Tổng quan luận án

Luận án tiến sĩ toán học với đề tài "Tính ổn định nghiệm trong tối ưu hoá" được thực hiện bởi nghiên cứu sinh Phạm Thanh Dược (khóa đào tạo 2019), chuyên ngành Toán ứng dụng (mã số: 9460112) tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Lâm Quốc Anh (cán bộ hướng dẫn chính) và TS. Nguyễn Minh Tùng (cán bộ hướng dẫn phụ). Hội đồng đánh giá luận án bao gồm ba phản biện: PGS. Nguyễn Đình Huy (Phản biện 1), PGS. Tạ Quang Sơn (Phản biện 2) và PGS. Lê Thanh Tùng (Phản biện 3).

Về tính cấp thiết và khoảng trống nghiên cứu, lý thuyết tối ưu hóa từ đầu thế kỷ 20 đã khẳng định vai trò then chốt trong việc mô hình hóa và giải quyết các bài toán thực tiễn thuộc nhiều lĩnh vực khoa học như kinh tế, kỹ thuật, y học và vật lý. Trong cấu trúc lý thuyết tối ưu, ba chủ đề nghiên cứu trọng tâm bao gồm: điều kiện tồn tại và tính tối ưu của nghiệm, các phương pháp giải số tìm nghiệm, và tính ổn định của tập nghiệm dưới tác động của các yếu tố nhiễu trong dữ liệu bài toán. Trong thực tế thu thập số liệu, các tham số đầu vào thường xuyên chịu ảnh hưởng bởi sai số đo đạc, thống kê hoặc biến động ngoại cảnh ngẫu nhiên, khiến các bài toán thực tế thực chất là các mô hình xấp xỉ. Do đó, việc nghiên cứu nghiệm xấp xỉ và đánh giá độ nhạy, tính ổn định của nghiệm bài toán khi dữ liệu bị nhiễu trở thành một hướng nghiên cứu cấp thiết, có tốc độ phát triển nhanh trong giải tích biến phân và tối ưu hóa hiện đại. Khoảng trống nghiên cứu then chốt mà luận án nhận diện là các công trình công bố trước đây thường áp dụng các giả thiết tương đối khắt khe như tính lồi chặt, tính đơn điệu mạnh, tính chất ngược hoặc tính đơn phần tử của tập nghiệm; những điều kiện này hạn chế đáng kể khả năng mở rộng kết quả sang các bài toán tối ưu hai mức, bài toán cân bằng không lồi, hoặc các mô hình tối ưu tập phức tạp.

Mục tiêu nghiên cứu tổng quát của luận án là thiết lập các điều kiện đủ đảm bảo tính ổn định cho nghiệm của các mô hình tối ưu phụ thuộc tham số khi dữ liệu bài toán bị nhiễu. Luận án triển khai khảo sát sự ổn định trên hai khía cạnh toán học chính:

  1. Ổn định định tính: Khảo sát tính liên tục và tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm hữu hiệu xấp xỉ và ánh xạ nghiệm xấp xỉ.
  2. Ổn định định lượng: Khảo sát tính liên tục Lipschitz, liên tục Hölder, ước lượng các dưới vi phân và các đạo hàm suy rộng của ánh xạ nghiệm.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án được xác định rõ:

  • Đối tượng nghiên cứu: Bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số, bài toán cân bằng đơn trị và đa trị (dạng mạnh và yếu) phụ thuộc tham số, bài toán bao hàm thức biến phân Browder và bài toán cân bằng mạng giao thông; các dạng nửa liên tục, liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz của các ánh xạ nghiệm; các phương pháp vô hướng hóa tuyến tính và phi tuyến; các khái niệm tính lồi/lõm mở rộng và giả thiết chính quy metric.
  • Phạm vi nghiên cứu: Luận án tập trung vào hai lớp mô hình cốt lõi là bài toán cân bằng và bài toán tối ưu tập trong không gian định chuẩn và không gian Banach, tập trung vào hai dạng thức ổn định nghiệm phổ biến là liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz.
Thông tin cơ bản Chi tiết trong luận án
Tên đề tài Tính ổn định nghiệm trong tối ưu hoá
Nghiên cứu sinh Phạm Thanh Dược (Khóa đào tạo 2019)
Chuyên ngành & Mã số Toán ứng dụng – Mã số: 9460112
Cơ sở đào tạo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP. Hồ Chí Minh
Cán bộ hướng dẫn 1. GS. Lâm Quốc Anh (Chính)
2. TS. Nguyễn Minh Tùng (Phụ)
Cán bộ phản biện PGS. Nguyễn Đình Huy, PGS. Tạ Quang Sơn, PGS. Lê Thanh Tùng
Năm hoàn thành 2023

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Luận án tiến hành tổng quan hệ thống các công trình nghiên cứu trên thế giới và tại Việt Nam liên quan đến lý thuyết tối ưu hóa, tính ổn định nghiệm, phương pháp vô hướng hóa và bài toán tối ưu tập.

