Chương 1. “Các kiến thức bỗ trợ” Mục đích của chương này là trình bày lại kiến thức về tính khả vi và liên tục của hàm một và hai biến số thực, trình bày và cung cấp các ví dụ mới có lời giải chỉ tiết cho các định lí giá trị trung bình trong không gian 1-chiéu bao gồm Định lý Rolle, Định lý Lagrage, Dinh lý Cauchy và Định lý Pompeiu. “Định lý giá trị trung bình kiểu Pompeiu trong không gian2-chiéu” Mục đích của chương này là cung cấp và chứng mình lại đầy đủ các định lý giá trị trung bình kiểu Pompgiu trong không gian 2-chiều bao gồm Định lý Pompeiu, Định lý Cauchy, Dinh lý Boggio. Ngoài ra, sau mỗi kết quả có đưa ra các ví dụ cụ thé dé minh họa.
CHƯƠNG CƠ SỞ Chương này có tính chất tổng quan một số kết quả đã biết trong giáo trình giải tích hàm 1 biến số thực và hàm 2 biến số thực. Các kết quả chương này làm nền tảng cho chứng minh chương tiếp theo. Hàm một biến số thực 1. Định nghĩa Cho các tập số thực khác rỗng X và Y.
Ánh xạ ƒ: X -> Y được gọi là hàm số một biến số thực. Trong định nghĩa này, tập X được gọi là miền xác định và được kí hiệu bởi Ð, của một hàm số ƒ và tập ƒ(X)={ƒ(œ): xe X} được gọi là miền giá trị, kí hiệu bởi &, của hàm số ƒ, giá trị xe Ø, gọi là biến độc lập hay đối số, giá trị ƒ(x)e R, gọi là biến phụ thuộc hay hàm số. Để xác định hàm số ƒ người ta cho tương ứng mỗi phần từ xe 2, một phần tử xác định ƒ(x)c R,, ký hiệu thông thường là xE Q9 hoặc y= /02 1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số ƒ :(ø, b) —> Iš.
Ta nói rằng hàm số ƒ hay còn ky hiéu f(x) kha vi tai điểm ec(a,b) nếu tồn tại giới hạn sau: ". th ửnG Số A, giới hạn của tỉ số: #2 (œ#e) khi x—>e được gọi là đạo hàm của hàm số ý lấy tại điểm z=c, kí hiệu là fc). Nếu hàm số f kha vi tai mọi điểm xe(a.6) thì ta nói rằng hàm số f khả vi trong khoảng (4,6). (2) Nếu vẽ đồ thị của hàm số ƒ (+) trong một hệ tọa độ Đề các vuông góc (Hình I.1) thì ti sé — chính là hệ số góc của đây cung CM với C{c.ƒ(c)) và M(c+Ax,f(c+Ax)), nghia là tỉ số đó là zan của góc z, gồm những trục Ox và vectơ cM.
Khi cho Ax—>0 thì diém #7 trén dé thi tién dén diém C , do vay cat tuyén CM tién đến tiép tuyén CT. Nhu thé về mặt hình học, đạo hàm tại mỗi điểm chính là hệ số góc của tiếp tuyến của đề thị của ƒ tại êm đó và một ham sé kha vi tai mệt điểm x= c có nghĩa là tại điểm x= c, để thị của ƒ có một tiếp tuyến duy nhất không vuông góc với trục Ox.1 (3) Dùng định nghĩa liên hệ với giới hạn và vô cùng bé có thể biểu diễn hệ thức định nghĩa khả vi dưới dạng: ƒ(e+Ax)~(e)= #'(@)Ax+ø(Ax) Trong đó như đã biết ø(Ax) là một VCB bậc cao hơn Áz khi Ax—>0. (4) Từ hệ thức ƒ(e+Ax)— ƒ(e)= ƒ'(e)Ax+o(Ax) đễ đàng suy ra ƒ kha vi tai ce(a,6) thì ƒ liên tục tại e. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng.
Ta vi du: Hàm số ƒ (x)=|x| liên tục trên l‡ nhưng không có đạo hàm tại x = 0. xen x OF fim£ xo - FO) __ yO" Vậy hàm số ƒ (+) =|3| liên tục trên & nhưng không có đạo hàm tại x= 0. Tính liên tục trên khoảng, đoạn 1. Định nghĩa tính liên tục tại một điểm Cho ƒ là mệt hàm số xác định trong khoảng (z,ð) nói rằng ƒ liên tục tại điểm 1% € (a,b) néu lim FQ) = F).
