Tính Đều Đặn Phi Tuyến Của Các Phép Biến Hình Tập Hợp Trên Một Tập Hợp Cố Định Và Ứng Dụng

Chuyên khảo phân tích Nonlinear metric regularity of set valued mappings on a fixed set and applications, đánh giá các khía cạnh quan trọng, đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo.

• Tác giả: Dao Ngoc Han
• Người hướng dẫn: Assoc. Huynh Van Ngai
• Trường học: Quy Nhon University
• Chuyên ngành: Mathematical Analysis
• Đề tài: Tính Đều Đặn Phi Tuyến Từ Các Phép Biến Hình Tập Hợp Và Ứng Dụng
• Loại tài liệu: doctoral thesis
• Năm xuất bản: 2021
• Địa điểm: Binh Dinh

Mục lục chi tiết

• Declaration
• Acknowledgments
• Contents
• Table of Notations
• 1. Introduction
• 2. Preliminaries
• 2.1. Some related classical results
• 2.2. Basic tools from variational analysis and nonsmooth analysis
• 2.2.1. Ekeland’s variational principles
• 2.2.2. Subdifferentials and some calculus rules
• 2.2.3. Coderivatives of set-valued mappings
• 2.2.4. Strong slope and some error bound results
• 2.3. Metric regularity and equivalent properties
• 2.3.1. Local metric regularity
• 2.3.2. Nonlocal metric regularity
• 2.3.3. Nonlinear metric regularity
• 2.3.4. Metric regularity criteria in metric spaces
• 2.3.5. The infinitesimal criteria for metric regularity in metric spaces
• 3. Metric regularity on a fixed set: definitions and characterizations
• 3.1. Definitions and equivalence of the nonlinear metric regularity concepts
• 3.2. Characterizations of nonlinear metric regularity via slope
• 3.3. Characterizations of nonlinear metric regularity via coderivative
• 4. Perturbation stability of Milyutin-type regularity and applications
• 4.1. Perturbation stability of Milyutin-type regularity
• 4.2. Application to fixed double-point problems
• 5. Star metric regularity
• 5.1. Definitions and characterizations of nonlinear star metric regularity
• 5.2. Stability of Milyutin-type regularity under perturbation of star regularity
• 6. Stability of generalized equations governed by composite multifunctions
• 6.1. Notation and some related concepts
• 6.2. Regularity of parametrized epigraphical and composition set-valued mappings
• 6.3. Stability of implicit set-valued mappings
• 6.3.1. Stability of implicit set-valued mappings associated to the epigraphical set-valued mapping
• 6.3.2. Stability of implicit set-valued mappings associated to a composite mapping
• General conclusions
• List of Author’s Related Publications
• References
• Index

Tóm tắt

I. Giới Thiệu Tính Đều Đặn Phi Tuyến và Phép Biến Hình Tập Hợp

Trong toán học, nhiều bài toán dẫn đến việc hình thành các phương trình và tìm cách giải chúng. Câu hỏi cơ bản nhất là liệu phương trình có nghiệm hay không. Nếu có, làm thế nào để xác định nghiệm đó? Và tập nghiệm thay đổi như thế nào khi dữ liệu đầu vào bị nhiễu? Một công cụ mạnh mẽ để xem xét sự tồn tại của nghiệm là tính đều đặn. Đối với phương trình f(x) = y, với f : X → Y là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian metric, điều kiện đảm bảo sự tồn tại của nghiệm là tính toàn ánh của f. Trong trường hợp f là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian Banach và khả vi chặt tại x̄, bài toán về tính đều đặn của f được quy về tính toàn ánh của phép xấp xỉ tuyến tính ∇f(x̄). Kết quả này có được từ định lý Lyusternik–Graves, một trong những kết quả chính của giải tích phi tuyến.

1.1. Giải Tích Phi Tuyến và Ứng Dụng trong Phương Trình

Trên thực tế, nhiều bài toán thực tế quan tâm đến các phương trình phức tạp hơn. Ví dụ, các hệ bất đẳng thức và đẳng thức, bất đẳng thức biến phân, hoặc các hệ điều kiện tối ưu đều có thể được biểu diễn bằng dạng y ∈ F(x), trong đó F : X ⇒ Y là một phép biến hình tập hợp giữa các không gian metric. Các bao hàm thức này được gọi là phương trình tổng quát hoặc hệ biến phân. Chúng bao quát nhiều bài toán và hiện tượng trong toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Các ví dụ điển hình là các phương trình, bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, hệ động lực, điều khiển tối ưu, các điều kiện cần/đủ cho các bài toán tối ưu và điều khiển, lý thuyết điểm bất động và điểm trùng nhau.

1.2. Vai Trò Của Tính Đều Đặn Trong Bài Toán Tối Ưu

Một vấn đề trung tâm của giải tích biến phân là nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập nghiệm F⁻¹(y) của các phương trình tổng quát khi y và/hoặc F bị nhiễu, trong đó ánh xạ F có thể thiếu tính trơn tru: các hàm không khả vi hoặc phép biến hình tập hợp, v.v. Khi đó, việc xấp xỉ F bằng các đối tượng đơn giản, như các toán tử tuyến tính, là gần như không thể. Điều kiện toàn ánh của ánh xạ đạo hàm tại một điểm trong trường hợp này là không hữu ích. Điều này có thể được thay thế bằng cách ước lượng khoảng cách từ một điểm x nào đó gần một nghiệm x̄ cho trước đến tập nghiệm F⁻¹(y) (đại lượng chưa biết) của phương trình tổng quát thông qua khoảng cách d(y, F(x)) từ một điểm y gần ȳ ∈ F(x̄) đến ảnh của F tại x.

