I. Giới Thiệu Tính Đều Đặn Phi Tuyến và Phép Biến Hình Tập Hợp
Trong toán học, nhiều bài toán dẫn đến việc hình thành các phương trình và tìm cách giải chúng. Câu hỏi cơ bản nhất là liệu phương trình có nghiệm hay không. Nếu có, làm thế nào để xác định nghiệm đó? Và tập nghiệm thay đổi như thế nào khi dữ liệu đầu vào bị nhiễu? Một công cụ mạnh mẽ để xem xét sự tồn tại của nghiệm là tính đều đặn. Đối với phương trình f(x) = y, với f : X → Y là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian metric, điều kiện đảm bảo sự tồn tại của nghiệm là tính toàn ánh của f. Trong trường hợp f là một ánh xạ đơn trị giữa các không gian Banach và khả vi chặt tại x̄, bài toán về tính đều đặn của f được quy về tính toàn ánh của phép xấp xỉ tuyến tính ∇f(x̄). Kết quả này có được từ định lý Lyusternik–Graves, một trong những kết quả chính của giải tích phi tuyến.
1.1. Giải Tích Phi Tuyến và Ứng Dụng trong Phương Trình
Trên thực tế, nhiều bài toán thực tế quan tâm đến các phương trình phức tạp hơn. Ví dụ, các hệ bất đẳng thức và đẳng thức, bất đẳng thức biến phân, hoặc các hệ điều kiện tối ưu đều có thể được biểu diễn bằng dạng y ∈ F(x), trong đó F : X ⇒ Y là một phép biến hình tập hợp giữa các không gian metric. Các bao hàm thức này được gọi là phương trình tổng quát hoặc hệ biến phân. Chúng bao quát nhiều bài toán và hiện tượng trong toán học và các lĩnh vực khoa học khác. Các ví dụ điển hình là các phương trình, bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, hệ động lực, điều khiển tối ưu, các điều kiện cần/đủ cho các bài toán tối ưu và điều khiển, lý thuyết điểm bất động và điểm trùng nhau.
1.2. Vai Trò Của Tính Đều Đặn Trong Bài Toán Tối Ưu
Một vấn đề trung tâm của giải tích biến phân là nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập nghiệm F⁻¹(y) của các phương trình tổng quát khi y và/hoặc F bị nhiễu, trong đó ánh xạ F có thể thiếu tính trơn tru: các hàm không khả vi hoặc phép biến hình tập hợp, v.v. Khi đó, việc xấp xỉ F bằng các đối tượng đơn giản, như các toán tử tuyến tính, là gần như không thể. Điều kiện toàn ánh của ánh xạ đạo hàm tại một điểm trong trường hợp này là không hữu ích. Điều này có thể được thay thế bằng cách ước lượng khoảng cách từ một điểm x nào đó gần một nghiệm x̄ cho trước đến tập nghiệm F⁻¹(y) (đại lượng chưa biết) của phương trình tổng quát thông qua khoảng cách d(y, F(x)) từ một điểm y gần ȳ ∈ F(x̄) đến ảnh của F tại x.
II. Thách Thức và Định Nghĩa Tính Đều Đặn Metric Phi Tuyến
Trong các ứng dụng, khoảng cách d(y, F(x)) có thể tính toán hoặc ước lượng được, trong khi việc tìm tập nghiệm chính xác có thể phức tạp hơn nhiều. Khi đó, F : X ⇒ Y thỏa mãn ước lượng trên được gọi là tính đều đặn metric địa phương quanh (x̄, ȳ) nếu tồn tại các số dương τ, δ, ρ sao cho d(x, F⁻¹(y)) ≤ τ d(y, F(x)), với mọi x ∈ B(x̄, δ) và y ∈ B(ȳ, ρ). Ở đây, F⁻¹ ký hiệu ánh xạ ngược F⁻¹(y) = {u ∈ X : y ∈ F(u)}. Tính chất này còn được gọi là tính đều đặn metric địa phương tuyến tính vì đại lượng d(x, F⁻¹(y)) được ước lượng thông qua một hàm tuyến tính của khoảng cách d(y, F(x)) với mọi (x, y) gần một điểm (x̄, ȳ) ∈ Graph F cho trước.