TTa nói hàm số ƒ liên tục trong khoảng (z,b) nếu ƒ liên tục tại mọi xe (z,b). Dùng các định lý về các giới hạn của tổng, tích, thương và định nghĩa liên tục của hàm số có thể suy ra các kết quả sau. Định lý Cho f, g 1a hai ham liên tục trong khoảng (a,b), khi đó: (a) #+g liên tục trong (z,b).g liên tục trong (a,b). Định lý giá trị trung bình kiểu Lagrange 1.
Dinh ly Rolle Néu him số f(x) liên tục trên đoạn [z,b], có đạo hàm ƒ{x) trên (2;b) và f(a)= f(b) thi phuong trinh ƒ'(x) =0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (4,5). Chứng minh: Vì hàm f(x) liên tục trên đoạn [a;b] nên trên đoạn đó hàm sẽ nhận một giá trị lớn nhất 4 và một giá trị nhỏ nhất z. Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1, M =m Tacé M=m= f(a)= f(b) khi do Vxe[a,b]thi f(x) la hang sé do dé f'(x)=0, Vre (a,b). Trường hợp 2.Vì m Ia gid trị nhỏ nhất của hàm trên [a,b] nên tồn tại lân cận £ của điểm e sao chovxe[c— £;c+ £] bất đẳng thức sau thỏa mãn ƒ(e)< ƒ(x).
Xét các điểm x ở phía bên trái điểm c, khi đó ta có bất đẳng thức sau: fle)- f@) <0,(vi c—x<0) coe Vi f khả vi tại e nên khi x->c thì tồn tại im £(9 =ƒŒ) „p, Pe oa Xét các điểm x ở phía bên phải điểm c. Khi đó ta có bất đẳng thức sau FO-FO) 0, e-x Vi f kha vitai c nén khi x > c* thitdn tai tim FOF)5 9, we en x Vi f(x) khả vitại x=c nên lim #()-ƒ@) _ lim #Œ&)-#@). th ổn me eny Điều đó xảy ra khi và chỉ khi điều kiện sau thỏa mãn "mm. we eo Hệ thức có nghĩa khi ƒ'{c)=0 Trường hợp 3.
Khi đó hàm số ƒ(+) biến thiên từ giá trị ƒ(x)= A2 đến giá trị #Œ) =m và ít nhất một lần nó qua gid tri f(a) (vì ƒ(>) liên tục). Ta gọi điểm ứng với giá trị ƒ() là điểm s. Bây giờ xét hàm ƒ(+) trên đoạn [a,s] hay [z,b] ta lại trở về trường hợp 2 và định lý được chứng minh xong. Địnhlý về số gia hữu hạn Cho hàm ƒ(>z) xác định liên tục trên khoảng đóng [a,b], khả vi trong khoảng mở (a,b).
khi đó tồn tại diém ce (a,b) sao cho f(a)— fey an @ Chứng minh: Ap dung dinh ly Rolle, cho 2 ham ƒ, ø, xác định liên tục trên khoảng đóng [a;b], khả vi trong khoảng mé (a;b). xét g:|a,b]—> :Ÿ được định nghĩa se)= fg LOO, b-a (x-a) moi xela, bị. Dễthấy ø hàm số liên tục trên [a;b]vì ƒ liên tục trên [z. Nén ap dung định lý Rolle, tồn tại e c (2,b), sao cho #'(e) = 0.
b)— Tức là e=‡)=?), b-a 'Vậy định lý được chứng minh. Hệ quả: Giả sử ƒ :[a,b|—> IR là hàm liên tục và ƒ'{x)=0 với mọi xe (a,b) khi đó ƒ là hằng số trên đoạn [a,b]. Ching minh: Ta can chimg minh Vx),¥y 6 (a,b),x„ # y, thì f(y) = fO%)- Giả sử xạ < yụ suy ra [xạ,y„| —[a.b] ta thấy f(x) thỏa mãn tất cả các điều kiện của định lý số gia hữu hạn trên do đó 3c e(x.,y„) để e=00=f(), Ya %o Vì vậy, 3c €(x,,yạ) sao cho ƒ'{) =0 hay f(%,)=F(%)- Điều này khẳng định rằng giá trị của ƒ của tại điểm bất kì xe(øz,ð) luôn bằng giá trị của hàm tại một điểm có định. Do đó, ƒ là hằng số trên đoạn [a.