II. Thách Thức và Định Nghĩa Tính Đều Đặn Metric Phi Tuyến

Trong các ứng dụng, khoảng cách d(y, F(x)) có thể tính toán hoặc ước lượng được, trong khi việc tìm tập nghiệm chính xác có thể phức tạp hơn nhiều. Khi đó, F : X ⇒ Y thỏa mãn ước lượng trên được gọi là tính đều đặn metric địa phương quanh (x̄, ȳ) nếu tồn tại các số dương τ, δ, ρ sao cho d(x, F⁻¹(y)) ≤ τ d(y, F(x)), với mọi x ∈ B(x̄, δ) và y ∈ B(ȳ, ρ). Ở đây, F⁻¹ ký hiệu ánh xạ ngược F⁻¹(y) = {u ∈ X : y ∈ F(u)}. Tính chất này còn được gọi là tính đều đặn metric địa phương tuyến tính vì đại lượng d(x, F⁻¹(y)) được ước lượng thông qua một hàm tuyến tính của khoảng cách d(y, F(x)) với mọi (x, y) gần một điểm (x̄, ȳ) ∈ Graph F cho trước.

2.1. Mở Rộng Khái Niệm Tính Đều Đặn Metric Bậc Cao

Hằng số τ đo lường sự khác biệt giữa hai đại lượng d(x, F⁻¹(y)) và d(y, F(x)). Infimum của các τ như vậy được gọi là module của tính đều đặn metric của F tại (x̄, ȳ) và được ký hiệu là reg F(x̄, ȳ). Trong những thập kỷ gần đây, tính chất này đã trở thành một khái niệm quan trọng trong giải tích biến phân và đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học ứng dụng. Gần đây, một số tác giả đã mở rộng tính chất này cho trường hợp bậc cao, ví dụ, với một số dương α cho trước, ta có ước lượng d(x, F⁻¹(y)) ≤ τ d(y, F(x))α, với mọi (x, y) ∈ B(x̄, δ) × B(ȳ, ρ).

2.2. Trường Hợp Tính Đều Đặn Phi Tuyến Tổng Quát

Hoặc tổng quát hơn, đến trường hợp phi tuyến: d(x, F⁻¹(y)) ≤ τ µ(d(y, F(x))), với mọi (x, y) ∈ B(x̄, δ) × B(ȳ, ρ), trong đó µ : R+ → R+ là một hàm số. Các mô hình này có nhiều ứng dụng trong tối ưu hóa và giải tích biến phân như phân tích sự hội tụ của các thuật toán tối ưu, tính toán nón tiếp tuyến bậc cao, các chặn sai số bậc cao, hoặc thiết lập các điều kiện tối ưu, v.v. Hầu hết các công trình này chỉ tập trung vào phiên bản địa phương của tính chất này. Ưu điểm của tính chất địa phương là ta có thể tự do thay đổi lân cận của một điểm cho trước mà không làm ảnh hưởng đến tính chất. Tuy nhiên, các phiên bản địa phương này không đáp ứng được nhiều yêu cầu trong các bài toán toán học, ví dụ, bài toán điểm bất động, phương pháp Newton. Các bài toán này yêu cầu tập làm việc phải cố định.

III. Phương Pháp Tiếp Cận Tính Đều Đặn Trên Tập Cố Định

Một số tác giả đã tìm cách mở rộng tính chất này sang các phiên bản không địa phương. Người ta thấy rằng tính đều đặn không địa phương có thể bắt đầu từ nguyên lý ánh xạ co Banach nổi tiếng. Việc mở rộng nguyên lý này trên quả cầu đóng trong không gian metric đầy đủ đã thiết lập mối liên hệ giữa tính đều đặn không địa phương và điểm bất động của các ánh xạ. Điều này lần đầu tiên được Arutyunov quan sát. Các công trình gần đây Ioffe đã xây dựng một mô hình tính đều đặn không địa phương trên một tập cố định dưới dạng một hình hộp U × V, một tập con của không gian tích X × Y, tức là, d(x, F⁻¹(y)) ≤ τ d(y, F(x)), ∀(x, y) ∈ U × V và 0 < τ d(y, F(x)) < γ(x), trong đó γ : X → R+ dương trên U.

3.1. Mô Hình Tính Đều Đặn Không Địa Phương Tổng Quát

Mục đích đầu tiên trong luận án này là đề xuất một số mô hình mới về tính đều đặn phi tuyến không địa phương cho các phép biến hình tập hợp và nghiên cứu chúng. Cụ thể, chúng tôi xem xét khái niệm tổng quát về tính đều đặn metric trên một tập con cố định W của không gian tích X × Y, đối với một hàm module µ : R+ → R+ , cũng như một hàm chuẩn γ : X → R+. Việc xem xét tính đều đặn metric trên một tập con W vượt ra ngoài các tập hộp thông thường U × V không chỉ là một sự tổng quát hóa tự nhiên mà còn đáp ứng một số ứng dụng thực tế mà tính đều đặn metric trên các tập hộp bị vi phạm.

3.2. Ứng Dụng Của Tính Đều Đặn Hướng Trong Tối Ưu

Ví dụ, nó bao gồm các khái niệm về tính đều đặn hướng, được sử dụng trong lý thuyết về các điều kiện tối ưu và trong phân tích độ nhạy, và khái niệm về tính đều đặn quỹ đạo liên quan đến các bài toán điểm bất động. Chúng tôi thiết lập một số đặc trưng cho các mô hình tính đều đặn này dựa trên các công cụ của giải tích biến phân như độ dốc địa phương, độ dốc không địa phương và đạo hàm mã. Chúng tôi cũng chỉ ra rằng trường hợp đặc biệt của các mô hình không địa phương này - tính đều đặn Milyutin sở hữu một sự ổn định phù hợp dưới nhiễu Lipschitz nhỏ.

