ĐỒ THỊ TỰA NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG

• Tác giả: Đỗ Thị Nhàn
• Người hướng dẫn: TS. Phạm Văn Thắng
• Trường học: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại Học Quốc Gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp
• Đề tài: Đồ Thị Tựa Ngẫu Nhiên Và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: Luận Văn Khoa Học
• Năm xuất bản: 2024
• Địa điểm: Hà Nội

• LỜI CAM ĐOAN
• LỜI CẢM ƠN
• 1. CHƯƠNG 1: BỔ ĐỀ TRỘN NỞ
• 1.1. Một số định nghĩa
• 1.2. Một số bổ đề trộn nở trên đồ thị
• 1.3. Bổ đề trộn nở cho tích của hai đồ thị
• 2. CHƯƠNG 2: ĐỒ THỊ SINH BỞI TẬP SIDON VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
• 2.1. Đồ thị sinh bởi tập Sidon
• 2.2. Đồ thị sinh bởi các phương trình đại số
• 3. CHƯƠNG 3: ĐỒ THỊ ERDŐS-RÉNYI VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN THUỘC
• 3.1. Bổ đề trộn nở
• 3.2. Đồ thị liên thuộc mặt phẳng
• 3.3. Chứng minh các Định lý

I. Đồ Thị Tựa Ngẫu Nhiên Tổng Quan và Vai Trò Quan Trọng

Đồ thị là công cụ mạnh mẽ biểu diễn đối tượng toán học. Một đồ thị cơ bản gồm tập đỉnh và tập cạnh. Đồ thị đơn không có khuyên, không có cạnh lặp. Đồ thị đa có cạnh lặp, không khuyên. Giả đồ thị có cả khuyên và cạnh lặp. Đồ thị tựa ngẫu nhiên có đặc điểm tương tự đồ thị ngẫu nhiên, nhưng không sinh ra ngẫu nhiên. Chúng được sử dụng trong lý thuyết thông tin, mật mã học, khoa học máy tính. Một đồ thị tựa ngẫu nhiên có tính chất giống đồ thị ngẫu nhiên, ví dụ tính đều đặn, phân số cạnh, nhưng không nhất thiết tạo ra bằng cách chọn ngẫu nhiên cạnh. Đặc điểm bao gồm mật độ cạnh đồng nhất, tính đều đặn, tính thống kê, và cấu trúc đơn giản. Luận văn này trình bày một số mô hình đồ thị tựa ngẫu nhiên và ứng dụng.

1.1. Khái niệm và định nghĩa cơ bản về đồ thị

Đồ thị được biểu diễn bằng G = (V, E), trong đó V là tập đỉnh, E là tập cạnh. Tập đỉnh V = {v1, v2, ..., vn}, với vi là đỉnh thứ i, n là số đỉnh. Tập cạnh E = {e1, e2, ..., em}, với ei là cạnh thứ i, m là số cạnh. Mỗi cạnh ei được xác định bởi cặp đỉnh tương ứng. Ví dụ, cạnh nối v1 và v2 là {v1, v2} hoặc (v1, v2). Đồ thị đơn có tối đa một cạnh giữa hai đỉnh và không có cạnh từ đỉnh đến chính nó. Đồ thị bội có thể có nhiều cạnh giữa hai đỉnh.

1.2. So sánh đồ thị tựa ngẫu nhiên và đồ thị ngẫu nhiên

Đồ thị ngẫu nhiên được tạo ra bằng cách chọn các cạnh một cách ngẫu nhiên. Đồ thị tựa ngẫu nhiên được xây dựng theo quy tắc cụ thể để đạt được các tính chất tương tự đồ thị ngẫu nhiên. Ví dụ, đồ thị tựa ngẫu nhiên có thể có mật độ cạnh gần giống đồ thị ngẫu nhiên với cùng số đỉnh và cạnh. Tuy nhiên, cấu trúc của nó được kiểm soát hơn, tạo ra sự ổn định cao hơn trong các ứng dụng thực tế.

II. Cách Bổ Đề Trộn Nở Ứng Dụng Trong Đồ Thị Tựa Ngẫu Nhiên

Bổ đề trộn nở cung cấp công cụ mạnh mẽ phân tích đồ thị. Nó cho phép ước lượng số cạnh giữa hai tập đỉnh, dựa trên mật độ đồ thị và độ lệch. Bổ đề này có vai trò quan trọng chứng minh tính chất của đồ thị tựa ngẫu nhiên. Nó giúp chứng minh một đồ thị có hành vi tương tự đồ thị ngẫu nhiên. Một đồ thị (n, d, λ) có n đỉnh, bậc mỗi đỉnh là d và λ(G) ≤ λ. Với hai tập đỉnh B và C, số cạnh e(B, C) giữa B với C có thể được ước lượng. Công thức thể hiện mối quan hệ giữa số cạnh thực tế và kỳ vọng dựa trên kích thước các tập hợp.

