Xây Dựng Hệ Thống Đại Số Máy Tính Xử Lý Biểu Thức Toán Học

Tài liệu nghiên cứu Xây dựng hệ thống đại số máy tính xử lý biểu thức toán học, tổng hợp lý thuyết và thực hành, cung cấp kiến thức chuyên sâu về kỹ thuật.

• Tác giả: Nguyễn Văn Đồng
• Người hướng dẫn: PGS. Trương Anh Hoàng
• Trường học: Đại học Quốc gia Hà Nội
• Chuyên ngành: Công nghệ thông tin
• Đề tài: Xây Dựng Hệ Thống Đại Số Máy Tính Xử Lý Biểu Thức Toán Học
• Loại tài liệu: luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2016
• Địa điểm: Hà Nội

Tóm tắt

I. Tổng Quan Hệ Thống Đại Số Máy Tính Định Nghĩa và Ưu Điểm

Ngày nay, mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên bằng biểu thức toán học là một phương pháp quan trọng trong nghiên cứu khoa học. Máy tính đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết các vấn đề toán học phức tạp. Đại số máy tính ra đời, tập trung vào việc nghiên cứu và phát triển thuật toán, phần mềm ứng dụng cho tính toán biểu thức toán học. Trong đó, hệ thống đại số máy tính (CAS) là một phần quan trọng. Hệ thống đại số máy tính là chương trình phần mềm thực hiện biến đổi các biểu thức toán học một cách tương tự như tính toán thủ công. Điều này đặc biệt hữu ích cho các nhà toán học và khoa học. Hệ thống CAS cho phép xử lý biểu tượng, giải phương trình và thực hiện nhiều chức năng phức tạp khác. Các phép tính như rút gọn, giai thừa, lũy thừa... được kết hợp với vòng lặp, cấu trúc rẽ nhánh và các chương trình con. [23]

1.1. Hệ Thống Đại Số Máy Tính Định Nghĩa và Chức Năng

Hệ thống đại số máy tính (CAS) là một chương trình phần mềm cho phép tính toán các biểu thức toán học một cách tượng trưng, tương tự như cách các nhà toán học thực hiện bằng tay. Nó khác biệt so với các trình tính toán số học thông thường, vốn chỉ trả về kết quả số. CAS có khả năng rút gọn biểu thức, tích phân, đạo hàm, giải phương trình, và thực hiện nhiều thao tác toán học phức tạp khác. CAS đặc biệt hữu ích trong các lĩnh vực khoa học và kỹ thuật, nơi các biểu thức toán học phức tạp thường xuyên xuất hiện.

1.2. Lợi Ích của Hệ Thống Đại Số Máy Tính So Với Phương Pháp Thủ Công

Có nhiều lý do tại sao hệ thống đại số máy tính lại trở nên quan trọng. Thứ nhất, có những bài toán quá phức tạp để giải quyết bằng phương pháp thủ công. Thứ hai, các đáp án đại số thường ngắn gọn và cung cấp thông tin về mối liên hệ giữa các biến. Thứ ba, từ biểu thức đại số có thể suy ra các thay đổi của tham số ảnh hưởng đến kết quả. Cuối cùng, kết quả của tính toán đại số luôn chính xác, không giống như tính toán số học có thể bị sai lệch do làm tròn. [14] Trong một số trường hợp, CAS có thể rút ngắn thời gian tính toán.

1.3. Ứng Dụng Thực Tiễn của Hệ Thống Đại Số Máy Tính trong SMC

Hệ thống đại số máy tính được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, bao gồm toán học, vật lý, kỹ thuật, và khoa học máy tính. Một ví dụ điển hình là công cụ SMC (string model-counting) được phát triển bởi nhóm tác giả Loi Luu, Shweta Shinde, Prateek Saxena của trường đại học quốc gia Singapore. Công cụ này sử dụng Mathematica (một hệ thống đại số máy tính) để xử lý các biểu thức đại số, xử lý đa thức và một số các tính toán khác. SMC có khả năng tính toán biên dựa trên số lượng phần tử của tập chuỗi thỏa mãn ràng buộc với độ chính xác và hiệu quả cao. Mục tiêu của luận văn này là xây dựng các hàm xử lý đa thức để thay thế Mathematica trong SMC, góp phần phát triển một hệ thống đại số máy tính miễn phí.

