CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1. Lý thuyết mờ và logic mờ trong lĩnh vực điều khiển Ngày nay luôn có sự đòi hỏi phải có những phương pháp xử lý thông tin ngày một thông minh hơn. Trong các bài toán điều khiển, mô hình của đối tượng điều khiển không phải lúc nào cũng có thể biết chính xác. Vì vậy cần phải xây dựng được các thuật toán điều khiển mềm dẻo cho phép phát huy được sức mạnh vốn có của các thuật toán điều khiển truyền thống và đặc biệt cho phép sử dụng được nguồn tri thức giàu tính chuyên gia trong những tình huống điều khiển phức tạp.
Đó là lý do người ta cần tới lý thuyết mờ và logic mờ. Bởi vì sự có mặt của logic mờ làm cho việc xử lý thông tin trở lên mềm dẻo hơn. Viên gạch đặt nền móng cho lý thuyết mờ và logic mờ là Biến ngôn ngữ 1. Biến ngôn ngữ Biến ngôn ngữ là một loại biến mà giá trị của nó không phải là số mà là từ hay mệnh đề dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên.
Biến ngôn ngữ được định nghĩa là một bộ 5 thành phần sau đây: < n , T(n) , U , G , M > (1.1) Trong đó: n - Tên biến ngôn ngữ T(n) - Tập các giá trị của biến ngôn ngữ U - Tập nền mà trong đó tạo nên các giá trị có trong T(n) G - Luật syntatic tạo nên các giá trị của biến ngôn ngữ M - Luật semantic cung cấp các ý nghĩa cho các giá trị của biến ngôn ngữ Ví dụ: Biến ngôn ngữ “Học lực” n = Học lực T(n) = {Kém, Yếu, Trung bình, Khá, Giỏi} U = [0, 10] - thang điểm đánh giá G = Nếu điểm đánh giá u là n thì học sinh có học lực như sau: c 4 Kém với hàm thuộc kém(u) Yêú với hàm thuộc yêú (u) Trung bình với hàm thuộc trung bình trungbinh(u) Khá với hàm thuộc khá (u) Giỏi với hàm thuộc giỏi (u) M()(u)={u, ()(u)| u ∈ U = [0,10], ()(u): U [0,1]} (1.2) Với () = Kém(hoặc Yếu, Trung bình, Khá, Giỏi) Cụ thể: Hình 1.1: Biểu diễn biến ngôn ngữ 1. Các khái niệm cơ bản về logic mờ Lý thuyết tập mờ, logic mờ được đưa ra từ năm 1965 nhờ thiên tài L. Nhưng phải đến những thập niên cuối của thế kỷ XX lý thuyết tập mờ, logic mờ mới được đặc biệt quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào trong lý thuyết điều khiển, hệ thống và trí tuệ nhân tạo. Tập mờ và logic mờ dựa trên các suy luận của con người về các thông tin không đầy đủ để hiểu biết và điều khiển hệ thống.
Ứng dụng thành công đầu tiên của lý thuyết mờ và logic mờ là điều khiển mờ. Điều khiển mờ chính là quá trình mô phỏng cách xử lý thông tin và điều khiển của con người đối với các đối tượng và đã giải quyết thành công rất nhiều vấn đề điều khiển phức tạp mà trước đây chưa giải quyết được. Định nghĩa tập mờ c 5 Giả sử X là tập nền (vũ trụ) và là tập rõ; A là tập con trên X; A(x) là hàm của x biểu thị mức độ thuộc về tập A, thì A được gọi là tập mờ khi và chỉ khi: A={(x,x x ∈ X, A(x):X [0,1]} (1.4) Có nghĩa là A(x) chỉ là hai giá trị 0 và 1. Có thể biểu diễn tập mờ A dưới dạng: A= A(x)/x (1.6) Trong đó ∫, là hợp (Union) của các phần tử và lưu ý rằng ký hiệu “/” không phải là phép chia.2 : Biểu diễn hàm thuộc c 6 b.
