Tài liệu: Phân cụm tự động trong mô hình dự báo

Tìm hiểu về phân cụm tự động trong mô hình dự báo. Ưu điểm, ứng dụng thực tế và cách cải thiện độ chính xác dự báo chuỗi thời gian. Xem ngay!

• Chuyên ngành: Dự báo chuỗi thời gian
• Đề tài: Dự báo chuỗi thời gian mờ: Ứng dụng phân cụm tự động để cải thiện độ chính xác
• Loại tài liệu: Luận văn

Tóm tắt

I. Dự báo chuỗi thời gian mờ Tổng quan và tiềm năng 55 ký tự

Dự báo chuỗi thời gian là một lĩnh vực quan trọng trong nhiều ngành, từ kinh tế đến kỹ thuật. Tuy nhiên, dữ liệu thực tế thường chứa đựng sự không chắc chắn (uncertainty) và tính mờ (fuzzy logic). Chuỗi thời gian mờ ra đời để giải quyết vấn đề này bằng cách kết hợp lý thuyết mờ (fuzzy logic) vào các mô hình dự báo truyền thống. Phương pháp này cho phép xử lý dữ liệu không chính xác và đưa ra dự báo linh hoạt hơn. Dự báo chuỗi thời gian mờ có tiềm năng ứng dụng rộng rãi, đặc biệt trong các lĩnh vực mà yếu tố không chắc chắn đóng vai trò quan trọng. Tuy nhiên, việc xây dựng một mô hình chuỗi thời gian mờ hiệu quả đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về cả lý thuyết mờ và các phương pháp phân tích chuỗi thời gian (time series analysis). Bài viết này sẽ đi sâu vào ứng dụng của phân cụm tự động (automatic clustering) để cải thiện độ chính xác dự báo (forecasting accuracy) trong chuỗi thời gian mờ. Phân cụm tự động giúp nhóm các điểm dữ liệu tương tự nhau, từ đó làm giảm sai số dự báo và tăng cường khả năng khái quát hóa của mô hình.

1.1. Khái niệm cơ bản về chuỗi thời gian mờ

Chuỗi thời gian mờ là một chuỗi dữ liệu mà các giá trị được biểu diễn bằng các tập mờ thay vì các giá trị số cụ thể. Điều này cho phép mô hình hóa sự không chắc chắn và mơ hồ trong dữ liệu một cách hiệu quả. Theo Zadeh (1965), lý thuyết mờ cung cấp một khung lý thuyết để xử lý thông tin không đầy đủ và không chính xác, đây là những đặc điểm thường thấy trong dữ liệu chuỗi thời gian thực tế. Việc sử dụng tập mờ cho phép biểu diễn các khái niệm mơ hồ như “cao”, “thấp”, “ổn định” một cách định lượng, giúp mô hình dự báo trở nên linh hoạt và thích ứng hơn với các biến động của dữ liệu. Từ đó, độ chính xác dự báo sẽ được cải thiện.

1.2. Ưu điểm của dự báo chuỗi thời gian mờ so với truyền thống

Các phương pháp dự báo chuỗi thời gian truyền thống, như ARIMA, thường gặp khó khăn khi xử lý dữ liệu phi tuyến tính và không chắc chắn. Chuỗi thời gian mờ vượt trội hơn trong những trường hợp này. Theo Chen (1996), mô hình chuỗi thời gian mờ có thể đạt được độ chính xác dự báo cao hơn so với ARIMA khi dữ liệu có tính phi tuyến và chứa đựng sự không chắc chắn. Lý do là vì chuỗi thời gian mờ có khả năng mô hình hóa các mối quan hệ phức tạp giữa các biến và xử lý thông tin không đầy đủ một cách hiệu quả hơn.

II. Thách thức độ chính xác dự báo chuỗi thời gian mờ 60 ký tự

Mặc dù dự báo chuỗi thời gian mờ có nhiều ưu điểm, việc đảm bảo độ chính xác dự báo cao vẫn là một thách thức. Độ chính xác của mô hình phụ thuộc nhiều vào việc lựa chọn các tham số phù hợp, như các hàm thuộc và luật mờ. Việc xác định các tham số này một cách thủ công có thể tốn thời gian và đòi hỏi kiến thức chuyên môn sâu sắc. Ngoài ra, việc xử lý dữ liệu chuỗi thời gian lớn và phức tạp cũng có thể gây khó khăn cho các thuật toán dự báo chuỗi thời gian mờ. Để giải quyết những thách thức này, các nhà nghiên cứu đã đề xuất nhiều phương pháp khác nhau, bao gồm việc sử dụng thuật toán phân cụm tự động.