Trên bình diện quốc tế, các nhóm nghiên cứu tiêu biểu về tính ổn định nghiệm bao gồm nhóm của GS. Mordukhovich (Mỹ), GS. Hermant (Pháp), GS. Ehrgott (Anh), GS. Molho (Tây Ban Nha), GS. Bot (Áo), GS. Kuroiwa (Nhật Bản), và GS. Lalitha (Ấn Độ). Tại Việt Nam, mạng lưới nghiên cứu về toán tối ưu duy trì hoạt động thông qua chuỗi "Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học" tổ chức thường niên trong suốt 21 năm (2003–2023), với các nhà toán học tiêu biểu như GS. Phạm Hữu Sách, GS. Lê Dũng Mưu, GS. Hoàng Xuân Phú, GS. Nguyễn Đông Yên, PGS. Trương Xuân Đức Hà, PGS. Tạ Duy Phượng, PGS. Bùi Trọng Kiên, GS. Phạm Kỳ Anh, PGS. Nguyễn Quang Huy, PGS. Nguyễn Năng Tâm, PGS. Phạm Ngọc Anh, PGS. Huỳnh Thế Phùng, PGS. Phan Nhật Tĩnh, PGS. Nguyễn Lê Hoàng Anh, GS. Phan Quốc Khánh, TS. Nguyễn Xuân Hải, TS. Nguyễn Hồng Quân, GS. Lâm Quốc Anh, PGS. Lê Thanh Tùng, TS. Nguyễn Thành Quí, và PGS. Nguyễn Trung Kiên.

Về bài toán tối ưu tập, ba cách tiếp cận cơ bản được ghi nhận trong y văn gồm: tiếp cận vectơ, tiếp cận dựa trên quan hệ thứ tự tập hợp và tiếp cận thông qua giàn vectơ. Trong hướng tiếp cận quan hệ thứ tự tập hợp, các quan hệ cơ bản gồm quan hệ thứ tự trên (upper set less) và quan hệ thứ tự dưới (lower set less). Kuroiwa, dựa trên các nghiên cứu độc lập trước đó của Young trong đại số và Nishnianidze trong lý thuyết điểm bất động, đã đề xuất quan hệ thứ tự tập hợp Kuroiwa-Nishnianidze-Young (KNY). Đối với tính liên tục Hausdorff của bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số:

  • Các nghiên cứu của một số tác giả trước đó áp dụng tính chất đơn điệu cho bài toán không lồi với quan hệ thứ tự trên, quan hệ thứ tự dưới và Minkowski, nhưng phương pháp này thường dẫn tới tính đơn phần tử của tập nghiệm, gây khó khăn cho việc áp dụng vào bài toán hai mức.
  • Xu và Li giới thiệu các tính chất ngược dựa trên quan hệ thứ tự trên, sau đó thay thế tính chất ngược bằng giả thiết tính lồi chặt của ánh xạ mục tiêu.
  • Khoshkhabar cải tiến các kết quả này bằng cách giảm nhẹ tính liên tục của ánh xạ mục tiêu xuống tính liên tục theo nón hoặc liên tục Hausdorff theo nón.
  • Một số công trình sử dụng tính liên tục theo nón kết hợp lồi chặt khiến tập nghiệm hữu hiệu và nghiệm hữu hiệu yếu bị trùng nhau.