II. Bài Toán Xử Lý Biểu Thức Toán Học Thách Thức và Yêu Cầu

Xây dựng một hệ thống đại số máy tính hiệu quả đòi hỏi giải quyết nhiều vấn đề phức tạp. Đầu tiên, hệ thống cần có khả năng phân tích cú pháp các biểu thức toán học một cách chính xác. Sau đó, nó cần có khả năng rút gọn biểu thức, loại bỏ các thành phần dư thừa và đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất. Việc xử lý đa thức cũng là một yêu cầu quan trọng, bao gồm các phép toán cơ bản như cộng, trừ, nhân, chia, cũng như các phép toán phức tạp hơn như khai triển và phân tích thành nhân tử. Ngoài ra, hệ thống cần có khả năng xử lý các hàm số đặc biệt và các toán tử toán học khác. Các vấn đề này đặt ra những thách thức lớn về mặt thuật toán và kỹ thuật lập trình.

2.1. Phân Tích và Xử Lý Chuỗi Biểu Thức Đầu Vào

Một trong những thách thức đầu tiên trong việc xây dựng hệ thống đại số máy tính là khả năng phân tích và xử lý chuỗi biểu thức đầu vào. Hệ thống cần có khả năng hiểu được cấu trúc của biểu thức, xác định các toán tử và toán hạng, và chuyển đổi biểu thức sang một dạng biểu diễn phù hợp cho việc tính toán. Quá trình này thường bao gồm việc sử dụng các kỹ thuật phân tích cú pháp (parsing) và cây biểu thức (expression trees). Một thuật toán phân tích cú pháp tốt cần phải có khả năng xử lý các biểu thức phức tạp, bao gồm cả các biểu thức chứa ngoặc, hàm số, và các toán tử ưu tiên khác nhau.

2.2. Rút Gọn Biểu Thức Thuật Toán và Phép Biến Đổi

Rút gọn biểu thức là một yêu cầu quan trọng trong hệ thống đại số máy tính. Mục tiêu của việc rút gọn là đưa biểu thức về dạng đơn giản nhất có thể, bằng cách loại bỏ các thành phần dư thừa và thực hiện các phép biến đổi đại số. Ví dụ, biểu thức 2x + 3x có thể được rút gọn thành 5x. Các thuật toán rút gọn thường dựa trên các quy tắc đại số cơ bản, chẳng hạn như tính giao hoán, tính kết hợp, và tính phân phối. Tuy nhiên, việc xây dựng các thuật toán rút gọn hiệu quả có thể rất phức tạp, đặc biệt đối với các biểu thức phức tạp.

2.3. Xử Lý Đa Thức Phép Toán và Khai Triển

Xử lý đa thức là một phần không thể thiếu của hệ thống đại số máy tính. Hệ thống cần có khả năng thực hiện các phép toán cơ bản trên đa thức, chẳng hạn như cộng, trừ, nhân, và chia. Ngoài ra, hệ thống cũng cần có khả năng thực hiện các phép toán phức tạp hơn, chẳng hạn như khai triển đa thức và phân tích đa thức thành nhân tử. Các thuật toán xử lý đa thức thường dựa trên các kỹ thuật đại số tuyến tính và các thuật toán số học.

III. Phương Pháp Xây Dựng Hệ Thống Đại Số Biểu Diễn Biểu Thức

Việc lựa chọn cấu trúc dữ liệu phù hợp để biểu diễn biểu thức toán học là một yếu tố then chốt trong việc xây dựng hệ thống đại số máy tính. Một cấu trúc dữ liệu phổ biến là cây biểu thức (expression tree), trong đó mỗi nút của cây đại diện cho một toán tử hoặc một toán hạng. Cây biểu thức cho phép biểu diễn biểu thức một cách rõ ràng và dễ dàng duyệt qua để thực hiện các phép tính toán. Ngoài ra, các cấu trúc dữ liệu khác như danh sách và bảng băm cũng có thể được sử dụng để biểu diễn biểu thức.