2.1. Ảnh hưởng của việc lựa chọn tham số đến độ chính xác

Việc lựa chọn hàm thuộc (membership function) và các quy tắc mờ (fuzzy rules) có ảnh hưởng trực tiếp đến hiệu suất của mô hình dự báo chuỗi thời gian mờ. Nếu các tham số này không được chọn một cách cẩn thận, mô hình có thể không thể nắm bắt được các đặc điểm quan trọng của dữ liệu, dẫn đến sai số dự báo cao. Việc sử dụng các phương pháp tự động để lựa chọn tham số, như phân cụm tự động, có thể giúp giảm thiểu sự can thiệp của con người và cải thiện độ chính xác của mô hình.

2.2. Hạn chế của phương pháp thủ công trong xác định tham số

Việc xác định các tham số của mô hình chuỗi thời gian mờ một cách thủ công đòi hỏi sự am hiểu sâu sắc về cả lý thuyết mờ và đặc điểm của dữ liệu chuỗi thời gian. Quá trình này thường tốn thời gian và có thể dẫn đến các kết quả không tối ưu. Việc sử dụng phân cụm tự động giúp tự động hóa quá trình này, giảm thiểu sự phụ thuộc vào kiến thức chuyên môn và cải thiện độ chính xác dự báo.

III. Cách phân cụm tự động nâng cao dự báo chuỗi thời gian 58 ký tự

Phân cụm tự động (automatic clustering) là một kỹ thuật quan trọng giúp cải thiện độ chính xác dự báo trong chuỗi thời gian mờ. Bằng cách nhóm các điểm dữ liệu tương tự nhau, phân cụm tự động giúp đơn giản hóa mô hình và giảm sai số dự báo. Các thuật toán phân cụm (clustering algorithms) phổ biến như K-means và Fuzzy C-means có thể được sử dụng để tự động xác định các nhóm dữ liệu trong chuỗi thời gian. Sau đó, mỗi nhóm có thể được mô hình hóa riêng biệt bằng các mô hình chuỗi thời gian mờ khác nhau, cho phép mô hình thích ứng tốt hơn với các đặc điểm của từng nhóm.

3.1. Ứng dụng thuật toán K means trong phân cụm chuỗi thời gian

Thuật toán K-means là một phương pháp phân cụm đơn giản và hiệu quả. Nó phân chia dữ liệu thành k cụm, trong đó mỗi điểm dữ liệu thuộc về cụm có khoảng cách gần nhất với trung tâm của cụm đó. Trong dự báo chuỗi thời gian mờ, K-means có thể được sử dụng để phân cụm các đoạn chuỗi thời gian có hành vi tương tự nhau. Sau đó, mỗi cụm có thể được mô hình hóa bằng một mô hình chuỗi thời gian mờ riêng biệt.

3.2. Fuzzy C means Giải pháp phân cụm mờ hiệu quả

Fuzzy C-means (FCM) là một phiên bản mờ của K-means, cho phép một điểm dữ liệu thuộc về nhiều cụm với các mức độ khác nhau. Điều này đặc biệt hữu ích trong dự báo chuỗi thời gian mờ, vì nó cho phép mô hình hóa sự chồng chéo giữa các cụm và xử lý dữ liệu không rõ ràng. FCM thường mang lại kết quả tốt hơn K-means khi dữ liệu có tính chồng chéo cao.

IV. Phương pháp đánh giá độ chính xác dự báo chuỗi thời gian 59 ký tự

Việc đánh giá hiệu suất dự báo (performance evaluation) là một bước quan trọng để đảm bảo độ chính xác (accuracy) của mô hình chuỗi thời gian mờ. Các chỉ số sai số dự báo (error metrics) phổ biến bao gồm MAE (Mean Absolute Error), RMSE (Root Mean Squared Error) và MAPE (Mean Absolute Percentage Error). Các chỉ số này đo lường sự khác biệt giữa các giá trị dự báo và giá trị thực tế. Việc so sánh các chỉ số này giữa các mô hình khác nhau cho phép lựa chọn mô hình tốt nhất cho một ứng dụng cụ thể.

