Chương 1: Bài toán giá tr ị ban đầu. Chương này sẽ giới thiệu t ổng quát chung về bài toán giá trị ban đầu và trình bày ý tưởng của bài toán, nêu các phương pháp giải bài toán giá trị ban đầu đó. Chương 2: Ứ ng d ụng bài toán giá trị ban đầ u vào quá trình d ự báo lũ lụ t và các th ảm họa thiên nhiên. Chương này sẽ giới thiệ u tổ ng quan v ề d ự báo, trình bày khái ni ệ m và mô hình d ự báo, phương pháp phân tích định tính và định lượ ng củ a dự báo.
Trình bày m ột s ố bài toán giá tr ị ban đầu dự báo lũ lụt và các 6 thảm họ a thiên nhiên khác. Sau đó đưa ra các phương pháp và tìm lờ i gi ải cho bài toán. Dự a vào các bài toán giá tr ị ban đầu đó để ứng dụng dự báo lũ lụ t và các thảm h ọa thiên nhiên. Áp d ụng phần m ềm Mathematica để giải bài toán dự báo lũ lụt và các thảm họa thiên nhiên.
Chương này tôi xin trình bày khái quát về phần mềm Mathematica và áp d ụng phần mềm Mathematica để giải bài toán giá trị ban đầu. Luận văn này được hoàn thành tại Viện Toán ứng dụng và Tin h ọc, trường Đại học Bách khoa Hà N ội, dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Hùng Sơn. Mặc dù đã rất cố gắng, song do nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên lu ận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong nh ận được sự góp ý và xây d ựng c ủa các thầy cô và các bạn.
Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 15 tháng 9 năm 2018 7 CHƢƠNG 1. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ BAN ĐẦU 1. Bài toán tổng quát. Xét bài toán giá trị ban đầu: là điểm thuộc không gian là biến thời gian và với vế phải L trong (1.1) là một toán tử vi phân tuyến tính cấp 1.
Ý tƣởng giải bài toán Bài toán (1.2) tương đương với phương trình vi– tích phân sau: (1.3) Tức nghiệm của (1.2) là điểm bất động của toán tử: Do nhận xét trên ta có thể áp dụng nguyên lý ánh xạ co (cụ thể hơn là Nguyên lý điểm bất động Banach) để giải bài toán (1. Nguyên lý điểm bất động Banach: Trong không gian định chuẩn đủ, mọi ánh xạ đều có một điểm bất động duy nhất. Nhiệm vụ chính khi giải bài toán giá trị ban đầu là : Xây dựng một không gian định chuẩn đủ (Không gian Banach) sao cho: 1) Nghiệm của bài toán (1.2) (và tương đương là nghiệm của (1.3)) thuộc không gian đó. 2) Toán tử T nói trên ánh xạ mọi điểm của không gian vào chính nó 3) T là ánh xạ co.
Một số nhận xét: 1) Có thể dùng nhiều định lý điểm bất động để giải Bài toán (1. Chẳng hạn nếu dùng nguyên lý Schauder thì điều kiện ràng buộc yếu hơn nhưng nghiệm sẽ không duy nhất. 8 2) Trong luận án này ta sẽ dùng phương pháp của Walter để giải Bài toán (1.2) Để dùng phương pháp Walter ta cần một số khái niệm và kiến thức bổ sung sau: Cặp Toán tử liên kết Giả sử là toán tử vi phân elliptic cho trước. Toán tử vi phân được g ọi là liên kết với toán tử vi phân nếu kéo theo với mọi đó ta cũng gọi (l, ) là cặp toán tử liên kết (Associated pair of operators), và thuộc không gian liên kết với cặp (l, ) Định lý về tồn tại và duy nhất: Nếu thuộc không gian liên k ết với cặp ( và là một toán tử elliptic thì tồn tại sao cho bài toán có nghiệm duy nhất , .