3.1. Cấu Trúc Cây Biểu Thức Ưu Điểm và Cách Xây Dựng

Cây biểu thức (expression tree) là một cấu trúc dữ liệu dạng cây được sử dụng để biểu diễn các biểu thức toán học. Mỗi nút trong cây biểu thức đại diện cho một toán tử hoặc một toán hạng. Các toán tử là các nút cha, và các toán hạng là các nút con. Cây biểu thức có nhiều ưu điểm so với các cấu trúc dữ liệu khác, bao gồm khả năng biểu diễn các biểu thức phức tạp một cách rõ ràng, dễ dàng duyệt qua để thực hiện các phép tính toán, và dễ dàng thực hiện các phép biến đổi đại số. Để xây dựng một cây biểu thức từ một chuỗi biểu thức đầu vào, cần sử dụng các thuật toán phân tích cú pháp.

3.2. Biểu Diễn Biểu Thức Bằng Danh Sách và Bảng Băm

Mặc dù cây biểu thức là một cấu trúc dữ liệu phổ biến để biểu diễn biểu thức toán học, các cấu trúc dữ liệu khác như danh sách và bảng băm cũng có thể được sử dụng. Danh sách có thể được sử dụng để biểu diễn các biểu thức tuyến tính, trong khi bảng băm có thể được sử dụng để biểu diễn các biểu thức phức tạp hơn. Việc lựa chọn cấu trúc dữ liệu phù hợp phụ thuộc vào các yêu cầu cụ thể của ứng dụng.

3.3. Lớp AnyNode và BAE Thiết Kế và Thuộc Tính

Theo tài liệu, các lớp AnyNode và BAE (Basic Algebraic Expression) đóng vai trò quan trọng trong việc biểu diễn biểu thức. AnyNode có thể là lớp cơ sở cho mọi nút trong cây biểu thức. Nó có thể chứa các thuộc tính chung như kiểu dữ liệu và giá trị. BAE có thể kế thừa từ AnyNode và chứa các thuộc tính đặc trưng cho biểu thức đại số, chẳng hạn như toán tử và toán hạng. Thiết kế tốt các lớp này sẽ giúp hệ thống dễ dàng mở rộng và bảo trì.

IV. Thuật Toán Rút Gọn Biểu Thức Tiếp Cận và Các Bước Thực Hiện

Rút gọn biểu thức là một quá trình quan trọng trong hệ thống đại số máy tính. Mục tiêu là biến đổi biểu thức về dạng đơn giản và dễ hiểu nhất. Quá trình này bao gồm nhiều bước, như thu gọn các số hạng đồng dạng, khử các yếu tố chung, và áp dụng các quy tắc đại số như tính giao hoán, kết hợp và phân phối. Các thuật toán rút gọn có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các quy tắc biến đổi và các thuật toán tìm kiếm.

4.1. Các Phép Biến Đổi Cơ Bản Trong Rút Gọn Biểu Thức

Quá trình rút gọn biểu thức thường bao gồm nhiều phép biến đổi cơ bản, chẳng hạn như cộng các số hạng đồng dạng (ví dụ: 2x + 3x = 5x), khử các yếu tố chung (ví dụ: (x^2 + x) / x = x + 1), và áp dụng các quy tắc đại số như tính giao hoán, kết hợp và phân phối. Các phép biến đổi này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các quy tắc biến đổi và các thuật toán tìm kiếm. Biểu thức đại số cơ bản và biểu thức đại số rút gọn là 2 yếu tố quan trọng cần phân biệt.

4.2. Thủ Tục Rút Gọn Chính và Biểu Thức Số Hữu Tỉ

Theo tài liệu, có một thủ tục rút gọn chính (main simplification procedure) được sử dụng để điều phối các bước rút gọn khác nhau. Thủ tục này có thể bao gồm việc gọi các hàm con để rút gọn các biểu thức số hữu tỉ (Rational Number Expressions - RNE), các biểu thức lũy thừa (Power expressions), các biểu thức tích (Product expressions) và các biểu thức tổng (Sum expressions). Việc thiết kế thủ tục rút gọn chính hiệu quả là rất quan trọng để đảm bảo rằng quá trình rút gọn được thực hiện một cách chính xác và hiệu quả.