4.1. So sánh MAE RMSE và MAPE trong đánh giá mô hình

MAE, RMSE và MAPE là các chỉ số phổ biến để đánh giá độ chính xác của mô hình dự báo. MAE đo lường trung bình của các sai số tuyệt đối, RMSE đo lường căn bậc hai trung bình của các sai số bình phương, và MAPE đo lường trung bình của các sai số phần trăm tuyệt đối. Mỗi chỉ số có những ưu điểm và nhược điểm riêng, và việc lựa chọn chỉ số phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm của dữ liệu và mục tiêu của dự báo.

4.2. Cách lựa chọn chỉ số đánh giá phù hợp với bài toán

Việc lựa chọn chỉ số đánh giá hiệu suất dự báo phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán. Ví dụ, RMSE nhạy cảm hơn với các giá trị ngoại lai so với MAE, do đó nó có thể không phù hợp cho các bài toán mà các giá trị ngoại lai là phổ biến. MAPE là một chỉ số dễ hiểu và có thể so sánh giữa các mô hình khác nhau, nhưng nó không thể được sử dụng khi có các giá trị thực tế bằng không.

V. Ứng dụng phân cụm tự động trong dự báo kinh tế 60 ký tự

Dự báo chuỗi thời gian mờ với phân cụm tự động có nhiều ứng dụng (applications) trong lĩnh vực kinh tế, chẳng hạn như dự báo giá cổ phiếu, dự báo nhu cầu năng lượng, và dự báo lạm phát. Trong mỗi ứng dụng, phân cụm tự động giúp xác định các trạng thái kinh tế khác nhau và mô hình hóa chúng một cách riêng biệt. Điều này giúp cải thiện độ chính xác dự báo và cung cấp thông tin hữu ích cho các nhà hoạch định chính sách và các nhà đầu tư.

5.1. Dự báo giá cổ phiếu sử dụng chuỗi thời gian mờ và K means

Trong dự báo giá cổ phiếu, phân cụm K-means có thể được sử dụng để phân chia chuỗi thời gian giá cổ phiếu thành các trạng thái khác nhau, chẳng hạn như xu hướng tăng, xu hướng giảm, và dao động ngang. Sau đó, một mô hình chuỗi thời gian mờ có thể được xây dựng cho mỗi trạng thái để dự báo giá cổ phiếu trong tương lai.

5.2. Ứng dụng Fuzzy C means trong dự báo nhu cầu năng lượng

Trong dự báo nhu cầu năng lượng, Fuzzy C-means có thể được sử dụng để phân cụm các khoảng thời gian có nhu cầu năng lượng tương tự nhau, chẳng hạn như mùa hè, mùa đông, và các ngày lễ. Sau đó, một mô hình chuỗi thời gian mờ có thể được xây dựng cho mỗi cụm để dự báo nhu cầu năng lượng trong tương lai.

VI. Kết luận và hướng phát triển dự báo chuỗi thời gian 57 ký tự

Dự báo chuỗi thời gian mờ với phân cụm tự động là một phương pháp hiệu quả để cải thiện độ chính xác dự báo trong nhiều ứng dụng khác nhau. Trong tương lai, có thể phát triển các thuật toán phân cụm (clustering algorithms) mới và các mô hình chuỗi thời gian mờ phức tạp hơn để nâng cao hơn nữa độ chính xác và khả năng ứng dụng của phương pháp này. Ngoài ra, việc tích hợp các nguồn thông tin bổ sung, chẳng hạn như tin tức và dữ liệu mạng xã hội, có thể giúp cải thiện độ chính xác dự báo và cung cấp thông tin chi tiết hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến chuỗi thời gian.

6.1. Tích hợp các nguồn thông tin bổ sung để nâng cao độ chính xác

Việc tích hợp các nguồn thông tin bổ sung, chẳng hạn như tin tức, dữ liệu mạng xã hội, và các chỉ số kinh tế, có thể giúp cải thiện độ chính xác dự báo (forecasting accuracy) của mô hình chuỗi thời gian mờ. Các nguồn thông tin này có thể cung cấp thông tin chi tiết hơn về các yếu tố ảnh hưởng đến chuỗi thời gian, cho phép mô hình dự báo phản ứng nhanh hơn với các thay đổi trong môi trường.

