Chương 1.1 Lý do chọn đề tài Từ những năm đầu của thế kỷ 20, tối ưu hóa đã cho thấy nhiều ứng dụng sâu rộng trong việc giải quyết các van đề thực tế của nhiều lĩnh vực khoa hoc khác nhau như kinh tế, kỹ thuật, y hoc,. Kể từ đó, những vấn đề thực tế đặt ra trong các lĩnh vực khoa học này đã trở thành nguồn tài nguyên và động lực thúc đẩy sự phát triển mạnh mẽ và liên tục của tối ưu hóa trong suốt nhiều thập kỷ qua. Với mỗi bài toán trong tối ưu hóa, thường có ba chủ đề cơ bản dành được nhiều sự quan tâm của cộng đồng nghiên cứu. Chủ đề thứ nhất và là chủ đề quan trọng hàng đầu cho mọi bài toán tất nhiên là về điều kiện tồn tại nghiệm và điều kiện tối ưu.
Chủ đề kế tiếp còn tương đối mới và đang phát triển rất nhanh đó là tính ổn định nghiệm. Mục tiêu chính của chủ đề này là khảo sát sự chịu tác động của nghiệm qua các nhiễu của dữ liệu bài toán. Và chủ đề cuối cùng là về các phương pháp tìm nghiệm của bài toán. Từ các kết quả đã công bố gần đây của các tác giả và của chúng tôi về các điều kiện ổn định nghiệm của các mô hình toán học trong tối ưu, chúng tôi nhận thấy rằng tính ổn định nghiệm của các bài toán trong tối ưu hóa là chủ đề mới, đang phát triển rất nhanh, và ngày càng nhận được nhiều sự quan tâm của cộng đồng nghiên cứu.
Vì vậy, tôi đã quyết định chọn đề tài “Tính ổn định nghiệm trong tối uu hóa” làm hướng nghiên cứu cho luận án tiến sĩ của mình.2 Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu chính của luận án là đạt được các điều kiện ổn định cho nghiệm của các mô hình tối ưu, tức là đánh giá sự chịu tác động của nghiệm các bài toán khi dữ liệu của chúng bị nhiễu. Luận án nghiên cứu sự ổn định nghiệm về cả hai khía cạnh sau. + On định định tính: Sự ổn định nay được hiểu theo nghĩa liên tục, liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm. + On định định lượng: Liên tục Lipschitz, liên tục Holder, ước lượng các dưới vi phân, các đạo hàm suy rộng của ánh xạ nghiệm.3 Đối tượng và phương pháp nghiên cứu 1.1 Đối tượng nghiên cứu — Bai toán cân bằng, bài toán tối ưu tập, bao hàm thức biến phan Browder.
— Các dạng nửa liên tục/liên tục, liên tục Lipschitz/HöIder của các ánh xạ nghiệm đối với các mô hình tối ưu. — Các phương pháp vô hướng hóa, các đạo hàm suy rộng cho ánh xạ đa trị, các giả thiết chính quy metric.2 Phuong pháp nghiên cứu Luận án sẽ sử dụng và phối hợp nhiều phương pháp nghiên cứu khoa học hữu dụng, như phương pháp tổng hợp, phân tích; phương pháp tổng quát hóa và đặc biệt hóa; phương pháp nghiên cứu tài liệu. Các phương pháp này sẽ được triển khai tương thích các công cụ và kỹ thuật hữu hiệu của toán học hiện đại và phù hợp với từng hướng tiếp cận.4 Nội dung và phạm vi nghiên cứu 1.1 Nội dung nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho các mô hình tối ưu, và được sắp xếp theo các nội dung chính sau đây: — Xem xét các mô hình tối ưu và các dạng nghiệm hữu hiệu của chúng. — Khao sát các phương pháp vô hướng hoá cho các mô hình.