Về bài toán cân bằng, mô hình được định danh và nghiên cứu bởi Mưu và Oettli, sau đó được mở rộng bởi Blum và Oettli như một khung hợp nhất cho bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động và bài toán cân bằng Nash. Khi nghiên cứu tính ổn định:

  • Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm đã được thiết lập dưới các điều kiện nửa liên tục. Tuy nhiên, tính nửa liên tục dưới thường đòi hỏi các điều kiện ngặt như tính đơn điệu chặt, tính chất bao hàm thức, thông tin tiên nghiệm của ánh xạ nghiệm hoặc thông qua bài toán bổ trợ, dẫn tới nghiệm duy nhất hoặc khó kiểm chứng trong thực tế.
  • Đối với dạng ổn định định lượng (liên tục Lipschitz/Hölder), các nghiên cứu thường yêu cầu tính đơn điệu mạnh hoặc tính lồi mạnh, làm thu hẹp phạm vi áp dụng vào các mô hình tối ưu có ràng buộc cân bằng.
  • Đối với bài toán cân bằng và tối ưu xấp xỉ, các công trình của các nhóm nghiên cứu áp dụng các điều kiện lồi hoặc điều kiện lõm để nghiên cứu tính liên tục Hölder/Lipschitz của nghiệm xấp xỉ đơn trị hoặc liên tục Hausdorff cho cân bằng vectơ mạnh và yếu.

Về phương pháp vô hướng hóa:

  • Phương pháp vô hướng hóa tuyến tính: Được ứng dụng để chứng minh tính nửa liên tục dưới của nghiệm bất đẳng thức biến phân vectơ yếu, tính liên thông cung và liên thông của tập nghiệm tối ưu tập.
  • Phương pháp vô hướng hóa phi tuyến: Dựa trên hàm khoảng cách định hướng Hiriart-Urruty và các phiên bản mở rộng để thiết lập điều kiện tối ưu không trơn; hàm Gerstewitz và các biến thể mở rộng ứng dụng trong tối ưu tập và tối ưu vectơ không lồi; phương pháp vô hướng hình nón do Kasimbeyli đề xuất dựa trên định lý tách hình nón không nhất thiết lồi trong không gian Banach phản xạ thực.

Khoảng trống nghiên cứu mà luận án lựa chọn giải quyết là: Thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ cho bài toán tối ưu tập và bài toán cân bằng đa trị/đơn trị phụ thuộc tham số mà loại bỏ hoặc giảm nhẹ tối đa các giả thiết ngặt về tính lồi, tính đơn điệu chặt và tính chất ngược.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Cơ sở lý thuyết và khung phân tích

Luận án sử dụng các công cụ giải tích toán học hiện đại thuộc các phân ngành: giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị và giải tích biến phân. Các không gian nền tảng gồm các không gian định chuẩn $X, Y, W$ và không gian Banach phản xạ. Nón thứ tự $C \subset Y$ là nón lồi, đóng, có đỉnh tại gốc tọa độ. Không gian đối ngẫu của $Y$ được ký hiệu là $Y^$, nón đối ngẫu của $C$ là $C^ = {l \in Y^* \mid \langle l, y \rangle \ge 0, \forall y \in C}$. Với $e \in \operatorname{int} C$, tập chuẩn hóa được xác định bởi $B^* = {l \in C^* \mid \langle l, e \rangle = 1}$.

Các khái niệm hình học và tôpô tập hợp trong $Y$:

  • Tập con $A \subset Y$ được gọi là:
    • $C$-chính thường nếu $A + C \neq Y$ (ký hiệu họ tập là $\mathcal{P}_{proc}(Y)$).
    • $C$-đóng nếu $A + C$ là tập đóng (ký hiệu $\mathcal{P}_{dc}(Y)$).
    • $C$-bị chặn nếu với mọi lân cận $V$ của gốc trong $Y$, tồn tại $t > 0$ sao cho $A \subset tV + C$.
    • $C$-compact nếu mọi phủ mở dạng ${U_\alpha + C \mid U_\alpha \text{ mở}}$ đều trích được một phủ con hữu hạn (ký hiệu $\mathcal{P}_{compc}(Y)$).
  • Độ đo khoảng cách giữa hai tập con khác rỗng $A, B \subset X$: $$d(x, B) := \inf_{b \in B} |x - b|, \quad e(A, B) := \sup_{a \in A} d(a, B), \quad H(A, B) := \max{e(A, B), e(B, A)}$$ trong đó $H(A, B)$ là khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp.
  • Ánh xạ đa trị $G: X \rightrightarrows Y$ có đường kính bị chặn đều trên $A \subset X$ nếu tồn tại $\rho > 0$ sao cho $\operatorname{diam} G(x) \le \rho$ với mọi $x \in A$.
  • Quan hệ thứ tự tập hợp KNY ứng với nón $C$: Cho $A, B \in \mathcal{P}(Y)$, quan hệ $A \le^l_C B \Leftrightarrow A \subset B - C \text{ và } B \subset A + C$. Quan hệ tựa thứ tự xấp xỉ $\le_{\varepsilon e}$ được định nghĩa bởi $B \le_{\varepsilon e} D \Leftrightarrow B + \varepsilon e \le^l_C D$ với $\varepsilon > 0, e \in \operatorname{int} C$.

