ỨNG DỤNG MÃ NON-BINARY LDPC VÀO HỆ THỐNG MIMO SỬ DỤNG MÃ HÓA STF

Luận văn thạc sĩ về ứng dụng mã Non-Binary LDPC vào hệ thống MIMO-STF, kỹ thuật điện tử. Nghiên cứu cải thiện hiệu suất và kiểm soát lỗi trong truyền thông.

• Tác giả: Nguyễn Mạnh Đức
• Người hướng dẫn: PGS.TS Phạm Hồng Liên
• Trường học: Trường Đại học Bách Khoa
• Chuyên ngành: Kỹ thuật điện tử
• Đề tài: Ứng Dụng Mã Non-Binary LDPC Vào Hệ Thống MIMO Sử Dụng Mã Hóa STF
• Loại tài liệu: Luận văn thạc sĩ
• Năm xuất bản: 2012
• Địa điểm: Tp. Hồ Chí Minh

Tóm tắt

I. Tổng Quan Về Ứng Dụng Mã Non Binary LDPC Trong MIMO STF

Mã kiểm tra chẵn lẻ mật độ thấp (LDPC) do Gallager đề xuất năm 1963, tái xuất hiện năm 1996 nhờ Makay và Neal. Davey và Makay mở rộng sang trường Galois, chứng minh hiệu suất tăng đáng kể. Hiện tượng fading trong thông tin di động làm suy giảm tín hiệu. Kỹ thuật phân tập (diversity) được sử dụng, bao gồm phân tập không gian (MIMO), tần số và thời gian. Các kỹ thuật phân tập này dẫn đến mã hóa không-thời gian (ST), không gian-tần số (SF) và không gian-thời gian-tần số (STF). Luận văn này khảo sát hệ thống kết hợp mã NB-LDPC với MIMO sử dụng mã hóa STF, so sánh hiệu suất có và không sử dụng NB-LDPC.

1.1. Lịch Sử Phát Triển và Ưu Điểm của Mã LDPC Phi Nhị Phân

Mã LDPC nổi bật với khả năng sửa lỗi gần giới hạn Shannon. Việc mở rộng sang trường Galois, tạo thành mã NB-LDPC, được chứng minh là cải thiện hiệu suất so với mã nhị phân. Điều này mở ra hướng nghiên cứu tiềm năng để nâng cao chất lượng các hệ thống truyền thông, giảm thiểu các lỗi xảy ra trong quá trình truyền dẫn tín hiệu. Hiệu suất tốt hơn được ghi nhận ở trường Galois lớn hơn.

1.2. Ứng Dụng Thực Tế của Mã Hóa STF trong Hệ Thống Truyền Thông

Các kỹ thuật mã hóa không gian-thời gian (ST), không gian-tần số (SF), và không gian-thời gian-tần số (STF) là giải pháp hiệu quả để chống lại ảnh hưởng của fading. Việc kết hợp các kỹ thuật này với hệ thống MIMO giúp tăng cường độ tin cậy và hiệu suất của hệ thống truyền thông không dây. Mã hóa STF cung cấp độ lợi đáng kể hơn so với ST và SF riêng lẻ. Môi trường truyền dẫn thực tế được cải thiện đáng kể.

II. Thách Thức và Vấn Đề Kênh Truyền Vô Tuyến Trong MIMO STF

Kênh truyền vô tuyến gặp nhiều thách thức: fading đa đường, hiệu ứng Doppler, suy hao đường truyền, và hiệu ứng bóng râm. Hiệu ứng đa đường gây ra sự giao thoa giữa các tín hiệu đến từ các đường khác nhau. Hiệu ứng Doppler làm thay đổi tần số tín hiệu do chuyển động tương đối giữa thiết bị phát và thu. Các mô hình thống kê của kênh truyền fading (Rayleigh, Ricean) giúp mô tả và dự đoán các ảnh hưởng này. Việc sử dụng FEC (Forward Error Correction) giúp giảm thiểu lỗi truyền dẫn.

2.1. Phân Tích Chi Tiết Các Cơ Chế Lan Truyền Tín Hiệu Vô Tuyến

Tín hiệu vô tuyến lan truyền qua nhiều cơ chế: phản xạ, khúc xạ, tán xạ. Các cơ chế này gây ra các hiện tượng đa đường, làm phức tạp việc thu tín hiệu. Ảnh hưởng này tác động trực tiếp đến việc thiết kế và triển khai các hệ thống truyền thông không dây. Độ tin cậy và hiệu suất của hệ thống sẽ được xem xét và điều chỉnh để phù hợp với môi trường truyền dẫn.