4.3. Phương Pháp Rút Gọn Lũy Thừa Tích và Tổng

Việc rút gọn các biểu thức lũy thừa, tích và tổng đòi hỏi các phương pháp đặc biệt. Đối với biểu thức lũy thừa, cần áp dụng các quy tắc lũy thừa (ví dụ: x^a * x^b = x^(a+b)). Đối với biểu thức tích, cần khử các yếu tố chung và áp dụng tính giao hoán và kết hợp. Đối với biểu thức tổng, cần thu gọn các số hạng đồng dạng. Các phương pháp này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các thuật toán đệ quy và các quy tắc biến đổi.

V. Xử Lý Đa Thức Cấu Trúc Toán Tử và Biểu Thức Hữu Tỉ

Xử lý đa thức là một phần quan trọng của hệ thống đại số máy tính. Đa thức có thể được biểu diễn bằng nhiều cách khác nhau, chẳng hạn như danh sách các hệ số hoặc cây biểu thức. Các phép toán trên đa thức bao gồm cộng, trừ, nhân, chia, và tính đạo hàm. Hệ thống cần có khả năng thực hiện các phép toán này một cách hiệu quả và chính xác. Xử lý đa thức một biến, nhiều biến và đa thức tổng quát là các bài toán khác nhau và cần các tiếp cận riêng.

5.1. Đa Thức Một Biến Thể Hiện và Các Toán Tử Cơ Bản

Đa thức một biến có thể được biểu diễn bằng danh sách các hệ số hoặc bằng cây biểu thức. Các toán tử cơ bản trên đa thức một biến bao gồm cộng, trừ, nhân, chia, và tính đạo hàm. Các toán tử này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng các thuật toán số học và các thuật toán đại số. Việc thể hiện đa thức một biến hiệu quả rất quan trọng để tối ưu hiệu năng.

5.2. Đa Thức Nhiều Biến và Đa Thức Tổng Quát Thách Thức

Xử lý đa thức nhiều biến và đa thức tổng quát phức tạp hơn so với xử lý đa thức một biến. Các đa thức này có thể có nhiều biến và các số hạng phức tạp hơn. Việc thực hiện các phép toán trên các đa thức này đòi hỏi các thuật toán phức tạp hơn và cấu trúc dữ liệu hiệu quả hơn. Các toán tử cơ bản của đơn thức tổng quát và đa thức tổng quát cần được định nghĩa rõ ràng.

5.3. Biểu Thức Hữu Tỉ Tổng Quát Toán Tử và Hữu Tỉ Hóa

Biểu thức hữu tỉ tổng quát là tỷ lệ của hai đa thức. Việc xử lý các biểu thức này đòi hỏi các thuật toán đặc biệt để thực hiện các phép toán như cộng, trừ, nhân, chia, và hữu tỉ hóa mẫu số. Các toán tử như Numerator, Denominator, RationalGPE và RationalVariables đóng vai trò quan trọng trong việc xử lý các biểu thức này.

VI. Ứng Dụng Các Toán Tử trong Hệ Thống SMC Khai Triển Taylor

Hệ thống đại số máy tính có thể được sử dụng để xây dựng các toán tử phức tạp hơn, chẳng hạn như khai triển Taylor. Khai triển Taylor là một công cụ quan trọng trong toán học và vật lý, cho phép xấp xỉ một hàm bằng một đa thức. Việc xây dựng các toán tử khai triển Taylor đòi hỏi việc sử dụng các thuật toán đạo hàm và các thuật toán xử lý đa thức. Hệ thống cần có khả năng tính toán đạo hàm bậc cao và xây dựng chuỗi Taylor tại một điểm bất kỳ.

6.1. Toán Tử TaylorSeries Mục Đích và Cách Tính

Toán tử TaylorSeries cho phép tính khai triển Taylor của một hàm tại một điểm bất kỳ. Việc tính toán khai triển Taylor đòi hỏi việc tính toán các đạo hàm bậc cao của hàm. Hệ thống cần có khả năng tính toán đạo hàm bậc cao một cách hiệu quả và chính xác. Thủ tục thực hiện toán tử TaylorSeries cần được thiết kế cẩn thận.