Các khái niệm tính lồi/lõm mở rộng:

  • Ánh xạ đa trị $G: X \rightrightarrows Y$ được gọi là $\Omega$-lõm ứng với $e \in \operatorname{int} C$ trong tập lồi $A \subset X$ ($\Omega \subset \mathbb{R}$):
    • Loại một: Nếu $\forall x_1, x_2 \in A, r_1, r_2 \in \Omega$ thỏa $G(x_1) \subset r_1 e + C$ và $G(x_2) \subset r_2 e + \operatorname{int} C$, thì $G(tx_1 + (1-t)x_2) \subset [tr_1 + (1-t)r_2]e + \operatorname{int} C, \forall t \in ]0, 1[$.
    • Loại hai: Nếu $\forall x_1, x_2 \in A, r_1, r_2 \in \Omega$ thỏa $G(x_1) \cap (r_1 e + C) \neq \emptyset$ và $G(x_2) \cap (r_2 e + \operatorname{int} C) \neq \emptyset$, thì $G(tx_1 + (1-t)x_2) \cap ([tr_1 + (1-t)r_2]e + \operatorname{int} C) \neq \emptyset, \forall t \in ]0, 1[$.
  • Không gian hàm $\mathcal{F}(A, \Omega)$ và tính chất của ánh xạ đơn trị $C$-lõm thuộc $\mathcal{F}(A, \mathbb{R})$.
  • Tính $C$-tựa lồi tự nhiên theo cung của ánh xạ đa trị trên tập liên thông cung.

Các khái niệm liên tục của ánh xạ đa trị $G: X \rightrightarrows Y$:

  • Nửa liên tục trên (usc), nửa liên tục dưới (lsc), liên tục.
  • Nửa liên tục trên theo nghĩa Hausdorff (Husc), nửa liên tục dưới theo nghĩa Hausdorff (Hlsc), liên tục Hausdorff.
  • Các biến thể liên tục theo nón: $C$-usc, $C$-lsc, $C$-liên tục, $C$-Husc, $C$-Hlsc, $C$-liên tục Hausdorff.
  • Tính liên tục Lipschitz của ánh xạ đa trị và hàm vectơ.

Phương pháp nghiên cứu thực tế

Luận án là công trình nghiên cứu thuần túy lý thuyết thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng. Phương pháp thực hiện bao gồm:

  1. Phương pháp phân tích và tổng hợp: Khảo sát, đối chiếu cấu trúc tôpô của các tập nghiệm dưới các phép biến đổi tham số và nhiễu dữ liệu.
  2. Phương pháp tổng quát hóa và đặc biệt hóa: Xây dựng các bổ đề, định lý tổng quát cho ánh xạ đa trị, sau đó thu hẹp về trường hợp ánh xạ đơn trị, bài toán cân bằng vô hướng hoặc bài toán tối ưu cổ điển.
  3. Kỹ thuật vô hướng hóa:
    • Vô hướng hóa tuyến tính: Tách tập lồi bằng phiếm hàm tuyến tính liên tục qua phần tử đối ngẫu $l \in B^*$.
    • Vô hướng hóa phi tuyến: Xây dựng và sử dụng hàm khoảng cách định hướng Hiriart-Urruty $\Delta_D(y) = d(y, D) - d(y, Y \setminus D)$ và mở rộng hàm Gerstewitz $\gamma_e(D, B)$ cho các tập hợp.

Nguồn tư liệu nghiên cứu của luận án dựa trên hệ thống các bài báo khoa học chuyên ngành công bố trên các tạp chí quốc tế thuộc danh mục ISI/SCIE/SCOPUS và các chuyên khảo toán học tiêu chuẩn.

Nội dung chính theo từng chương

Chương 1: Mở đầu

Chương 1 trình bày bối cảnh ra đời của đề tài, phân tích tầm quan trọng của ba hướng tiếp cận cốt lõi trong lý thuyết tối ưu hóa (tồn tại nghiệm, thuật toán tìm nghiệm, và ổn định nghiệm). Chương này xác định rõ lý do chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu (định tính và định lượng), đối tượng nghiên cứu (bài toán cân bằng, tối ưu tập, bao hàm thức Browder), phương pháp nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu tập trung vào tính liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz. Đồng thời, chương 1 khẳng định ý nghĩa khoa học trong việc bổ sung tri thức mới vào giải tích biến phân và ý nghĩa thực tiễn khi ứng dụng vào bài toán cân bằng mạng giao thông và bài toán bao hàm thức biến phân.