2.2. Tác Động của Fading Đa Đường và Doppler Lên Hiệu Suất MIMO

Fading đa đường và Doppler gây suy giảm đáng kể hiệu suất hệ thống MIMO. Các kỹ thuật phân tập (không gian, tần số, thời gian) được sử dụng để giảm thiểu tác động này. Mã hóa STF là một giải pháp hiệu quả để khai thác lợi thế của phân tập. SNR (Signal-to-Noise Ratio) bị ảnh hưởng đáng kể bởi các hiện tượng này.

III. Phương Pháp Thiết Kế và Giải Mã Mã Non Binary LDPC Tối Ưu

Thiết kế mã NB-LDPC liên quan đến việc chọn trường Galois phù hợp và xây dựng ma trận kiểm tra chẵn lẻ thưa. Giải thuật giải mã Sum-Product Algorithm (SPA) thường được sử dụng để giải mã NB-LDPC. Các biến thể của SPA, như Min-Sum Algorithm, giúp giảm độ phức tạp tính toán. Density Evolution Analysis được sử dụng để phân tích và tối ưu hóa hiệu suất của mã LDPC trong hệ thống truyền dẫn tín hiệu số. Yêu cầu đảm bảo rằng chất lượng tín hiệu được duy trì ở mức cao nhất.

3.1. Lựa Chọn Trường Galois và Xây Dựng Ma Trận Kiểm Tra NB LDPC

Việc lựa chọn trường Galois ảnh hưởng trực tiếp đến hiệu suất của mã NB-LDPC. Ma trận kiểm tra chẵn lẻ cần được thiết kế sao cho đảm bảo tính thưa thớt và khả năng sửa lỗi cao. Mã hóa LDPC phi nhị phân có tính bảo mật cao hơn do độ phức tạp trong việc giải mã.

3.2. So Sánh Các Giải Thuật Giải Mã LDPC SPA Min Sum và Biến Thể

Giải thuật SPA cho hiệu suất tốt nhất, nhưng có độ phức tạp tính toán cao. Min-Sum Algorithm là một lựa chọn thay thế với độ phức tạp thấp hơn, nhưng có thể làm giảm hiệu suất. Các biến thể khác nhau của SPA được nghiên cứu để cân bằng giữa hiệu suất và độ phức tạp. Iterative Decoding được sử dụng để cải thiện hiệu suất giải mã.

3.3. Tối Ưu Hóa Thuật Toán Giải Mã và Phân Tích Mật Độ

Thuật toán giải mã cần được tối ưu hóa để giảm thiểu thời gian và tài nguyên tính toán, đồng thời vẫn duy trì hiệu suất cao. Phân tích mật độ (Density Evolution Analysis) giúp dự đoán hiệu suất của mã LDPC trong các điều kiện kênh truyền khác nhau, đảm bảo chất lượng tín hiệu truyền dẫn. Finite Length Performance của mã cần được xem xét.

IV. Tích Hợp Mã NB LDPC vào Hệ Thống MIMO STF Nghiên Cứu và Đánh Giá

Hệ thống MIMO-STF kết hợp mã hóa NB-LDPC hứa hẹn cải thiện đáng kể hiệu suất truyền thông. Mã NB-LDPC cung cấp khả năng sửa lỗi mạnh mẽ, trong khi MIMO-STF khai thác lợi thế phân tập không gian, tần số và thời gian. Các kết quả mô phỏng cho thấy hệ thống kết hợp này vượt trội so với các hệ thống truyền thống. Việc ứng dụng MIMO kết hợp LDPC được đánh giá là một bước tiến quan trọng trong truyền thông.

4.1. Mô Hình Hóa Hệ Thống MIMO STF Kết Hợp Mã Hóa Non Binary LDPC

Mô hình hệ thống bao gồm các thành phần: bộ mã hóa NB-LDPC, bộ điều chế, bộ mã hóa STF, kênh truyền, bộ giải mã STF, và bộ giải mã NB-LDPC. Các tham số hệ thống cần được lựa chọn và cấu hình một cách cẩn thận để đảm bảo hiệu suất tối ưu. Cần sử dụng các phương pháp điều chế như BPSK, QPSK, 8PSK, 16PSK.