— Nghiên cứu các điều kiện ổn định cho các mô hình theo hai dang chính: ổn định định tính theo nghĩa liên tục, nửa liên tục; ổn định định lượng theo nghĩa liên tục Lipschitz/Hölder, tính khả vi. Ap dụng vào các mô hình thực tế.2 Pham vi nghiên cứu Luận án chỉ tập trung khảo sát hai mô hình chính trong tối ưu hoá: bài toán cân bằng, bài toán tối ưu tập, và sự ổn định cũng được xét theo hai nghĩa phổ biến: liên tục Hausdorff, liên tục Lipschitz.5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài 1.1 Y nghĩa khoa học Tối ưu hóa có nhiều ý nghĩa về mặt khoa học và nhiều công trình nghiên cứu về sự tồn tại nghiệm và tính ổn định nghiệm của các lớp bài toán tối ưu. Tuy nhiên, các kết quả này cần được nghiên cứu bổ sung thêm các tri thức mới bởi tầm quan trọng của nó. Vì vậy, luận án này sẽ tiếp tục nghiên cứu và phát triển các kết quả trong tối ưu hóa đồng thời đóng góp các kết quả mới.2 Ý nghĩa thực tiễn Các kết quả thu được về tính ổn định nghiệm trong tối ưu hóa sẽ được áp dụng cho một số mô hình cu thể chang hạn như bài toán mang giao thông và bao hàm thức biến phân.
TONG QUAN Tối ưu hóa là một lĩnh vực quan trong trong toán hoc, và có mặt trong rat nhiều ngành khoa học khác như vật lý, sinh học, kinh tế học, y học, kỹ thuật,. và đó cũng là nguồn động lực thúc đẩy sự phát triển của lĩnh vực này trong rất nhiều năm qua, biến nó thành một lĩnh vực năng động, có tính thời sự cao [1-9]. Trong những năm qua, Tối ưu hóa không những đã thu hút được rất nhiều nhà toán học trên thế giới mà còn là nguồn cảm hứng cho các nhà toán học trong nước, đa dạng về độ tuổi và có mật độ phân bố rộng khắp từ Bắc đến Nam. Cộng đồng tối ưu có liên kết chặt chẽ thông qua các hoạt động Hội nghị, Hội thảo được tổ chức thường niên trong nhiều năm qua, một trong những hội thảo uy tín được nhiều cơ quan và tổ chức đánh giá cao về hàm lượng khoa học và tính phục vụ cộng đồng là chuỗi “Hội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học” đã diễn ra liên tục trong 21 năm qua (2003-2023), ngay cả trong giai đoạn chịu nhiều sự ảnh hưởng của đại dịch Covid-19.
Trong những năm gần đây, các kết quả nghiên cứu về tính ổn định nghiệm của các mô hình tối ưu, được công bố đều đặn và rộng khắp trên thế giới. Có thể liệt kê một số nhóm nghiên cứu mạnh trên thế giới về chủ đề này là nhóm nghiên cứu của GS. Mordukhovich (Mỹ), nhóm nghiên cứu của GS. Hermant (Pháp), nhóm nghiên cứu của GS.
Ehrgott (Anh), các nhóm nghiên cứu của GS. Molho (Tay Ban Nha), nhóm nghiên cứu của GS. Bot (Áo), nhóm nghiên cứu của GS. Kuroiwa (Nhat Bản), nhóm nghiên cứu của GS.
Lalitha (An Do), nhóm nghiên cứu của GS. Đặc biệt, tại Việt Nam, cộng đồng nghiên cứu về toán tối ưu đang ngày càng phát triển với một lượng lớn các nhà toán học và được phân bố rộng khắp trên cả nước: GS. Phạm Hữu Sách, GS. Lê Dũng Muu, GS.
Hoàng Xuân Phú, GS. Nguyễn Dong Yên, PSG. Trương Xuân Đức Hà, PGS. Tạ Duy Phượng, PGS.
Bùi Trọng Kiên,. Phạm Kỳ Anh,. Nguyễn Quang Huy, PGS. Nguyễn Năng Tâm,.
Pham Ngoc Anh,. Huỳnh Thế 4 Phùng, PGS. Phan Nhật Tĩnh,. Nguyễn Lê Hoàng Anh, TS.(Trường Dai học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG TP.
Nguyễn Minh Tùng,.(Trường Dai học Ngan Hàng TP. Phan Quốc Khánh, GS.(Trường Dai học Quốc tế, ĐHQG TP. Nguyễn Xuan Hải, TS. Nguyễn Hồng Quân,.(Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông TP.