6.2. Xây Dựng Hàm MAXF MINF DEDUP cho Hệ Thống SMC

Ngoài toán tử TaylorSeries, hệ thống cũng cần có khả năng xây dựng các hàm MAXF, MINF, và DEDUP để hỗ trợ hệ thống SMC. Hàm MAXF và MINF cho phép tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm. Hàm DEDUP cho phép loại bỏ các phần tử trùng lặp trong một danh sách. Việc xây dựng các hàm này đòi hỏi việc sử dụng các thuật toán tìm kiếm và các thuật toán xử lý danh sách.

6.3. Các Toán Tử Khác Đạo Hàm và Tích Phân

Bên cạnh khai triển Taylor, hệ thống đại số máy tính cũng nên hỗ trợ các toán tử khác như đạo hàm và tích phân. Đạo hàm và tích phân là các công cụ cơ bản trong giải tích, và việc hỗ trợ các toán tử này sẽ mở rộng đáng kể khả năng của hệ thống. Việc thực hiện các toán tử này đòi hỏi việc sử dụng các thuật toán đạo hàm và tích phân.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Mở đầu Ngày nay các nhà khoa học mô hình hóa các hiện tượng tự nhiên bằng cách dịch các kết quả thực nghiệm và khái niệm lý thuyết vào những biểu thức toán học chứa số, biến, hàm số và các toán tử. Sau đó dựa vào các định lý đã được chứng minh để biến đổi hoặc chuyển thành các biểu thức khác để khám phá các hiện tượng đang được nghiên cứu. Cách tiếp cận toán học như vậy là một thành phần quan trọng của phương pháp nghiên cứu khoa học trong các ngành khoa học hiện nay. Trong hơn nửa thế kỉ qua máy tính đã trở thành thiết bị không thể thiếu giúp giải quyết các vấn đề toán học.

Các nhà toán học thường xuyên sử dụng máy tính để tìm lời giải cho các vấn đề khó khăn hoặc những vấn đề không thể thực hiện được bằng phương pháp thủ công. Trên thực tế máy tính chỉ thao tác với hai kí hiệu 0 - 1 thông qua các luật được thiết lập sẵn nên không thể mong đợi nó tạo ra tiên đề, lý thuyết. Tuy nhiên một phần của lý luận toán học như các thao tác máy móc, phân tích biểu thức… thì có thể thực hiện bằng các thuật toán. Hiện nay có các chương trình máy tính có khả năng rút gọn biểu thức, tích hợp các chức năng phức tạp, giải chính xác phương trình… Các lĩnh vực toán học và khoa học máy tính có liên quan đến vấn đề này thì được gọi là đại số máy tính.

Đại số máy là tính là một lĩnh vực khoa học đề cập tới việc nghiên cứu và phát triển các thuật toán và phần mềm ứng dụng trong tính toán các biểu thức toán học và các đối tượng toán học khác. Trong đó hệ thống đại số máy tính là một phần của đại số máy tính, một chương trình phần mềm cho phép tính toán các biểu thức toán học bằng cách tương tự như tính toán bằng phương pháp thủ công mà các nhà toán học và khoa học thường sử dụng. Hệ thống đại số máy tính là gì? Hệ thống đại số máy tính là chương trình phần mềm thực hiện biến đổi các biểu thức toán học trong đó các yếu tố toán học như rút gọn, giai thừa, lũy thừa… được kết hợp với các cấu trúc điều khiển như vòng lặp, cấu trúc rẽ nhánh và các chương trình con để tạo ra các chương trình có thể giải quyết các vấn đề toán học.[23] Hệ thống đại số máy tính đặc biệt hữu ích cho các nhà toán học, khoa học vì chúng có nhiều chức năng như tính toán biểu thức, xử lý biểu tượng (symbolic manipulation), giải phương trình… Tại sao lại cần một hệ thống đại số máy tính?  Trên thực tế có những bài toán hoặc vấn đề không thể giải quyết được bằng phương pháp thủ công.  Các đáp án đưa ra bằng phương pháp đại số thường ngắn gọn và cung cấp thông tin về mối liên hệ giữa các biến.