4.2. Đánh Giá Hiệu Suất Hệ Thống BER SNR và Spectral Efficiency

Hiệu suất hệ thống được đánh giá dựa trên các chỉ số: tỷ lệ lỗi bit (BER), tỷ số tín hiệu trên nhiễu (SNR), và hiệu quả sử dụng băng tần (Spectral Efficiency). Các kết quả mô phỏng cho thấy hệ thống kết hợp mã NB-LDPC và MIMO-STF đạt được BER thấp hơn và Spectral Efficiency cao hơn so với các hệ thống truyền thống. Coding Gain cũng được cải thiện.

4.3. Ảnh Hưởng của Kênh Truyền đến Hiệu Suất Hệ Thống MIMO STF

Kênh truyền có ảnh hưởng lớn đến hiệu suất hệ thống MIMO-STF. Các mô hình kênh truyền (AWGN, Rayleigh Fading) được sử dụng để mô phỏng các điều kiện kênh truyền khác nhau. Kết quả cho thấy mã NB-LDPC giúp giảm thiểu tác động của fading và cải thiện độ tin cậy của hệ thống. Cần đánh giá trên các mô hình kênh truyền AWGN Channel và Rayleigh Fading Channel.

V. Ứng Dụng Thực Tiễn và Kết Quả Nghiên Cứu Mã NB LDPC Trong MIMO

Mã NB-LDPC có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các hệ thống truyền thông không dây, bao gồm truyền thông di động, truyền thông vệ tinh, và truyền thông băng rộng. Nghiên cứu cho thấy mã NB-LDPC vượt trội so với các loại mã sửa sai khác (Turbo code, Reed-Solomon code) trong một số ứng dụng nhất định. Việc tối ưu hóa tham số mã giúp đạt hiệu suất cao nhất.

5.1. Ứng Dụng NB LDPC trong Truyền Thông Di Động và Vệ Tinh

Trong truyền thông di động, mã NB-LDPC giúp cải thiện chất lượng dịch vụ và tăng vùng phủ sóng. Trong truyền thông vệ tinh, mã NB-LDPC giúp giảm yêu cầu về công suất phát và tăng độ tin cậy của kết nối. Việc giảm công suất giúp tăng tuổi thọ thiết bị.

5.2. So Sánh NB LDPC với Các Mã Sửa Sai Khác Turbo Reed Solomon

Mã NB-LDPC có khả năng sửa lỗi tốt hơn so với mã Turbo và Reed-Solomon trong một số trường hợp, đặc biệt là khi có nhiễu xung. Tuy nhiên, mỗi loại mã có ưu và nhược điểm riêng, và lựa chọn mã phụ thuộc vào yêu cầu cụ thể của ứng dụng. Độ phức tạp trong giải mã cũng là yếu tố cần xem xét.

5.3. Kết Quả Mô Phỏng về Độ Lặp Kiểu Điều Chế và Anten trong SIMO MISO MIMO

Số lần lặp giải mã ảnh hưởng đến hiệu suất của bộ mã. Hiệu quả của bộ mã NB-LDPC phụ thuộc vào kiểu điều chế. SIMO, MISO, MIMO thể hiện các kết quả mô phỏng khác nhau dựa trên số lượng Anten. Với phân tập theo số đường Fading và phân tập theo số khối OFDM hiệu suất cũng khác nhau, cần thực hiện mô phỏng để có kết quả cụ thể. Cần đánh giá sự thay đổi của BER theo các kiểu trên.

VI. Kết Luận và Hướng Phát Triển Mã Non Binary LDPC MIMO STF

Mã NB-LDPC là một công nghệ hứa hẹn cho các hệ thống truyền thông tương lai. Việc kết hợp mã NB-LDPC với MIMO-STF giúp cải thiện đáng kể hiệu suất và độ tin cậy của hệ thống. Các hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm tối ưu hóa giải thuật giải mã, phát triển các phương pháp thiết kế mã mới, và khám phá các ứng dụng mới. Nghiên cứu về Precoding MIMO cũng rất quan trọng.

6.1. Tóm Tắt Ưu Điểm và Hạn Chế của Mã NB LDPC và Hệ Thống MIMO STF

Ưu điểm: khả năng sửa lỗi mạnh mẽ, hiệu quả sử dụng băng tần cao, khả năng chống fading tốt. Hạn chế: độ phức tạp tính toán cao, yêu cầu phần cứng phức tạp. Cần cân nhắc kỹ lưỡng các yếu tố này khi triển khai hệ thống.