2.1. Mở Rộng Khái Niệm Tính Đều Đặn Metric Bậc Cao
Hằng số τ đo lường sự khác biệt giữa hai đại lượng d(x, F⁻¹(y)) và d(y, F(x)). Infimum của các τ như vậy được gọi là module của tính đều đặn metric của F tại (x̄, ȳ) và được ký hiệu là reg F(x̄, ȳ). Trong những thập kỷ gần đây, tính chất này đã trở thành một khái niệm quan trọng trong giải tích biến phân và đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của toán học ứng dụng. Gần đây, một số tác giả đã mở rộng tính chất này cho trường hợp bậc cao, ví dụ, với một số dương α cho trước, ta có ước lượng d(x, F⁻¹(y)) ≤ τ d(y, F(x))α, với mọi (x, y) ∈ B(x̄, δ) × B(ȳ, ρ).
2.2. Trường Hợp Tính Đều Đặn Phi Tuyến Tổng Quát
Hoặc tổng quát hơn, đến trường hợp phi tuyến: d(x, F⁻¹(y)) ≤ τ µ(d(y, F(x))), với mọi (x, y) ∈ B(x̄, δ) × B(ȳ, ρ), trong đó µ : R+ → R+ là một hàm số. Các mô hình này có nhiều ứng dụng trong tối ưu hóa và giải tích biến phân như phân tích sự hội tụ của các thuật toán tối ưu, tính toán nón tiếp tuyến bậc cao, các chặn sai số bậc cao, hoặc thiết lập các điều kiện tối ưu, v.v. Hầu hết các công trình này chỉ tập trung vào phiên bản địa phương của tính chất này. Ưu điểm của tính chất địa phương là ta có thể tự do thay đổi lân cận của một điểm cho trước mà không làm ảnh hưởng đến tính chất. Tuy nhiên, các phiên bản địa phương này không đáp ứng được nhiều yêu cầu trong các bài toán toán học, ví dụ, bài toán điểm bất động, phương pháp Newton. Các bài toán này yêu cầu tập làm việc phải cố định.
III. Phương Pháp Tiếp Cận Tính Đều Đặn Trên Tập Cố Định
Một số tác giả đã tìm cách mở rộng tính chất này sang các phiên bản không địa phương. Người ta thấy rằng tính đều đặn không địa phương có thể bắt đầu từ nguyên lý ánh xạ co Banach nổi tiếng. Việc mở rộng nguyên lý này trên quả cầu đóng trong không gian metric đầy đủ đã thiết lập mối liên hệ giữa tính đều đặn không địa phương và điểm bất động của các ánh xạ. Điều này lần đầu tiên được Arutyunov quan sát. Các công trình gần đây Ioffe đã xây dựng một mô hình tính đều đặn không địa phương trên một tập cố định dưới dạng một hình hộp U × V, một tập con của không gian tích X × Y, tức là, d(x, F⁻¹(y)) ≤ τ d(y, F(x)), ∀(x, y) ∈ U × V và 0 < τ d(y, F(x)) < γ(x), trong đó γ : X → R+ dương trên U.
3.1. Mô Hình Tính Đều Đặn Không Địa Phương Tổng Quát
Mục đích đầu tiên trong luận án này là đề xuất một số mô hình mới về tính đều đặn phi tuyến không địa phương cho các phép biến hình tập hợp và nghiên cứu chúng. Cụ thể, chúng tôi xem xét khái niệm tổng quát về tính đều đặn metric trên một tập con cố định W của không gian tích X × Y, đối với một hàm module µ : R+ → R+ , cũng như một hàm chuẩn γ : X → R+. Việc xem xét tính đều đặn metric trên một tập con W vượt ra ngoài các tập hộp thông thường U × V không chỉ là một sự tổng quát hóa tự nhiên mà còn đáp ứng một số ứng dụng thực tế mà tính đều đặn metric trên các tập hộp bị vi phạm.