2.1. Định nghĩa và tính chất của ma trận kề đồ thị

Ma trận kề AG = (aij)i,j=1,..,n biểu diễn liên kết giữa các đỉnh. Nếu (i, j) ∈ E, aij = 1, ngược lại aij = 0. Ma trận kề của đồ thị vô hướng có tính đối xứng: aij = aji. Tổng các phần tử trên dòng i bằng bậc của đỉnh i. Đồ thị chính quy có các đỉnh có số bậc bằng nhau. Ma trận chuyển vị AT hoán đổi hàng và cột của ma trận A.

2.2. Chứng minh bổ đề trộn nở và ứng dụng trong đồ thị tựa ngẫu nhiên

Véc-tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ1 = d là 1 (tất cả các phần tử đều bằng 1). Với hai tập hợp X, Y; trong đó X ⊂ A, Y ⊂ B, số cạnh giữa X và Y, kí hiệu là e(X, Y ), thoả mãn a p e(X, Y ) − |X||Y | ≤ λ3 |X||Y |, trong đó λ3 là giá trị riêng thứ ba của G. Định lý này được sử dụng xuyên suốt để chứng minh tính chất các đồ thị.

2.3. Bổ đề trộn nở cho tích của hai đồ thị

Tích tensor G1 ⊗ G2 là một đồ thị với tập đỉnh V1 × V2 và có một cạnh giữa hai đỉnh (x1 , y1 ) và (x2 , y2 ) nếu (x1 , x2 ) ∈ E(G1 ) và (y1 , y2 ) ∈ E(G2 ). Với hai hàm số không âm f, g : V × V → R, ta định nghĩa X X F (x) = f (x, y), G(z) = g(z, w).

III. Đồ Thị Sinh Bởi Tập Sidon Phân Tích và Đặc Điểm Nổi Bật

Một ví dụ về đồ thị tựa ngẫu nhiên là đồ thị sinh bởi tập Sidon. Tập Sidon là tập hợp các số nguyên sao cho tất cả các tổng hai phần tử khác nhau trong tập là duy nhất. Đồ thị sinh bởi tập Sidon có tính chất đặc biệt. Nó có tính chất tương tự đồ thị ngẫu nhiên với mật độ cạnh thấp. Điều này hữu ích trong các ứng dụng mật mã và lý thuyết thông tin. Đồ thị sinh bởi tập Sidon được sử dụng trong xây dựng mã sửa lỗi và các giao thức mật mã.

3.1. Định nghĩa tập Sidon và cách xây dựng đồ thị từ tập Sidon

Tập Sidon là tập hợp các số nguyên sao cho mọi tổng hai phần tử khác nhau trong tập là duy nhất. Đồ thị sinh bởi tập Sidon được xây dựng bằng cách sử dụng các phần tử trong tập Sidon làm đỉnh. Cạnh được thêm vào giữa hai đỉnh nếu hiệu của chúng thuộc một tập hợp cho trước.

3.2. Tính chất của đồ thị sinh bởi tập Sidon

Đồ thị sinh bởi tập Sidon có mật độ cạnh thấp và tính chất tựa ngẫu nhiên. Nó có tính liên thông tốt, ngay cả khi số lượng cạnh tương đối ít. Điều này làm cho nó hữu ích trong việc xây dựng các mạng có khả năng chịu lỗi và các hệ thống truyền thông an toàn.

IV. Nghiên Cứu Đồ Thị Erdos Renyi và Ứng Dụng Trong Liên Thuộc

Đồ thị Erdos-Renyi là một mô hình đồ thị ngẫu nhiên cơ bản. Trong mô hình này, mỗi cạnh được thêm vào đồ thị một cách ngẫu nhiên với xác suất p. Đồ thị Erdos-Renyi có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đồ thị và khoa học máy tính. Nó được sử dụng để mô hình hóa mạng lưới và nghiên cứu tính chất của đồ thị ngẫu nhiên. Liên thuộc là mối quan hệ giữa các đối tượng. Ví dụ, liên thuộc giữa điểm và đường thẳng. Đồ thị Erdos-Renyi có thể được sử dụng để nghiên cứu các bài toán liên thuộc.