Hệ quả: Nếu hai hàm ƒ, g có đạo hàm đồng nhất nhau trên một khoảng thì chúng chỉ sai khác nhau bởi một hằng số cộng. Chúng mảnh: Ta có [ ƒG)— gOO] = ƒ'0)= g0). Áp dụng hệ quả 1.3 ta được FO)- gO) =c (c= const) Huy #Œ)= z@)+e. 'Vậy hệ quả đã được chứng minh.
Định lý Cauchy: Cho ƒ, ø là hai hàm xác định, liên tục trong khoảng đóng [a. Khi đó tổn tại e ở giữa a và bsao cho FO-F@_ Fo). Vì ƒ, ø là các hàm liên tục trên [a,b] và khả vi trên (z,b) nên ÿ cũng như vậy. Hơn nữa h(a)- f (a)= f (@)+0-f (a)=0 h(b)— @)= ƒ(b)+0—#()=0 Nén A(x)—g(2) thỏa mãn định lý Rolle.
Khi đó tồn tại c e (2,b) sao cho #(c)— ƒ'(c)=0. Tức là (= FOL) z'€)- 10 Vay dinh by được chứng minh. Định lý giá trị trung bình kiểu Pompieu 1. Địnhlý: Với mỗi hàm ƒ giá trị thực khả vi trên một khoảng (a,b) không chứa 0 và với mỗi cặp x,,x, với x zx, nằm trong đoạn [a.b], tổn tại ít nhất một điểm & €(x,,x,) sao cho x#Œ)~x;ƒ(x) =/(0-#f (6).
LG Chứng mảnh: Hàm số F xác định trên[s-] bởi ba “@)=+/(}): qd) Ta có ƒ khả vi trên (z,b) và 0 không thuộc (z,b) nên # khả vi trên ($4) ba Và r4=/(C)~x#(} mọi re(-4). ® Suy ra Khi đó, ta có 1 ele) FO) “—r—T†—=f(#-##() x Hay BFF) _ ey ey éf() aS) ‘Vay định lý đã được chứng minh. Định lý: Với mọi hàm ƒ và g giá trị thực, khả vi trên (2,b) không chứa 0 và mỗi cap x, #x, trong [@,b] théa g(x,)# g(x,), tén tại ít nhất một điểm ý e (x„x,) sao cho BOF) _— — 8 O)IOD n¬. _ pe 8D) pr 1 1 Chứng mình: Xét hàm h xác định trên đoạn [ | dinh nghia béi Xi [soo/G27sGo/GpJe[ee=rop]/Í=]1 h(x) = aft * Tacé f, g kha vitrén (a,b) nên h khả vỉ trên (+) và a r(x) “apg are 3œ] ⁄(S}*Is<- se0j/ B GG OD GHI 12 Nên áp dung định lý số gia hữu hạn ta có tổn tại £e (x;„ x,) hay 7 (2) =0.
é Điều này kéo theo ([zGœ,)7()~ sŒœ)#G,)]# (@)+[ø(x,)—ø(x)][ƒ(# (@— z()7 t2)])=0 hay suy ra s(x)ƒ0)~ Thư 8C) Hệ / (6) sớ)—#Œ) 4 „ & 'e). IG =/()—- ve ‘Vay định lý đã được chứng minh. Hàm hai biến số thực 1. Định nghĩa: Ánhxạ ƒ:72->E được gọi là hàm số hai biến số thực xác định bởi x=(x,x)<D>w= ƒ(3)= ƒ(x.
Ð được gọi là miền xác định của hàm số ƒ, x,,x, được gọi là hai biến độc lập. Đạo hàm cấp 1 Cho hàm ¿= ƒ (+,y) xác định trong một miền Ð, #, (x„. y,) là một điểm của Ð. Nếu cho y= y„, hàm số một biến số x> ƒ (x, y,) có đạo hàm tại x= x„, thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng của ƒ đối với x tại 4, và được kí hiệu là #1 i (4.) ar hay a Hy.) ar Dit Af = ƒ (4+ Ax, y,)— ƒ (xạ.
Biểu thức đó được gọi là số gia riêng của ƒ (+. Ta có Tương tự như vậy, người ta định nghĩa đạo hàm riêng của ƒ đối với y tại M,, ki hiéu la , # âu 4G) hay CorFo) hay Cor¥o)- 1. Dao ham cap 2 13 Cho ham sé hai bién sé. Các đạo hàm riêng ƒ;.ƒ” là những đạo hàm riêng cấp một.
Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp một nếu tản tại được gọi là những đạo hàm riêng cấp hai. Ta có kí hiệu sau. O(F)_ FF _ on 3 2x) ae FAG): 2()_ấƒ _„ D3 N- Xung 6(#\_ế?