6.2. Hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực chuỗi thời gian mờ

Các hướng nghiên cứu mới trong lĩnh vực chuỗi thời gian mờ bao gồm việc phát triển các thuật toán phân cụm mới, các mô hình chuỗi thời gian mờ phức tạp hơn, và các phương pháp tích hợp thông tin bổ sung. Ngoài ra, việc áp dụng các kỹ thuật học máy, chẳng hạn như học sâu, có thể giúp cải thiện độ chính xác dự báo và khả năng khái quát hóa của mô hình.

Trích đoạn nội dung tài liệu

MỠĐÁU Ching ta thường gặp các bài toán dự báo trong cuộc sống hàng ngày, chẳng hạn. như các dự đoán nhiệt độ, dợ báo thời tiế, dự báo chứng khoán, dự báo động đất v . Cấc số liệu trên thu thập được dưới dạng chuỗi thời gian Thí 1g thường, phương pháp chủ yếu để phân tích chuỗi thời gian là sử dụng các công cụ của thống kê như hồi qui, phân ích Fourie va mét vai công cụ khác. Những hiệu quả nhất cổ lẽ là phương pháp cử dụng mô hình ARIMA cia Box-Jenkins. Mé bình này đã cho “một ết quả khá tốt trong phân tích dỡ liệu và đang được sở dụng rất rộng rấ trong thực tế. Toy nhiên trong một số lĩnh vực nhất là trong kinh tổ, mô hình ARIMA chưa thể hiện tính hiệu quả vì chuỗi số liệu n biến mang tính chất phi tuyến. Do đồ đỗ dự báo chuỗi thời gian trong kinh tẾ, người a phải cổ những cãi biên như sử dụng mô hình ARCH. Tuy vậy vẫn còn khá nhiều bạn chế khi áp dụng mô hình nãy khi chuỗi s liệu ngắn và cổ nhiều biển động mang tính chất phỉ tuyến Để vượt qua được những khó khăn trên, gin day nhiều tác giả đã sử dụng mô hình chuỗi thời gian mờ. Khải niệm tập mờ được Zadeh dua ra từ năm 1965 và ngày cảng tìm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhất là trong điều khiễn và. trí tuệ nhân tạo. Trong tịnh vực phân tích chuối thời gian, Song va Chissom [1-3] đã thời gian đồng) và phụ thuộc vào thời gian (không đồng) để dự báo. Chen [4] đã cãi tin và đưa ra phương phip méi đơn giản và hữu hiệu hơn so với phương pháp của Song và Chisem. Trong phương pháp của mình, thay vỉ sở dụng các phép tính tổ hợp Max: "Min phức tạp, Chen da tính toán bằng các phép tính số học đơn giản đã thiết lập các “mỗi quan hệ mờ. Phương pháp cöa Chen cho hiệu quả cao hơn về mặt sai sé dy bio và giảm độ phúc tạp của thuật toin Từ các công tình ban đầu về chuỗi thời gian mờ được xuất hiện năm 1993, hiện nay mô hình này đang được sử dụng để dự báo trong rất nhiễu nh vực cña kính tế bay xã hội như giáo đục để dy bao sé sinh vién nhập tường [2], 4] hay trong lĩnh vực dự báo thất nghiệp, dân số , chứng khoánvà trong đòi sống như đự báo mốc tiêu thụ điện, hay dợ báo nhiệt độ của thời it Tuy nhiền xết về độ chính xác của dự báo, cấc thuật toắn trên cho kết quả chưa cao. ĐỂ nâng cao độ chính xác cña dự báo, một số thuật toần cho mô hnh chuỗi thời gian mờ liên tiếp được đưa ra. Chen [5] đã sử đọng mô hình bậc cao của chuỗi thời gian mờ để tính toán. Sah và Degtiarev thay vì du báo chuỗi thời gian đã sử dạng chuỗi thời gian là hiệu số bậc nhất để năng cao độ chính xác và làm giảm độ phi tuyến. Đây công là một phương pháp hay được sử dụng trong mô bình Box- Tenidns để loại bỗ tín không