Lâm Quốc Anh, PGS. Lê Thanh Tùng, TS. Nguyễn Thành Quí, PGS. Nguyễn Trung Kiên,.
Tính ồn định nghiệm được xét theo hai nghĩa pho biến: tính liên tục/nửa liên tục và liên tục Hölder/Lipschitz. Thứ nhất, tính liên tục của ánh xạ nghiệm đối với một bài toán cho ta biết độ lệch nghiệm theo nghĩa định tính, tức là ta biết được nghiệm của bài toán nhiễu không quá xa so với nghiệm của bài toán gốc mà không cần ước lượng cu thể giá trị độ lệch này. Tính ổn định theo nghĩa này đáp ứng được nhu cầu sử dụng của nhiều tình huống thực tiễn đặc biệt là trong kinh tế: bài toán cạnh tranh trong kinh tế, bài toán cân bằng kinh tế theo nghĩa Walras-Ward và Arrow-Deubreu-MeKenzie, bài toán cân bằng mạng giao thông,. Thứ hai, hàm liên tục Lipschitz có sự biến thiên của giá trị hàm tỷ lệ tuyến tính với sự biến thiên của biến độc lập, điều này cung cấp các ước lượng định lượng cụ thể về độ lệch giữa nghiệm của bài toán nhiễu so với nghiệm của bài toán gốc.
Mặt khác, theo định lý nổi tiếng Rademacher thì tính liên tục Lipschitz rất gần với tính khả vi. Nói một cách khác, điều kiện Lipschitz là một phiên bản yếu của tính khả vi. Chú ý rằng, từ tính compact của các quả cầu trong không gian hữu hạn chiều, một hàm số liên tục Lipschitz địa phương thì khả vi Eréchet hầu khắp nơi. Hơn nữa, các khái niệm đạo hàm Gâteaux và đạo ham Fréchet là trùng nhau đối với các ham Lipschitz có miền xác định là một không gian Banach với số chiều hữu hạn.
Các hàm Lipschitz không chỉ xuất hiện trong nhiều ngành toán học, như lý thuyết về phương trình vi phân thông thường, phương trình dao hàm riêng, lý thuyết độ đo, hình học Fractal, mà còn trong khoa học máy tính, như trong xử lý hình ảnh hoặc trong nghiên cứu các công cụ tìm kiếm trên mạng. Tối ưu tập là một nhánh nghiên cứu thú vị và quan trọng của toán học ứng dụng trong đó giá trị ánh xạ mục tiêu không là đơn phần tử. Liên quan đến tối ưu tập, có ba cách tiếp cận chính: tiếp cận vectơ [5,10], tiếp cận dựa trên quan hệ thứ tự tập hợp [11-16], tiếp cận thông qua giàn vector [17, 18|. Đối với phương pháp tiếp cận dựa trên quan hệ thứ tự tập hợp, các nghiên cứu tập 5 trung khảo sát hai quan hệ cơ bản cho bài toán tối ưu tập bởi ý nghĩa của chúng trong các tình huống thực tế, đó là quan hệ thứ tự trên (upper set less order relation) và quan hệ thứ tự dưới (lower set less order relation), xem [9, 11, 13] và các tài liệu tham khảo trong đó để biết thêm chi tiết.
Bằng cách kết hợp hai quan hệ thứ tự này, Kuroiwa [11] đã giới thiệu một quan hệ thứ tự mới, thường được gọi là quan hệ thứ tự “KNY” (set less order relation) vì trước đó nó cũng được sử dụng độc lập trong đại số bởi Young [21], trong lý thuyết điểm bất động của Nishnianidze [22]. Đối với điều kiện liên tục Hausdorff cho bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số, chúng tôi phân tích các hướng tiếp cận phổ biến sau. Trong [23,24], các tác giả đã sử dụng các tính chất đơn điệu trong việc nghiên cứu tính liên tục của ánh xạ nghiệm đối với các bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số không lồi với quan hệ thứ tự trên, quan hệ thứ tự dưới và quan hệ thứ tự Minkowski.