IV. Ứng Dụng Tính Đều Đặn Milyutin và Bài Toán Điểm Bất Động

Các kết quả được thiết lập ở đây là mới ngay cả đối với trường hợp tập hộp. Cách tiếp cận của chúng tôi lấy cảm hứng từ các công trình trước đó cho tính đều đặn địa phương, dựa trên việc áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland (EVP) cho hợp của hàm module và bao nửa liên tục dưới của hàm khoảng cách liên kết với đa ánh đang xem xét. Các cách tiếp cận dựa trên (EVP) cho các bài toán liên quan đến tính đều đặn metric của các ánh xạ và các chủ đề liên quan hiện nay là tiêu chuẩn. Các hàm được sử dụng trong công trình này để áp dụng (EVP), khác với, được định nghĩa đơn thuần trên không gian biến. Điều này cho phép chúng ta tránh giả định về tính đầy đủ của không gian ảnh hoặc đồ thị của đa ánh.

4.1. Liên Hệ Giữa Tính Đều Đặn và Điểm Bất Động

Vấn đề ở đây là chúng ta đang xử lý tính đều đặn trên một tập cố định, được kiểm soát bởi một hàm chuẩn, cách cố định các tham số để áp dụng (EVP) phải được thay đổi khác với các trường hợp địa phương. Cùng với việc mở rộng các khái niệm về tính đều đặn, các bài toán liên quan đến chúng cũng được xem xét. Trong, dựa trên nguyên lý ánh xạ co, Ioffe đã giải thích mối liên hệ giữa các thuộc tính tính đều đặn và các điểm bất động cũng như ngụ ý kết quả của định lý Milyutin. Ngoài ra, Arutyunov đã thu được hai hệ quả của định lý trùng khớp là nguyên lý ánh xạ co và định lý Milyutin.

4.2. Quan Hệ Giữa Tính Đều Đặn Không Địa Phương và Tập Điểm Bất Động

Những ý tưởng này giúp chúng ta thấy mối quan hệ khép kín giữa tính đều đặn không địa phương của các phép biến hình tập hợp và tập điểm bất động của nó trên không gian metric. Như vậy, tính kế thừa của các mô hình và đặc trưng của tính đều đặn metric đã thúc đẩy nghiên cứu của chúng tôi về hai vấn đề liên quan: nhiễu metric trên một tập cố định và ứng dụng của nó cho các bài toán điểm bất động.

V. Ổn Định Nhiễu của Tính Đều Đặn Milyutin và Ứng Dụng

Các kết quả gần đây về tính ổn định của tính đều đặn metric hoặc các loại tính đều đặn metric của các phép biến hình tập hợp dưới các phép biến hình đơn trị hoặc đa trị cũng như ước lượng module của ánh xạ bị nhiễu đã được nhiều tác giả quan tâm và nghiên cứu. Về mặt định lượng, nếu một ánh xạ đều đặn bị nhiễu bởi một nhiễu Lipschitz với hằng số Lipschitz nhỏ hơn tốc độ toàn ánh của ánh xạ không bị nhiễu thì tính chất tính đều đặn không thể bị ảnh hưởng (xem, Ioffe). Thật vậy, theo, nếu một ánh xạ đơn trị F từ một không gian metric đầy đủ vào không gian Banach là Milyutin đều đặn với sur F ≥ r và g là Lipschitz với lip g ≤ *, *F + g* là Milyutin **đều đặn** với *sur(F + g) ≥ r − .

5.1. Ứng Dụng Định Lý Milyutin Trong Bối Cảnh Địa Phương

Các phiên bản địa phương của định lý đạt được cho phép biến hình tập hợp F trong với không gian đích là không gian Banach. Sau đó, Ioffe đã đưa ra định lý nhiễu Milyutin trong bối cảnh địa phương cho hợp của một phép biến hình tập hợp Milyutin đều đặn và một phép biến hình đơn trị Lipschitz không yêu cầu cấu trúc tuyến tính trong không gian đích.

5.2. Nhiễu Hợp và Tính Ổn Định của Tính Đều Đặn Milyutin

Mục đích thứ hai của luận án là thiết lập các phiên bản metric không địa phương của định lý Milyutin dưới nhiễu hợp, vì vậy nhiễu cộng tính bởi ánh xạ Lipschitz với một hằng số đủ nhỏ cũng sở hữu tính ổn định của tính đều đặn Milyutin. Và sau đó, các kết quả này được áp dụng để nghiên cứu sự tồn tại của một điểm kép cố định của một cặp phép biến hình tập hợp đều đặn (F₁, F₂) giữa các không gian Banach X, Y: một từ X đến Y và một từ Y đến X.

VI. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Tính Đều Đặn Phi Tuyến

Một kết quả tương tự về định lý điểm kép cố định cũng đã được thiết lập trong các công trình gần đây của Ioffe, tuy nhiên, hai cách tiếp cận hoàn toàn khác nhau và các điều kiện bắt đầu để ước lượng khoảng cách đến tập điểm kép cố định cũng khác nhau. Trong Ioffe, kết quả của định lý Milyutin có thể được suy ra từ định lý điểm kép cố định; trong khi đó, chứng minh của chúng tôi về định lý điểm kép cố định thu được bằng cách sử dụng định lý nhiễu Milyutin đã được thiết lập trước đó.

6.1. Tính Đều Đặn Sao Khái Niệm Suy Yếu của Tính Đều Đặn

Hơn nữa, việc lựa chọn các điều kiện bắt đầu khác với các điều kiện trong có thể hữu ích hơn trong một số ứng dụng. Một điểm khác đáng chú ý ở đây là việc mở rộng các khái niệm tính đều đặn địa phương sang phiên bản tập cố định cũng dẫn đến một khái niệm về tính đều đặn yếu được gọi là tính đều đặn sao. Phiên bản này nghiêm ngặt yếu hơn phiên bản ban đầu, và do đó việc sử dụng sao đều đặn làm giả định về nguyên tắc sẽ có được kết quả tốt hơn.

6.2. Nghiên Cứu Tính Đều Đặn Tham Số và Ứng Dụng

Cùng với tính đều đặn metric của một đa ánh, việc nghiên cứu các điều kiện đảm bảo tính đều đặn metric của các đa ánh tham số, tức là, các định lý đa ánh ẩn, đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán phân tích độ nhạy đối với các tham số. Liên quan đến vấn đề này, có rất nhiều công trình của các tác giả: Ioffe, Dontchev, Rockafellar, Dmitruk, Kruger, Durea, Strugariu,. Các kết quả về tính đều đặn metric đã được mở rộng hơn nữa cho trường hợp tổng của một phép biến hình tập hợp và một ánh xạ đơn trị...