6.2. Hướng Nghiên Cứu Tiếp Theo Tối Ưu Hóa Giải Thuật và Thiết Kế Mã

Tối ưu hóa giải thuật giải mã giúp giảm độ phức tạp tính toán và tiết kiệm năng lượng. Phát triển các phương pháp thiết kế mã mới giúp cải thiện hiệu suất và khả năng linh hoạt của mã. Nên tập trung vào các thuật toán giảm thiểu tối đa sự phức tạp của giải mã và mã hóa.

6.3. Triển Vọng Ứng Dụng Mã NB LDPC và MIMO STF trong Tương Lai

Mã NB-LDPC và MIMO-STF có tiềm năng ứng dụng rộng rãi trong các hệ thống truyền thông 5G và 6G, Internet of Things (IoT), và các ứng dụng truyền thông yêu cầu độ tin cậy cao. Nghiên cứu này giúp mở ra hướng đi mới trong các hệ thống truyền thông hiện đại. Cần xem xét đến dung lượng của hệ thống Capacity of MIMO systems.

Trích đoạn nội dung tài liệu

Đặt vấn đề Chương 2: Kênh truyền vô tuyến Chương 3: Tổng quan về bộ mã NB-LDPC Chương 4: Tổng quan về hệ thống MIMO và các kỹ thuật mã hóa phân tập Chương 5: Mô hình kết hợp bộ mã NB-LDPC và MIMO-STF Chương 6: Kết luận và kiến nghị - -9- HVTH: Nguyễn Mạnh Đức Luận Văn Thạc Sĩ Kỹ Thuật Điện Tử CBHD : PGS. Phạm Hồng Liên TS. Đặng Thành Tín CHƯƠNG 2: KÊNH TRUYỀN VÔ TUYẾN Chất lượng của các hệ thống thông tin phụ thuộc nhiều vào kênh truyền, nơi mà tín hiệu được truyền từ máy phát đến máy thu. Không giống như kênh truyền hữu tuyến là ổn định và có thể dự đoán được, kênh truyền vô tuyến là hoàn toàn ngẫu nhiên và không dễ dàng trong việc phân tích.

Tín hiệu được phát đi, qua kênh truyền vô tuyến, bị cản trở bởi các toà nhà, núi non, cây cối …, bị phản xạ, tán xạ, nhiễu xạ…, các hiện tượng này được gọi chung là fading. Và kết quả là ở máy thu, ta thu được rất nhiều phiên bản khác nhau của tín hiệu phát. Điều này ảnh hưởng đến chất lượng của hệ thống thông tin vô tuyến. Vì vậy để hạn chế ảnh hưởng của kênh truyền vô tuyến và thiết kế hệ thống với các thông số tối ưu, ta phải hiểu được các đặc tính của kênh truyền vô tuyến và mô hình hóa kênh truyền hợp lý.

Ta sẽ đi vào tìm hiểu các cơ chế ảnh hưởng đến sự lan truyền của tín hiệu và các hiện tượng ảnh hưởng đến chất lượng của kênh truyền.1 Các cơ chế lan truyền của tín hiệu Có ba cơ chế chính ảnh hưởng đến sự lan truyền của tín hiệu trong hệ thống di động:  Phản xạ xảy ra khí sóng điện từ va chạm vào một mặt bằng phẳng với kích thước rất lớn so với bước sóng tín hiệu RF.  Nhiễu xạ xảy ra khi đường truyền sóng giữa phía phát và thu bị cản trở bởi một nhóm vật cản có mật độ cao và kích thước lớn so với bước sóng.  Tán xạ xảy ra khi sóng điện từ va chạm vào một mặt phẳng lớn, gồ ghề làm cho năng lượng bị trải ra (tán xạ ) hoặc là phản xạ ra tất cả các hướng.2 Các hiện tượng ảnh hưởng đến chất lượng kênh truyền 2.1 Hiệu ứng đa đường (Multipath) Trong một hệ thống thông tin vô tuyến, các sóng bức xạ điện từ thường không bao giờ được truyền trực tiếp đến anten thu. Điều này xảy ra là do giữa nơi phát và nơi thu luôn tồn tại các vật thể cản trở sự truyền sóng trực tiếp.

Do vậy, sóng nhận được - - 10 - HVTH: Nguyễn Mạnh Đức Luận Văn Thạc Sĩ Kỹ Thuật Điện Tử CBHD : PGS. Phạm Hồng Liên TS. Đặng Thành Tín chính là sự chồng chập của các sóng đến từ hướng khác nhau bởi sự phản xạ, khúc xạ, tán xạ từ các toà nhà, cây cối và các vật thể khác. Hiện tượng này được gọi là sự truyền sóng đa đường (Multipath propagation).