dòng cũa chuỗi thời gian XMệt hướng rất quan trọng để làm tăng độ chính xắc là sở dung các thông tin biết trước về chuỗi thời gian dé đưa ra dự bio. Tir 46 nay sinh ra các phương pháp “mang tính chit heuristic. Dei dién cho phuong hướng này là Huamg. Trong cổng trình [6] ông đã đã sở đọng các thông tin cổ trước trong tính chất của chuỗi thời gian để lựa chọn nhóm quan hệ mờ thích hợp. Tiếp theo hướng này Dieo NC [7] đã phất tiễn tr tưởng của Huamg vé him heuristic dé lựa chọn nhềm quan hệ mờ và sử đọng các théng tin vé xu hướng (Tren) của chuỗi thôi gian đề đưa ra các điểm giải mờ thích hợp. Ngoài ra trong công trình nà tác giả đã đưa ra một phương pháp “mới về phân khoảng để năng cao độ chính xác của dự báo Nhu Huamg đã nhận xế, độ chính xác của dự bảo chuỗi thời gian mờ phụ thuộc tất nhiều vào độ đài céa khoảng chỉa. Hoarng đã đề xuất một số giải thuật để ắc định độ dài của khoảng như tính độ dài đợa trên giá trị trong bình, đợa trên mật độ và đợa trên tử lệ. Nhờ những thuật toán này, độ chính xác đợ báo chuối thời gian mờ được nâng lên Gần đây nhất, nhiễu tác giả đã sở đọng các công cụ của khai phá đỡ liệu cũng như phân tích đỡ liệu để xác định các khoảng chỉa. Đồ là mồ hình “mạng nơ ro, tập th, học không giám sắt, Tiếp đến các ác gi sử đọng các công cụ tối ưu heuristic để tìm các điểm phân khoảng sao cho tối tu hằm mục tiêu MSE như thuật toần sen, tối ro đâm đông, thuật toần tiễn hóa vĩ phân. Đây là những công cụ khá hữu hiệu đễ tìm kiếm các khoảng. Tuy nhiền đa phần các phương pháp xây dợng mô bình chuỗi thời gian mờ trên đều sở dụng các độ dai tinh, tic la cing một độ đài trong các bước khác nhau của thuật toán. Nhược diễm của độ dài nh là các đỡ liệu được đặt vào các khoảng một cách thé thién ngay cả trong troờng hợp biễn đổi dỡ iệ tích sở là không lồn. Chính vi vậy độ chính xác cöa dự báo của các phương pháp trên là không cao. Lựa chọn các độ đãi khoảng biển đi à thích hợp để nâ g cao độ chính xác của dự báo. Chen, Wang và các công sự [S-10] đã đề xuất phương pháp phân khoảng dựa vào phân cum ty động và nhận được các kết quả tốt hơn. Khắc với các kiễu phân cụm khác, phân com ty động thực hiện các bước xở lý khá đơn giản và quan trong nhất là không cần đề xuất số lượng cụm che tr”ớc. “Trong đề tài này, tác giả chọn phương pháp xây dựng mô hình chuỗi thoi gian “mờ dựa trên Ý tưởng phần cụm tự động. Tơ tưởng chính của phương phấp là sở dụng một số phương pháp phân cụm, đặc biệt là phin cum ty déng [8-10] d8 phát triễn thuật toần mỗi xây đựng các khoảng dự báo. Dựa trên thuật toán đề ra, tắc giả đã tính toán một bài toần dựa trên các dỡ liệu học tế để kiểm chứng tính hiệu quả của phương pháp. 