Nội dung chính

Tổng quan luận án

Tính đều đặn metric (metric regularity) là một trong những khái niệm trung tâm của giải tích biến phân và giải tích không trơn, đóng vai trò nền tảng trong việc khảo sát sự tồn tại nghiệm cũng như tính ổn định của nghiệm đối với các phương trình thông thường $f(x) = y$ và phương trình suy rộng (generalized equations) dạng chứa chấp $y \in F(x)$, trong đó $F: X \Rightarrow Y$ là một đa ánh xạ (set-valued mapping) giữa các không gian metric hoặc không gian Banach. Các bài toán thực tế như hệ bất đẳng thức, bất đẳng thức biến phân, hệ điều kiện tối ưu, bài toán điểm bất động và hệ động lực đều có thể quy về việc giải các phương trình suy rộng do S. M. Robinson khởi xướng từ những năm 1970.

Trong nhiều thập kỷ, các nghiên cứu chủ yếu tập trung vào tính đều đặn metric cục bộ (local metric regularity). Ưu điểm của tính chất cục bộ là cho phép thu hẹp tùy ý lân cận của điểm đang xét mà không làm mất đi tính chất đều đặn. Tuy nhiên, tính chất cục bộ không đáp ứng được yêu cầu của nhiều bài toán toán học quan trọng đòi hỏi miền làm việc phải là một tập cố định, tiêu biểu như bài toán điểm bất động hay phân tích sự hội tụ của phương pháp Newton. Gần đây, một số tác giả đã mở rộng tính đều đặn sang dạng phi địa phương (nonlocal metric regularity), tiêu biểu là mô hình của A. D. Ioffe thiết lập trên tập dạng hộp $U \times V \subset X \times Y$ với hàm chuẩn cự (gauge function) $\gamma: X \rightarrow \mathbb{R}_+$. Tuy vậy, việc giới hạn trong tập dạng hộp $U \times V$ không bao quát được nhiều lớp bài toán thực tế, chẳng hạn như tính đều đặn metric theo hướng (directional metric regularity) trong lý thuyết tối ưu và phân tích độ nhạy, hoặc tính đều đặn quỹ đạo (orbit regularity) trong bài toán điểm bất động.

Xuất phát từ khoảng trống nghiên cứu trên, luận án tiến sĩ toán học của nghiên cứu sinh Đào Ngọc Hân tập trung giải quyết 4 mục tiêu nghiên cứu cụ thể:

1. Đề xuất các mô hình tính đều đặn phi tuyến phi địa phương tổng quát cho đa ánh xạ trên tập con cố định $W \subset X \times Y$ tùy ý đối với hàm môđun $\mu: \mathbb{R}+ \rightarrow \mathbb{R}+$ và hàm chuẩn cự $\gamma: X \rightarrow \mathbb{R}_+ \cup {+\infty}$; thiết lập các tiêu chuẩn định lượng và định tính đặc trưng hóa tính đều đặn thông qua dốc địa phương (local slope), dốc phi địa phương (nonlocal slope) và đối vi phân (coderivatives).
2. Thiết lập các định lý ổn định nhiễu loạn phi địa phương kiểu Milyutin (Milyutin-type regularity) đối với đa ánh xạ trên tập cố định dưới tác động của các nhiễu loạn dạng hợp và dạng cộng với ánh xạ đơn trị Lipschitz; áp dụng các kết quả này vào việc chứng minh sự tồn tại và ước lượng khoảng cách nghiệm cho bài toán điểm đôi bất động (fixed double-point problem) của cặp đa ánh xạ $(F_1, F_2)$ giữa hai không gian Banach.
3. Xây dựng và khảo sát các mô hình tính đều đặn metric hình sao (star metric regularity) phi tuyến trên tập con cố định $W \subset X \times Y$; thiết lập các đặc trưng vi phân vô cùng bé và phân tích tính ổn định của tính đều đặn kiểu Milyutin khi đa ánh xạ đều đặn hình sao bị nhiễu loạn bởi ánh xạ Lipschitz.
4. Nghiên cứu tính nửa đều đặn (semiregularity) và tính đều đặn metric của các đa ánh xạ biểu đồ trên (epigraphical set-valued mappings) và đa ánh xạ hợp có chứa hoặc không chứa tham số; từ đó suy ra các tính chất ổn định của tập nghiệm phương trình suy rộng (đa ánh xạ tập ẩn) bao gồm tính dừng (calmness), tính tựa Lipschitz (pseudo-Lipschitzness / Aubin property) và tính đều đặn metric Robinson.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận án:

• Đối tượng nghiên cứu: Các đa ánh xạ giữa các không gian metric đầy đủ, không gian Banach, không gian Asplund; các phương trình suy rộng; các bài toán điểm đôi bất động; các hàm bao nửa liên tục dưới của hàm khoảng cách.
• Phạm vi nghiên cứu: Thuộc chuyên ngành Giải tích toán học (mã số 9 46 01 02), tập trung vào khuôn khổ lý thuyết của giải tích biến phân, giải tích không trơn và lý thuyết chặn sai số (error bounds). Luận án được hoàn thành tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn vào tháng 12 năm 2021.

Tổng quan tài liệu và vị trí của luận án

Nền tảng của lý thuyết tính đều đặn xuất phát từ các kết quả kinh điển trong giải tích hàm và giải tích phi tuyến. Đối với ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian Banach, Định lý ánh xạ mở Banach chỉ ra sự tương đương giữa tính toàn ánh, tính mở và tính đều đặn metric tuyến tính. Đối với ánh xạ đơn trị phi tuyến khả vi Fréchet, Định lý Lyusternik–Graves (được trình bày chi tiết trong Dontchev & Rockafellar [26]) khử bài toán đều đặn về tính toàn ánh của đạo hàm tuyến tính $\nabla f(\bar{x})$.