Tổng quan

Chương Tổng quan điểm lại lịch sử phát triển của lý thuyết tối ưu hóa từ thế kỷ 20, tổng kết các hoạt động học thuật tại Việt Nam (đặc biệt là chuỗi Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học giai đoạn 2003–2023). Tác giả phân tích chi tiết các kết quả nghiên cứu quốc tế và trong nước về tính ổn định định tính (liên tục/nửa liên tục) và định lượng (Hölder/Lipschitz) dựa trên định lý Rademacher và mối liên hệ với tính khả vi Fréchet/Gâteaux. Chương này phân tích ưu nhược điểm của ba hướng tiếp cận trong tối ưu tập (vectơ, quan hệ thứ tự tập hợp, giàn vectơ), lược sử bài toán cân bằng từ công trình của Mưu và Oettli, Blum và Oettli, đồng thời chỉ ra giới hạn của các công trình đi trước khi phải phụ thuộc vào các điều kiện lồi mạnh, đơn điệu mạnh hoặc tính chất ngược. Phần cuối của chương tổng quan làm rõ vai trò của các phương pháp vô hướng hóa tuyến tính, phi tuyến (hàm Hiriart-Urruty, hàm Gerstewitz) và phương pháp vô hướng hình nón Kasimbeyli.

Chương 3: Cơ sở lý thuyết

Chương 3 trình bày hệ thống các định nghĩa, bổ đề và mệnh đề nền tảng:

  • Mục 3.1: Định nghĩa các không gian định chuẩn $X, Y, W$, nón lồi đóng $C$, quả cầu đơn vị $B$, các khoảng cách $d(x, B), e(A, B), H(A, B)$, các họ tập $\mathcal{P}{proc}(Y), \mathcal{P}{dc}(Y), \mathcal{P}_{compc}(Y)$, và khái niệm ánh xạ đa trị có đường kính bị chặn đều.
  • Mục 3.2: Các khái niệm lồi/lõm mở rộng gồm tập liên thông cung, ánh xạ $C$-lõm, $C$-giống lồi, đồ thị lồi; định nghĩa ánh xạ $\Omega$-lõm ứng với $e$ loại một và loại hai; khảo sát không gian hàm $\mathcal{F}(A, \Omega)$; định nghĩa quan hệ thứ tự KNY giữa hai tập con $A \le^l_C B$.
  • Mục 3.3: Các khái niệm về tính liên tục của ánh xạ đa trị: usc, lsc, Husc, Hlsc, $C$-usc, $C$-lsc, $C$-Husc, $C$-Hlsc, các liên hệ tương đương khi tập giá trị là compact, cùng định nghĩa về tính liên tục Lipschitz cho ánh xạ đa trị và hàm vectơ.

Chương 4: Kết quả nghiên cứu và phân tích, đánh giá, thảo luận

Chương 4 là phần trọng tâm của luận án, tập hợp các kết quả mới được chọn lọc từ cụm 5 bài báo quốc tế của tác giả (ký hiệu [B1] đến [B5]), được chia thành hai phần chính:

A. Kết quả nghiên cứu

  1. Các mô hình tối ưu và các dạng nghiệm (Mục 4.1):

    • Bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số (SOP): $\min F(x, p)$ với ràng buộc $x \in A$. Định nghĩa tập $\varepsilon$-nghiệm hữu hiệu $\operatorname{Eff}(\varepsilon, p) := {x \in A \mid \forall z \in A, F(z, p) \le_{\varepsilon e} F(x, p) \Rightarrow F(x, p) \le_{\varepsilon e} F(z, p)}$.
    • Bài toán cân bằng vectơ mạnh và yếu phụ thuộc tham số:
      • (VEP1): Tìm $\bar{x} \in K(p)$ sao cho $f(\bar{x}, y, q) \in C, \forall y \in K(p)$.
      • (VEP2): Tìm $\bar{x} \in K(p)$ sao cho $f(\bar{x}, y, q) \notin -\operatorname{int} C, \forall y \in K(p)$.
    • Bài toán cân bằng vô hướng phụ thuộc tham số (EP): Tìm $\bar{x} \in K(p)$ sao cho $\varphi(\bar{x}, y, q) \ge 0, \forall y \in K(p)$; tập nghiệm xấp xỉ $\operatorname{Sol}(EP)(\varepsilon, p, q) := {x \in K(p) \mid \varphi(x, y, q) + \varepsilon \ge 0, \forall y \in K(p)}$.
    • Các bài toán cân bằng đa trị phụ thuộc tham số (SEP1), (SEP2), (SEP3), (SEP4) tương ứng với các điều kiện bao hàm $F(\bar{x}, y, p) \subset C$, $F(\bar{x}, y, p) \cap C \neq \emptyset$, $F(\bar{x}, y, p) \subset (Y \setminus -\operatorname{int} C)$, và $F(\bar{x}, y, p) \cap (Y \setminus -\operatorname{int} C) \neq \emptyset$.

  2. Các phương pháp vô hướng hóa (Mục 4.2):

    • Vô hướng hóa tuyến tính: Sử dụng tập $B^* \subset C^*$ để biểu diễn tập nghiệm của (SEP3) và (SEP4) dưới dạng tập nghiệm của các bài toán vô hướng tương ứng.
    • Vô hướng hóa phi tuyến:
      • Ứng dụng hàm khoảng cách định hướng Hiriart-Urruty $\Delta_{Y \setminus C}$ chuyển đổi tương đương tập nghiệm của (VEP1) về bài toán cân bằng vô hướng (EP).
      • Xây dựng hàm vô hướng Gerstewitz mở rộng $\gamma_e(D, B)$ cho các tập với quan hệ thứ tự KNY, chứng minh các tính chất giải tích của hàm $\zeta(x, z, p) := \gamma_e(F(x, p), F(z, p))$ và biểu diễn tập nghiệm hữu hiệu qua giao của các tập nghiệm thành phần $\operatorname{Eff}(\varepsilon, p) = \bigcap_{z \in A} E(z, \varepsilon, p)$.

  3. Tính liên tục của ánh xạ nghiệm (Mục 4.3):

    • Tính liên tục Hausdorff đối với bài toán tối ưu tập (SOP):
      • Định lý 4.2: Chứng minh rằng nếu $A$ là tập compact và liên thông cung, ánh xạ đa trị $F$ là $(\pm C)$-liên tục Hausdorff có giá trị $(\pm C)$-đóng trên $A \times P$, và với mỗi $p \in P$, $F(\cdot, p)$ là $C$-tựa lồi tự nhiên theo cung trên $A$, thì ánh xạ $\varepsilon$-nghiệm hữu hiệu $\operatorname{Eff}$ liên tục Hausdorff trên $]0, +\infty[ \times P$. Chứng minh được thực hiện chặt chẽ qua 6 bước (chứng minh tính usc, tính đóng, Husc và Hlsc).
    • Tính liên tục Hausdorff đối với bài toán cân bằng đa trị:
      • Định lý 4.3 & Định lý 4.4: Chứng minh ánh xạ nghiệm xấp xỉ $S_1$ và $S_2$ của (SEP1) và (SEP2) liên tục Hausdorff tại $(\varepsilon_0, p_0)$ dựa trên các điều kiện giảm nhẹ: tính $-\mathbb{R}_+$-lõm ứng với $e$ loại một và loại hai của ánh xạ đa trị $F$, cùng tính liên tục và bị chặn của ánh xạ ràng buộc $K$.
      • Định lý 4.5 & Định lý 4.6: Chứng minh ánh xạ nghiệm xấp xỉ $S_3$ và $S_4$ của (SEP3) và (SEP4) liên tục Hausdorff tại $(\varepsilon_0, p_0)$ thông qua phương pháp vô hướng hóa tuyến tính với điều kiện $F$ là $C$-lõm / $(-C)$-lồi theo biến thứ nhất và $C$-giống lồi theo biến thứ hai.
      • Các hệ quả rút gọn cho trường hợp bài toán cân bằng vectơ đơn trị (VEP1) và (VEP2).
    • Tính liên tục Lipschitz đối với bài toán cân bằng đơn trị:
      • Định lý 4.7: Thiết lập điều kiện đủ để ánh xạ nghiệm xấp xỉ $\operatorname{Sol}(EP)$ của bài toán cân bằng vô hướng liên tục Lipschitz trên $]\bar{\varepsilon}, +\infty[ \times P \times Q$ dựa trên tính chất $\varphi \in \mathcal{F}(K(p), \mathbb{R}_+)$ và tính liên tục Lipschitz của $K$ và $\varphi$.
      • Định lý 4.8: Mở rộng tính liên tục Lipschitz cho ánh xạ nghiệm xấp xỉ của bài toán cân bằng vectơ mạnh (VEP1) thông qua hàm hợp $\Delta_{Y \setminus C} \circ f$.
    • Ứng dụng: Thiết lập điều kiện liên tục Hausdorff cho bài toán bao hàm thức biến phân Browder, cùng điều kiện liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz cho bài toán cân bằng mạng giao thông phụ thuộc tham số.