Các khái niệm phục vụ tính toán - Giá đỡ: Giá đỡ: Supp(A) của X được gọi là giá đỡ cả A nếu và chỉ nếu: Supp(A)={x ∈ X: A(x)>0} (1.7) Như vậy Supp(A) X Hình 1.3: Biểu diễn giá đỡ - -Cut: Ký hiệu L A của X được gọi là -Cut nếu và chỉ nếu LA={x∈X:A(x) } (1.8) Khi =0, Lo=Supp(A) Hình 1.4: Biểu diễn -Cut - Lồi (Convex): c 7 Tập mờ A là lồi nếu và chỉ nếu A( x1 + (1- x2)) min{ A(x1), A(x2) } (1.10) Các phép tính cơ bản trên tập mờ Cho A và B là 2 tập mờ trên cùng tập nền X - Giao: Giao (mờ) của A và B là tập mờ C được định nghĩa như sau: C=A B = {(x, C(x)) | x X, C(x) = min{ A(x), B(x)} (1.14) c) Algebraic Product: Tích đại số (mờ) A.15) c 8 d) Bounded Product : Tích giới nội (mờ) A o B A B =(x, A B(x)|x X, A B(x) = max{0, A(x) - B(x) }} (2.16) e) Bounded Sum: Tổng giới nội (mờ) A B A B =(x, A B(x)|x X, A B(x) = max{1, A(x)+ B(x) }} (2.17) f) Ordering of A and B: Thứ tự của A và B A B A(x) B(x) x X (2. Mở rộng ba phép tính cơ bản trên tập mờ - Giao mờ: Cho A và B là 2 tập mờ trên cùng tập nền với các hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng. Giao của 2 tập mờ AB là tập mờ thuộc cả A và B với hàm thuộc A B Nhận xét: có nhiều hàm thuộc tùy thuộc vào định nghĩa phép biến đổi các hàm thuộc A(x) và B(x). Hàm T biến đổi các hàm thuộc của tập mờ A và tập mờ B thành hàm thuộc giao của A và B được gọi là T-chuẩn(T-norm).20) - Hợp mờ: Cho A và B là 2 tập mờ trên cùng tập nền với các hàm thuộc A(x), B(x) tương ứng.
Hợp của 2 tập mờ AB là tập mờ chứa cả A và B với các hàm thuộc B(x) c 9 Nhận xét: có nhiều hàm thuộc B(x) tùy thuộc vào định nghĩa phép biến đổi các hàm thuộc A(x), B(x). Hàm S biến đổi các hàm thuộc của tập mờ A và B thành hàm thuộc. Hợp của A và B được gọi là S-chuẩn(S-norm) hay T-đồng chuẩn(T-norm).22) - Bù mờ: Cho tập mờ A với hàm thuộc A, B(x) tương ứng. Tập bù mờ của A là tập mờ AC với hàm thuộc C(x) nhận được từ phép biến đổi C dưới đây: C[A(x)]=A(x) (1.23) Trong đó: C[A(x)] [0,1] là hàm bù mờ biến đổi hàm thuộc của tập A sang hàm thuộc của tập bù mờ của A.
Nhận xét: Có nhiều hàm thuộc C tùy thuộc vào định nghĩa phép biến đổi C. Hàm C được gọi là hàm bù mờ hay phủ định mờ nếu và chỉ nếu thỏa mãn các tiên đề sau với các hàm thuộc a,b,c[0,1]. Điều kiện biên: C(0) = 1; C(1) = 0 - Tham số hoá các hàm T - norm, hàm S - norm và hàm Bù mờ C: Để có thể cụ thể hóa dạng hàm T-norm, hàm S-norm và hàm Bù mờ, cần phải tham số hóa các hàm thuộc trên. Việc tham số hóa nhằm mục đích phục vụ cho các ứng dụng khác nhau.