Khi mở rộng sang các phương trình suy rộng $y \in F(x)$ với $F$ là đa ánh xạ hoặc hàm không khả vi (Robinson [79, 80]), việc xấp xỉ tuyến tính không còn khả thi. Thay vào đó, khoảng cách từ một điểm $x$ gần nghiệm $\bar{x}$ đến tập nghiệm $F^{-1}(y)$ được đánh giá qua khoảng cách từ $y$ đến ảnh $F(x)$, dẫn đến định nghĩa tính đều đặn metric cục bộ tuyến tính $d(x, F^{-1}(y)) \le \tau d(y, F(x))$. Tính chất này và các dạng tương đương (tính mở tuyến tính, tính chất Aubin/giả Lipschitz) đã được khảo sát sâu rộng bởi nhiều tác giả như Mordukhovich [61, 62, 63], Rockafellar & Wets [81], Borwein & Zhu [16], Ekeland [37], Ioffe [55]. Tiếp đó, các mô hình bậc cao $d(x, F^{-1}(y)) \le \tau d(y, F(x))^\alpha$ và phi tuyến $d(x, F^{-1}(y)) \le \tau \mu(d(y, F(x)))$ được phát triển bởi Gfrerer [43], Frankowska & Quicampoix [40], Mordukhovich & Li [60], Penot [77], Kruger [58], Zheng & Zhu [90], Huỳnh Văn Ngãi, Nguyễn Hữu Tròn & Michel Théra [71].

Về hướng nghiên cứu phi địa phương, mối liên hệ giữa tính đều đặn phi địa phương và nguyên lý ánh xạ co Banach trên hình cầu đóng trong không gian metric đầy đủ được phát hiện và phát triển bởi Arutyunov [5], Dmitruk, Milyutin & Osmolovskii [24], Ioffe [50, 51, 55]. Trong các công trình [50, 55], Ioffe đề xuất mô hình đều đặn phi địa phương trên tập dạng hộp $U \times V \subset X \times Y$ có dạng: $$d(x, F^{-1}(y)) \le \tau d(y, F(x)), \quad \forall (x, y) \in U \times V \text{ thỏa } 0 < \tau d(y, F(x)) < \gamma(x)$$

Về tính ổn định nhiễu loạn và phương trình suy rộng có tham số, các định lý nhiễu loạn kiểu Milyutin cho tổng $F + g$ hoặc hợp $F \circ g$ với $g$ là ánh xạ Lipschitz được nghiên cứu bởi Dmitruk, Milyutin & Osmolovskii [24], Dontchev, Lewis & Rockafellar [26, 27], Dmitruk & Kruger [25], Aragón Artacho và đồng nghiệp [2], Ioffe [47, 50, 55], Durea & Strugariu [30, 31, 32], Zheng & Ng [89], Durea, Huỳnh Văn Ngãi, Nguyễn Hữu Tròn & Strugariu [36].

Khoảng trống học thuật mà luận án lựa chọn giải quyết bao gồm:

• Mở rộng tính đều đặn phi tuyến từ miền dạng hộp $U \times V$ sang tập con cố định $W \subset X \times Y$ tổng quát, đáp ứng các bài toán đều đặn theo hướng và đều đặn quỹ đạo.
• Thay đổi cách tiếp cận áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland (EVP): khác với Ioffe [50, 55] áp dụng EVP trên không gian tích đòi hỏi tính đầy của không gian ảnh hoặc đồ thị của đa ánh xạ, luận án xây dựng hàm mục tiêu xác định thuần túy trên không gian biến $X$, qua đó loại bỏ các giả thiết về tính đầy của không gian ảnh và đồ thị.
• Thiết lập các định lý nhiễu loạn phi địa phương dạng hợp và áp dụng chứng minh định lý điểm đôi bất động với các điều kiện xuất phát trực tiếp, khác biệt với cách tiếp cận suy diễn ngược của Ioffe [49, 50].
• Khảo sát mô hình tính đều đặn metric hình sao phi tuyến và phân tích định lượng tính ổn định của các hệ phương trình suy rộng đa ánh xạ hợp có tham số.

Cơ sở lý thuyết và phương pháp nghiên cứu

Luận án sử dụng hệ thống khái niệm và công cụ giải tích biến phân hiện đại:

• Nguyên lý biến phân Ekeland (Ekeland's Variational Principle - EVP): Áp dụng cho các hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới trên không gian metric đầy đủ nhằm tìm điểm cực tiểu xấp xỉ dưới các nhiễu loạn metric nhỏ.
• Giải tích không trơn trên không gian Asplund và không gian Banach:
  • Vi phân dưới Fréchet $\hat{\partial} f(x)$ và vi phân dưới Fréchet $\varepsilon$-subdifferential $\hat{\partial}_\varepsilon f(x)$.
  • Vi phân dưới giới hạn Mordukhovich $\partial f(\bar{x}) := \text{Limsup}{x \xrightarrow{f} \bar{x}, \varepsilon \downarrow 0} \hat{\partial}\varepsilon f(x)$.
  • Nón pháp tuyến Fréchet $\hat{N}(x; \Omega)$ và nón pháp tuyến Mordukhovich $N(\bar{x}; \Omega)$.
  • Đối vi phân Fréchet $\hat{D}^* F(\bar{x}, \bar{y})$ và đối vi phân Mordukhovich $D^* F(\bar{x}, \bar{y})$ của đa ánh xạ $F$.
  • Các quy tắc giải tích vi phân dưới: quy tắc cộng mờ (fuzzy sum rule) trên không gian Asplund của Fabian [38] và Mordukhovich [61], quy tắc đạo hàm hàm hợp (chain rule) cho hàm bao nửa liên tục dưới.
• Ánh xạ đối ngẫu và ánh xạ $\mu$-đối ngẫu: Ánh xạ đối ngẫu $J_\varphi: X \Rightarrow X^$ (Beurling & Livingston, Asplund), ánh xạ $\mu$-đối ngẫu $J_\mu(x) = {\mu'( |x| ) x^ : x^* \in J(x)}$ và mở rộng chuẩn hóa $J_\mu^\varepsilon(x) = J_\mu(x) + \varepsilon B_{X^*}$ (kế thừa từ ý tưởng của Li & Mordukhovich [60]).
• Khái niệm dốc mạnh (strong slope) và lý thuyết chặn sai số:
  • Dốc địa phương $|\nabla f|(x) = \limsup_{u \rightarrow x, u \neq x} \frac{f(x) - f(u)}{d(x, u)}$.
  • Dốc phi địa phương $|\Gamma f|(x) = \sup_{u \neq x} \frac{[f(x) - f(u)]_+}{d(x, u)}$ (De Giorgi, Marino & Tosques [23]).
  • Các tiêu chuẩn chặn sai số toàn cục của Azé & Corvellec [10] và chặn sai số có tham số của Bednarczuk & Kruger [12].