3.2. Ứng Dụng Của Tính Đều Đặn Hướng Trong Tối Ưu
Ví dụ, nó bao gồm các khái niệm về tính đều đặn hướng, được sử dụng trong lý thuyết về các điều kiện tối ưu và trong phân tích độ nhạy, và khái niệm về tính đều đặn quỹ đạo liên quan đến các bài toán điểm bất động. Chúng tôi thiết lập một số đặc trưng cho các mô hình tính đều đặn này dựa trên các công cụ của giải tích biến phân như độ dốc địa phương, độ dốc không địa phương và đạo hàm mã. Chúng tôi cũng chỉ ra rằng trường hợp đặc biệt của các mô hình không địa phương này - tính đều đặn Milyutin sở hữu một sự ổn định phù hợp dưới nhiễu Lipschitz nhỏ.
IV. Ứng Dụng Tính Đều Đặn Milyutin và Bài Toán Điểm Bất Động
Các kết quả được thiết lập ở đây là mới ngay cả đối với trường hợp tập hộp. Cách tiếp cận của chúng tôi lấy cảm hứng từ các công trình trước đó cho tính đều đặn địa phương, dựa trên việc áp dụng nguyên lý biến phân Ekeland (EVP) cho hợp của hàm module và bao nửa liên tục dưới của hàm khoảng cách liên kết với đa ánh đang xem xét. Các cách tiếp cận dựa trên (EVP) cho các bài toán liên quan đến tính đều đặn metric của các ánh xạ và các chủ đề liên quan hiện nay là tiêu chuẩn. Các hàm được sử dụng trong công trình này để áp dụng (EVP), khác với, được định nghĩa đơn thuần trên không gian biến. Điều này cho phép chúng ta tránh giả định về tính đầy đủ của không gian ảnh hoặc đồ thị của đa ánh.
4.1. Liên Hệ Giữa Tính Đều Đặn và Điểm Bất Động
Vấn đề ở đây là chúng ta đang xử lý tính đều đặn trên một tập cố định, được kiểm soát bởi một hàm chuẩn, cách cố định các tham số để áp dụng (EVP) phải được thay đổi khác với các trường hợp địa phương. Cùng với việc mở rộng các khái niệm về tính đều đặn, các bài toán liên quan đến chúng cũng được xem xét. Trong, dựa trên nguyên lý ánh xạ co, Ioffe đã giải thích mối liên hệ giữa các thuộc tính tính đều đặn và các điểm bất động cũng như ngụ ý kết quả của định lý Milyutin. Ngoài ra, Arutyunov đã thu được hai hệ quả của định lý trùng khớp là nguyên lý ánh xạ co và định lý Milyutin.
4.2. Quan Hệ Giữa Tính Đều Đặn Không Địa Phương và Tập Điểm Bất Động
Những ý tưởng này giúp chúng ta thấy mối quan hệ khép kín giữa tính đều đặn không địa phương của các phép biến hình tập hợp và tập điểm bất động của nó trên không gian metric. Như vậy, tính kế thừa của các mô hình và đặc trưng của tính đều đặn metric đã thúc đẩy nghiên cứu của chúng tôi về hai vấn đề liên quan: nhiễu metric trên một tập cố định và ứng dụng của nó cho các bài toán điểm bất động.
