Chương 1. Các kiến thức cơ bản Lược đồ lặp (1.20) với toán tử Bk = B, tham số θk+1 = θ không đổi (k = 0, 1, 2, .) còn được gọi là lược đồ lặp dừng. yk+1 − yk B + Ayk = f, k = 0, 1, 2,. Nếu A là toán tử đối xứng, xác định dương thì 1 1 B > θA hay (Bx, x) > θ(Ax, x), ∀x ∈ H (1.23) 2 2 là điều kiện đủ cho sự hội tụ của lược đồ lặp (1.22) trong không gian HA với tốc độ hội tụ cấp số nhân ||zk+1 ||A ≤ ρ||zk ||A , k = 0, 1, 2, .24) 1/2 2θδ∗ δ 1 trong đó ρ = 1− , δ = min λk (A), δ∗ = min λk (B0 − θA), ||B||2 k k 2 B + B∗ B0 = là phần tử đối xứng của toán tử B.
Với Bk = B cố định, định lý đã đưa ra quy tắc lựa chọn giá trị θ để lược đồ lặp hội tụ. Trong trường hợp B = E, điều kiện hội tụ sẽ được đảm bảo nếu tất cả các giá trị riêng thỏa mãn 1 1 λk E − θA = 1 − θλk (A) > 0. 2 2 Như vậy, lược đồ lặp hội tụ với mỗi θ <. ||A|| 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn Chương 2 Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị 2.1 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic cấp 2 với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 2.1 Cơ sở của phương pháp Cho Ω ⊂ R2 là miền với biên Lipschitz ∂Ω, xét bài toán −∆u(x) = f (x), ∀x ∈ Ω, lu(x) = g(x), x ∈ ∂Ω.
Ta xét trường hợp tổng quát khi điều kiện biên lu(x) = g(x) là điều kiện biên dạng hỗn hợp mạnh tức là trên một phân biên trơn gồm cả hai điều kiện biên Dirichlet (l là toán tử 15 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị hàm) và Neumann (l là toán tử đạo hàm hướng). Đây là bài toán đã được nhiều tác giả trên thế giới quan tâm. Trong phần này luận văn trình bày phương pháp chia miền để giải bài toán biên hỗn hợp mạnh.
Sự hội tụ của phương pháp này đối với trường hợp chỉ có một điểm phân cách điều kiện biên đã được nghiên cứu về lý thuyết. Giả sử Ω cho bởi Hình 2.1 xét bài toán −∆u = f, x ∈ Ω, u = ϕ, x ∈ ∂Ω\Γn , ∂u = ψ, x ∈ Γn ∂ν Hình 2.1: Chia miền Ω thành hai miền Ω1 , Ω2 với biên trơn Γ, Ω = Ω1 ∪ Ω2 , Ω1 ∩ Ω2 = ∅. Kí hiệu Γ1 = ∂Ω1 \{Γd ∪ Γ}, Γ2 = ∂Ω2 \{Γn ∪ Γ}, ui là nghiệm trong miền Ωi (i = 1, 2). Tư tưởng của phương pháp là tìm ra các xấp xỉ ∂u1 của g = |Γ để chuyển bài toán đang xét về hai bài toán trong hai miền.
∂ν1 Ở đây νi là véc tơ pháp tuyến ngoài của miền Ωi (i = 1, 2). • Mô tả thuật toán chia miền Bước 1. Cho trước g (0) ∈ L2 (Γ), chẳng hạn g (0) = 0, x ∈ Γ. 16 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn Chương 2.
Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị Bước 2.) tiến hành giải hai bài toán (k) −∆u1 = f, x ∈ Ω1 , (k) u1 = ϕ, x ∈ Γ1 ∪ Γd , (2. Hiệu chỉnh giá trị g (k+1) (k) (k+1) (k) ∂u g = (1 − τ )g − τ 2 , x ∈ Γ, (2.3) ∂ν2 trong đó τ là tham số lặp cần lựa chọn.2 Sự hội tụ của phương pháp Sơ đồ lặp (2.1) được viết lại dưới dạng (k) g (k+1) − g (k) ∂u + g (k) + 2 = 0, (k = 0, 1, 2,. ∂ν1 17 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị (k) −∆e2 = 0, x ∈ Ω2 , (k) e2 = 0, x ∈ Γ2 , (k) (k) e2 = e1 , x ∈ Γ, (k) ∂e2 x ∈ Γn = 0, ∂ν2 (k) ξ (k+1) − ξ (k) ∂e + ξ (k) + 2 = 0, x ∈ Γ, (k = 0, 1, 2, .4) τ ∂ν2 ∂v1 Ta định nghĩa các toán tử Steklov-Poincare S1 , S2 như sau S1 ξ = ,x ∈ ∂ν1 Γ, trong đó v1 là nghiệm của bài toán −∆v1 = 0, x ∈ Ω1 , v1 = 0, x ∈ Γ1 ∪ Γd , v1 = ξ, x ∈ Γ, ∂v2 S2 ξ = , x ∈ Γ, trong đó v2 là nghiệm của bài toán ∂ν2 −∆v2 = 0, x ∈ Ω2 , v2 = 0, x ∈ Γ2 , v2 = ξ, x ∈ Γ, ∂v2 = 0, x ∈ Γn.
∂ν2 Khi đó toán tử nghịch đảo S1−1 được xác định bởi S1−1 ξ = ω1 |Γ trong đó ω1 là nghiệm của bài toán −∆ω1 = 0, x ∈ Ω1 , ω1 = 0, x ∈ Γ1 , ∂ω1 = ξ, x ∈ Γ. ∂ν1 18 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị Vì thế (k) S1−1 ξ (k) = e1 |Γ (k) (k) ∂e2 S2 e1 = |Γ. ∂ν2 Sử dụng các toán tử S1 , S2 đã định nghĩa, (2.4) được viết lại dưới dạng ξ (k+1) − ξ (k) + (I + S2 S1−1 )ξ (k) = 0, x ∈ Γ, (k = 0, 1, 2,.
τ Tác động S1−1 lên cả hai vế của phương trình trên, ta thu được sơ đồ lặp hai lớp (k+1) (k) e1 |Γ − e1 |Γ (k) + Be1 |Γ = 0, (k = 0, 1,. Từ lược đồ trên ta có (k+1) (k) e1 |Γ = (I − τ B)e1 |Γ. Để thiết lập sự hội tụ của lược đồ này chúng ta sẽ nghiên cứu các tính chất −1 của toán tử B. Vì mục đích này ta đưa vào không gian Λ = H002 (Γ) = 0 −1 {v|Γ : v ∈ H01 (Ω)} và không gian đối ngẫu Λ = H002 (Γ).
Có thể kiểm tra rằng trong dạng phát biểu yếu toán tử S1 được định nghĩa bởi hS1 ξ, ηiΛ0 ,Λ = (∇H1 ξ, ∇H1 η)L2 (Ω1 ) , ∀ξ, η ∈ Λ, trong đó H1 ξ là thác triển điều hòa của ξ lên Ω. Toán tử S1 là toán tử đối xứng, xác định dương và 1 C21 ||ξ||H 21 (Γ) ≤ hS1 ξ, ξiΛ2 0 ,Λ ≤ C31 ||ξ||H 12 (Γ). 1 Do đó hS1 ξ, ηiΛ2 0 ,Λ xác định một tích vô hướng của ξ, η ∈ Λ và chuẩn được 1 sinh bởi tích vô hướng này tương đương với chuẩn thông thường của H 2 (Γ). Kí hiệu tích vô hướng này và dạng chuẩn cảm sinh bởi (·, ·)S1 và || · ||S1 1 (ξ, η)S1 = hS1 ξ, ηiΛ0 ,Λ , ||ξ||S1 = hS1 ξ, ξiΛ2 0 ,Λ.