4.1. Tổng quan về mô hình đồ thị Erdos Renyi

Trong mô hình Erdos-Renyi, mỗi cặp đỉnh có một cạnh nối với xác suất p, độc lập với các cạnh khác. Mô hình này đơn giản nhưng thể hiện nhiều tính chất quan trọng của đồ thị ngẫu nhiên, chẳng hạn như sự xuất hiện của các thành phần liên thông lớn và ngưỡng liên thông.

4.2. Ứng dụng của đồ thị Erdos Renyi trong các bài toán liên thuộc

Đồ thị Erdos-Renyi có thể được sử dụng để mô hình hóa mối quan hệ giữa các đối tượng trong không gian hình học. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để nghiên cứu số lượng giao điểm giữa các đường cong trong mặt phẳng. Các kết quả từ lý thuyết đồ thị ngẫu nhiên giúp chặn trên số lượng giao điểm, cung cấp thông tin quan trọng trong hình học tổ hợp.

4.3. Bổ đề trộn nở và ứng dụng

Bổ đề này sẽ trang bị cho bạn đọc các khái niệm cơ bản về đồ thị và trình bày bổ đề trộn nở trên đồ thị. Bổ đề này được sử dụng xuyên suốt các chứng minh ở chương hai.

V. Phương Pháp Sinh Đồ Thị Tựa Ngẫu Nhiên và Ưu Nhược Điểm

Có nhiều phương pháp sinh đồ thị tựa ngẫu nhiên. Mỗi phương pháp có ưu nhược điểm riêng. Một số phương pháp dựa trên lý thuyết số. Số khác dựa trên cấu trúc đại số. Việc lựa chọn phương pháp phụ thuộc vào ứng dụng cụ thể. Một phương pháp phổ biến là sử dụng dãy giả ngẫu nhiên. Dãy này tạo ra số gần như ngẫu nhiên. Các số này được sử dụng để quyết định cạnh của đồ thị. Các phương pháp khác bao gồm sử dụng hàm băm và thuật toán lặp.

5.1. Các phương pháp sinh đồ thị tựa ngẫu nhiên phổ biến

Một số phương pháp phổ biến bao gồm sử dụng dãy giả ngẫu nhiên, hàm băm, thuật toán lặp và cấu trúc đại số. Mỗi phương pháp tạo ra các đồ thị với các tính chất khác nhau, phù hợp với các ứng dụng khác nhau.

5.2. Ưu điểm và nhược điểm của từng phương pháp

Sử dụng dãy giả ngẫu nhiên nhanh nhưng có thể tạo ra đồ thị với các mẫu nhất định. Hàm băm tạo ra đồ thị với tính ngẫu nhiên tốt hơn nhưng có thể chậm hơn. Thuật toán lặp cho phép kiểm soát cấu trúc đồ thị nhưng phức tạp hơn. Việc lựa chọn phương pháp phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của ứng dụng.

VI. Ứng Dụng Đồ Thị Tựa Ngẫu Nhiên Trong Mạng Xã Hội

Đồ thị tựa ngẫu nhiên được sử dụng để mô hình hóa mạng xã hội. Các mạng xã hội có cấu trúc phức tạp. Đồ thị tựa ngẫu nhiên cung cấp cách đơn giản hóa cấu trúc. Nó giúp phân tích các tính chất của mạng xã hội. Ví dụ, lan truyền thông tin, phát hiện cộng đồng. Đồ thị tựa ngẫu nhiên giúp hiểu rõ hơn về cách mọi người tương tác. Nó giúp dự đoán hành vi người dùng.

6.1. Mô hình hóa mạng xã hội bằng đồ thị tựa ngẫu nhiên

Các nút trong đồ thị đại diện cho người dùng. Các cạnh đại diện cho mối quan hệ giữa người dùng. Sử dụng đồ thị tựa ngẫu nhiên cho phép mô phỏng các tính chất quan trọng của mạng xã hội, chẳng hạn như phân bố bậc và hệ số cụm.

6.2. Phân tích lan truyền thông tin trên đồ thị tựa ngẫu nhiên

Mô hình hóa quá trình lan truyền thông tin trên mạng xã hội. Sử dụng đồ thị tựa ngẫu nhiên giúp dự đoán tốc độ và phạm vi lan truyền của thông tin. Nó cũng giúp xác định các nút ảnh hưởng (influencers) trong mạng.

6.3. Phát hiện cộng đồng trong mạng xã hội sử dụng đồ thị tựa ngẫu nhiên

Tìm các nhóm người dùng có chung mối quan tâm. Đồ thị tựa ngẫu nhiên giúp phát hiện các cộng đồng bằng cách phân tích cấu trúc liên kết của mạng. Phát hiện cộng đồng có ứng dụng trong quảng cáo và đề xuất nội dung.