1 Mô hình kênh truyền fading đa đường 2.2 Hiệu ứng Doppler Do sự di chuyển giữa máy phát và máy thu, mỗi sóng mang bị dịch đi một lượng tần số. Sự dịch tần của tín hiệu thu do sự di chuyển tương ứng đó được gọi là hiệu ứng Doppler. Tần số sẽ tăng lên khi máy phát tiến về phía máy thu, và sẽ giảm đi khi máy phát đi ra xa máy thu. Đây gọi là hiệu ứng Doppler.

Hiệu ứng này tỉ lệ với tốc độ của thiết bị di động. Tại một trạm với một tín hiệu đơn âm tần số f c được phát đi và một tín hiệu thu được với duy nhất một sóng tới có góc tới  so với hướng di chuyển của xe như trong hình 2. Khi đó ta có sự thay đổi về pha giữa 2 điểm X và Y là: 2πΔl 2πυΔt ΔΦ   cos θ (2.1) λ λ Lượng dịch tần Doppler của tín hiệu thu được cho bởi công thức: 1 ΔΦ υ fd   cos θ  f m cos θ (2.2) 2π Δt λ - - 11 - HVTH: Nguyễn Mạnh Đức Luận Văn Thạc Sĩ Kỹ Thuật Điện Tử CBHD : PGS. Phạm Hồng Liên TS.

Đặng Thành Tín Trong đó fc, , c là lần lượt là tần số sóng mang, bước sóng sóng mang, vận tốc ánh sáng và dịch Doppler cực đại fm được tính như sau: v f fm  v c  c Hình 2. 2 Hiệu ứng Doppler 2.3 Suy hao trên đường truyền Mô tả sự suy giảm công suất trung bình của tín hiệu khi truyền từ máy phát đến máy thu. Sự giảm công suất do hiện tượng che chắn và suy hao có thể khắc phục bằng các phương pháp điều khiển công suất.4 Hiệu ứng bóng râm (Shadowing) Do ảnh hưởng của các vật cản trở trên đường truyền, ví dụ như các toà nhà cao tầng, các ngọn núi, đồi,… làm cho biên độ tín hiệu bị suy giảm.3 Các mô hình thống kê của kênh truyền fading Phân bố Rayleigh và Rice được sử dụng để mô tả tính chất thống kê thay đổi theo thời gian của tín hiệu fading phẳng. Sau đây ta sẽ xét các phân bố này và đưa ra các đặc tính cơ bản của chúng.

- - 12 - HVTH: Nguyễn Mạnh Đức Luận Văn Thạc Sĩ Kỹ Thuật Điện Tử CBHD : PGS. Phạm Hồng Liên TS. Đặng Thành Tín Hình 2. 3 Hàm mật độ xác suất phân bố Rayleigh và Ricean 2.1 Rayleigh fading Đầu tiên, chúng ta tập trung vào fading phẳng.

Giả sử rằng không có đường truyền thẳng giữa máy phát và thu. Ở một kênh truyền đa đường với I đường, truyền một tín hiệu với tần số sóng mang fc thì tại máy thu sẽ thu được tổng của I đường và thành phần nhiễu Gaussian như sau: I r (t )   ai cos( 2f ct  i )   (t ) (2. 3) i 1 với ai và ϕi là biên độ và pha của thành phần thứ i η(t) là thành phần nhiễu Gaussian. Khai triển công thức (2.

4) i 1 i 1 Thông thường, trong thông tin số, thành phần thứ 1 và thứ 2 của (2.4) thường được I gọi là “đồng pha”và thành phần ” vuông pha ”. Số hạng A   a cos( ) và i 1 i i - - 13 - HVTH: Nguyễn Mạnh Đức Luận Văn Thạc Sĩ Kỹ Thuật Điện Tử CBHD : PGS. Phạm Hồng Liên TS. Đặng Thành Tín I B   ai sin(i ) là tổng của I biến ngẫu nhiên với các đối tượng trong môi trường i 1 là ngẫu nhiên.