Phương pháp nghiên cứu trong luận án là phương pháp toán học thuần túy: suy diễn logic hình thức, giải tích định lượng biến phân và kỹ thuật đánh giá vi phân không trơn. Nguồn tư liệu nghiên cứu dựa trên các chuyên khảo và công trình đã công bố quốc tế của Ekeland [37], Mordukhovich [61, 63], Ioffe [50, 51, 55], Rockafellar & Wets [81], Borwein & Zhu [16], Huỳnh Văn Ngãi và Michel Théra [67, 68, 71].

Nội dung chính theo từng chương

Chapter 1: Preliminaries

Chương 1 hệ thống hóa các kiến thức chuẩn bị, các kết quả cổ điển và công cụ nền tảng của giải tích biến phân và giải tích không trơn:

• Trình bày Định lý ánh xạ mở Banach, hằng số Banach $C(A) = \sup{r \ge 0 : r B_Y \subset A(B_X)}$ và chứng minh tính tương đương giữa tính toàn ánh, tính mở và tính đều đặn metric của toán tử tuyến tính liên tục; trình bày Định lý Lyusternik–Graves cho ánh xạ đơn trị khả vi Fréchet.
• Trình bày Nguyên lý biến phân Ekeland ở dạng tiêu chuẩn và dạng phụ thuộc tham số $\lambda > 0$.
• Trình bày các định nghĩa và tính chất của vi phân dưới Fréchet, vi phân dưới Mordukhovich, nón pháp tuyến, đối vi phân Fréchet và Mordukhovich, quy tắc cộng mờ trên không gian Asplund và quy tắc dây chuyền.
• Trình bày khái niệm ánh xạ đối ngẫu $J_\varphi$, ánh xạ $\mu$-đối ngẫu $J_\mu$, mở rộng chuẩn hóa $J_\mu^\varepsilon$, dốc địa phương $|\nabla f|(x)$, dốc phi địa phương $|\Gamma f|(x)$ và các định lý chặn sai số của Azé & Corvellec cùng định lý chặn sai số tham số của Bednarczuk & Kruger.
• Trình bày các khái niệm đều đặn metric cục bộ, phi địa phương, phi tuyến cấp $k$ và tính tương đương giữa ba tính chất: bao phủ/mở, đều đặn metric và giả Lipschitz (Aubin property); giới thiệu hàm bao nửa liên tục dưới $\phi_y(x) = \liminf_{u \rightarrow x} d(y, F(u))$, hàm chuẩn cự Milyutin $m(x) = d(x, X \setminus U)$ và tiêu chuẩn dốc cấp $k$ của Ioffe.

Ký hiệu khái niệm	Công thức định nghĩa toán học	Ý nghĩa giải tích
$\text{reg} F(\bar{x} \mid \bar{y})$	$\inf {K > 0 : d(x, F^{-1}(y)) \le K d(y, F(x))}$	Môđun đều đặn metric cục bộ tại $(\bar{x}, \bar{y})$
$\text{sur} F(\bar{x} \mid \bar{y})$	$\sup {r > 0 : B(y, rt) \cap B(\bar{y}, \varepsilon) \subset F(B(x, t))}$	Môđun mở / bao phủ tuyến tính cục bộ
$\text{lip} F(\bar{x} \mid \bar{y})$	$\inf {K > 0 : d(y, F(x)) \le K d(x, u), y \in F(u)}$	Môđun Lipschitz / Aubin của đa ánh xạ
$	\nabla f	(x)$
$	\Gamma f	(x)$
$J_\mu(x)$	${\mu'( |x| ) x^* : x^* \in J(x)}, \quad x \neq 0$	Ánh xạ $\mu$-đối ngẫu phục vụ giải tích không trơn

Chapter 2: Metric regularity on a fixed set: definitions and characterizations

Chương 2 thiết lập các mô hình tính đều đặn phi tuyến trên tập con cố định $W \subset X \times Y$ bất kỳ:

• Đưa ra định nghĩa tính đều đặn $(\mu, \gamma)$-metric của đa ánh xạ $F$ trên tập $W$: tồn tại hằng số $\kappa > 0$ và $r > 0$ sao cho: $$d(x, F^{-1}(y)) \le \kappa \mu(d(y, F(x))), \quad \forall (x, y) \in W \text{ thỏa } 0 < r \mu(d(y, F(x))) < \gamma(x)$$
• Chứng minh tính tương đương giữa ba khái niệm trên tập mở $W \subset X \times Y$: tính $(\mu^{-1}, \gamma)$-mở trên $W$ với hằng số $\kappa$, tính $(\mu, \gamma)$-đều đặn metric trên $W$ với hằng số $\kappa^{-1}$, và tính $(\mu, \gamma)$-Hölder của $F^{-1}$ trên $W^{-1}$ với hằng số $\kappa^{-1}$.
• Thiết lập các tiêu chuẩn đặc trưng hóa tính đều đặn $(\mu, \gamma)$-metric thông qua dốc địa phương $|\nabla \phi_y|$ và dốc phi địa phương $|\Gamma \phi_y|$ của hàm bao nửa liên tục dưới $\phi_y(x)$ trên không gian metric đầy đủ. Kỹ thuật chứng minh dựa trên việc áp dụng EVP trực tiếp cho hàm hợp của môđun $\mu$ và hàm bao khoảng cách $\phi_y(x)$ xác định thuần túy trên không gian biến $X$.
• Thiết lập các điều kiện đủ vô cùng bé cho tính đều đặn phi tuyến thông qua đối vi phân Fréchet $\hat{D}^* F$ và đối vi phân Mordukhovich $D^* F$ trên không gian Asplund bằng cách sử dụng ánh xạ $\mu$-đối ngẫu $J_\mu$ và mở rộng chuẩn hóa $J_\mu^\varepsilon$.

Chapter 3: Perturbation stability of Milyutin-type regularity and applications

Chương 3 tập trung vào tính ổn định của tính đều đặn kiểu Milyutin dưới tác động của các nhiễu loạn và ứng dụng:

• Thiết lập định lý ổn định nhiễu loạn phi địa phương kiểu Milyutin trên tập cố định đối với đa ánh xạ hợp $F \circ g$ và tổng $F + g$, trong đó $F$ là đa ánh xạ đều đặn Milyutin và $g$ là ánh xạ đơn trị Lipschitz có hằng số Lipschitz bé hơn tốc độ bao phủ của $F$. Kết quả này không đòi hỏi cấu trúc tuyến tính trên không gian ảnh.
• Cung cấp công thức đánh giá định lượng tường minh cho môđun đều đặn và tốc độ bao phủ của đa ánh xạ sau khi bị nhiễu loạn.
• Ứng dụng các định lý ổn định nhiễu loạn Milyutin để nghiên cứu bài toán điểm đôi bất động (fixed double-point problem) đối với cặp đa ánh xạ $F_1: X \Rightarrow Y$ và $F_2: Y \Rightarrow X$ trên các không gian Banach. Thiết lập định lý tồn tại và chặn khoảng cách đến tập điểm đôi bất động ${ (x, y) \in X \times Y : y \in F_1(x), x \in F_2(y) }$ với các điều kiện xuất phát độc lập, mở rộng các kết quả trước đó của Ioffe [49, 50].

Chapter 4: Star metric regularity

Chương 4 giới thiệu và khảo sát lớp tính chất đều đặn yếu hơn:

• Đưa ra định nghĩa tính đều đặn metric hình sao $(\mu, \gamma)$-star metric regularity trên tập con cố định $W \subset X \times Y$. Vì tính chất hình sao yếu hơn tính đều đặn metric ban đầu nên việc sử dụng nó làm giả thiết giúp mở rộng phạm vi áp dụng của các định lý.
• Thiết lập các đặc trưng hóa giải tích vô cùng bé cho tính đều đặn hình sao phi tuyến thông qua dốc mạnh và đối vi phân.
• Chứng minh tính ổn định của tính đều đặn kiểu Milyutin khi đa ánh xạ đều đặn hình sao bị nhiễu loạn bởi một hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz phù hợp.

Chapter 5: Stability of generalized equations governed by composite multifunctions

Chương 5 phân tích tính ổn định của nghiệm các phương trình suy rộng có cấu trúc phức hợp:

• Thiết lập các điều kiện bảo đảm tính nửa đều đặn (semiregularity) và tính đều đặn metric của các đa ánh xạ biểu đồ trên tham số $E_H$ và đa ánh xạ hợp.
• Nghiên cứu tính ổn định định lượng của đa ánh xạ tập ẩn (implicit set-valued mappings) $S_{E_H}$ và $S_H$ liên kết với phương trình suy rộng khi tham số $p$ thay đổi trong không gian metric.
• Thiết lập các định lý xác lập tính dừng (calmness), tính tựa Lipschitz (pseudo-Lipschitzness / Aubin property / Lipschitz-likeness) và tính đều đặn metric Robinson đối với các đa ánh xạ tập nghiệm tương ứng.

Kết quả và những đóng góp mới

Luận án tự xác định các đóng góp học thuật mới về mặt lý thuyết giải tích biến phân:

1. Mở rộng khung lý thuyết tính đều đặn metric phi tuyến từ các lân cận cục bộ và các tập dạng hộp $U \times V$ sang tập con cố định $W \subset X \times Y$ tùy ý; chứng minh tính tương đương giữa tính mở, tính đều đặn metric và tính Hölder của ánh xạ ngược trong khuôn khổ tổng quát này.
2. Đổi mới phương pháp luận khi áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland (EVP): áp dụng EVP cho các hàm xác định thuần túy trên không gian biến $X$, giúp loại bỏ hoàn toàn giả thiết về tính đầy của không gian ảnh hoặc tính đầy của đồ thị đa ánh xạ vốn bắt buộc trong các công trình của A. D. Ioffe.
3. Thiết lập hệ thống các tiêu chuẩn đặc trưng hóa định lượng và vi phân vô cùng bé cho tính đều đặn phi tuyến và tính đều đặn hình sao thông qua dốc địa phương, dốc phi địa phương, vi phân dưới Fréchet/Mordukhovich và đối vi phân kết hợp với ánh xạ $\mu$-đối ngẫu.
4. Mở rộng Định lý nhiễu loạn Milyutin sang bối cảnh phi địa phương cho đa ánh xạ hợp và áp dụng chứng minh thành công định lý tồn tại điểm đôi bất động với các điều kiện xuất phát mới.
5. Cung cấp các điều kiện đầy đủ cho tính dừng, tính tựa Lipschitz và tính đều đặn Robinson của các đa ánh xạ ẩn sinh bởi đa ánh xạ biểu đồ trên và đa ánh xạ hợp có tham số.