Dưới đây là ví dụ vài phép T-norm, S-norm và phép Bù mờ được tham số hóa (Bảng 1. Tác giả T-norm S-norm C bù mờ Miền xác định tham số Zadeh 1965 min(a,b) max(a,b) 1–a Phi tham số Sugeno 1977 (-1, ) Yager 1980 Tw (a,b) Sw (a,b) (1 - aw)w (0, ) Dombi and Prade 1980 T (a,b) S (a,b) 1-a (0,1) Dombi 1982 T (a,b) S (a,b) (0,1) Werners 1988 T (a,b) S (a,b) (0,1) Bảng 1.1: Một vài phép kết nhập với các hàm thuộc a,b [0,1] Trong đó: (1.27) Hoặc có thể sử dụng: c 11 (1.32) Có thể xắp xếp các phép kết nhập theo miền xác định của tham số trên cơ sở một số định lý về thứ tự các phép Giao mờ và Hợp mờ như hình 1. Trong đó các điểm mốc giới hạn là Tdp(a,b) – Tích mạnh và Sds(a,b)-Tổng mạnh có dạng: a nếu b=1 Tdp(a,b)= b nếu a=1 (1.33) 0 còn lại a nếu b=0 Sds(a,b)= b nếu a=0 (1.34) 0 còn lại Có nhiều phép trung bình sử dụng min (a,b) và max (a,b). Một số phép trung bình mô tả trên hình 1.5: Phạm vi các phép kết nhập theo tham số - Tích đề các mờ (phép toán cho phép ghép nhiều tập mờ): Giả sử: X1,X2,…,Xn là các tập nền(tập rõ) với tích Đề các rõ X1xX2x…xXn A1,A2,…,An là các tập mờ tương ứng của chúng Khi đó tích Đề các mờ (fuzzy cartesion product) của A1, A2,.,An được định nghĩa là tập mờ sau đây: A1xA2x…xAn ={((x1,x2,…,xn),1xA2x…An(x1,x2,…,xn))/( x1,x2,…,xn) X1xX2x…xXn, ),1xA2x…An(x1,x2,…,xn)): X1xX2x…xXn [0,1]} ở đây có thể chọn: 1xA2x…An(x1,x2,…,xn) = min {xxAn(xn} (1.36 a) Trường hợp tổng quát: 1xA2x…An(x1,x2,…,xn) = min {xxAn(xn} (1.36 b) c 13 Với * là T-norm.
- Quan hệ mờ: X1,X2,…,Xn là các tập nền được tham chiếu đến từ các tập mờ A1,A2,…,An tương ứng. Khi đó quan hệ mờ R=R(A1,A2,…,An) được định nghĩa là tập mờ sau đây: R={(( x1,x2,…,xn), (x1,x2,…,xn))/ ( x1,x2,…,xn) X1xX2x…xXn, ), R (x1,x2,…,xn): X1xX2x…xXn [0,1]} (1.37) Quan hệ rõ Quan hệ mờ Hình 1.6: Ví dụ về quan hệ rõ và quan hệ mờ Lưu ý: 1. Các phép tính tập hợp trên tập mờ có thể coi như quan hệ mờ (Giao mờ, Hợp mờ, Bù mờ và Nếu. Nguyên lý mở rộng là một trường hợp đặc biệt của quan hệ mờ Ví dụ về Quan hệ mờ X = {1, 2, 3, 4} A = "x nhỏ", x X = {(1,1), (2, 0.2)} c 14 R(A,B) = “x gần bằng y” với R(A,B)(x,y) = min(A(x),B(y)) Ma trận tính được trong Bảng 1.2: Ma trận quan hệ "x gần bằng y" x R(X,Y) 1 2 3 4 1 1 0.7b: Tích Đề các mờ - Nguyên lý mở rộng: c 15 Nguyên lý mở rộng cho phép mờ hóa các hàm toán học với các đối số của hàm là tập mờ.
Cho X là tập nền, A là tập mờ của tập nền X, hàm f: XY với hàm y = f(x) là hàm rõ, trong đó xX, yY. Nguyên lý mở rộng cho phép chuyển tính mờ A của X sang tập mờ B của Y theo phép chuyển B = f(A) ở đây: B== {(y,B(y)/ yY, B(y):Y [0,1]} (1.38) Nếu f là đơn trị và tồn tại f1(y), thì: B(y) = fy) = f1(y))= a(x)/x = f1(y) (1.39) Nếu f là đơn trị và tồn tại f1(y), thì: B(y) = max A(x) (1.40) X f1(y) Ví dụ 1: x1 x2; f(x1)= f(x2) Giả sử: A(x1) = f1(y) A(x2)= f1(y) Kết quả: B(y) =A(x1) Ví dụ 2: Giả sử tập mờ “số nhỏ” được xác định qua: Số nhỏ = 1/1 + ½ +0.7/42 Trường hợp: Y = f(x1,x2,…,xn) với xiXi; i = 1,n và Ai là tập mờ trên Xi Gọi: X = X1xX2x…xXn f: X1xX2x…xXn Y Nguyên lý mở rộng của phép xác định: B =f(A) qua biểu thức: Với (y) = Sup min {xxAn(xn} (1. Suy luận mờ - Lập luận theo General Modus Ponens (GMP): c 16 Trước hết xét modus ponens truyền thống Giả thiết: (Sự kiện) A Luật: A B (nếu A thì B) Kết luận: B = dễ đỗ đại học Bảng 1.