Thông thường, với giá trị I lớn thường dùng lý thuyến giới hạn trung tâm để tính toán, các biến ngẫu nhiên A và B là các biến ngẫu nhiên Gaussian độc lập và phân bố đồng nhất (i.d = independent identically distributed). Đường bao của tín hiệu đến là R  A2  B 2. Khi các biến A và B là các phân bố i.d Gaussian ngẫu nhiên phân bố không thì đường bao tuân theo phân bố Rayleigh. Hàm mật độ xác suất (pdf = probability density function) của biến ngẫu nhiên Rayleigh là: r   r2  f R (r )  exp 2 , r0 (2.

5) 2  2  Với σ2 là phương sai của các biến ngẫu nhiên A và B. Công suất thu có hàm mật độ xác suất như sau: 1   r2  f ( x)  exp 2 , x0 (2. 6) 2 2  2  Các tín hiệu thu được ở (2.4) biễu diễn cho các tín hiệu tương tự tại đầu vào của máy thu. Chúng ta thường xử lý các tín hiệu số băng gốc sau khi cho qua các bộ lọc và bộ lấy mẫu.

Ký hiệu một tín hiệu băng gốc thời gian rời rạc là rt. Thực tế, rt là tín hiệu ngõ ra sau khi đưa qua các bộ lọc sau khi đã được giải điều chế với tín hiệu đầu vào là r(t). Tương tự như vậy, st và ηt là các tín hiệu thời gian rời rạc của tín hiệu phát s(t) và nhiễu η(t). Chú ý rằng, trong các tín hiệu ở trên, tín hiệu phát được hiểu ngầm, chúng ta có thể dùng công thức sau để biểu diễn mối quan hệ giữa các tín hiệu băng gốc: rt  st   t (2.

7) Với α là biến Gaussian ngẫu nhiên phức. Nói cách khác, phần thực và ảo của hệ số suy giảm α là biến ngẫu nhiên Gaussian chuẩn. Biên độ của hệ số suy giảm là  là biến ngẫu nhiên Rayleigh. Mối quan hệ - - 14 - HVTH: Nguyễn Mạnh Đức Luận Văn Thạc Sĩ Kỹ Thuật Điện Tử CBHD : PGS.

Phạm Hồng Liên TS. Đặng Thành Tín giữa ngõ vào và ra trong công thức (2.7) được gọi là mô hình kênh truyền fading. Hệ số α được gọi là độ lợi đường và thành phần ηt là nhiễu Gaussian.2 Ricean fading Trong một kênh truyền fading phẳng, nếu trong nhiều đường ngẫu nhiên tồn tại một thành phần chiếm ưu thế cố định, các biến ngẫu nhiên Gaussian A và B không còn là các phân bố chuẩn. Điều này xảy ra khi tồn tại đường truyền thẳng giữa máy phát và máy thu.

Trong trường hợp này, phân bố của biến ngẫu nhiên đường bao R tuân theo phân bố Ricean với hàm mật độ xác suất như sau: r   (r 2  D 2 )   Dr  f R ( r )  2 exp  I 0  2 , r  0, D  0 (2. 8)   2 2    Với D là giá trị biên độ đỉnh của thành phần chiếm ưu thế, I0 là giá trị của hàm Bessel loại 1 và cấp 0. Như đã đề cập, Phân bố Ricean sẽ hội tụ về phân bố Rayleigh khi D  0. Tương tự như phân bố Rayleigh, mối quan hệ giữa các tín hiệu rời rạc ngõ vào và ra tuân theo công thức (2.

Điểm khác nhau cơ bản là phần thực và ảo của độ lợi đường α là các biến ngẫu nhiên Gaussian không phân bố chuẩn. - - 15 - HVTH: Nguyễn Mạnh Đức Luận Văn Thạc Sĩ Kỹ Thuật Điện Tử CBHD : PGS. Phạm Hồng Liên TS. Đặng Thành Tín CHƯƠNG 3: TỔNG QUAN VỀ BỘ MÃ NB – LDPC 3.1 Lý thuyết trường hữu hạn Galois Trường với một số hữu hạn các phần tử được gọi là trường hữu hạn, với định nghĩa: Định nghĩa 1 : Một trường hữu hạn {F ,,} gồm có một tập hữu hạn F, và hai phép toán + và  thỏa mãn các tính chất sau: 1.

Số phần tử trong một trường Galois có thể là một số nguyên tố hoặc lũy thừa của một số nguyên tố. Chẵng hạn GF (7 ) , GF (8)  GF (23 ) và GF (28 ) là các trường Galois, còn GF (6) là hoàn toàn sai khi nói nó là một trường Galois. Từ đây trở đi ta ký hiệu p là số nguyên tố.