'Với mục tiêu tìm hiểu về việc sở đụng mô hình chuối thời gian mờ trong dự. báo, đặc iệt là tìm hiễo thêm các phương pháp phân cụm dữ liệu, tác giả đã lụa chọn "Phân cụm tự động trong mô lành dự báo” làm đề ti cho luận văn tốt nghiệp của mình. CHƯƠNGL XIN THỨC CƠ BẢN VẺ CHUỐI THỜI GIAN VÀ PHẦN CỤM TỰ ĐỌNG Trong phần này, ching ta sé tim hiễu về một lớp mô hình chuỗi thời gian hết sức thông đụng trong thục tổ. Do la md hinh quy tinh tragt_ ARMA (Autoregressive Moving erage). Ta sé nghién civ các đặc trưng của quá tỉnh ARRMÀ, xem xết tổng quan về phương phâp tóc lượng tham số cöa lớp mô bình này và công thấy rõ được hạn chế của nó khi áp dung vào chuỗi thời gian tải chính. Ngoài ra, mô bình ARMA con đồng vai tré quan trong như là cơ sở đễ xây đựng mô hình ARCH sau cày để dự báo chuỗi thời gian cổ tính chất phi tuyến LL. Ch thời gian và quá trình ngẫu nhiên Trước khí đi ào chỉ tiết tìm hiễu về mô bình ARMA, tas he lai một số khái siệm liên quan đến chuỗi thời gian vã quả trình ngẫu nhiên. Dũ à ta đi vào chỉ it “mô hình gì đi chăng nữa thì các khái niềm cơ bản này vẫn sẽ theo ching ta trong suốt quátrình nghiên cứu về chuối thi gian 41. Khai niệm chuỗố thôi gian vi quá bình ngẫu nhiên XMệt chuỗi thời gian là một dây các giá tị quan sit X= x) được Xxắp th tự diễn biến thời gian với x là các giá trị quan sắt tại thôi điểm đầu tiên, x: là quan sất tại thời điểm thứ 2 và xạ là quan sất tại thời điểm thứ m Tĩ đục Các bảo cáo tài chính ma ta thi trên báo chí, tri hay Intemet về các chỉ số chững khoán, tỷ giá iền tệ chỉ số tăng cường bay chỉ số tiêu đồng đều là những thể hiện rất thực tế cũa chuỗi hồi gian Bốc đầu tiên của việc phân tích chuỗi thời gian là chọn một mồ hình toần học phù hợp với tập dỡ liệu cho trước X'—úv; xã. xJnào đồ, ĐỂ cổ thể nói về bản chất ca những quan sắt chưa diễn ra ta giá thiết mỗi quan sất x là một giá t thể hiện của biển ngẫu nhiên X; v6i te7. 6 đây T được gọi là tập chỉ số. Khi đồ ta có thể coi tập đỡ liệu X= (xs, xi. xs) là thể hiện của quá trình ngẫu nhiên{ Xi tel}. Và vì vậy, ta có: định nghĩa một quá trình ngẫu nhiên như sau, Định nghĩa L1(Quá tình ngẫu nhiên) _Một quả tình ngẫu nhiên là một he các in ngẫu nhiên ( Ất teT) được đình ngiữa trên một không gian xác suẩt(2 4) Ch “Trong việc phân tích chuỗi thời gian, tập chỉ số T là một tập các thời điểm, vi dụ như là tập {L2. Tất nhiên công có những quả trình ng hiên có T không phải là một tập con của R nhưng trong giới hạn của luận văn nãy ta chỉ xết cho trường hợp TER. Và thường thì ta xem T là các tập các số nguyên, Khi đổ ta sẽ sử dụng ký hiệu tập chỉ số là Z thay vi T ở trên. Một điểm chủ ý nữa lã trong luận văn này chúng ta sẽ dùng thuật ngữ chuỗi thời gian để đồng thời chỉ đỡ liệu công như quá trình có đỡ liệu đồ là một thể hiện. 1 “Quá tình ngẫu nhiên đừng "Định nghĩa 1.2 (Him ty hiệp phương sa) Giả at (3: te Z) là một guả trùnh ngẫu nhiên cô var(Â)<svới nỗi te Z. Khi db Sâm tự hiệp phương sai của Xt được đình ngiữa heo công thức sau Yalta) = cov Xp Xp) = Bly ~ EX Ms ~ EX g)} 9817, © £Z "Định nghia 1.3 (Qua trinh dimg) Ï tiời giơn(X, te) được gọi là dừng nấu nó thoả mãn 3 điễu kiện sac = AK <covteZ - EX, =mvteZ -7.0/97,0+Es+0)/Y0r,seZ Định lý 11 _Xấu (2Ä, te Z) là một quả trình đừng và nếu như a = Ñ, 1< thoả mẫn điều kiện Š | <e th M4 hức Ã,= -aX,„t6 2 8 Anh nga một quá đồng Chữ ý: Cũng cổ ti liệu gọi "dờng” theo nghĩa trên là dữ đừng theo nghĩa rộng hay dimg bậc hai. Tuy nhiên ở ta chỉ xem xét tính đồng theo nghĩa đã định.