B. Phân tích, đánh giá, thảo luận

Luận án so sánh chi tiết các kết quả đạt được với các công trình đã công bố trong y văn quốc tế, làm rõ việc các kết quả mới đã khắc phục được những hạn chế kinh điển bằng cách:

  • Loại bỏ hoàn toàn giả thiết lồi chặt và tính chất ngược trong bài toán tối ưu tập.
  • Nới lỏng tính đơn điệu mạnh/lồi mạnh thành các dạng lõm suy rộng ($\Omega$-lõm loại 1, loại 2, $C$-giống lồi) trong bài toán cân bằng.
  • Mở rộng phạm vi khảo sát cho các tập nghiệm đa trị không nhất thiết đơn phần tử.

Chương 5: Kết luận và kiến nghị

Chương 5 tóm tắt toàn bộ các kết quả lý thuyết chính đạt được của luận án, khẳng định tính đúng đắn và độc lập của công trình khoa học. Đồng thời, chương này đề xuất ba hướng nghiên cứu mở trong tương lai.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự nêu 6 đóng góp khoa học mới cơ bản như sau:

  1. Xây dựng và khảo sát đầy đủ các tính chất giải tích của hàm vô hướng hóa phi tuyến dạng Gerstewitz $\gamma_e(D, B)$ cho các tập hợp tuân theo quan hệ thứ tự KNY (Kuroiwa-Nishnianidze-Young).
  2. Thiết lập hệ điều kiện đủ cho tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm hữu hiệu xấp xỉ đối với bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số (SOP) mà không cần sử dụng các giả thiết về tính đơn điệu, tính lồi và tính chất ngược.
  3. Xây dựng các điều kiện đủ đảm bảo tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán cân bằng đa trị yếu phụ thuộc tham số (SEP3, SEP4) bằng phương pháp vô hướng hóa tuyến tính.
  4. Chứng minh các điều kiện liên tục Hausdorff cho ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán cân bằng đa trị mạnh phụ thuộc tham số (SEP1, SEP2) thông qua việc đề xuất và sử dụng các điều kiện lõm giảm nhẹ ($\Omega$-lõm loại một và loại hai) của ánh xạ đa trị.
  5. Khảo sát và thiết lập tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán cân bằng đơn trị phụ thuộc tham số, dựa trên điều kiện giảm nhẹ cho tính lõm của ánh xạ đơn trị và tính chất đường kính bị chặn đều của ánh xạ đa trị ràng buộc.
  6. Xác định các điều kiện đủ cho tính liên tục Hausdorff đối với bài toán bao hàm thức biến phân Browder, cũng như tính liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz đối với bài toán cân bằng mạng giao thông phụ thuộc tham số.

Các kết quả mới này được công bố trong cụm 5 công trình khoa học quốc tế (4 bài báo đã xuất bản trên các tạp chí thuộc danh mục ISI/SCIE/SCOPUS và 1 bài báo ở trạng thái Revised trên tạp chí SCIE/SCOPUS).

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Căn cứ vào phạm vi nghiên cứu và phần các vấn đề còn bỏ ngỏ được luận án chỉ ra, các hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm:

  1. Khảo sát điều kiện tồn tại nghiệm cho các mô hình tối ưu không lồi, không đơn điệu và không compact.
  2. Nghiên cứu các tính chất tôpô của tập nghiệm đối với các mô hình tối ưu thông qua các hàm vô hướng hóa đã xây dựng trong luận án, từ đó áp dụng vào việc phân tích các tính chất định tính cho bài toán tối ưu hai mức (bilevel optimization).
  3. Thiết lập các điều kiện đủ cho tính liên tục, nửa liên tục, liên tục Hölder/Lipschitz và tính khả vi của các dạng nghiệm khác nhau đối với các mô hình tối ưu mà hoàn toàn không sử dụng các giả thiết về tính lồi, tính đơn điệu và tính compact.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị tham khảo chuyên môn trong các lĩnh vực:

  • Giảng viên, nghiên cứu sinh và học viên cao học chuyên ngành Toán ứng dụng, Toán giải tích, Lý thuyết tối ưu hóa và Giải tích biến phân: Có thể tham khảo phương pháp xây dựng hàm vô hướng hóa Gerstewitz mở rộng, kỹ thuật xử lý quan hệ thứ tự tập KNY, và kỹ thuật chứng minh tính liên tục Hausdorff/Lipschitz cho các ánh xạ nghiệm đa trị.
  • Các nhà nghiên cứu mô hình hóa trong kinh tế học và kỹ thuật giao thông: Tham khảo khung phân tích độ nhạy và tính ổn định nghiệm xấp xỉ áp dụng trực tiếp cho bài toán cân bằng mạng giao thông, bài toán cân bằng kinh tế dạng Walras-Ward và Arrow-Debreu-McKenzie, cũng như các bài toán bao hàm thức biến phân Browder.

Câu hỏi thường gặp

1. Đề tài nghiên cứu những dạng ổn định nghiệm cụ thể nào?

Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm trên hai cấp độ: ổn định định tính (tính liên tục, tính nửa liên tục trên/dưới và tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm) và ổn định định lượng (tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ khi các tham số bài toán chịu nhiễu).

2. Quan hệ thứ tự tập hợp KNY được định nghĩa như thế nào trong luận án?

Quan hệ thứ tự KNY (Kuroiwa-Nishnianidze-Young) ứng với nón lồi đóng $C$ giữa hai tập hợp $A, B \in \mathcal{P}(Y)$ được xác định bởi: $$A \le^l_C B \iff A \subset B - C \quad \text{và} \quad B \subset A + C$$

3. Đóng góp nổi bật của luận án trong bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số (SOP) là gì?

Luận án đã thiết lập được điều kiện đủ cho tính liên tục Hausdorff của ánh xạ $\varepsilon$-nghiệm hữu hiệu $\operatorname{Eff}(\varepsilon, p)$ trên $]0, +\infty[ \times P$ bằng cách sử dụng hàm vô hướng hóa Gerstewitz mở rộng kết hợp giả thiết tính $C$-tựa lồi tự nhiên theo cung trên tập ràng buộc liên thông cung, compact mà hoàn toàn không cần dùng đến các giả thiết về tính đơn điệu, tính lồi chặt và tính chất ngược.

4. Luận án đã giảm nhẹ điều kiện tính lõm cho bài toán cân bằng đa trị mạnh như thế nào?

Thay vì áp dụng tính $C$-lõm cổ điển hoặc đơn điệu mạnh, luận án đề xuất khái niệm tính $\Omega$-lõm ứng với phần tử $e \in \operatorname{int} C$ loại một và loại hai cho ánh xạ đa trị $F$. Khái niệm này cho phép bảo toàn tính liên tục Hausdorff của các ánh xạ nghiệm xấp xỉ $S_1$ và $S_2$ của bài toán cân bằng đa trị (SEP1, SEP2) trong điều kiện tập nghiệm không nhất thiết đơn trị.

5. Kết quả lý thuyết của luận án được ứng dụng vào những bài toán thực tế nào?

Các kết quả về tính liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz được áp dụng cụ thể vào việc phân tích tính ổn định nghiệm cho bài toán bao hàm thức biến phân Browder và mô hình bài toán cân bằng mạng giao thông phụ thuộc tham số.

Kết luận

Luận án tiến sĩ "Tính ổn định nghiệm trong tối ưu hoá" của tác giả Phạm Thanh Dược là một công trình nghiên cứu chuyên sâu thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng. Luận án đã giải quyết bài toán đánh giá định tính và định lượng tính ổn định nghiệm cho các mô hình tối ưu tập và bài toán cân bằng phụ thuộc tham số thông qua việc phát triển các công cụ vô hướng hóa tuyến tính, phi tuyến dạng Gerstewitz mở rộng và các điều kiện lõm suy rộng. Hệ thống kết quả đạt được loại bỏ nhiều giả thiết khắt khe trong y văn truyền thống, mở ra hướng ứng dụng hiệu quả cho các bài toán tối ưu hai mức, bài toán bao hàm thức biến phân và bài toán cân bằng mạng giao thông.