Hạn chế và hướng nghiên cứu tiếp

Hạn chế của luận án gắn liền với phạm vi không gian và cấu trúc toán học được lựa chọn:

• Các kết quả giải tích đối vi phân và vi phân dưới chủ yếu được thiết lập trên không gian Asplund và không gian Banach nhằm tận dụng các quy tắc cộng mờ; chưa mở rộng trên các lớp không gian giải tích tổng quát hơn (như không gian Fréchet vô hạn chiều phi Banach).
• Các định lý ổn định nhiễu loạn yêu cầu giả thiết Lipschitz đối với ánh xạ đơn trị; chưa mở rộng hoàn toàn cho các lớp nhiễu loạn phi Lipschitz hoặc đa ánh xạ tùy ý không có tính chất Lipschitz.

Hướng nghiên cứu tiếp theo được gợi mở từ phạm vi đề tài:

• Nghiên cứu mở rộng các tiêu chuẩn đều đặn metric trên tập cố định cho các lớp bài toán tối ưu hóa đa mục tiêu và bài toán cân bằng cân nhẫn.
• Phát triển các thuật toán số dạng Newton hoặc thuật toán lặp điểm bất động khai thác các đánh giá chặn sai số phi địa phương trên tập cố định.

Giá trị tham khảo

Luận án có giá trị tham khảo chuyên môn sâu đối với:

• Nghiên cứu sinh, học viên cao học và giảng viên chuyên ngành Toán giải tích, Giải tích biến phân, Tối ưu hóa và Lý thuyết điều khiển.
• Các phần đáng tham khảo chi tiết:
  • Kỹ thuật áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland trên không gian biến và đánh giá hàm bao khoảng cách $\phi_y(x)$ ở Chương 2.
  • Phương pháp xử lý nhiễu loạn Milyutin và ứng dụng giải bài toán điểm đôi bất động ở Chương 3.
  • Khung phân tích tính ổn định của hệ phương trình suy rộng có tham số thông qua đa ánh xạ biểu đồ trên ở Chương 5.

Câu hỏi thường gặp

1. Khái niệm tính đều đặn $(\mu, \gamma)$-metric trên tập cố định $W$ được định nghĩa như thế nào?

Đa ánh xạ $F: X \Rightarrow Y$ được gọi là $(\mu, \gamma)$-đều đặn metric trên tập $W \subset X \times Y$ với hằng số $\kappa > 0$ nếu tồn tại $r > 0$ sao cho: $$d(x, F^{-1}(y)) \le \kappa \mu(d(y, F(x)))$$ nghiệm đúng với mọi cặp $(x, y) \in W$ thỏa mãn điều kiện chuẩn cự $0 < r \mu(d(y, F(x))) < \gamma(x)$, trong đó $\mu$ là hàm môđun tăng ngặt và $\gamma$ là hàm chuẩn cự dương.

2. Vì sao luận án mở rộng nghiên cứu từ tập dạng hộp $U \times V$ sang tập con $W$ bất kỳ?

Việc mở rộng sang tập $W \subset X \times Y$ tùy ý giúp lý thuyết bao quát được các lớp bài toán thực tế mà ở đó tính đều đặn trên tập hộp bị vi phạm, tiêu biểu là tính đều đặn metric theo hướng (directional metric regularity) trong lý thuyết điều kiện tối ưu và phân tích độ nhạy, cùng với tính đều đặn quỹ đạo (orbit regularity) trong bài toán điểm bất động.

3. Kỹ thuật áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland trong luận án có điểm gì khác so với công trình của A. D. Ioffe?

Trong các công trình của Ioffe [50, 55], EVP được áp dụng cho các hàm xác định trên không gian tích $X \times Y$, do đó đòi hỏi tính đầy của không gian ảnh hoặc tính đầy của đồ thị đa ánh xạ. Luận án áp dụng EVP cho hàm hợp giữa hàm môđun và hàm bao nửa liên tục dưới $\phi_y(x)$ xác định thuần túy trên không gian biến $X$, qua đó loại bỏ các yêu cầu về tính đầy của không gian đích và đồ thị.

4. Ứng dụng chính của định lý ổn định nhiễu loạn kiểu Milyutin trong Chương 3 là gì?

Định lý ổn định nhiễu loạn Milyutin được áp dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm và thiết lập chặn khoảng cách sai số cho bài toán điểm đôi bất động (fixed double-point problem) của cặp đa ánh xạ $F_1: X \Rightarrow Y$ và $F_2: Y \Rightarrow X$ trên không gian Banach, tiếp cận trực tiếp từ định lý nhiễu loạn thay vì suy diễn ngược như các nghiên cứu trước.

5. Những tính chất ổn định nào của đa ánh xạ tập ẩn được xác lập trong Chương 5?

Chương 5 xác lập ba tính chất ổn định cơ bản của đa ánh xạ tập nghiệm (đa ánh xạ tập ẩn) sinh bởi phương trình suy rộng có cấu trúc biểu đồ trên và đa ánh xạ hợp có tham số, gồm: tính dừng (calmness), tính tựa Lipschitz (pseudo-Lipschitzness / Aubin property) và tính đều đặn metric Robinson.

Kết luận

Luận án của Đào Ngọc Hân đã xây dựng một khung lý thuyết hoàn chỉnh về tính đều đặn phi tuyến của đa ánh xạ trên tập con cố định tổng quát trong không gian metric và không gian Banach. Bằng việc cải tiến kỹ thuật áp dụng Nguyên lý biến phân Ekeland và sử dụng các công cụ giải tích không trơn như dốc mạnh, đối vi phân Fréchet và Mordukhovich, tác giả đã thiết lập các tiêu chuẩn đặc trưng hóa định lượng, các định lý ổn định nhiễu loạn Milyutin và tính đều đặn hình sao. Các kết quả lý thuyết được áp dụng trực tiếp để giải quyết bài toán điểm đôi bất động và phân tích tính ổn định của tập nghiệm các hệ phương trình suy rộng phức hợp có tham số.