V. Ổn Định Nhiễu của Tính Đều Đặn Milyutin và Ứng Dụng
Các kết quả gần đây về tính ổn định của tính đều đặn metric hoặc các loại tính đều đặn metric của các phép biến hình tập hợp dưới các phép biến hình đơn trị hoặc đa trị cũng như ước lượng module của ánh xạ bị nhiễu đã được nhiều tác giả quan tâm và nghiên cứu. Về mặt định lượng, nếu một ánh xạ đều đặn bị nhiễu bởi một nhiễu Lipschitz với hằng số Lipschitz nhỏ hơn tốc độ toàn ánh của ánh xạ không bị nhiễu thì tính chất tính đều đặn không thể bị ảnh hưởng (xem, Ioffe). Thật vậy, theo, nếu một ánh xạ đơn trị F từ một không gian metric đầy đủ vào không gian Banach là Milyutin đều đặn với sur F ≥ r và g là Lipschitz với lip g ≤ *, *F + g* là Milyutin **đều đặn** với *sur(F + g) ≥ r − .
5.1. Ứng Dụng Định Lý Milyutin Trong Bối Cảnh Địa Phương
Các phiên bản địa phương của định lý đạt được cho phép biến hình tập hợp F trong với không gian đích là không gian Banach. Sau đó, Ioffe đã đưa ra định lý nhiễu Milyutin trong bối cảnh địa phương cho hợp của một phép biến hình tập hợp Milyutin đều đặn và một phép biến hình đơn trị Lipschitz không yêu cầu cấu trúc tuyến tính trong không gian đích.
5.2. Nhiễu Hợp và Tính Ổn Định của Tính Đều Đặn Milyutin
Mục đích thứ hai của luận án là thiết lập các phiên bản metric không địa phương của định lý Milyutin dưới nhiễu hợp, vì vậy nhiễu cộng tính bởi ánh xạ Lipschitz với một hằng số đủ nhỏ cũng sở hữu tính ổn định của tính đều đặn Milyutin. Và sau đó, các kết quả này được áp dụng để nghiên cứu sự tồn tại của một điểm kép cố định của một cặp phép biến hình tập hợp đều đặn (F₁, F₂) giữa các không gian Banach X, Y: một từ X đến Y và một từ Y đến X.
VI. Kết Luận và Hướng Nghiên Cứu Tính Đều Đặn Phi Tuyến
Một kết quả tương tự về định lý điểm kép cố định cũng đã được thiết lập trong các công trình gần đây của Ioffe, tuy nhiên, hai cách tiếp cận hoàn toàn khác nhau và các điều kiện bắt đầu để ước lượng khoảng cách đến tập điểm kép cố định cũng khác nhau. Trong Ioffe, kết quả của định lý Milyutin có thể được suy ra từ định lý điểm kép cố định; trong khi đó, chứng minh của chúng tôi về định lý điểm kép cố định thu được bằng cách sử dụng định lý nhiễu Milyutin đã được thiết lập trước đó.
6.1. Tính Đều Đặn Sao Khái Niệm Suy Yếu của Tính Đều Đặn
Hơn nữa, việc lựa chọn các điều kiện bắt đầu khác với các điều kiện trong có thể hữu ích hơn trong một số ứng dụng. Một điểm khác đáng chú ý ở đây là việc mở rộng các khái niệm tính đều đặn địa phương sang phiên bản tập cố định cũng dẫn đến một khái niệm về tính đều đặn yếu được gọi là tính đều đặn sao. Phiên bản này nghiêm ngặt yếu hơn phiên bản ban đầu, và do đó việc sử dụng sao đều đặn làm giả định về nguyên tắc sẽ có được kết quả tốt hơn.
6.2. Nghiên Cứu Tính Đều Đặn Tham Số và Ứng Dụng
Cùng với tính đều đặn metric của một đa ánh, việc nghiên cứu các điều kiện đảm bảo tính đều đặn metric của các đa ánh tham số, tức là, các định lý đa ánh ẩn, đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán phân tích độ nhạy đối với các tham số. Liên quan đến vấn đề này, có rất nhiều công trình của các tác giả: Ioffe, Dontchev, Rockafellar, Dmitruk, Kruger, Durea, Strugariu,. Các kết quả về tính đều đặn metric đã được mở rộng hơn nữa cho trường hợp tổng của một phép biến hình tập hợp và một ánh xạ đơn trị...