19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị 1 Bây giờ ta xét tính chất của toán tử S2. Giả sử η ∈ H00 2 (Γ), kí hiệu ω = Ĥ2η là thác triển điều hòa của η lên Ω2 tức là ω là nghiệm của bài toán −∆ω = 0, x ∈ Ω2 , ω = 0, x∈Γ , 2 ω = η, x ∈ Γ, ∂ω = 0, x ∈ Γn. ∂ν2 Tương tự kí hiệu v = H b 2 ξ là thác triển điều hòa của ξ lên Ω2.
Khi đó Z Z Z ∂v 0 = − ∆vωdx = − ωds + ∇v∇ωdx ∂ν2 Ω2 ∂Ω2 Ω2 Z Z =− S2 ξηds + ∇H b 2 ξ. Γ Γ2 Theo bất đẳng thức Poincare-Fridrichs và định lý vết ta có hS2 ξ, ξiΛ0 ,Λ = (∇H b 2 ξ)L2 (Ω ) = (∇v, ∇v)L2 (Ω ) b 2 ξ.5) Ngoài ra, theo định nghĩa của chuẩn trong H 1 (Ω2 ) thì ||v||2H 1 (Ω2 ) = ||v||2L2 (Ω2 ) + ||∇v||2L2 (Ω2 ) nên ||∇v||2L2 (Ω2 ) ≤ ||v||2H 1 (Ω2 ).6) suy ra rằng hS2 ξ, ξiΛ0 ,Λ = ||∇v||2L2 (Ω2 ) ≤ C 2 ||ξ||2 21. H (Γ) 20 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn Chương 2. Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị Như vậy, toán tử S2 là toán tử đối xứng, xác định dương và giới nội.
Trong tích năng lượng của S1 ta có (Bξ, η)S1 = S1 (I + S −1 S2 )ξ, η Λ0 ,Λ = hS1 ξ, ηiΛ0 ,Λ + hS2 ξ, ηiΛ0 ,Λ. Do S1 , S2 là các toán tử đối xứng nên toán tử B cũng là toán tử đối xứng. Giả sử rằng đối với phép chia miền Ω thành các miền con Ω1 , Ω2 tồn tại các hằng số 0 < m ≤ M sao cho hS2 ξ, ηiΛ0 ,Λ m≤ ≤ M, ∀ξ ∈ Λ.7) hS1 ξ, ηiΛ0 ,Λ Khi đó ta có (1 + m)||ξ||2S1 ≤ (Bξ, ξ)S1 ≤ (1 + M )||ξ||2S1. Tức là (1 + m)I ≤ B ≤ (1 + M )I, trong không gian năng lượng của S1.
Từ lý thuyết tổng quát của lược đồ lặp hai lớp suy ra rằng nếu 2 0<τ < (2.8) 1+M thì ||I − τ B|| < 1 và giá trị tối ưu của τ là 2 τopt = .9) 2+m+M Với giá trị này của τ ta thu được ước lượng (k) (0) ||e1 |Γ ||S1 ≤ ρk ||e1 |Γ ||S1 , với M −m ρ=. Ta suy ra (k) (0) ||ei ||H 1 (Ωi ) ≤ Cρk ||e1 |Γ ||H 21 (Γ) .10) Ở đây các hằng số dương C21 , C31 , C22 , C1 , C chỉ phụ thuộc vào Ωi và Γ. Ta phát biểu kết quả thu được ở trên về sự hội tụ của phương pháp bởi định lý sau đây. 21 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn Chương 2.
Một số phương pháp giải bài toán elliptic với biên kì dị Định lý 2. Với giả thiết (2.7), phương pháp lặp (2.3) hội tụ nếu tham số lặp τ thỏa mãn điều kiện (2. Giá trị tối ưu của tham số lặp được cho bởi (2.9) và khi đó ước lượng cho các sai số được xác định bởi (2.