa là số d được gọi là số mũ giải mã. Biết về d có liên quan chặt chẽ với sự hiểu biết về p và q.2 Phƣơng pháp lập mã và giải mã của hệ mật RSA 2.1 Thuật toán a) Tạo khoá Hệ mật RSA dựa trên phép tính luỹ thừa, dó đó để lập mã một thông báo M ta tiến hành như sau: i) Chọn hai số nguyên tố lớn p và q (p  q) , sau đó tính tích n = p.q Chú ý: nên chọn p và q đủ lớn (p, q là các số nguyên tố dài cỡ ít nhất 100 chữ số thập phân) để không thể khôi phục p, q từ tích n = pq ii) (n) = (p - 1)(q - 1) ((n) là số lượng các số nguyên nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n) iii) Chọn một số nguyên e đủ lớn nguyên tố cùng (n), có nghĩa: 1< e <(n) và (e, (n) = 1) iv) Tìm số d thoả mãn: e. Các số nguyên e và d trong sự sinh khoá RSA được gọi là số mũ mã hoá và số mũ giải mã tương ứng, và n được gọi là modulus.

b) Lập mã Sau khi đã có khoá công khai và khoá riêng ta thực hiện mã hoá thông điệp như sau: i) Sử dụng khoá công khai của B là (n, e) ii) Biểu diễn thông điệp dưới dạng số, giả sử là số nguyên m sao cho: m  [0, n-1] Để mã hoá một thông điệp, trước tiên ta phải số hoá thông điệp và nhóm nó lại thành các khối với độ dài lớn nhất có thể, không vượt quá n–1 và với một số chẵn chữ số. iii) Tính C = me mod n iv) Gửi bản mã C cho B (LUAN.tin TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Đỗ Thanh Bình 23 Luận văn Thạc sĩ Nên chọn e là số nguyên tố tuỳ ý không quá nhỏ. Số e phải chọn cần thoả mãn 2e >n = p. Nếu điều kiện này không thoả mãn thì có khả năng xảy ra trường hợp me<n, và như vậy để tìm ra m chỉ cần thực hiện phép “khai căn thông thường” bậc e của C vì khi ấy me mod n = me.

c) Giải mã Để được bản rõ P từ C, B phải làm như sau: i) Dùng khoá riêng d của B tính m = Cd mod n ii) Khôi phục thông điệp từ hàm ngược của hàm số hoá để có P. Ta sẽ giải thích rõ để chứng tỏ m = Cd mod n: Từ e.d = k(n) +1, k  Z, nên từ (e,d)  1 (mod (n)) và theo định lý Eulor chúng ta có: m(n)  1(mod n) khi (m, n) = 1 với khả năng m và n không nguyên tố cùng nhau là rất nhỏ 2.2 Đặc trƣng của hệ mật RSA Hệ mật RSA có các đặc trưng sau:  Không cần phải thiết lập một kênh bảo vệ với những thể thức phức tạp, rườm rà để truyền khoá như trong hệ mã bí mật (hệ mật mã đối xứng). Ta đã biết: nếu có khoá công khai không dễ gì để tìm được khoá riêng d trong thời gian chấp nhận được vì vậy không cần phải dùng một kênh bí mật để truyền khoá.  Cặp khoá công khai được tạo ra theo một phương pháp đặc biệt có quan hệ với nhau và được chọn trong nhiều khoá có thể (trong đó nếu khoá này dùng để mã hoá thì khoá kia dùng để giải mã).

 Dựa vào khoá công khai (n; e) để tính khoá riêng, khoá riêng d được tính bằng cách giải phương trình đồng dư e. Khoá cùng cặp (n; d) được giữ bí mật còn được gọi là khoá riêng. Vậy ứng với một cặp p, q có thể chọn được nhiều bộ khoá công khai (n; e; d) theo quan hệ chỉ ra và vai (LUAN.tin TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Đỗ Thanh Bình 24 Luận văn Thạc sĩ trò của e và d có thể xem là tương đương. Nếu (n; e) là công khai thì (n; d) là khoá riêng và ngược lại nếu (n; d) là công khai thì (n; e) là khoá riêng.

 Mọi người trong hệ thống nếu nhận được bản mật C thì cũng không thể biết được bản rõ P. Với việc chỉ biết khoá mã hoá ke và căn cứ vào các thông tin về thuật toán thì không thể tìm ra khó giải mã kd trong thời gian chấp nhận được (kể cả dùng hệ thống hiện đại nhất để tính toán). Ta sẽ chứng tỏ rằng, nếu biết số mũ mã hoá e không thể dẫn đến việc tìm được số mũ giải mã d: Thật vậy: Muốn tìm nghịch đảo d của e modulo (n) thì trước hết phải tìm được (n), nhưng việc tìm được (n) không dễ hơn so với việc phân tích số n. Bởi vì một khi đã biết n và (n) thì dễ dàng tìm được p và q.

Ta có: (n) = (p - 1)(q - 1) (n) = pq – p –q + 1 (n) = n – p – q + 1 p + q = n - (n) + 1 (1) Mặt khác p  q   p  q 2  4 pq   p  q 2  4n (2) Từ (1) và (2) dễ dàng tìm được p và q. Với các ví dụ nêu trên, chúng dễ dàng hiểu được sơ đồ mã hoá khoá công khai RSA như trong hình 2.1: Nguồn cặp khoá của B Khoá công khai Khoá bí mật eb db d C = P b mod n e P = C b mod n Bên gửi A Mã hoá Giải mã Bên nhận B Hình 2.1: Quá trình mã hóa khóa công khai RSA Quá trình gửi và nhận thông điệp (bản tin) được thực hiện như sau: (LUAN.tin TIEU LUAN MOI download : [e-mail] Đỗ Thanh Bình 25 Luận văn Thạc sĩ i) Mỗi thành viên sinh một cặp khoá (n; e; d), một khoá dùng để mã hoá và một khoá dùng để giải mã các thông điệp. ii) Mỗi thành viên công bố khoá công khai của mình (n; e) cho các thành viên khác trong hệ thống biết. Khoá cùng cặp (n; d) được giữ lại làm khoá riêng (dùng để giải mã thông điệp).

iii) A gửi thông điệp cho B thì A mã hoá thông điệp bằng khoá công khai (n; eb) của B. iv) Khi B nhận được thông điệp của A gửi, B giải mã thông điệp bằng khoá riêng (n; db) của mình. Không một người nào khác có thể giải mã thông điệp ngoài B, vì chỉ có B mới biết khoá riêng của mình. Dựa vào thuật toán RSA đã mô tả trên ta thấy, để sinh được cặp khoá và thực hiện được các phép lập mã, giải mã ta phải giải quyết các bài toán sau đây:  Tìm các số nguyên lớn để lấy làm các giá trị p và q (mỗi số có độ lớn không ít hơn 100 chữ số thập phân).

 Thực hiện nhanh các phép toán số học trên các số rất lớn, đặc biệt là phép mũ với số mũ lớn theo modulo n.1 Chọn hai số nguyên tố p = 43, q = 59 Ta có: n = 43.58 = 2436 Chọn e = 13, ta có (e, (n)) = (13, 2436) = 1 Để giải mã thông điệp, chúng ta phải tìm khoá riêng d, đó là nghịch đảo của e = 13 modulo 2436 nghĩa là tìm d sao cho e.