 Từ biểu thức đại số có thể suy ra các thay đổi của tham số có thể ảnh hưởng đến kết quả tính toán.  Kết quả của tính toán đại số thì luôn chính xác còn tính toán số học thường tồn tại giá trị xấp xỉ có thể dẫn đến các sai lệch trong kết quả.  Trong một số trường hợp hệ thống đại số máy tính sẽ rút gọn thời gian tính toán hơn là các phương pháp tính toán truyền thống. Hệ thống SMC [14] Đếm mẫu là vấn đề cổ điển trong tính toán số lượng giải pháp thỏa mãn một tập các ràng buộc.

Nó có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực khoa học máy tính như trí tuệ nhận tạo, tối ưu hóa chương trình, phân tích lưu lượng thông tin. Đếm mẫu là kỹ thuật có thể áp dụng cho số nguyên, giá trị logic nhưng không thể áp dụng trực tiếp cho dữ liệu phức tạp như một chuỗi kí tự, để giải quyết vấn đề này nhóm tác giả Loi Luu, Shweta Shinde, Prateek Saxena của trường đại học quốc gia Singapore (National University of Singapore) đã đưa ra giải pháp trong đó có trình bày một công cụ gọi là SMC (string model-counting). Cho một tập chuỗi kí tự và ràng buộc của chúng, SMC có thể tính biên dựa trên số lượng phần tử của tập chuỗi thỏa mãn ràng buộc với độ chính xác và hiệu quả cao. Nhóm tác giả sử dụng hàm sinh (generating functions - GFs) một công cụ toán học quan trọng cho lý luận về chuỗi vô hạn, nó cung cấp cơ chế cho phép xác định số lượng phần tử của một tập chuỗi ràng buộc.

Ý tưởng đằng sau hàm sinh (GFs) là mã hóa số lượng các chuỗi có độ dài k như là hệ số thứ k của một đa thức. Các đa thức có thể biểu diễn được dưới dạng các biểu thức hữu hạn, khi đó biểu thức hữu hạn này sẽ có khả năng biểu diễn tập vô hạn các chuỗi. Trong công cụ SMC có sử dụng hệ thống Mathematica (một hệ thống đại số máy tính) để xử lý các biểu thức đại số, xử lý đa thức và một số các tính toán khác. Mục tiêu của luận văn Mục tiêu của luận văn là dựa vào nền tảng lý thuyết về toán học và các khái niệm thuật toán cơ bản để xây dựng các thuật toán và thể hiện của nó bằng các toán tử và cấu trúc điều khiển có trong ngôn ngữ lập trình để giải quyết các vấn đề trong hệ thống đại số máy tính để từ đó phát triển một hệ thống đại số máy tính miễn phí cho phép thực hiện các thao tác tính toán từ cơ bản đến phức tạp như tính giá trị biểu thức, tối giản phân số, tính toán đa thức …Trong đó mục tiêu chính của luận văn là phát triển các hàm xử lý đa thức nhằm thay thế hoàn toàn Mathematica trong công cụ SMC.

Các vấn đề được nêu ra và xử lý trong phạm vi luận văn:  Xử lý biểu thức o Phân tích chuỗi đầu vào để nhận biết biểu thức. o Tính giá trị biểu thức. o Rút gọn biểu thức.  Xử lý đa thức o Đa thức một biến, nhiều biến.

o Các phép toán cơ bản trên đa thức. o Khai triển đa thức.  Xây dựng các hàm xử lý cho hệ thống SMC o Tìm chuỗi taylor tại một giá trị bất kỳ, đến một hệ số bất kỳ. o Xây dựng hàm MAXF, MINF, DEDUP.

1 1 Kiến thức nền tảng 1.1 Ngôn ngữ giả mã Là một ngôn ngữ biểu tượng được sử dụng trong luận văn để mô tả các khái niệm, định lý, ví dụ, đặc biệt là các thuật toán và các thủ tục thực hiện thuật toán. Ngôn ngữ giả mã tương tự như một ngôn ngữ đại số máy tính nhưng nó mang tính hình thức vì sử dụng cả biểu tượng toán học, tiếng anh và tiếng việt trong đó. Để sử dụng một hệ thống đại số máy tính hiệu quả thì điều quan trọng là phải hiểu rõ ràng về cấu trúc và ý nghĩa của các biểu thức toán học. Về cơ bản biểu thức toán học trong ngôn ngữ giả mã cũng giống như các biểu thức toán học thông thường nhưng có một số thừa nhận để thích hợp trong môi trường tính toán.