Phƣơng pháp giải Để giải bài toán giá trị ban đầu (1.2) ta cần một số khái niệ m và kiế n thức toán học được trình bày dưới đây. Không gian Metric.1 Cho một tập hợp X và một ánh xạ từ tích Descartes X x X vào tập hợp số thực dương R+ thỏa mãn các tiên đề sau đây: 1) ; . Ánh xạ gọi là metric trên , số gọi là khoảng cách giữa hai phần. Tập hợp đươc trang bị một Metric được gọi là một không gian Metric.
Khi đó các phần tử của gọi là các điểm của không gian metric.Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là các tiên đề metric. Các tính chất cơ bản của không gian metric. Dựa vào định nghĩa, dễ dàng chứng minh các tính chất đơn giản sau đây: 9 (bất đẳng thức tứ giác) (bất đẳng thức tam giác). Các ví dụ về không gian metric Ví dụ 1.1 Một tập M bất kỳ của đường th ẳng , với khoảng cách thông thường (độ dài nối x và y) là một không gian metric.2 Tổng quát hơn, trong không gian k chiều có thể xác định khoảng cách giữa hai điểm và Là không gian metric, vì rõ ràng hai tiên đề 1), 2) được thỏa mãn, còn tiên đề 3) thì chứng minh dễ dàng như sau.
Với mọi số thực ,, ta có hằng đẳng thức: Từ đó suy ra bất đẳng thức Cauchy Giả sử , Đặt = , = , ta được: Chứng tỏ bất đẳng thức tam giác được nghiệm đúng.Trong tập các hàm số thực liên tục trên một đoạn [a,b], nếu lấy bằng: khoảng cách giữa hai phần tử thì các tiên đề của metric cũng được thỏa mãn. Tập các hàm số thực liên tục trên Không gian [a,b], với metric ấy, sẽ kí hiệu bằng thường được gọi tắt là không gian . Trong tập vừa nói trên cũng có thể lấy khoảng cách bằng Dễ thấy rằng đó cũng là một metric. Tập hợp các hàm số liên tục trên [a,b], sẽ được kí hiệu .
Cho hai metric trên cùng tập X nào đấy. Hai metric gọi là tương đương, nếu tồn tại hai số dương , sao cho Ví dụ 1. Trên tập cho hai metric Với mọi thuộc vào Hiển nhiên, . Vì v ậy, hai metric tương đương.Cho hai không gian metric X và Y (metric trên X kí hiệu , metric trên Y kí hiệu bằng ).
M ột ánh xạ từ X vào Y gọi là liên tục tại bằng điểm nếu ( Cũng như trong giải tích cổ điển, điều này tương đương với: cho mọi dãy 11 Ánh xạ gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm. Lân cận, tập mở và tập đóng. Cho không gian metric . Ta gọi là lân cận của điểm trong không gian hình cầu mở tâm , bán kính , tức là tập hợp mọi điểm y X sao cho d( y, x ) < r.
Cho không gian metric tập , điểm . Điểm gọi là điể m trong của tâp , nếu tồn tại một lân cận của điểm bao hàm trong tập Điểm gọi là điểm ngoài của tập , nếu tồn tại một lân cận c ủa điểm không chứa điểm nào của tập Điểm gọi là điểm biên của tập , n ếu mọi lân c ận của điểm đều chứa những điểm thuộc tập , và những điểm không thu ộc tập Tập tất cả những điể m biên của tập ký hiệu là Điểm gọi là điểm giới hạn của tập nếu mọi lân c ận của điểm đều ch ứa ít nhất một điể m của tập khác . Tập tất cả các giới hạn của tậ p gọi là tập dẫn suất và ký hiệu là . Cho không gian metric M=(X,d) và tập A X.
Tập A gọi là tập mở trong không gian M, n ếu m ọi điểm thuộc A đều là điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A. Tập A gọi là tập đóng trong không gian M, nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếu điểm x A, thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộc tập A. Không gian metric đủ X gọi là Định nghĩa 1. Cho không gian metric Dãy điểm( dãy cơ bản trong M nếu Không gian metric gọi là không gian đầy, nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này hội tụ.
Không gian là không gian đầy. Thật vậy, giả sử là dãy cơ bản tùy ý 12 trong không gian Eukleides.