Các biểu thức được mô tả bằng cấu trúc sử dụng các toán tử và các ký hiệu sau:  Số nguyên và phân số Một phần mềm thực hiện chính xác các thao tác trên biểu thức toán học phải có khả năng thực hiện chính xác các tính toán số học. Trong các ngôn ngữ lập trình thông thường việc tính toán với số thực dấu phẩy động thường có liên quan đến làm tròn số nên sẽ không phù hợp với hầu hết các hệ thống đại số máy tính. Thay vào đó các hệ thống sử dụng số hữu tỉ để đảm bảo thu được kết quả chính xác.99)/(𝑥 − 1) Mặc dù giá trị của 𝑓 và 𝑔 là gần như nhau với mỗi giá trị của 𝑥 nhưng đặc điểm toán học của hai biểu thức là hoàn toàn khác nhau.Với 𝑥 ≠ 1 thì 𝑓 có thể rút gọn thành (𝑥 + 1) trong khi đó 𝑔 thì không thể rút gọn được.  Số thực Trong ngôn ngữ giả mã thì số thực là một số hữu hạn bao gồm dấu phẩy thập phân và có thể có số mũ của 10 Ví dụ: 467.

Trong toán học một số thực không có dạng hữu tỉ thì gọi là số vô tỉ. Do khó có thể thực hiện các thao tác tính toán biểu tượng với số vô tỉ nên số vô tỉ sẽ được 1 thay bằng các ký hiệu (𝑒, 𝑙𝑛.) hoặc các biểu thức đại số (22 …)  Định danh Trong ngôn ngữ giả mã định danh là một chuỗi các chữ cái tiếng anh, tiếng hy lạp, chữ số và dấu gạch dưới. Định danh được sử dụng trong ngôn ngữ giả mã như là biến lập trình tương ứng với kết quả của một phép tính, như một hàm, một toán tử, tên của thủ tục, ký hiệu toán học hoặc các ký tự đặc biệt.  Toán tử đại số và dấu ngoặc Các toán tử đại số được trình bày trong bảng dưới.

Dấu ngoặc được sử dụng để thay đổi cấu trúc của biểu thức. 2 Toán tử toán học Toán tử trong ngôn ngữ giả mã Cộng, trừ +, − Nhân, chia ∗,/ Lũy thừa ^ Giai thừa ! Bảng 1.1 Các toán tử đại số  Hàm số Trong ngôn ngữ giả mã hàm số dùng để biểu diễn các hàm toán học như (𝑠𝑖𝑛(𝑥), 𝑒𝑥𝑝(𝑥), 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛(𝑥).), các toán tử toán học (𝐸𝑥𝑝𝑎𝑛𝑑(𝑢), 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑢), 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙(𝑢, 𝑥 ).), và các hàm như ( 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥, 𝑦).Trong hệ thống đại số máy tính các hàm toán học được định nghĩa thông qua các hành động của các luật biến đổi trong hệ thống. Hàm dùng để thao tác và phân tích biểu thức toán học được gọi là toán tử toán học. Một dạng quan trọng của hàm là dạng không xác định, trong dạng này biểu thức được ký hiệu (𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥, 𝑦).

Các hàm dạng này không có luật biến đổi, không có thuộc tính mà chỉ có sự phụ thuộc của tên hàm vào biểu thức bên trong dấu ngoặc đơn.  Các toán tử logic và toán tử quan hệ o Các toán tử quan hệ được sử dụng trong ngôn ngữ giả mã là: =, ≠, <, ≤, >, ≥ o Các tán tử logic: 𝑎𝑛𝑑, 𝑜𝑟, 𝑛𝑜𝑡, 𝑡𝑟𝑢𝑒, 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑒  Tập hợp và danh sách o Tập hợp Trong ngôn ngữ giả mã một tập hợp là một tập bao gồm hữu hạn các biểu thức toán học được bao quanh bởi cặp dấu ngoặc ‘{}’ và thỏa mãn hai tính chất sau: 1. Nội dung của một tập hợp không phụ thuộc vào thứ tự của các phần tử trong tập hợp. Các phần tử trong tập hợp phải là duy nhất.